高中数学人教A版选修1-1第1章1-4-1全称量词1-4-2存在量词课时测试及解析

高中数学人教A版选修1-1 第一章导数及其应用
1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词
课时测试（1）
1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x0,使≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x0,使>2
【解析】选B.A是全称命题;B中x0=0时,=0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为+(-)=0,所以C是假命题;D中对于任一个负数x,都有<0,所以D是假命题.
2.下列命题是真命题的是( )
A.a>b是ac2>bc2的充要条件
B.a>1,b>1是ab>1的充分条件
C.∀x∈R,2x>x2
D.∃x0∈R,<0
【解析】选B.对于选项A,若c=0,由a>b得到ac2=bc2,故不正确;对于选项B,由于a>1,b>1是ab>1的充分条件,成立;对于选项C,由于x=2,2x=x2,因此错误;对于选项D,由于>0恒成立,故可知D错误.
3.下列四个命题中真命题是( )
p1:∀x∈(0,+∞),≥
p 2:∀x∈(0,1),lo x≤lo x
p 3:∃x0∈(0,+∞),≤lo x0
p 4:∃x0∈,≥lo x0
A.p1,p3
B.p1,p4
C.p2,p3
D.p2,p4
【解析】选A.因为命题p2中,应该是∀x∈(0,1),log x>log x
命题p4中,∃x0∈,≥log x0,不存在满足不等式的x0,错误.
4.命题p:∃x0∈R,使>x0;命题q:∀x∈,0<sinx<1,下列是真命题的是
( ) A.p∧(¬q) B.(¬p)∨(¬q)
C.p∨(¬q)
D.(¬p)∧q
【解析】选C.当x0=0时,20>0,即命题p为真命题.∀x∈,0<sinx<1恒成立,即命题q为真命题.则p∨(¬q)为真命题.
5.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题,并判断真假.
(1)所有实数x都能使x2+x+1>0成立.
(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解.
(3)一定有整数x0,y0,使得3x0-2y0=10成立.
(4)所有的有理数x都能使x2+x+1是有理数.
【解析】(1)∀x∈R,x2+x+1>0;真命题.
(2)∀a,b∈R,ax+b=0恰有一解;假命题.
(3)∃x0,y0∈Z,3x0-2y0=10;真命题.
(4)∀x∈Q,x2+x+1是有理数;真命题.
课时测试（2）
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( )
A.存在一个α0,使tan(90°-α0)=tanα0
B.存在实数x0,使sinx0=
C.对一切α,sin(180°-α)=sinα
D.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
【解析】选A.由命题是特称命题,排除C,D;在A中,当α0=45°时,结论正确;B中,>1,所以不存在x0,使sinx0=.
2.(2016·龙岩高二检测)下列命题中的假命题是( )
A.∀x∈R,2x-1>0
B.∀x∈N*,(x-1)2>0
C.∃x0∈R,lgx0<1
D.∃x0∈R,tanx0=2
【解析】选B.A中命题是全称命题,易知2x-1>0恒成立,故是真命题;
B中命题是全称命题,当x=1时,(x-1)2=0,故是假命题;
C中命题是特称命题,当x0=1时,lgx0=0,故是真命题;
D中命题是特称命题,依据正切函数定义,可知是真命题.
【补偿训练】(2016·天津模拟)有四个关于三角函数的命题:p1:∃A0∈R,sin2+cos2=;p2:∃A0,B0∈R,sin(A0-B0)=sinA0-sinB0;p3:∀x∈,=sinx,p4:sinx=cosy→x+y=.其中假命题是( )
A.p1,p4
B.p2,p4
C.p1,p3
D.p2,p3
【解析】选A.因为sin2+cos2=1恒成立,所以命题p1为假命题.
因为当A0=0,B0=0时,sin(A0-B0)=sinA0-sinB0,所以命题p2为真命题.
因为==|sinx|,而x∈,所以sinx≥0,所以=sinx,所以命题p3为真命题.因为sin=cos0,而+0≠,所以命题p4为假命题.
3.(2016·金华高二检测)命题p:∃x0∈N,<;命题q:∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=log a(x-1)的图象过点(2,0).则( )
A.p假q真
B.p真q假
C.p假q假
D.p真q真
【解析】选A.因为x3<x2,所以x2(x-1)<0,所以x<0或0<x<1,在这个范围内没有自然数,命题p 为假命题.因为f(x)的图象过点(2,0),所以log a1=0,对∀a∈(0,1)∪(1,+∞)的值均成立,命题q为真命题.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.下列命题是真命题的是(填序号).
①所有的实数x都能使x2-3x+6>0成立;②存在一个实数x0,使不等式-3x0+6<0成立;③存在一个实数x0,使-3x0+6=0.
【解析】因为x2-3x+6=0中,Δ=(-3)2-4×6=-15<0,
所以x2-3x+6=0无解,x2-3x+6>0恒成立.
所以①正确,②③错误.
答案:①
5.当命题(1)∀x∈R,sinx+cosx>m,(2)∃x0∈R,sinx0+cosx0>m分别为真命题时,m的范围分别是(1) ,(2) .
【解析】(1)令y=sinx+cosx,x∈R.
因为y=sinx+cosx=sin≥-,
又因为∀x∈R,sinx+cosx>m为真命题,
所以只要m<-即可.
所以所求m的取值范围是(-∞,-).
(2)令y=sinx+cosx,x∈R.
因为y=sinx+cosx=sin∈,
又因为∃x0∈R,sinx0+cosx0>m为真命题,
所以只要m<即可,
所以所求m的取值范围是(-∞,).
答案:(1)(-∞, -) (2)(-∞,)
三、解答题
6.(10分)(教材P28T5改编)判断下列命题的真假:
(1)∀x∈N,x2>0.
(2)圆x2+y2=r2(r>0)上存在一点到圆心的距离是r.
(3)存在一对实数x0,y0满足2x0+4y0=3.
(4)方程2x+4y=3的所有解都不是整数解.
【解析】(1)假命题:当x=0时,x2=0.
(2)真命题:由圆的定义知圆上的每一个点到圆心的距离都是r.
(3)真命题:满足方程2x+4y=3.
(4)真命题:当x,y∈Z时,左边是偶数,右边3是奇数,不可能相等.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·佛山高二检测)下列命题中,真命题是( )
A.∃m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是偶函数
B.∃m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是奇函数
C.∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数
D.∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数
【解析】选A.只有当m=0时,f(x)=x2(x∈R)是偶函数,故A正确,C,D不正确;又二次函数不可能为奇函数,故B不正确.
2.(2016·衡阳高二检测)设命题p:∃x0∈R,使+2ax0+2-a=0;命题q:不等式ax2-ax+2>0对任意x∈R恒成立.若p为真,且p或q为真,则a的取值范围
是( )
A.(-2,1)
B.(-2,0)
C.,x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,+2ax0+2-a=0”.
(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围.
(2)若命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
【解题指南】(1)命题p为真命题只需a≤(x2)min即可.(2)命题“p∧q”为假命题,则p为假命题或q为假命题.p为假命题时a的取值集合与p为真命题时a的取值集合互补,从而由(1)可得p为假命题时a的范围.q为假命题此方程无根,即判别式小于0.
【解析】(1)由命题p为真命题,a≤(x2)min,a≤1.
(2)由命题“p∧q”为假命题,所以p为假命题或q为假命题.
p为假命题时,由(1)得a>1.
q为假命题时,Δ=4a2-4(2-a)<0,解得-2<a<1.
综上,a∈(-2,1)∪(1,+∞).
【补偿训练】已知命题p:“存在a0>0,使函数f(x)=a0x2-4x在(-∞, 2]上单调递减”,命题q:“存在a0∈R,使∀x∈R,16x2-16(a0-1)x+1≠0”.若命题“p∧q”为真命题,求实数a的取值范围.
【解析】若p为真,则对称轴x=-=≥2,所以0<a≤1.
若q为真,则方程16x2-16(a-1)x+1=0无实数根,所以Δ=2-4×16<0,所以<a<.因为命题“p∧q”为真命题,
所以所以<a≤1.
故实数a的取值范围为.
课时测试（3）
(15分钟30分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.下列命题为特称命题的是( )
A.偶函数的图象关于y轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.不相交的两条直线是平行直线
D.存在大于或等于3的实数
【解析】选D.选项A，B，C都是全称命题，选项D含有存在量词，是特称命题.
2.(2015·兰州高二检测)将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称命题是( )
A.∃a0，b0∈R，++2a0b0=(a0+b0)2
B.∃a0<0，b0>0，++2a0b0=(a0+b0)2
C.∀a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2
D.∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2
【解析】选D.由于所给的等式对∀a，b∈R均成立，故选D.
3.下列命题既是全称命题又是真命题的个数是( )
①所有的素数都是偶数；
②∀x∈R，(x-1)2+1≥1；
③有的无理数的平方还是无理数.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.命题②既是全称命题又是真命题；
命题③是特称命题又是真命题；
命题①是假命题.
二、填空题(每小题4分，共8分)
4.下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________.
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数.
【解析】根据所含的量词可判断出①②③为全称命题，④为特称命题.
答案：①②③④
5.(2015·苏州高二检测)已知命题p：“∀x∈，a≥e x”，命题q：“∃x0∈R，+4x0+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是____________.
【解析】由命题“p∧q”是真命题得命题p，q都是真命题.
因为x∈，所以e x∈，
所以a≥e；∃x0∈R，+4x0+a=0，
即方程x2+4x+a=0有实数解，
所以Δ=42-4a≥0，解得a≤4，取交集得a∈.
答案：
【延伸探究】本题条件“若命题p∧q是真命题”改为“若命题p∧q是假命题”，其他条件不变，则实数a的取值范围是________.
【解析】若命题p∧q是假命题，则有三种情形：p真q假，p假q真， p假q假，直接求解比较复杂，可求原题结果的补集即得，的补集是(-∞，e)∪
(4，+∞).
答案：(-∞，e)∪(4，+∞)
三、解答题
6.(10分)若∀x∈R，函数f(x)=m(x2-1)+x-a有零点，求实数a的取值范围.
【解析】(1)当m=0时，f(x)=x-a与x轴相交，函数有零点.
(2)当m≠0时，f(x)=m(x2-1)+x-a有零点的充要条件是Δ=1+4m(m+a)=
4m2+4am+1≥0恒成立，
又因为4m2+4am+1≥0是一个关于m的二次不等式，
此不等式恒成立的充要条件是Δ′=(4a)2-16≤0，
解得-1≤a≤1.
综上，当m=0时，a∈R；
当m≠0时，a∈.
(15分钟30分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.( 2015·长沙高二检测)已知a>0，函数f(x)=ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A.∃x0∈R，f(x)≤f(x0)
B.∃x0∈R，f(x)≥f(x0)
C.∀x∈R，f(x)≤f(x0)
D.∀x∈R，f(x)≥f(x0)
【解析】选C.f(x)=ax2+bx+c=a+(a>0)，
因为2ax0+b=0，所以x0=-.
当x=x0时，函数f(x)取得最小值，
所以∀x∈R，f(x)≥f(x0).
从而A，B，D为真命题，C为假命题.
2.(2014·新课标全国卷Ⅰ)不等式组的解集记为D，有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x+2y≥-2；
p2：∃(x0，y0)∈D，x0+2y0≥2；
p3：∀(x，y)∈D，x+2y≤3；
p4：∃(x0，y0)∈D，x0+2y0≤-1.
其中的真命题是( )
A.p2，p3
B.p1，p4
C.p1，p2
D.p1，p3
【解析】选C.作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)所
示.
由得交点
A(2，-1).目标函数的斜率k=->-1，观察直线x+y=1与直线
x+2y=0的倾斜程度，可知u=x+2y过点A时取得最小值0.
结合题意知p1，p2正确.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.已知命题p：∀x∈R， x2-x+<0，命题q：∃x0∈R，sinx0+cosx0=，则p∨q，p∧q，p，
q中是真命题的有________.
【解题指南】先判断p，q的真假，再判断p∨q，p∧q，p，q的真假.
【解析】因为x2-x+=≥0，故p是假命题，所以p为真命题，而存在x0=使
sinx0+cosx0=，故q是真命题，q为假命题，因此p∨q为真命题，
p∧q为假命题.
答案：p∨q，p
4.(2015·杭州高二检测)设集合A={(x，y)|(x-4)2+y2=1}，B={(x，y)|(x-t)2+(y-at+2)2=1}，如果命题“∃t0∈R，A∩B≠∅”是真命题，则实数a的取值范围是________.
【解析】因为A={(x，y)|(x-4)2+y2=1}，表示平面直角坐标系中以M(4，0)为圆心，半径为1的圆，
B={(x，y)|(x-t)2+ (y-at+2)2=1}，表示以N(t，at-2)为圆心，半径为1的圆，且其圆心N在直线ax-y-2=0上，如图.
如果命题“∃t0∈R，A∩B≠∅”是真命题，即两圆有公共点，则圆心M到直线ax-y-2=0的距离不大于2，
即≤2，解得0≤a≤.
所以实数a的取值范围是0≤a≤.
答案：
【补偿训练】已知命题p：“∃m0∈R，使关于x的方程x2+m0x+1=0有两个不等负实根”是真命题，则实数m0的取值范围是____________.
【解析】由题意解得m0>2.
答案：m0>2
三、解答题
5.(10分)(2015·长春高二检测)已知命题p：“∀x∈，x2-a≥0”，命题q：“∃x0∈R，
+2ax0+2-a=0”，若命题“p且q”为假命题，“p或q”是真命题，求实数a的取值范围. 【解析】由命题p为真可知，x2≥a对x∈恒成立，
所以a≤1，
由命题q为真可知Δ=4a2-4(2-a)=4(a2+a-2)≥0，
所以a≥1或a≤-2.
因为p且q是假命题，p或q是真命题，
所以有p为真，q为假，或者p为假，q为真，
即或
解得-2<a<1或a>1.
所以a的取值范围为(-2，1)∪(1，+∞).。