2017年中考数学真题分类解析 二次函数代数方面的应用

一、选择题
1. （2017青海西宁，10，3分）如图3，在正方形ABCD 中，AB =3cm ，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度运动，同时动点N 自D 点出发沿折线DC - CB 以每秒2cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止，设△AMN 的面积为y （c m 2
A ．
B ．
D ．
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：A ，解析：当M 在AB 上移动，N 在DC 上时，△AMN 的面积为y =x x 23321=⋅⋅（0≤x ≤23）．
当M 在AB 上，N 在BC 上时，y =x x x x 3)26(212+-=-⨯⨯（x >2
3
），故选A
三、解答题
1. （2017浙江温州，22， 10分）
如图，过抛物线y ＝
上一点A 作x 轴的平行线，交抛物线于另
一点B ，交y 轴于点C ，已知点A 的横坐标为－2． （1）求抛物线的对称轴和点B 的坐标.
（2）在AB 上任取一点P ，连结OP ，作点C 关于直线OP 的对称点D. ①连结BD ，求BD 的最小值.
②当点D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方时，求直线PD 的函数表达式.
思路分析：考点二次函数与一次函数的综合应用，
（1）知道抛物线的解析式，求对称轴：直线＝＝4，用待定系数法求出A（－2，5），B（10，5）
（2）利用三角形三边关系可知当且仅当点O、D、B三点共线时，BD取得最小值；
分类讨论点D的位置，利用待定系数法求出直线PD的函数表达式．
解：（1）由抛物线的解析式y＝，得对称轴：直线＝＝4
由题意知点A的横坐标为－2，代入解析式求得
y＝，
当时，x1＝10，x2＝－2
A（－2，5），B（10，5）
（2）①连结OD、OB、BD，利用三角形三边关系可得BD≥OB－OD，所以当且仅当点O、D、B三点共线时，BD取得最小值．由题意知OC＝OD＝5
OB＝＝5，BD＝OB－OD＝5－5
②(i) 点P在对称轴左侧时，连结OD
在Rt△ODN中，DN＝＝3，D(4，3)，DM＝2;
设P(，5) 在Rt△PMD中，，得＝，P(，5)
设直线PD的函数表达式为y＝kx＋b，利用待定系数法
3＝4得，
5＝
∴直线PD的函数表达式为y＝
(ii)点P在对称轴右侧时，如图所示，点D在轴下方，不符合要求，舍去.
综上所述，直线PD的函数表达式为y＝
2. 25．(2017天津)（本小题10分）已知抛物线y=x2+bx-3（b是常数）经过点A(-1，0)．
(Ⅰ) 求该抛物线的解析式和顶点坐标；
(Ⅱ) P(m，t)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．
①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；
②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值.
解：(1)∵抛物线y=x2+bx-3经过点A(-1，0)，
∴0=1-b-3，解得b=-2.
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，
∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
∴顶点的坐标为（1，-4）.
(2)①由点P(m，t)在抛物线y=x2-2x-3上，有t=m2-2m-3.
∵P 关于原点的对称点为P '，有P ’（-m ，-t ）. ∴-t=(-m)2-2(-m)-3，即t =-m 2-2m +3 ∴m 2-2m -3=-m 2-2m +3. 解得m 1=3，m 2=-3
②由题意知，P '(-m ,-t )在第二象限， ∴-m ＜0，-t ＞0，即m ＞0，t ＜0.
又∵抛物线y =x 2-2x -3的顶点坐标为(1,-4)，得-4≤t ＜0. 过点P '作P 'H ⊥x 轴于H ,则H (-m ,0) 又A (-1,0)，t = m 2-2m -3
则P 'H 2=t 2，AH 2= (-m +1)2=m 2-2m +1=t +4
当点A 和H 不重合时，在Rt △P ’AH 中，P 'A 2= P 'H 2+AH 2 当点A 和H 重合时，AH =0，P 'A 2= P 'H 2，符合上式. ∴P 'A 2= P 'H 2+AH 2，即P 'A 2= t 2+t +4(-4≤t ≤0) 记y '=t 2+t +4(-4≤t ≤0)，则y '=(t +12)2+154
， ∴当t =-1
2
时，y '取得最小值. 把t =-
12代入t =m 2-2m -3，得-1
2=m 2-2m -3 解得m 1=
2142-，m 2=214
2
+. 由m >0，可知m =214
2
-不符合题意. ∴m =
214
2
+.
3. （2017·湖南株洲，24，8分）如图，Rt △P AB 的直角顶点P (3，4)在函数y ＝x
k
（x ＞0）的图像上，顶点A 、B 在函数x
t
y =
（x ＞0，0＜t ＜k ）的图像上，PB ∥x 轴，连接OP 、OA ，记△OP A 的面积为S △OP A ，Rt △P AB 的面积为S △P AB ，设W ＝S △OP A －S △P AB ， （1）求k 的值及W 关于t 的表达式；
（2）若用W max 和W min 表示函数W 的最大值和最小值．令T ＝W max ＋a 2－a ，其中a 为实数，求T min ．
解：（1）∵y ＝
x
k
经过点P （3，4），∴k ＝12， ∵点P （3，4），PB ∥x 轴，∠BP A ＝90°，
∴A （3，3t ），B （4t
，4），
∴P A ＝（4－3t ），PB ＝（3－4
t
），
∴S △P AB ＝21P A ·PB ＝21
（4－3t ）（3－4
t ）＝242t －t ＋6，
∵S △OP A ＝6－2
1
t ，
∴W ＝S △P AB －S △OP A ＝（6－21t ）－（242t －t ＋6）＝－242t ＋t 2
1
；
（2）∵W ＝－242t ＋t 21
当t ＝－a
b 2时，W 取最值，即t ＝21×12＝6时，W 取最大值，Wmax ＝23
．
∴T ＝23＋a 2－a ＝a 2－a ＋23
当a ＝21时，T 取最小值，T min ＝4
5．
4. 23．（2017湖北天门，23， 10分）已知关于x 的一元二次方程221
(1)(1)02
x m x m -+++=有实数根．
（1）求m 的值；
（2）先作221
(1)(1)2
y x m x m =-+++的图象关于x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，在
向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，当直线y ＝2x ＋n （n ≥m ）与变化后的图象有公共点时，求n 2-4n 的最大值和最小值．
思路分析：（1）有实数根即∆≥0，
（2）根据顶点和x 轴交点确定抛物线关于x 轴对称的解析式，再根据平移的规则得到解析式；
（3）抛物线与直线交点个数问题，本质就是联立解析式得到二元一次方程，判断方程根的情况，得到n 的取值
P A
B
y
x
O
第24题图
范围，从而确定最值．
解：（1）∵方程221
(1)(1)02
x m x m -+++=有实数根
∴∆1＝221
[(1)]4(1)02
m m -+-⨯+≥，即(m ﹣1)2≤0，∴m ＝1
（2）y ＝﹣x 2﹣4x ﹣2
（3）当y ＝﹣x 2﹣4x ﹣2与y ＝2x ＋n 有公共点时，
5. A （（（
3，又此抛物线经过点B （2，－2），所以－2＝4a ＋2b ＋2
，即b ＝－2a －1．
故答案为：－2a －1．
②由于抛物线与x 轴相交于点E ，F ， ∴Δ＞0，即（－2a －1）2－4a ×
2
3
＞0，∴4a 2－2a ＋1＞0，
又∵EF 2
＝（x E －x F ）2
＝（x E ＋x F ）2
－4 x E ·x F ＝2
2124a
a a +-＝3)11
(2+-a ∴当a ＝1时有最小值，此时b ＝－3，
∴抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ＋
2
3
； （2）当x ＝
1时，抛物线的解析式为y ＝1x 2＋bx ＋3
，
6. ，∴∠EDC ＝∠DAB ∴△ABD ∽△DCE
(2)解：∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，容易得出：BC ＝23，则DC ＝23－x ，EC ＝2－y ∵△ABD ∽△DCE ，∴AB BD ＝DC CE . ∴2x ＝23－x 2－y .
化简得：y ＝1
2
x 2－3x ＋2（0＜x ＜23）
(3)当AD ＝DE
时，由(1)可知，此时△ABD ≌△DCE ，则AB ＝CD ，即2＝23－x ∴x ＝23－2，代入y ＝1
2
x 2－3x ＋2
解得：y ＝4－2 3.即AE ＝－4－2 3 当AE ＝ED 时，∠EAD ＝∠EDA ＝30°，∠AED ＝120°，∴∠DEC ＝60°，∠EDC ＝90°， 则ED ＝12EC ，即y ＝1
2 (2－y )
解得：y ＝23，即AE ＝2
3
.
当AD ＝AE 时,∠AED ＝∠EDA ＝30°，∠EAD ＝120°.
此时点D 与点B 重合，与题目不符，此情况不存在. ∴当△ADE 是等腰三角形时，AE ＝4－23或2
3.
7. （2017江苏省南通市，28，13分） 已知直线y ＝kx ＋b 与抛物线y ＝ax 2（a ＞0）相交于A 、B 两点（点A 在
点B 的左侧）与y 轴正半轴相交于点C ，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ． （1）若∠AOB ＝60°，AB ∥x 轴，AB ＝2，求a 的值．
（2）若∠AOB ＝90°，点A 的横坐标为－4，AC ＝4BC ，求点B 的坐标． （3）延长AD ，BO 相交于点E ，求证：DE ＝CO ．
思路分析：（1）由对称性可证OA ＝OB ，进一步可证明△OAB 是等边三角形；（2）分别过点A 、点B 作x 轴的垂线段，构造K 形相似基本图形解决问题；（2）由于DE ∥OC ，要证明DE ＝CO ，可先考虑证明四边形DEOC 是平行四边形，即证明CD ∥BE ．
解：（1）如图1，∵AB ∥x 轴，∴点A ，B 关于y 轴对称．
∵AB ＝2，∴AC ＝BC ＝1．
∵∠AOB ＝60°，∴OC ＝3AC ＝3．
又∵点A 在第二象限，∴点A 的坐标是（－1， 3 ）． ∴ 3 ＝a ·(－1)2，解得a ＝ 3 ．
（2）如图2，过点B 作BF ⊥x 轴，垂足为F ，则AD ∥CO ∥BF ．
∴DO OF ＝AC
CB
＝4．
∵点A 的横坐标为－4，∴DO ＝4，AD ＝16a ． ∴OF ＝1，∴点B 的横坐标为1．∴BF ＝a ．
∵∠ADO ＝90°，∴∠DAO ＋∠AOD ＝90°． ∵∠AOB ＝90°，∴∠AOD ＋∠BOF ＝90°．
（第28题图1）
A
O
C
x y B
∴∠DAO ＝∠BOF ．∵∠ADO ＝∠BFO =90°．
∴△ADO ∽△OFB ，∴AD OF ＝OD
BF
．
即AD ·BF ＝OF ·OD ．
∴16a 2＝4．∴a ＝±12 ．∵a ＞0，∴a ＝1
2 ．
∴点B 的坐标是（1，1
2
）．
（3）法一：如图3，连接DC ，过点B 作BF ⊥x 轴，垂足为F ，
（1）若这个二次函数的图象与x 轴交于点)0,1(A ，点)0,3(B ，求实数n m ,的值；
（2）若ABC ∆是有一个内角为0
30的直角三角形，C ∠为直角，B A cos ,sin 是方程02
=++n mx x 的两个根，求实数n m ,的值.
思路分析：（1）待定系数法，（2）利用特殊角三角函数值和判别式计算 解：（1）y=x 2+m x+n 过点A (1，0)，点B （3，0）
∴⎩⎨⎧=++=++03901n m n m ，解得：⎩
⎨⎧=-=34n m
（2）当A =30°，B =60°时，sin A =sin30°=
21，cos B =cos60°=2
1
，∴sin A =cos B 则
⎪⎨⎧=++n m 021412，解得⎪⎨⎧=-=11n m
9.(1)(2)(3)【解析】
(2)将n =1，x =120代入()22293x n kn k =-++，得
120=2-2k +9k +27.解得k =13.
将n =2，x =100代入2226144x n n =-+也符合.
∴k =13.
由题意，得18=6+600x
，求得x =50. ∴50=2226144n n -+，即213470n n -+=.
∵()2
1341470∆=--⨯⨯<，∴方程无实数根.
∴不存在.
考点：待定系数法，一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，二次函数的应用.
10. (2017云南，21,8分）已知二次函数c bx x y ++-=2
2图像的顶点坐标为（3，8），该二次函数图像的对称轴与x 轴的交点为A ，M 是这个二次函数图像上的点，O 是原点．
（1）不等式082≥++c b 是否成立？请说明理由；
（2）设S 是AMO ∆的面积，求满足S=9的所有点M 的坐标．
思路分析：（1）根据抛物线顶点坐标公式可求得b 、c 的值，代入不等式082≥++c b 即可检验不等式是否成立；
（∵∴（∴∵
11. (2017广西柳州，26，12分)如图，抛物线2y=--424
x x +与x 轴交于A 、C 两点(点A 在点C 的左边)．直线y ＝kx+b(k≠0)分别交x 轴，y 轴与A ，B 两点，且除了点A 之外，改直线与抛物线没有其他任何交点．
(1)求A ，C 两点的坐标；
(2)求k ，b 的值；
(3)设点P 是抛物线上的动点，过点P 作直线y ＝kx+b(k≠0)的垂线，垂足为H ，交抛物线的对称轴于点D ，求PH+DH 的最小值，并求此时点P 的坐标．
【解析】(1) 21130=--424
x x +，解得x 1＝－3，x 2＝1，所以A(－3，0)，C(1，0); (2)把A(－3，0)代入y ＝kx+b 得0＝－3k+b ，∴b ＝3k;
由2113424y x x y kx b
⎧=--+⎪⎨⎪=+⎩得2113--424x x kx b +=+，即2(24k)340x x b ++-+=， ∵直线y ＝kx+b 和抛物线有唯一公共点，
∴22
4+4b-3b ac -=
-（24k ）（4）=0 把b ＝3k 代入
2+4b-3-（24k ）（4）=0得 2+412k-3-（24k ）（）=0 解得k ＝1，∴b ＝3
∴直线AB 表达式为y ＝x+3;
(3) 作HG ⊥对称轴于点G ，HF ⊥对称轴于点F ．
由抛物线表达式知对称轴为x ＝－1，
由直线y ＝x+3知∠EAO ＝∠EHG ＝∠AEM ＝∠PFD ＝∠PDF ＝45°．
当x ＝－1时，y ＝x+3＝2，即H(－1，2)．
设P(x ， 2113--424x x +)，则PF ＝FD ＝－1－x ，ED ＝EM+MF+FD ＝2－(2113--424
x x +)+(－1－x)＝ 2111-424
x x +，PD 2FD 2-（1-x ） ∴DH ＝HE 222111-)424x x +， ∴DH+PH ＝DH+DH －PD ＝2DH －PD 21112(-
)2-424
x x +（x-1）＝22252424x x ++，
当x ＝12b a
-=-时，PH+DH 取得最小值，最小值是22522x -+=。