基于灰色理论的动态多点残差修正模型及应用_冯艳丽

初始值取为最新的一个数据，从而能够更加有效地反映出数列在
实时变化过程中的灰色信息。设
为最新数据，将其代替
最老的数据
，从而可以得到新的 k 维数列
，按照灰色模型代入到
（2.10）式中预测下一个，始终保持 的维数为 k，如此递补下去，
直到所要求出的数据为止。这里的新数据可以是预测值，也可以
是真值。
3.实时动态空间多点残差修正模型研究
多点残差
实时动态多点残差
点号
݁௜ /%
ߪ
݁௜ /%
ߪ
݁௜ /%
ߪ
F70
4.6
1.87
0.47
0.37
1.09
0.54
F73
2.28
1.82
0.98
0.92
1.79
1.89
F74
1.76
1.5
1.54
1.49
2.85
2.53
F78
0.8
1.08
0.58
0.78
1.36
1.92
表 5 两类模型预测相对误差对比
动态多点模型的模拟与预测；数据结果与对比如下图表所示。
表 3 几种多点模型的预测相对误差
模型检验
点号 F70 F73 F74 F78
预测值相对误差/%
多点模型
多点残差
动态多点残差 实时动态多点残差
k=13 k=14 k=13 k=14 k=13 k=14 k=13 k=14
1.12 0.22 1.12 0.22 1.08 0.23 0.41 0.64
对照组一
B 级成绩
方差齐性 方差非齐性
2.464
0.117
0.1 789 0.119 53.578
0.92 0.906
0.2565 0.2565
2.562 -4.773 5.286 2.155 -4.064 4.577
F74 42 48 54 56 60 64 66 72 74 76 80 82 96 104
F78 68 79 87 90 95 100 104 109 113 120 127 134 150 158
灰色单点模型用于沉降数据的拟合和预测都是针对单点进
行的，没有考虑点与点之间的空间相关关系，而对于实时动态 GM
表 1 古北公寓四角点原始沉降累计值 期数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 F70 18 22 26 30 33 36 38 40 42 44 46 47 50 53 F73 41 48 54 59 62 67 72 74 76 83 88 89 93 94
> 才智 /218
对所得的
中的每个关联变形观测点进行残差修正，引
入实时动态空间多点残差修正模型，其建模步骤如下： ⑴根据式（3.5-3.8）分别求得空间多点模型、动态空间多点
模型和实时动态空间多点模型模拟预测值
；
⑵根据式（3.9）计算
中每一列数据的残差序列；
⑶根据给出的判断条件判断
中每个关联点是否满足
残差修正条件； ⑷将满足残差修正条件的点建立 1-AGO 序列代入（2.7）计
3.97
8.4
2
4.33 2.04 4.29 0.48 3.34
6.49 10.03 6.49 10.03 6.2
9.51 2.64 9.48
5.07 4.54 5.07 4.54 5.05 4.47 2.59 0.92
表 4 两类模型相对误差和模型精度对比
模型检验
拟合值平均相对误差与模型精度
实时动态GM(1,1)残差
①分别进行 GM（1，1）残差模型，实时动态 GM（1，1）残
差模型的模拟与预测；数据的对比和结果如下表所示；经检验点
均不满足残差修正条件，故不进行 GM（1，1）的残差修正。
表 2 灰色单点模型预测比较
模型检验
GM(1,1)模型
预测值相对误差/% 动态GM(1,1)残差 实时动态GM(1,1)残差
在实际中，随着数据的增加，旧数据的重要性原来越小，而新数
据对所要预测的数据的影响越来越显著，因此对灰色模型做出如
下修改。
由式（2.1）建立实时灰色模型，取定解条件为最新的一个数
据
，代入式（2.3）可以求出特解：
（2.9）
从而可以求出预测公式：
（2.10）
随着时间的发展，取初始值
为
的意义逐渐降
低，建立的灰色模型的实用效果也就降低。因此将模型建立时的
虑时间因素和空间因素的综合影响，应用实时空间多点残差模型
是否会改善模型的模拟和预测精度，两者对模型的预测与拟合精
度的影响何者更重要，很难单纯从理论上进行解释；本文现以以
上沉降观测数据为基础，综合运用以上模型对实测值数据进行模
拟与预测。其中前 12 个数据用于模拟，为模拟值，最后两个周
期数据位预测值。对各种模型进行残差的修正。
算其模拟时间序列
；
⑸根据式（2.8）得到其修正后的时间响应，得出残差修正值； ⑹模型精度评定及各种模型的对比分析。 4.试验与分析 远东国际机场广场基坑开挖围护体系为灌注桩加搅拌桩止 水，基坑北面是居民住宅区。本文仅对离基坑 16m 的古北公寓的 四个角点 F70，F73，F74，F78（其中 F74，F78 靠近基坑）的沉 降累计值进行多点残差、实时动态多点残差建模，并建立 GM（1， 1）的相关模型进行比较。
（1，1）模型由于考虑了时间因素的影响，总体拟合与预报精度 要比 GM（1，1）模型要好[4]，对于利用灰色模型进行预测，对于
不符合精度要求的可以进行残差改正。而空间多点模型由于考虑
了空间点的空间关系及其相互影响，总体效果要比灰色单点模型 好[8]，对于不满足精度要求的点同样可以进行残差的修正；但考
在应用中，常用的 GM（1，1）单点预测模型只是从静态的
角度考虑未来时刻的状态，并未把未来可能影响系统状态的因素
加入进去。已有很多人对 GM（1，1）模型进行了改进，在选择
求解时采用最新的数据，再采用动态 GM（1，1）模型进行求解， 取得了比原始 GM（1，1）模型好的多的预测结果[3，4]。而实际中，
建立差分方程，而灰色建模则是用历史数据作生成后建立微分方
程模型。GM（1，1）就是利用累加运算进行建模的，通过累加
使随机的、无规律的数据变得有一定的规律性，从而建立差分模 型进行分析和预测[6]
2.2 实时动态 GM（1，1）模型
动态灰色模型在求解白化形式的微分方程时，选择
作为定解条件来求出方程的解。但
所以自从邓聚龙教授提出灰色系统理论以来由于灰色模型预测不需要大量的实测数据且变形数据既可以是线性的也可以是非线性的可以随时对模型进行修正以提高其预测精度为变形监测领域实时动态准确地开展变形分析与预报提供了新的手段和方法具有较高的实用性12在应用中常用的gm11单点预测模型只是从静态的角度考虑未来时刻的状态并未把未来可能影响系统状态的因素加入进去
模型检验
实时动态GM(1,1)残差
预测值相对误差/% 多点残差
点号
k=13
k=14
k=13
k=14
F70
2.36
1.86.7
6.17
2
4.33
F74
6.66
10.4
6.49 10.03
F78
6
6.38
5.07
4.54
实时动态多点残差
k=13
k=14
0.41
0.64
0.48
3.34
2.64
9.48
2.59
0.92
从表中可以看出：
⑴实时动态 GM（1，1）残差模型在灰色单点模型中预测精
度最好。
（2）实时动态空间多点残差模型在多点模型中的预测精度最
好。
（3）无论在模拟与预测方面，总体来说多点模型要比单点模
型的精度高。
（4）实时动态多点残差模型的拟合精度相对于多点静态模型
不仅没有提高，还有某种程度的下降；但是总体来说还是要比单
95%置信
F
Sig.
t
df Sig.（双尾） Mean Diff. S.E.Diff.
区间
Lower Upper
实验组一与
入学成绩
方差齐性 方差非齐性
1.323
0.25
0.338 789
0.304 49.462
0.735 0.763
0.8685 0.8685
2.57 -4.176 5.913 2.86 -4.877 6.614
3.1 灰色预测模型改进思路
GM（1，1）以及本文中没有详细列出的 GM（1，N），GM （2，1）[9]等灰色模型其实质都是针对单点变形的研究，其中 GM
（1，N）考虑到了相关点之间的影响，但其仍然是基于单点数据
进行预测，没有从整体考虑变形点之间的相互关系。而实际各种
工程的变形中，大量的变形监测点间相互影响、彼此关联。抛开
响越来越小，而把新数据引进模型中进行改进，淡化灰平面的灰
度；处于空间和时间两方面的考虑，提出实时动态的多点模型，
若数据仍不满足要求，再对多点模型进行残差修正，得到最终的
结果。
3.2 空间多点模型
设多个变形观测点获得了 n 个 m 周期的变形观测原始序列
=
，其 1-AGO 序列为：
（3.1） 考虑 n 个点相互关联和相互影响[10]，对此生成序列建立 n 元
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基于灰色理论的动态多点残差修正模型及应用
冯艳丽 天津市国土资源测绘和房产测量中心 黄祖登 天津市测绘院
摘要：在已有的灰色单点预测模型理论的基础上，提出的实时动态灰色单点模型虽然在变形预测中得到了广泛的应用，但其仍然 只是考虑的单点的变形情况，由于缺少点与点的空间关联性，往往得到的预测结果不理想。本文考虑到变形点之间的空间相关性，提 出将残差修正应用于空间多点模型，引入实时动态空间多点残差修正模型。通过对远东国际机场广场基坑沉降点位移进行分析预测， 取得了较好的效果。
关键词:灰色预测；GM（1，1）；实时动态；残差修正；空间多点模型；沉降监测
1.引言
在大型工程施工及运营管理过程中，在建工程自身及其对临
近建筑物的变形监测工作显得尤为重要。对于周期性的变形监
测，对其预测方法研究较多，常用的方法主要包括：回归分析法、
时间序列模型、Kalman 滤波模型等，但以上方法适用于观测数列
一阶常微分方程组：
（3.2）
> 才智 /217
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写成矩阵形式：
（3.3）
其连续时间响应为[11]： （3.4）
式（3.4）即为空间多点模型的一般形式，参数 A 与 B 可通 过对式（3.2）离散化，由最小二乘法得到估值 。 [11]
3.3 实时动态空间多点残差模型 当 k<m 时，将式（3.4）离散化得到：
2.灰色多点预测模型原理
2.1 GM（1，1）模型
灰色系统理论认为，任何系统在广义上将都是能量系统，表
征系统行为特征的离散序列数据虽然杂乱无章无规律可循，看似
很随机，但通过适当的处理，总能弱化其随机性，呈现系统固有
的一些本质特征。离乱的数列即灰色数列（或者灰色过程），对
灰色过程建立的模型，便成为灰色模型。一般建模是用数据序列
（3.5）
其中：
（3.6）
由式（3.5）建立的空间多点模型对数据进行模拟与预测得到
，进而做 1-IAGO 变换，还原得到模拟预测值
。
对照实时动态 GM（1，1）模型，可以得到动态空点多点模 型的时间响应函数式：
（3.7） 从而可以求出预测公式：
（3.8） 考虑对多点模型得到的
差序列：8
进行残差修正，计算每一列残 （3.9）
点号
k=13
k=14
k=13
k=14
k=13
k=14
F70
5.97
6.6
5.91
6.53
2.36
1.86
F73
4.74
9.73
4.7
9.68
4.1
6.17
F74
7.64
10.4
7.59
10.4
7.3
11.8
F78
6.75
7
6.71
6.69
6.5
6.3
②分别进行多点模型，多点残差模型，动态多点模型，实时
监测大坝、工程建筑物、滑坡体的变形中，大量的变形监测点间
相互影响、彼此关联。但是 GM（1，1）模型仅仅是对单点进行
处理与预测，显然不足以反映变形体的整体变形趋势和变形规
律。本文针对灰色单点预测模型的不足，综合考虑变形点之间的
空间相关性和时间相关性，引入动态空间多点残差修正模型，并
结合实际工程应用进行分析，得到了一些有用的结果。
点模型的精度要好。
5.结论及展望
本文提出了实时动态空间多点模型，空间多点模型由于考虑
了沉降点的空间相关性，在拟合预测精度都要远远的好于单点预
（下转第 221 页）
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表五 实验组和对照之间的独立样本 t 检验表
Levene 方差齐性检验
t-test for Equality of Means
较长，数据信息量大的数据序列，而现代大量工程中经常存在短
数据贫信息数列，信息量少，规律性不强，使得上述方法的应用
存在较大难度。所以，自从邓聚龙教授提出灰色系统理论以来，
由于灰色模型预测不需要大量的实测数据，且变形数据既可以是
线性的也可以是非线性的，可以随时对模型进行修正以提高其预
测精度，为变形监测领域实时、动态、准确地开展变形分析与预 报提供了新的手段和方法，具有较高的实用性[1，2]。
这些相互关联的信息，仅仅对单点进行处理与预测，显然不足以
反应变形体的整体变形趋势和变性规律。因此，有必要转向多点
的空间整体变形分析，充分利用各类采集到的信息，发挥整体积
极作用，更接近现实本质的空间动态分析，完整和全面的反应变
形体的状况。
考虑到时间因素方面，随着时间推移系统受干扰的因素也不
断变化，系统状态也在不断变化，同样考虑到旧数据对系统的影