高中数学人教版必修四：第二单元 向量的概念 pptx9

解答
反思与感悟
准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后 根据向量的大小确定向量的终点.
跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1. (1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a； 解 根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略). (2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝ 5， 并说出向量c的终点的轨迹是什么？ 解 由平面几何知识可知，所有这样的向量 c的终点的轨迹是以A为圆心， 5 为半径的圆 (作图略).
思考2
两向量相等需要具备哪些条件？
答案 需要具备两个条件：长度相等、方向相同.
答案
梳理
(1)同向且等长的有向线段表示 同一 向量，或 相等 的向量.
(2)如果
→ AB
＝a，那么
→ AB
的长度表示向量a的大小，也叫做a的长
(或模)，记作|a|.两个向量a和b同向且等长，即a和b相等，记作a＝b.
知识点三 向量共线或平行
本课结束
C.零向量没有方向
D.任意两个单位向量都相等
解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，
终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；任意两个
单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故B，C，D都错误，A正确.
故选A.
解析 答案
反思与感悟
解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意 方向问题.
解答
当堂训练
1.下列结论正确的个数是
①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④若|a|>|b|，则a>b.
A.0
B.1√
C.2
D.3
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解析 答案
2.下列说法错误的是 A.若a＝0，则|a|＝0
√B.零向量是没有方向的
C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
跟踪训练1 下列说法正确的有__③___.(填序号)
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②向量A→B与C→D是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在同一条直线上； ③向量A→B与B→A是平行向量.
解析 ①错误.|a|＝|b|仅说明a与b的模相等，不能说明它们方向的关系；
②错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量
解析 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任一向量都平行， 所以B是错误的.
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解析 答案
→→ 3.如图所示，梯形 ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB与DC的关系是
→→ A.AB＝DC
→→ C.AB>DC
√→ →
B.|AB|＝|DC| →→
D.AB<DC
→→ 解析 |AB|与|DC|表示等腰梯形两腰的长度，故相等.
答案
梳理
(1)通过有向线段
→ AB
的直线，叫做向量
→ AB
的
基线
(如图).如果向量的基线
互相平行或重合，则称这些向量 共线 或 平行 .向量a平行于b，记作a∥b.
(2)长度等于零的向量，叫做 零向量 ，记作0.零向量的方向不确定，在处 理平行问题时，通常规定零向量与任意向量 平行 .
知识点四 位置向量
任给一定点O和向量a(如图)，过点O作有向线段 O→A＝a，则点A相对于 点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量 O→A，又常叫做点A相对于点 O的 位置向量 .
题型探究
类型一 向量的概念
例1 下列说法正确的是 A.向量A→B与向量B→A的长度相等 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
思考1
共线向量的方向有何特征？
答案 共线向量的方向相同或相反.
思考2
向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？
答案 不相同.我们说到向量，指的都是自由向量，因此向量可以
任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以
平行向量也叫做共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也
可以重合.
第二章 §2.1 向量的线性运算
2.1.1 向量的概念
学习目标
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量， 掌握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量 的联系与区别，会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向 量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
解答
反思与感悟
(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反. (2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.
跟踪训练2 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.
→ (1)与OA的模相等的向量有多少个？ 解 与O→A 的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可 以有两个向量，所以这样的向量共有23个.
所以 EF 綊12BC. 又因为D是BC的中点，
→
→→→→ →→→
所以与EF共线的向量有FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB.
解答
→ (2)写出与EF的模大小相等的向量；
→
→→→→ →
解 与EF模相等的向量有FE，BD，DB，DC，CD.
→ (3)写出与EF相等的向量.
→
→→
解 与EF相等的向量有DB，CD.
→→ (3)以 A 为始点，以 B 为终边的有向线段记作AB，AB的长度
→
→
记作|AB|，如果有向量线段AB表示一个向量，通常我们就说
→ 向量AB.
知识点二 相等向量
思考1
已知A，B为平面上不同两点，那么向量 A→B
和向量
→ BA
相等吗？
→
→
答案 因为向量AB和向量BA方向不同，所以二者不相等.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 向量的概念及表示
思考1
在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等， 这些量有什么区别？ 答案 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既 有大小又有方向.
答案
思考2
向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？ 答案 可以用一条有向线段表示.
解答
→ (2)是否存在与 OA 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
解 存在.由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，
→
→→→
所以与OA长度相等、方向相反的向量有AO，OD，FE，
→ BC，共 4 个.
(3)与
→ OA
共线的向量有哪些？
解 由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，
1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特 征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为 几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的 桥梁作用. 2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一 条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量. 3.注意一个特殊向量——零向量，零向量的长度为0，方向不确定，通 常规定零向量与任意向量平行.
→→ AB、CD
必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上；
→→
③正确.向量 AB和BA是长度相等，方向相反的两个向量.
解析 答案
类型二 共线向量与相等向量
例2 如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC
的中点. →
(1)写出与EF共线的向量；
解 因为E、F分别是AC、AB的中点，
→→ → (1)作出向量AB、BC、CD；
→→ → 解 向量AB、BC、CD如图所示.
解答
→ (2)求|AD|.
→→
→→
解 由题意易知，AB与CD方向相反，故AB与CD共线.
又∵|A→B|＝|C→D|，
∴在四边形ABCD中，AB綊CD， ∴四边形ABCD为平行四边形，
→→ → → ∴AD＝BC，∴|AD|＝|BC|＝200 km.
思考3
向量可以用有向线段表示，那么能否说向量就是有向线段？ 答案 向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段. 向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和 终点的线段.
答案
梳理
(1)向量：具有大小和 方向 的量称为向量.只有大小和方向，而无特定 的位置的向量叫做 自由向量 . (2)有向线段：从点A位移到点B，用线段AB的长度表示位移的距离， 在点B处画上箭头表示位移的方向，这时我们说线段AB具有从A到B的 方向.具有方向的线段，叫做有向 线段.点A叫做有向线段的 始点 ，点B 叫做有向线段的 终点 .有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表 示位移的 距离，位移的距离叫做向量的 长度 .
→
→→→→→ → → → →
所以与OA共线的向量有BC，CB，EF，FE，AO，OD，DO，AD，DA，
共 9 个.
解答
类型三 向量的表示及应用 例3 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向， 向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了 100 km到达D点.
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解析 答案
4.如图所示，在以1×2方格纸中的格点(各线段的
交点)为起点和终点的向量中， →→
(1)写出与AF、AE相等的向量；
→→ → → → 解 AF＝BE＝CD，AE＝BD.
→ (2)写出与AD的模相等的向量.
→
→→→
解 与AD的模相等的向量有DA，CF，FC.
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解答
规律与方法