【精选】高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2向量在物理中的应用举例成长训练新人教A版必修4

2.5.2 向量在物理中的应用举例
主动成长
夯基达标
1.河水的流速为2 m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸,则小船的静水速度大小为 ( )
A.10 m/s
B.m/s
C.m/s
D.12 m/s
解析：由题意|v水|=2 m/s,|v船|=10 m/s,
作出示意图如图,
∴|v|=.
答案：B
2.已知两个力F1、F2的夹角为90°,它的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为60°,那么F1的大小为( )
A.53 N
B.5 N
C.10 N
D.52 N
解析：由题意作出示意图,
有|F1|=|F|cos60°=10×=5.
答案：B
3.某人到商店购买了4种商品,这4种商品的单价用一个向量表示为a=(5,10,21,6)(单位元),对应的这4种商品的件数用一个向量表示为b=(3,3,2,1),则此人总共应付钱____________元.
解析：所付钱数即a、b的数量积为
a·b=(5,10,21,6)·(3,3,2,1)=15+30+42+6=93(元).
答案：93
4.做匀速圆周运动的物体的速度为|v0|,当转过时,速度的改变量为_____________.
解析：作出示意图如右:
|Δv|=|v1-v0|=|v0|.
答案：|v0|
5.人骑自行车的速度为a,风速为v2,则逆风行驶的速度为________________.
解析：设无风时自行车的速度为v0,则a=v0+v2,故v0=a-v2,于是逆风时的速度为v0-v2=a-2v2. 答案：a-2v2
6.平面上有两个向量e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P,从P0(-1,2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向作匀速直线运动,速度大小为|e1+e2|,另一动点Q,从点Q0(-2,-1)出发,沿着与向量3e1+2e2相同的方向作匀速直线运动,速度大小为|3e1+2e2|,设P、Q在t=0秒时分别在P0、Q0
处,则当⊥时,t=____________秒.
解析：∵P0(-1,2),Q0(-2,-1),
∴=(-1,-3).
又∵e1+e2=(1,1),
∴|e1+e2|=2.
∵3e1+2e2=(3,2),
∴|3e1+2e2|=.
∴当t时刻时,点P的位置为(-1+t,2+t),点Q的位置为(-2+3t,-1+2t).
∴=(-1+2t,-3+t).
∵⊥,
∴(-1)×(-1+2t)+(-3)×(-3+t)=0.
∴t=2.
答案：2
7.已知一个与水平方向夹角为30°的力F,F的大小为50 N,拉着一个重80 N的木块在摩擦系数μ=0.02的水平面上运动了20米,求F与摩擦力f做功分别为多少?
解：设木块位移为s,则F力所做的功为F·s=50×20×cos30°=(J),F在沿直线方
向的分解力大小为50×sin30°=25,故f的大小为(80-25)×0.02=1.1.所以f所做的功是f·s=1.1×20×cos180°=-22(J).
8.平面内三个力F1、F2、F3作用于同一点且处于平衡状态,已知|F1|=1 N,|F2|=N,F1、
F2的夹角为45°,求F3的大小及与F1的夹角.
解：如图,设F1、F2的合力为F,则|F|=|F3|,
∵∠F1OF2=45°,
∴∠OF1F=135°.
在△OF1F中,由余弦定理得
=1+()2-2×1××(-)
=4+=(+1)2.
∴||=+1,即|F3|=1+.
又由正弦定理得sin∠F1OF==,
∴∠F1OF=30°,从而F1与F3的夹角为150°.
∴F3的大小为(1+3)N,F3与F1的夹角为150°.
9.已知两恒力F1(3,4)、F2(6,-5)作用于同一质点,使之由A(20,15)移动到点B(7,0),
试求:(1)F1、F2分别对质点所做的功;
(2)F1、F2的合力F对质点所做的功.
解析：=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),
(1)W1=F1·=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦),
W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15)=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦).
(2)W=f·=(F1+F2)·=
［(3,4)+(6,-5)］·(-13,-15)=(9,-1)·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102 (焦).
10.一年轻的父亲欲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起,结果造成小孩胳膊受伤,试用向量知识加以解释.
解析：针对小孩的两条胳膊画出受力图形,然后进行受力分析,并用向量表示.
建立数学模型:通过胳膊受力分析,建立向量模型:
|F1|=,θ∈［0,π］来确定何种情形时,小孩的胳膊容易受损.
解:设孩子自重为G,两胳膊受力分别为F1、F2,且F1=F2,两胳膊间夹角为θ,胳膊受力分析如图(不计其他因素产生的作用力),不难建立向量模型:|F1|=,θ∈［0,π］,当θ=0
时,|F1|=;当θ=时,|F1|=|G|;又∈(0, )时,|F1|单调递增,故θ∈(0, )
时,|F1|∈(,|G|),θ∈(,π)时,|F1|＞|G|,此时欲悬空拎着幼儿的胳膊,极易造成
小孩胳膊受伤.
走近高考
11.(2004广西高考,7)用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中,如图2-5-10所示.已知绳ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°,则绳ac和绳bc中的拉力分别为( )
图2-5-10
A.mg,mg
B.mg,mg
C.mg,mg
D.mg,mg
解析：设ac拉力为F1,bc拉力为F2,则有
水平方向:F1sin30°=F2sin60°;
竖直方向:F1sin30°+F2cos60°=mg,由上两式可得F1=mg,F2=mg,
故A正确.
答案：A。