河北省邢台市第一中学2024届中考猜题数学试卷含解析

河北省邢台市第一中学2024年中考猜题数学试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，若AC＝CD＝DB，则cos∠CAD ＝（）
A．1
3
B．
2
2
C．
1
2
D．
3
2
2．下列说法错误的是（）
A．必然事件的概率为1
B．数据1、2、2、3的平均数是2
C．数据5、2、﹣3、0的极差是8
D．如果某种游戏活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次必有4次中奖
3．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为()
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC 的大小为( )
A．15°B．35°C．25°D．45°
5．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运
动时，FC的最大长度是2
5
，则矩形ABCD的面积是（）
A．23
5
B．5 C．6 D．
25
4
6．如图，某厂生产一种扇形折扇，OB=10cm，AB=20cm，其中裱花的部分是用纸糊的，若扇子完全打开摊平时纸面
面积为1000
3
π cm2，则扇形圆心角的度数为（）
A．120°B．140°C．150°D．160°
7．下列事件是必然事件的是()
A．任意作一个平行四边形其对角线互相垂直
B．任意作一个矩形其对角线相等
C．任意作一个三角形其内角和为360
D．任意作一个菱形其对角线相等且互相垂直平分
8．如图，数轴上的四个点A，B，C，D对应的数为整数，且AB＝BC＝CD＝1，若|a|+|b|＝2，则原点的位置可能是（）
A．A或B B．B或C C．C或D D．D或A
9．某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店（）A．赚了10元B．赔了10元C．赚了50元D．不赔不赚
10．已知二次函数y＝ax1+bx+c+1的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＞0；②b1﹣4ac＝0；③a＞1；
④ax1+bx+c＝﹣1的根为x1＝x1＝﹣1；⑤若点B（﹣1
4
，y1）、C（﹣
1
2
，y1）为函数图象上的两点，则y1＞y1．其中
正确的个数是（）
A．1 B．3 C．4 D．5
11．若x＝－2 是关于x的一元二次方程x2－5
2
ax＋a2＝0的一个根，则a的值为()
A．1或4 B．－1或－4 C．－1或4 D．1或－4 12．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（）A．20cm2 B．20πcm2C．10πcm2D．5πcm2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．在平面直角坐标系中，已知，A（22，0），C（0，﹣1），若P为线段OA上一动点，则CP+1
3
AP的最小值为
_____．
14．如图，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合连接CD，则∠BDC的度数为_____度．
15．已知点P（2，3）在一次函数y＝2x－m的图象上，则m＝_______．
16．如图△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=3
5
，则BC的
长为_____．
17．如图，直线l1∥l2∥l3，等边△ABC的顶点B、C分别在直线l2、l3上，若边BC与直线l3的夹角∠1=25°，则边AB 与直线l1的夹角∠2=________．
18．如图，点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于D，GA=5cm，GC=4cm，GB=3cm，将△ADG绕点D旋转180°得到△BDE，△ABC的面积=_____cm1．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，AB为⊙O的直径，直线BM⊥AB于点B，点C在⊙O上，分别连接BC，AC，且AC的延长线交BM于点D，CF为⊙O的切线交BM于点F．
（1）求证：CF＝DF；
（2）连接OF，若AB＝10，BC＝6，求线段OF的长．
20．（6分）制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y（℃）从加热开始计算的时间为x（min）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系：停止加热进行操作时，温度y与时间x 成反比例关系（如图）．已知在操作加热前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
21．（6分）某商店销售两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需280元；购买3个A品牌和1
（Ⅰ）求这两种品牌计算器的单价；
（Ⅱ）开学前，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的九折销售，B品牌计算器10个以上超出部分按原价的七折销售．设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1，y2关于x的函数关系式．
（Ⅲ）某校准备集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过15个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．
22．（8分）如图，∠BAO=90°，AB=8，动点P在射线AO上，以PA为半径的半圆P交射线AO于另一点C，CD∥BP 交半圆P于另一点D，BE∥AO交射线PD于点E，EF⊥AO于点F，连接BD，设AP=m．
（1）求证：∠BDP=90°．
（2）若m=4，求BE的长．
（3）在点P的整个运动过程中．
①当AF=3CF时，求出所有符合条件的m的值．
②当tan∠DBE=
5
12
时，直接写出△CDP与△BDP面积比．
23．（8分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x 元．请解答以下问题：
（1）填空：每天可售出书本（用含x的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
24．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，1），点C（1，0），正方形AOCD的两条对角线的交点为B，延长BD至点G，使DG=BD，延长BC至点E，使CE=BC，以BG，BE为邻边作正方形BEFG．
（Ⅰ）如图①，求OD的长及AB
BG
的值；
（Ⅱ）如图②，正方形AOCD固定，将正方形BEFG绕点B逆时针旋转，得正方形BE′F′G′，记旋转角为α（0°＜α＜360°），连接A G′．
①在旋转过程中，当∠BAG′=90°时，求α的大小；
②在旋转过程中，求AF′的长取最大值时，点F′的坐标及此时α的大小（直接写出结果即可）．
25．（10分）如图，Rt ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：点F是AC的中点；
（2）若∠A=30°，AF=3，求图中阴影部分的面积．
26．（12分）已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．
（1）如图1，求证：KE＝GE；
（2）如图2，连接CABG，若∠FGB＝1
2
∠ACH，求证：CA∥FE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sin E＝3
5
，AK＝10，求CN的长．
27．（12分）已知抛物线y=ax2+ c(a≠0)．
（1）若抛物线与x轴交于点B(4，0)，且过点P(1，–3)，求该抛物线的解析式；
（2）若a>0，c =0，OA、OB是过抛物线顶点的两条互相垂直的直线，与抛物线分别交于A、B 两点，求证：直线
AB恒经过定点(0，1
a )；
PA 、PB 与y 轴分别交于M 、N 两点．当点P 运动时，OC
OM ON
+是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说
明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、D 【解题分析】
根据圆心角，弧，弦的关系定理可以得出AC =CD =BD =°°
1
180603
⨯=，根据圆心角和圆周角的关键即可求出CAD ∠的度数，进而求出它的余弦值． 【题目详解】 解：
AC CD DB ==
AC =CD =BD =°°
1180603⨯=，
°°1
60302CAD ∠=⨯=
°3cos cos302
CAD ∠==
故选D ． 【题目点拨】
本题考查圆心角，弧，弦，圆周角的关系，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 2、D 【解题分析】
试题分析：A ．概率值反映了事件发生的机会的大小，必然事件是一定发生的事件，所以概率为1，本项正确； B ．数据1、2、2、3的平均数是
=2，本项正确；
C ．这些数据的极差为5﹣（﹣3）=8，故本项正确；
D ．某种游戏活动的中奖率为40%，属于不确定事件，可能中奖，也可能不中奖，故本说法错误， 故选D ．
3、C
【解题分析】
根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．
【题目详解】
∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1，
∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数，
∴k≠0，
则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，
故选C.
【题目点拨】
本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0.
4、A
【解题分析】
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠A =50°，再根据平行线的性质可得∠ACD=∠A=50°，由圆周角定理可行∠D=∠A=50°，再根据三角形内角和定理即可求得∠DBC的度数.
【题目详解】
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°，
∵DC//AB，
∴∠ACD=∠A=50°，
又∵∠D=∠A=50°，
∴∠DBC=180°-∠D -∠BCD=180°-50°-（65°+50°）=15°，
故选A.
【题目点拨】
本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理等，熟练掌握相关内容是解题的关键.
5、B
易证△CFE ∽△BEA ，可得CF CE
BE AB
=，根据二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时，CF 有最大值，列出方程式即可解题． 【题目详解】
若点E 在BC 上时，如图
∵∠EFC +∠AEB ＝90°，∠FEC +∠EFC ＝90°， ∴∠CFE ＝∠AEB ， ∵在△CFE 和△BEA 中，
90CFE AEB C B ︒∠=∠⎧⎨∠=∠=⎩
， ∴△CFE ∽△BEA ，
由二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时，CF 有最大值，此时
CF CE
BE AB =，BE ＝CE ＝x ﹣52，即
52552
2
x y x -=-，
∴225
()52y x =
-， 当y ＝25时，代入方程式解得：x 1＝32（舍去），x 2＝72
，
∴BE ＝CE ＝1，∴BC ＝2，AB ＝
5
2
， ∴矩形ABCD 的面积为2×5
2
＝5； 故选B ． 【题目点拨】
本题考查了二次函数顶点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出E 为BC 中点是解题的关键． 6、C 【解题分析】
根据扇形的面积公式列方程即可得到结论．
∵OB=10cm，AB=20cm，∴OA=OB+AB=30cm，
设扇形圆心角的度数为α，
∵纸面面积为1000
3
π cm2，
∴
22
30101000
360
3603
a a
ππ
π⋅⨯⋅⨯
-=，
∴α=150°，故选：C．【题目点拨】
本题考了扇形面积的计算的应用，解题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式：扇形的面积=
2 360
n R
π
.
7、B
【解题分析】
必然事件就是一定发生的事件，根据定义对各个选项进行判断即可．
【题目详解】
解：A、任意作一个平行四边形其对角线互相垂直不一定发生，是随机事件，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等，所以任意作一个矩形其对角线相等一定发生，是必然事件，故本选项正确；
C、三角形的内角和为180°，所以任意作一个三角形其内角和为360︒是不可能事件，故本选项错误；
D、任意作一个菱形其对角线相等且互相垂直平分不一定发生，是随机事件，故选项错误，
故选：B．
【题目点拨】
解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．熟练掌握相关图形的性质也是解题的关键．
8、B
【解题分析】
根据AB=BC=CD=1，|a|+|b|=2，分四种情况进行讨论判断即可．
【题目详解】
∵AB＝BC＝CD＝1，
∴当点A为原点时，|a|+|b|＞2，不合题意；
当点C 为原点时，|a |+|b |＝2，符合题意；
当点D 为原点时，|a |+|b |＞2，不合题意；
故选：B ．
【题目点拨】
此题主要考查了数轴以及绝对值，解题时注意：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
9、A
【解题分析】
试题分析：第一个的进价为：80÷
(1+60%)=50元，第二个的进价为：80÷(1－20%)=100元，则80×2－(50+100)=10元，即盈利10元.
考点：一元一次方程的应用
10、D
【解题分析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【题目详解】 解：①由抛物线的对称轴可知：02b a -
<， ∴0ab >，
由抛物线与y 轴的交点可知：22c +>，
∴0c >，
∴0abc >，故①正确；
②抛物线与x 轴只有一个交点，
∴0∆=，
∴240b ac -=，故②正确；
③令1x =-，
∴20y a b c =-++=， ∵12b a
-=-， ∴2b a =，
∴220a a c -++=，
∴2a c =+，
∵22c +>，
∴2a >，故③正确；
④由图象可知：令0y =，
即202ax bx c =+++的解为121x x ==-,
∴22ax bx c ++=-的根为121x x ==-，故④正确； ⑤∵11124
-<-<-， ∴12y y >，故⑤正确；
故选D ．
【题目点拨】
考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想.
11、B
【解题分析】
试题分析：把x=﹣2代入关于x 的一元二次方程x 2﹣
52ax+a 2=0 即：4+5a+a 2=0
解得：a=-1或-4，
故答案选B ．
考点：一元二次方程的解；一元二次方程的解法．
12、C
【解题分析】
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷
2，把相应数值代入,圆锥的侧面积=2π×2×5÷2=10π． 故答案为C
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、3
【解题分析】
可以取一点D （0，1），连接AD ，作CN ⊥AD 于点N ，PM ⊥AD 于点M ，根据勾股定理可得AD ＝3，证明△APM ∽△ADO 得PM AP OD AD =，PM ＝13AP ．当CP ⊥AD 时，CP +13
AP ＝CP +PM 的值最小，最小值为CN 的长． 【题目详解】
如图，
取一点D （0，1），连接AD ，作CN ⊥AD 于点N ，PM ⊥AD 于点M ，
在Rt △AOD 中，
∵OA ＝2，OD ＝1，
∴AD 22OA OD +3，
∵∠PAM ＝∠DAO ，∠AMP ＝∠AOD ＝90°，
∴△APM ∽△ADO ， ∴
PM AP OD AD
=， 即13
PM AP =， ∴PM ＝13
AP ， ∴PC +13
AP ＝PC+PM ， ∴当CP ⊥AD 时，CP +13AP ＝CP +PM 的值最小，最小值为CN 的长． ∵△CND ∽△AOD ， ∴CN CD AO AD
=， 23
22= ∴CN ＝
423． 所以CP +13AP 的最小值为23
． 故答案为：
23． 【题目点拨】
此题考查勾股定理，三角形相似的判定及性质，最短路径问题，如何找到13
AP 的等量线段与线段CP 相加是解题的关键，由此利用勾股定理、相似三角形做辅助线得到垂线段PM ，使问题得解.
14、1
【解题分析】
根据△EBD 由△ABC 旋转而成，得到△ABC ≌△EBD ，则BC ＝BD ，∠EBD ＝∠ABC ＝30°，则有∠BDC ＝∠BCD ，∠DBC ＝180﹣30°＝10°，化简计算即可得出15BDC ∠=︒.
【题目详解】
解：∵△EBD 由△ABC 旋转而成，
∴△ABC ≌△EBD ，
∴BC ＝BD ，∠EBD ＝∠ABC ＝30°，
∴∠BDC ＝∠BCD ，∠DBC ＝180﹣30°＝10°， ∴()1180150152BDC BCD ∠=∠=
︒-︒=︒； 故答案为：1．
【题目点拨】
此题考查旋转的性质，即图形旋转后与原图形全等．
15、1
【解题分析】
根据待定系数法求得一次函数的解析式，解答即可．
【题目详解】
解：∵一次函数y=2x-m 的图象经过点P （2，3），
∴3=4-m ，
解得m=1，
故答案为：1.
【题目点拨】
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是根据待定系数法求得一次函数的解析式．
16、4
【解题分析】 试题解析：∵3cos 5
BDC ∠=，
可 ∴设DC =3x ，BD =5x ，
又∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD=DB=5x，
又∵AC=8cm，
∴3x+5x=8，
解得，x=1，
在Rt△BDC中，CD=3cm，DB=5cm，
2222
53 4.
BC DB CD
=-=-=
故答案为:4cm.
17、
【解题分析】
试题分析：如图：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
又∵直线l1∥l2∥l3，∠1=25°，
∴∠1=∠3=25°．
∴∠4=60°-25°=35°，
∴∠2=∠4=35°．
考点：1．平行线的性质；2．等边三角形的性质．
18、18
【解题分析】
三角形的重心是三条中线的交点，根据中线的性质，S△ACD=S△BCD；再利用勾股定理逆定理证明BG⊥CE，从而得出△BCD的高，可求△BCD的面积．
【题目详解】
∵点G是△ABC的重心，
∴
1
236
2
DE GD GC CD GD =====
，，
∵GB=3，EG=GC=4，BE=GA=5，
∴222BG GE BE +=，即BG ⊥CE ，
∵CD 为△ABC 的中线，
∴ACD BCD S
S =， ∴212218.2
ABC ACD BCD BCD S S S S BG CD cm =+==⨯⨯⨯= 故答案为：18.
【题目点拨】
考查三角形重心的性质，中线的性质，旋转的性质，勾股定理逆定理等，综合性比较强，对学生要求较高.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）详见解析；（2）OF ＝
254． 【解题分析】
（1）连接OC ，如图，根据切线的性质得∠1+∠3=90°，则可证明∠3=∠4，再根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后根据等角的余角相等得到∠BDC=∠5，从而根据等腰三角形的判定定理得到结论；
（2）根据勾股定理计算出AC=8，再证明△ABC ∽△ABD ，利用相似比得到AD=
252
，然后证明OF 为△ABD 的中位线，从而根据三角形中位线性质求出OF 的长．
【题目详解】
（1）证明：连接OC ，如图，
∵CF 为切线，
∴OC ⊥CF ，
∴∠1+∠3＝90°，
∵BM ⊥AB ，
∴∠2+∠4＝90°，
∵OC ＝OB ，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠3+∠5＝90°，∠4+∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠5，
∴CF＝DF；
（2）在Rt△ABC中，AC＝22
106
-＝8，∵∠BAC＝∠DAB，
∴△ABC∽△ABD，
∴AB AC
AD AB
=，即
108
10
AD
=，
∴AD＝25 2
，
∵∠3＝∠4，
∴FC＝FB，
而FC＝FD，
∴FD＝FB，
而BO＝AO，
∴OF为△ABD的中位线，
∴OF＝1
2
AD＝
25
4
．
【题目点拨】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．
20、（1）;（2）20分钟.
【解题分析】
（1）材料加热时，设y=ax+15（a≠0），
由题意得60=5a+15，
解得a=9，
则材料加热时，y与x的函数关系式为y=9x+15（0≤x≤5）．
停止加热时，设y=（k≠0），
由题意得60=，
解得k=300，
则停止加热进行操作时y与x的函数关系式为y=（x≥5）；（2）把y=15代入y=，得x=20，
因此从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．
答：从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．
21、（1）A种品牌计算器50元/个，B种品牌计算器60元/个；（2）y 1=45x，y2=
60(010)
42180(10)
x x
x x
≤≤
⎧
⎨
+
⎩
；（3）详见解
析.
【解题分析】
(1)根据题意列出二元一次方程组并求解即可；
(2)按照“购买所需费用=折扣×单价×数量”列式即可，注意B品牌计算器的采购要分0≤x≤10和x＞10两种情况考虑；
(3)根据上问所求关系式，分别计算当x＞15时，由y1=y2、y1＞y2、y1＜y2确定其分别对应的销量范围，从而确定方案. 【题目详解】
（Ⅰ）设A、B两种品牌的计算器的单价分别为a元、b元，
根据题意得，
23280 3210
a b
a b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
50
60 a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：A种品牌计算器50元/个，B种品牌计算器60元/个；（Ⅱ）A品牌：y1=50x•0.9=45x；
B品牌：①当0≤x≤10时，y2=60x，
②当x＞10时，y2=10×60+60×（x﹣10）×0.7=42x+180，综上所述：
y1=45x，
y2=
()
() 60010 4218010
x x
x x
⎧≤≤
⎪
⎨
+
⎪⎩＞
；
（Ⅲ）当y1=y2时，45x=42x+180，解得x=60，即购买60个计算器时，两种品牌都一样；当y1＞y2时，45x＞42x+180，解得x＞60，即购买超过60个计算器时，B品牌更合算；
当y 1＜y 2时，45x ＜42x+180，解得x ＜60，即购买不足60个计算器时，A 品牌更合算，
当购买数量为15时，显然购买A 品牌更划算.
【题目点拨】
本题考查了二元一次方程组的应用.
22、（1）详见解析；（2）BE 的长为1；（3）m 的值为855或42；CDP 与BDP 面积比为813或1813． 【解题分析】 ()1由PA PC PD ==知PDC PCD ∠=∠，再由//CD BP 知BPA PCD ∠=∠、BPD PDC ∠=∠，据此可得BPA BPD ∠=∠，证BAP ≌BDP 即可得；
()2易知四边形ABEF 是矩形，设BE AF x ==，可得4PF x =-，证
BDE ≌EFP 得PE BE x ==，
在Rt PFE 中，由222PF FE PE +=，列方程求解可得答案； ()3①分点C 在AF 的左侧和右侧两种情况求解：左侧时由3AF CF =知CF AP PC m ===、2PF m =、3PE BE AF m ===，在Rt PEF 中，由222PF EF PE +=可得关于m 的方程，解之可得；右侧时，由3AF CF
=知111222CF AP PC m =
==、12PF m =、32
PE BE AF m ===，利用勾股定理求解可得．②作DG AC ⊥于点G ，延长GD 交BE 于点H ，由BAP ≌BDP 知12BDP BAP S S AP AB ==⋅，据此可得1
212CDP BDP PC DG S DG S AB
AP AB ⋅==⋅，再分点D 在矩形内部和外部的情况求解可得．
【题目详解】
()1如图1，
PA PC PD ==，
PDC PCD ∴∠=∠，
//CD BP ，
BPA PCD ∴∠=∠、BPD PDC ∠=∠，
BPA BPD ∴∠=∠，
BP BP =，
BAP ∴≌BDP ，
90BDP BAP ∴∠=∠=． ()290BAO ∠=，//BE AO ， 90ABE BAO ∴∠=∠=， EF AO ⊥，
90EFA ∴∠=，
∴四边形ABEF 是矩形，
设BE AF x ==，则4PF x =-， 90BDP ∠=，
90BDE PFE ∴∠==∠， //BE AO ，
BED EPF ∴∠=∠， BAP ≌BDP ，
8BD BA EF ∴===， BDE ∴≌EFP ，
PE BE x ∴==，
在Rt PFE 中，222PF FE PE +=，即222
(4)8x x -+=， 解得：10x =， BE ∴的长为1．
()3①如图1，当点C 在AF 的左侧时， 3AF CF =，则2AC CF =， CF AP PC m ∴===， 2PF m ∴=，3PE BE AF m ===， 在Rt PEF 中，由222PF EF PE +=可得222(2)8(3)m m +=，
解得：m =负值舍去)； 如图2，当点C 在AF 的右侧时，
3AF CF =，
4AC CF ∴=， 111222CF AP PC m ∴===， 1122PF m m m ∴=-=，1322
PE BE AF m m m ===+=， 在Rt PEF 中，由222PF EF PE +=可得22213()8()22m m +=， 解得：42(m =负值舍去)；
综上，m 的值为855
或42； ②如图3，过点D 作DG AC ⊥于点G ，延长GD 交BE 于点H ，
BAP ≌BDP ，
12BDP BAP S
S AP AB ∴==⋅， 又12
CDP S PC DG =⋅，且AP PC =， 1212
CDP
BDP PC DG S
DG S AB
AP AB ⋅∴==⋅， 当点D 在矩形ABEF 的内部时， 由5tan 12DH DBE BH ∠=
=可设5DH x =、12BH x =， 则13BD BA GH x ===，
8DG GH DH x ∴=-=， 则881313
CDP BDP S DG x S AB x ===； 如图4，当点D 在矩形ABEF 的外部时，
由5tan 12
DH DBE BH ∠==可设5DH x =、12BH x =， 则13BD BA GH x ===，
18DG GH DH x ∴=+=， 则18181313
CDP
BDP S DG x S AB x ===， 综上，CDP 与BDP 面积比为
813或1813
． 【题目点拨】 本题考查了四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质及勾股定理、三角形的面积等知识点．
23、（1）（300﹣10x ）．（2）每本书应涨价5元．
【解题分析】
试题分析：（1）每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x 元，则每天就会少售出10x 本，所以每天可售出书（300﹣10x ）本；（2）根据每本图书的利润×每天销售图书的数量=总利润列出方程，解方程即可求解. 试题解析：
（1）∵每本书上涨了x 元，
∴每天可售出书（300﹣10x ）本．
故答案为300﹣10x ．
（2）设每本书上涨了x 元（x≤10），
根据题意得：（40﹣30+x ）（300﹣10x ）=3750，
整理，得：x 2﹣20x+75=0，
解得：x 1=5，x 2=15（不合题意，舍去）．
答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．
24、（Ⅰ）1
2
（Ⅱ）①α=30°或150°时，∠BAG′=90°②当α=315°时，A、B、F′在一条直线上时，AF′的长最大，最大
值为
2
2
+2，此时α=315°，F′（
1
2
+2，
1
2
﹣2）
【解题分析】
(1)根据正方形的性质以及勾股定理即可解决问题,(2)①因为∠BAG′=90°,
BG′=2AB,可知sin∠AG′B=
1
2
AB
BG
,推出∠AG′B=30°,推出旋转角α=30°,据对称性可知,当∠ABG″=60°时,∠BAG″=90°,
也满足条件,此时旋转角α=150°,②当α=315°时,A、B、F′在一条直线上时,AF′的长最大. 【题目详解】
（Ⅰ）如图1中，
∵A（0，1），
∴OA=1，
∵四边形OADC是正方形，
∴∠OAD=90°，AD=OA=1，
∴OD=AC==，
∴AB=BC=BD=BO=，
∵BD=DG，
∴BG=，
∴==．
（Ⅱ）①如图2中，
∵∠BAG′=90°，B G′=2AB，
∴sin∠AG′B==，
∴∠AG′B=30°，
∴∠ABG′=60°，
∴∠DBG′=30°，
∴旋转角α=30°，
根据对称性可知，当∠ABG″=60°时，∠BAG″=90°，也满足条件，此时旋转角α=150°，
综上所述，旋转角α=30°或150°时，∠BAG′=90°．
②如图3中，连接OF，
∵四边形BE′F′G′是正方形的边长为
∴BF′=2，
∴当α=315°时，A、B、F′在一条直线上时，AF′的长最大，最大值为+2，
此时α=315°，F′（+，﹣）
【题目点拨】
本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义,解决本题的关键是要熟练掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质以及特殊角的三角函数值的应用．
25、（1）见解析；（231
6
π
【解题分析】
（1）连接OD、CD，如图，利用圆周角定理得到∠BDC=90°，再判定AC为⊙O的切线，则根据切线长定理得到FD=FC，然后证明∠3=∠A得到FD=FA，从而有FC=FA；
（2）在Rt△ACB中利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=
3
3
AC=2，再证明△OBD为等边三角形得到
∠BOD=60°，接着根据切线的性质得到OD⊥EF，从而可计算出DE的长，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影部分=S△ODE-S扇形BOD进行计算即可．
【题目详解】
（1）证明：连接OD、CD，如图，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴AC为⊙O的切线，
∵EF为⊙O的切线，
∴FD=FC，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠A=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠A，
∴FD=FA，
∴FC=FA，
∴点F是AC中点；
（2）解：在Rt△ACB中，3，
而∠A=30°，
∴∠CBA=60°，3
，
∵OB=OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∵EF 为切线，
∴OD ⊥EF ，
在Rt △ODE 中，
∴S 阴影部分=S △ODE ﹣S 扇形BOD =12×2601360π⋅⋅16π． 【题目点拨】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．
26、（1）证明见解析；（2）△EAD 是等腰三角形．证明见解析；（3 【解题分析】
试题分析：
（1）连接OG ，则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°，由OG=OA 可得∠AGO=∠OAG ，从而可得
∠KGE=∠AKH=∠EKG ，这样即可得到KE=GE ；
（2）设∠FGB=α，由AB 是直径可得∠AGB=90°，从而可得∠KGE=90°
-α，结合GE=KE 可得∠EKG=90°-α，这样在△GKE 中可得∠E=2α，由∠FGB=
12∠ACH 可得∠ACH=2α，这样可得∠E=∠ACH ，由此即可得到CA ∥EF ； （3）如下图2，作NP ⊥AC 于P ，
由（2）可知∠ACH=∠E ，由此可得sinE=sin ∠ACH=
35AH AC =，设AH=3a ，可得AC=5a ，CH=4a ，则tan ∠CAH=43
CH AH =，由（2）中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC ，从而可得CK=AC=5a ，由此可得HK=a ，
tan ∠AKH=3AH HK
=，a ，结合可得a=1，则AC=5；在四边形BGKH 中，由∠BHK=∠BKG=90°，可得∠ABG+∠HKG=180°，结合∠AKH+∠GKG=180°，∠ACG=∠ABG 可得∠ACG=∠AKH ，
在Rt △APN 中，由tan ∠CAH=
43PN AP =，可设PN=12b ，AP=9b ，由tan ∠ACG=PN CP
=tan ∠AKH=3可得CP=4b ，由此可得AC=AP+CP=13b =5，则可得b=513，由此即可在Rt △CPN 中由勾股定理解出CN 的长. 试题解析：
（1）如图1，连接OG ．
∵EF切⊙O于G，
∴OG⊥EF，
∴∠AGO+∠AGE=90°，
∵CD⊥AB于H，
∴∠AHD=90°，
∴∠OAG=∠AKH=90°，
∵OA=OG，
∴∠AGO=∠OAG，
∴∠AGE=∠AKH，
∵∠EKG=∠AKH，
∴∠EKG=∠AGE，
∴KE=GE．
（2）设∠FGB=α，
∵AB是直径，
∴∠AGB=90°，
∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α，
∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α，
∵∠FGB=1
2
∠ACH，
∴∠ACH=2α，
∴∠ACH=∠E，
∴CA∥FE．
（3）作NP⊥AC于P．∵∠ACH=∠E，
∴sin∠E=sin∠ACH=
3
5
AH
AC
=，设AH=3a，AC=5a，
则224
AC CH a
-=，tan∠CAH=
4
3 CH
AH
=，
∵CA∥FE，
∴∠CAK=∠AGE ，
∵∠AGE=∠AKH ，
∴∠CAK=∠AKH ，
∴AC=CK=5a ，HK=CK ﹣CH=4a ，tan ∠AKH=
AH HK
=3，=，
∵
=
∴a=1．AC=5，
∵∠BHD=∠AGB=90°，
∴∠BHD+∠AGB=180°，
在四边形BGKH 中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，
∴∠ABG+∠HKG=180°，
∵∠AKH+∠HKG=180°，
∴∠AKH=∠ABG ，
∵∠ACN=∠ABG ，
∴∠AKH=∠ACN ，
∴tan ∠AKH=tan ∠ACN=3，
∵NP ⊥AC 于P ，
∴∠APN=∠CPN=90°， 在Rt △APN 中，tan ∠CAH=
43
PN AP =，设PN=12b ，则AP=9b ， 在Rt △CPN 中，tan ∠ACN=PN CP =3， ∴CP=4b ，
∴AC=AP+CP=13b ，
∵AC=5，
∴13b=5，
∴b=513
，
∴=b =
27、（1）211655y x =-；（2）详见解析；（3）OC OM ON +为定值，OC OM ON +=12
【解题分析】
（1）把点B(4，0)，点P(1，–3)代入y =ax 2+ c (a ≠0)，用待定系数法求解即可；
（2）如图作辅助线AE 、BF 垂直 x 轴，设A (m ，am 2)、B (n ，an 2)，由△AOE ∽△OBF ，可得到21a mn =-，然后表示出直线AB 的解析式即可得到结论；
（3）作PQ ⊥AB 于点Q ，设P （m ，am 2+c ）、A （–t ，0）、B （t ，0），则at 2+c =0， c = –at 2
由PQ ∥ON ，可得ON =amt +at 2，OM = –amt +at 2，然后把ON ，OM ，OC 的值代入整理即可.
【题目详解】
（1）把点B(4，0)，点P(1，–3)代入y =ax 2+ c (a ≠0)，
1603a c a c +=⎧⎨+=-⎩
， 解之得
15165a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， ∴211655
y x =-； （2）如图作辅助线AE 、BF 垂直 x 轴，设A (m ，am 2)、B (n ，an 2)，
∵OA ⊥OB ，
∴∠AOE=∠OBF ，
∴△AOE ∽△OBF ，
∴AE OF OE BF =，22am n m an
=-，21a mn =-， 直线AB 过点A(m ，am 2)、点B(n ，an 2)，
∴()()1y a m n x amn a m n x a =+-=++过点（0，1a
）; （3）作PQ ⊥AB 于点Q ，设P （m ，am 2+c ）、A （–t ，0）、B （t ，0），则at 2+c =0， c = –at 2
∵PQ ∥ON ，
∴ON OB PQ QB
=， ON=()2am c t PQ OB QB t m -+⋅=-=()2am c t m t
+-=()22am at t m t --=()()at m t m t m t -+-=at (m +t )= amt +at 2， 同理：OM= –amt +at 2，
所以，OM+ON= 2at 2=–2c =OC ，
所以，OC OM ON +=12
. 【题目点拨】
本题考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理.正确作出辅助线是解答本题的关键.。