(全优试卷)吉林省吉林一中高二上学期期中考试数学试题

第I 卷（选择题）
请修改第I 卷的文字说明
一、单项选择
1. 已知数列135可以是这个数列的 （ ） A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项
2. 已知函数)(x f 是定义在),0(+∞上的单调函数,且对任意的正数y x ,都有)()(x f y x f =⋅ )(y f +,若数列{n a }的前n 项和为S n ,且满足))(3()()2(*N n f a f S f n n ∈=-+,则3a =( ) A. 9 B.
23 C.49 D.9
4
3. 在△ABC 中，已知（a 2+b 2）sin(A-B)=(a 2-b 2)sin(A+B),则△ABC 的形状（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
4. 设第一象限内的点（x,y)满足约束条件0
20
62≥+-≤--⎩⎨
⎧y x y x , 若目标函数z=ax+by （a>0,b>0)的最大值为
40,则
b a 1
5+的最小值为( ) A.625 B.4
9 C.1 D. 4
5. 当a<0时,不等式42x 2+ax-a 2<0的解集为( ) A.{x|
7a <x<-6a } B.{x|-6a <x<7
a }
C.{x|7a <x<-7
2a } D.空集
6. ,a b c d >>是a c b d +>+的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
7. 已知变量x.y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥+-≥-+0
52020
4y x y x y x ,则f(x,y)＝y x y x ++22的取值范围是( )
A.(75,57)
B.(57
,＋∞) C.[75,57] D.(－∞,7
5)
8. 当不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧<≥-+-≥≥)0(0200
k k y kx y x 所表示的平面区域的面积最小时,实数k 的值为( )
A.－31
B.－2
1
C.－1
D.－2
9. 数列{}n a 中,111,32,n n a a a +==+则通项n a =____________.
10. 若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ） A ．1 B ．0或32 C ．32 D ．5log 2
11. 若2－m 与|m|－3同号,则m 的取值范围是
( )
A ．(3,＋∞)
B ．(－3,3)
C ．(2,3)∪(－∞,－3)
D ．(－3,2)∪(3,＋∞)
12. 设x ，y 满足约束条件360
200,0
x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥≥⎩
，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则2294a b +的最小值为（ ）
A ．
12 B ．1325
C ．1
D ．2
第II 卷（非选择题）
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二、填空题
13. 若变量x ，y 满足约束条件
{
32969
x y x y ≤+≤≤-≤则z ＝x ＋2y 的最小值为________．
14. 已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪
-⎨⎪⎩
≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．
15. 已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为
16. 三位同学合作学习，对问题“已知不等式222xy ax y ≤+对于[][]1,2,2,3x y ∈∈恒成立,求a 的取值范围”提出了各自的解题思路. 甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”； 乙说：“不等式两边同除以x 2
，再作分析”； 丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”．
参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a 的取值范围是 ．
三、解答题
17. 本公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
18. 已知集合}12
2|{≤-=x x
x A ,集合}0)12(|{22<+++-=m m x m x x B (1)求集合B A ,;
(2)若A B ⊆,求m 的取值范围.
19. 已知函数)(x f 定义在区间)1,1(-上,1)2
1(-=f ,且当)1,1(,-∈y x 时, 恒有)1(
)()(xy y x f y f x f --=-.又数列}{n a 满足2
1112,21
n
n n a a a a +==+. (1)证明:)(x f 在)1,1(-上是奇函数;
(2)求)(n a f 的表达式; (3)设n n n T a f b ,|)(|log 2112+=
为数列}{n b 的前n 项和,若*)(15
12N m m
T T n n ∈≤-+对*N n ∈恒成立,求m
的最小值.
20. 设同时满足条件：①
12
2
++≥+n n n b b b ；②n b M ≤ (N n +∈，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{}n b 叫“嘉文”数列.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足： (1)1
n n a
S a a =--（a 为常数，且0a ≠，1a ≠）
． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21n
n n
S b a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值，并证明此时⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为“嘉文”数列.
21. 求由约束条件2600x y x y x +⎧⎪
+⎨⎪⎩
≤5≤≤≥确定的平面区域的面积S 和周长c.
22. 设数列{}n a 、{}n b 满足n n a n na a )1(2,2
1
11+==
+,且 *∈+
+=N n a a b n n n ,2
1)1ln(2
. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)对一切*∈N n ,证明n
n n b a a <+22
成立; (3)记数列{}2
n a 、{}n
b 的前n 项和分别是n
A 、n
B ,证明:42<-n n
A B
.
参考答案
7.【答案】C 8.【答案】D
9.【答案】1231n -⨯- 10.【答案】D
【解析】2lg 2lg(23)2lg(21),2(23)(21)x x x x ++=-+=- 22(2)4250,25,log 5x x x x -⋅-===
11.【答案】C
【解析】由(2－m)(|m|－3)＞0得(m －2)(|m|－3)＜0,两边同乘以|m|＋3得(m 2－9)(m －2)＜0,即(m －3)(m －2)(m ＋3)＜0,∴ m ＜－3或2＜m ＜3,故选C. 12.【答案】A
二、填空题
13.【答案】－6
【解析】作出可行域如图阴影部分所示， 由
{
239
y x y x =-+=-解得A(4，－5)．
当直线z ＝x ＋2y 过A 点时z 取最小值，将A(4，－5)代入， 得z ＝4＋2×(－5)＝－6.
14.【答案】[]57-，
二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +⎧⎪
+⎨⎪⎩
≤，
≤，≥，≥ 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，
即可行域．如图：
作直线:300020000l x y +=，
即320x y +=．
平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．
联立30052900.
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，
解得100200x y ==，．∴点M 的坐标为(100200)，．
max 30002000700000z x y ∴=+=
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告， 公司的收益最大，最大收益是70万元．
(Ⅱ)令x =a n ,y =-a n ,于是)12()()(2
n
n
n n a a f a f a f +=--, 由已知得2f (a n )=f (a n+1), ∴
2)
()
(1=+n n a f a f , ∴ 数列{f (a n )}是以f (a 1)=1)2
1(-=f 为首项,2为公比的等比数列. ∴.221)(11---=⋅-=n n n a f (III)由(II)得f (a n +1)=-2n
,于n
b n 21
=. ∴ T n = b 1+ b 2+ b 3+…+ b n
)131211(21n
++++=
, )1
21
31211(2112+++++=+n T n .
∴ )121
312111(2112++++++++=-+n n n n T T n n .
令).1
212111(
21)(++++++=n n n n k
于是)3
21
3121(21)1(++++++=+n n n n k ,
∴ 0)
32)(1(41
)11321221(21)()1(<++-=+-+++=-+n n n n n n k n k .
∴ k (n +1)<k (n ),即k (n )在N *上单调递减, ∴ k (n )max =k (1)=12
5)131211(2
1
13=-++
=-T T , ∴
15m ≥125即m ≥425
. ∵ m ∈N *,
∴ m 的最小值为7.
21. 【答案】由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分)，其四个顶点为O(0,0)，
B(3,0)，A(0,5)，P(1,4).过P 点作y 轴的垂线，垂足为C. 则AC ＝|5－4|＝1，PC ＝|1－0|＝1，
OC ＝4，OB ＝3，AP ，
PB ＝＝得S △ACP ＝
12AC ·PC ＝12， S 梯形COBP ＝1
2
(C P ＋OB)·OC ＝8.
所以S ＝S △ACP ＋S 梯形COBP ＝17
2
，
c ＝OA ＋AP ＋PB ＋OB ＝8＋
(3)∵)1ln(222
n n n a a b +=-,由(Ⅱ)可知,n n n n a a a b 2)1ln(222
<+=-,
∴)2
232221(2)(223221n
n n n n
a a a A B ++++=+++<- 利用错位相减求得:22
2
2223222132<+-=++++n n n n
∴42<-n n A B .。