2012高一数学期末考试试题及答案

高一期末考试试题
1.已知集合{}/8,M x N x m m N =∈=-∈，则集合M 中的元素的个数为（ ） A.7 B.8 C.9 D.10
2.已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且AB =，则实数x 的值是（ ） A.3-或4 B.6或2 C.3或4- D.6或2-
3.已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的半径之比为（ ） A.1:3 B. C.1:9 D.1:81
4.圆2
2
1x y +=上的动点P 到直线34100x y --=的距离的最小值为（ ） A.2 B.1 C.3 D.4
5.直线40x y -+=被圆2
2
4460x y x y ++-+=截得的弦长等于（ ） A. B. C. D.6.已知直线1:20l ax y a -+=,2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直,则a 的值是( ) A.0 B.1 C.0或1 D.0或1- 7.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A.()y x x R =-∈ B.3()y x x x R =--∈ C.1()()2
x
y x R =∈ D.1
(,0)y x R x x
=-
∈≠且 8.如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形， 主视图 左视图 俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ） A.
4
π
B.54π
C.π
D.
32
π
9.设,m n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题：
①//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭ ②//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ③//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ④////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭
其中，真命题是（ ）A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 10.函数2
()ln f x x x
=-
的零点所在的大致区间是（ ） A.()1,2 B.()2,3 C.11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D.(),e +∞
一、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
11.设映射3:1f x x x →-+，则在f 下，象1的原象所成的集合为
12.已知2()41f x x mx =-+在(],2-∞-上递减，在[)2,-+∞上递增，则(1)f = 13.过点(3,2)A 且垂直于直线4580x y +-=的直线方程为
14.已知12,9x y xy +==，且x y <，则
12
112
2
12
x y x y
-=+
15（12分）已知二次函数2
()43f x x x =-++
（1） 指出其图像对称轴，顶点坐标；
（2） 说明其图像由2
y x =-的图像经过怎样的平移得来； （3） 若[]1,4x ∈，求函数()f x 的最大值和最小值。

16（12分）求过点(2,3)P ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。

D
17（14分）如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱111ABC A B C -中，
33,5,c o s 5
A C A
B
C A B ==∠=，14,AA =点
D 是AB （1）求证：1AC BC ⊥
（II ）求证：11//AC CDB 平面 （III ）求三棱锥 11A B CD -的体积。

18（14分）求经过(0,1)A -和直线1x y +=相切，且圆心在直线2y x =-上的圆的方程。

19(14分) 对于函数2
()()21
x
f x a a R =-
?+,（1）判断并证明函数的单调性； （2）是否存在实数a ，使函数()f x 为奇函数？证明你的结论
20、已知函数2
()2(1)421f x m x mx m =+++-
（1） 当m 取何值时，函数的图象与x 轴有两个零点；
（2） 如果函数至少有一个零点在原点的右侧，求m 的值。

参考答案
CDABB CBCCB
11.{}1,0,1- 12.21 13.4570y x -+=
14.3
- 15.22()43(2)7f x x x x =-++=--+ 2分 （1）对称轴2x =，顶点坐标(2,7) 4分
（2）2
()43f x x x =-++ 图象可由2
y x =-向右平移两个单位再向上平移7个单位可得。

（3）(1)6,(4)3,(2)7f f f ===，由图可知在[]1,4x ∈，函数()f x 的最大值为7，最小值为3 16.法一:(截距式)
当直线过原点时,过点(2,3)的直线为3
2
y x =------------------------(5分) 当直线不过原点时,设直线方程为1x y
a a
+=(0a ≠),直线过点(2,3),代入解得5a = 所以直线方程为
155
x y += 所以(2,3)P ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为32y x =
和155
x y
+=. 法二(斜截式)依题意知直线显然存在斜率, --------------------(2分) 设直线方程为y kx b =+,直线过点(2,3)P ,代入方程有
32k b =+ ①
直线在x 轴和y 轴的截距分别为b
k
-和b , 依题意有b
b k
-
= ② ----6分 由① ②解得320
k b ⎧=⎪
⎨⎪=⎩或15k b =-⎧⎨
=⎩ 10分 所以直线的方程为3
2
y x =
和5y x =-+----------------------------12分
17.证明（1）在ABC 中，由余弦定理得4BC =，ABC ∴为直角三角形，AC BC ∴⊥
又
1CC ⊥面ABC 1CC AC ∴⊥，1CC BC C ⋂=
∴ 1AC BCC ⊥面1AC BC ∴⊥----------6分
（2） 连结1B C 交1BC 于点E ，则E 为1BC 的中点，连结DE ，则在1ABC 中，1//DE AC ，
又1DE CDB ⊂面，则11//AC B CD 面-----------------------------10分
（3） 在11,ABC C CF AB F ABB A ABC ⊥⊥中过作垂足为由面面知11CF ABB A ⊥面
1111A B CD C A DB V V --∴=
而11
11111541022
DA B S
A B AA ==⨯⨯=又 113412
55112108
35
A B CD AC BC CF AB V -⨯=
==
∴=⨯⨯=
-----------------------------------------14分
18.解:因为圆心在直线2y x =-上,设圆心坐标为(,2)a a - 1分 设圆的方程为2
2
2
()(2)x a y a r -++= 2分 圆经过点(0,1)A -和直线1x y +=相切
所以有222
(21)a a r r ⎧+-=⎪⎨=⎪
⎩
8分
解得r =
1a =或1
5
a =- 12分
所以圆的方程为
22(1)(2)2x y -++=或2212
()()255
x y ++-= 14分
19、(1)函数()f x 为R 上的增函数．证明如下：函数()f x 的定义域为R ，对任意
12,x x R Î，1
2121222
()()()()2121
x x x x f x f x a a 且，有<-=-
--++
=122121222(22)
2121(21)(21)
x x x x x x --=++++.
因为2x y =是R 上的增函数，12x x <，所以1222x x -＜０，所以12()()f x f x -＜０即12()()f x f x <，函数()f x 为R 上的增函数. ……………8分
(2)存在实数a ＝1，使函数()f x 为奇函数． ………………………10分 证明如下：当a ＝1时，2
()121
x f x =-+＝2121x x -+.
对任意x R Î，()f x -= 2121x x ---+＝1212x x -+＝－21
21
x x -+＝－()f x ，即()f x 为奇函数．
20.（1）函数()f x 的图象与x 轴有两个零点，即方程2
2(1)4210m x mx m +++-=有两个
不相等的实根，∴2168(1)(21)0
2(1)0m m m m ⎧∆=-+->⎨+≠⎩
得1m <且1m ≠-
∴ 当1m <时，函数()f x 的图象与x 轴有两个零点。

1m =-时，则()43f x x =--从而由430x --=得3
04
x =-
< ∴
函数的零点不在原点的右侧，帮1m ≠- ----------------6分 当1m ≠-时，有两种情况： ①原点的两侧各有一个，则
212168(1)(21)02102(1)m m m m x x m ⎧∆=-+->⎪
-⎨
=<⎪+⎩
解得1
12
m -<<
-------------10分 ②都在原点的右侧，则
21212168(1)(21)042(1)0
212(1)0m m m m x x m m x x m ⎧∆=-+-≥⎪
⎪+=-
⎪+>⎨
-⎪=
⎪+>⎪⎩
解得m φ∈ 综 ①②可得1
(1,)2
m ∈--
-------14分。