2006届第二学期高桥中学高三数学月考试卷(理)

2006届第二学期高桥中学高三数学月考试卷（理）
（注意:答案一律写在答题纸上）
一、填空题（本大题共有12个小题，每小题4分，满分共得48分）
1. 若6
1010C C r =，则r= 。

2．已知函数2
2()log (1)(0)f x x x =+≤，则1
(2)f
-= .
3. 如图所示，在两个椭圆盘中，指针在
本椭圆盘每个数所在区域的机会均等， 两个指针同时落在奇数所在区域的 概率是 。

4. 已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|
，则P M 等于 . 5. 已知)3
4
()34(01
)1(0
cos )(-+⎩⎨
⎧>+-≤=f f x x f x x x f 则π的值为 .
6. 若m x x f ++=)cos(2)(ϕω，
对任意实数t 都有)()4
(t f t f -=+π
，
且1)8
(-=π
f , 则实数m 的值等于 .
7. 设全集U 是实数集R ，}4|{2
>=x x M ，}11
2
|{≥-=x x N ，
则图中阴影部分所表示的集合是 . 8. 以下四个命题中，错误命题的序号．．．．．．．是 。

①如果直线b a //，则a 、b 与直线l 所成的角相等; ②如果直线b a //，则a 、b 与平面α所成的角相等; ③如果直线l ⊥平面α，若平面α//平面β，则l ⊥β； ④如果平面α⊥平面γ，若平面β⊥平面γ，则//αβ。

9. 已知2
2
},3,2{},1,{b
a x x +⋅==那么
的取值范围 .
10.在极坐标系中，A(1，2π)，点B 在直线ρcos θ +ρsin θ=0上运动，当线段AB 长最短 时，点B 的极坐标为 。

11.定义运算符号：“
∏
”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n 记
作
∏=n
i i 1，∏=*
=∈n
i i n
a T N n 1
).(记，其中a i 为数列)}({*
∈N n a n 中的第i 项. 若12-=n a n ，则T 4= ；若=∈=n n a N n n T 则),(2
.
12. 函数2()43f x x x =-+，集合{(,)|()()0}M x y f x f y =+≤，{(,)|2,2}N x y x y =≤≤，
x 、y ∈R ，则集合N M 在直角坐标系中对应图形的面积是 .
二、选择题（本大题共有4个小题，每小题4分，满分共得16分）
13.设集合P={直线的倾斜角}，Q={两个向量的夹角}，R={两条直线的夹角}，
M={直线l 1到l 2的角}则必有 ( ) A. Q R=P M B. R ⊂M ⊂P ⊂Q C. Q=R ⊂M=P D. R ⊂P ⊂M ⊂Q 14．等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项的和为S n ，当首项a 1和d 变化时，1182a a a ++ 是一个定值，则下列各数中也为定值的是 （ ） A ．S 7
B ．S 8
C ．S 13
D ．S 15
15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上， 且13
AM =，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线
11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的
轨迹是 （ ） A ．圆
B ．抛物线
C ．双曲线
D ．直线
16．若圆x 2+y 2=r 2
(r>0)至少能盖住函数r
x x f 2sin 30)(π=的一个最大值点和
一个最小值点，则r 的取值范围是 （ ） A 、),30[+∞ B 、),6[+∞ C 、),2[+∞π D 、以上都不对
_ C
_A
_ B
_M
B 1
C 1
A
上海市高桥中学2006届高三数学月考答题纸（理）
一、填空
1.________ ,
2.______ _,
3._________ ,
4.
_________ _, 5._________ , 6. _________ , 7._________ , 8.________ , 9.________ _, 10._________ , 11. , 12.
二选择
13._______, 14._______, 15.___ , 16.
_______, 三、解答题 17．（满分12分）方程0222=+-x x 的根在复平面上对应的点是A 、B ，点C 对应的复数满 足()()6112
-=++z i ，求ABC ∆的最大内角的大小. 解：
18.（本题满分12'） 如图，在直三棱柱ABC －111A B C 中，CA=CB=1，90BCA ∠=，棱12AA =，
M ，N 分别是11,1A B A A 中点，
（1）求BN 的长。

（2）求直线B 1A 与C 1B 所成的角的余弦值。

（3）过点M 作平面α与直线BN 垂直，试确定平面α与棱1A A 交点P 的位置。

解：
19．（本小题满分14分，第（1）题5分，第（2）题9分）
某轮船公司争取一个相距100海里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船的平均载客人数为200人，轮船每小时使用的燃料费和轮船航行速度的平方成正比，轮船的最大速度为20海里/小时，当船速为10海里/小时，它的燃料费用是每小时60元，其余费用（不论速度如何）总计是每小时150元，假定轮船从甲地到乙地匀速航行． （1）求轮船每小时的燃料费1W 与速度V 的关系式；
（2）若公司打算从每位乘客身上获得利润10元，试为该轮船公司设计一个较为合理的船票 价格（精确到1元）． 解：
20．（14分）已知函数b a bx ax x f ,(1)(2
++=为实数），x R ∈，⎩⎨⎧<->=)0( )()0( )()(x x f x x f x F
（1）若01=-）（f ，且函数()f x 的值域为)0,+∞⎡⎣，求)(x F 表达式； （2）在（1）的条件下，当kx x f x g x -=-∈)()(, ]2,2[时是单调函数，
求实数k 的取值范围；
（3）设)(0,0,0x f a n m mn 且>>+<为偶函数，判断)()(n F m F +能否大于0. 解：
21．（16分）已知数列{}n a 有a a =1，p a =2（常数0>p ），对任意的正整数n ，
n n a a a S +++= 21，并有n S 满足2
)
(1a a n S n n -=。

（1）求a 的值；
（2）试确定数列{}n a 是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由； （3）对于数列{}n b ，假如存在一个常数b 使得对任意的正整数n 都有b b n <，且b b n n =∞
→l
i m ，
则称b 为数列{}n b 的“上渐近值”，令2
1
12+++++=
n n n n n S S S S p ， 求数列{}n p p p n 221-+++ 的“上渐近值”。

解：
22．（18分）平面内动点M 与点) 0 , 2 (, )0 , 2( 2 1P P -所成直线的斜率分别为21k k 、 ，且
满足.2
1
21-
=k k (1)求点M 的轨迹E 的方程，并指出E 的曲线类型；
(2)设直线) 0 , 0 ( :≠>+=m k m x k y l 分别交x 、y 轴于点A 、B ，交曲线E 于 点C 、D ，且|AC|=|BD|. ①求k 的值； ②若已知点)1,2(N ，求△NCD 面积取得最大时直线l 的方程. 解：
2006届第二学期高桥中学高三数学月考试卷（文、理）解答
一、填空题（本大题共有12个小题，每小题4分，满分共得48分）
1. 若6
1010C C r =，则r= 4或6 。

2．已知函数2
2()log (1)(0)f x x x =+≤，则1
(2)f
-=
-3. 如图所示，在两个椭圆盘中，指针在
本椭圆盘每个数所在区域的机会均等， 两个指针同时落在奇数所在 区域的概率是 49。

4. 已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|
，则P M 等于 {}Z x x x ∈≤≤,30| .
5. 已知)34
()34(01
)1(0
cos )(-+⎩⎨
⎧>+-≤=f f x x f x x x f 则π的值为 1 .
6. 若m x x f ++=)cos(2)(ϕω，
对任意实数t 都有)()4
(t f t f -=+π
，
且1)8
(-=π
f , 则实数m 的值等于 -3或1 .
7. 设全集U 是实数集R ，}4|{2
>=x x M ，}11
2
|{≥-=x x N ，
则图中阴影部分所表示的集合是 }21|{≤<x x . 8. 以下四个命题中，错误命题的序号．．．．．．．
是 ④ 。

①直线b a //，则a 、b 与直线l 所成的角相等;②直线b a //，则a 、b 与平面α所成的角相等;③直线l ⊥平面α，若平面α//平面β，则l ⊥β；④平面α⊥平面γ，若平面β⊥平面γ，则//αβ。

9. 已知2
2
},3,2{},1,{b
a x x +⋅==那么
的取值范围 ]4
2,4
2[- .
10. （理）在极坐标系中，A(1，2π)，点B 在直线ρcos θ +ρsin θ=0上运动，当线 段AB 长最短时，点B 的极坐标为 (
2
2
,
4
3π) 。

（文）实数x 、y 满足 ⎪⎩
⎪⎨⎧≥--≥-≥0220
y x y x y ，则1
1
+-=
x y k 的取值范围为 [
2
1,1] 。

11.定义运算符号：“
∏
”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n 记
作
∏=n
i i 1，∏=*
=∈n
i i n
a T N n 1
).(记，其中a i 为数列)}({*
∈N n a n 中的第i 项. （文）已知a b ∈R 、，定义：⑴ 设b a <，则;,b b a a b a =⊗=⊕ ⑵ 有括号的先计算括号.
那么下式 (2003⊕2004)⊗(2005⊕2006) 的运算结果为 2005 .
（理）若12-=n a n ，则T 4= 105 ；若=∈=*
n n a N n n T 则),(2
2
1)1
(
,2;1,1-=≥==n n a n a n n . 12. 函数2()43f x x x =-+，集合{(,)|()()0}M x y f x f y =+≤，{(,)|2,2}N x y x y =≤≤，
x 、y ∈R ，则集合N M 在直角坐标系中对应图形的面积是
2
π
.
二、选择题（本大题共有4个小题，每小题4分，满分共得16分）
13.设集合P={直线的倾斜角}，Q={两个向量的夹角}，R={两条直线的夹角}，
M={直线l 1到l 2的角}则必有 ( B ) A. Q R=P M B. R ⊂M ⊂P ⊂Q C. Q=R ⊂M=P D. R ⊂P ⊂M ⊂Q 14．等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项的和为S n ，当首项a 1和d 变化时，1182a a a ++ 是一个定值，则下列各数中也为定值的是 （ C ） A ．S 7 B ．S 8 C ．S 13 D ．S 15 15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上， 且13
AM =，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线
11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的
轨迹是 （ B ）
A ．圆
B ．抛物线
C ．双曲线
D ．直线
16．若圆x 2+y 2=r 2(r>0)至少能盖住函数
r
x x f 2sin
30)(π=
的一个最大值点和 一个最小值点，则r 的取值范围是 （ B ） A 、),30[+∞ B 、),6[+∞ C 、),2[+∞π D 、以上都不对
__ C
_A
_ B
_M
B 1
C 1
A
三、解答题
17．（满分12分）方程0222=+-x x 的根在复平面上对应的点是A 、B ， 点C 对应的复数满足()()6112
-=++z i ，求ABC ∆的最大内角的大小.
解：解方程0222=+-x x 得：x=1±i ,则A(1,1),B(1,-1).
又由()()6112
-=++z i 解得z=-1+3i ,则C （-1，3）.
∴AC =（-2，2），AB =（0，-2） cos A =
||||
AC AB AC AB
⋅= -∴A=135O 18. （理）（本题满分12'）
如图，在直三棱柱ABC －111A B C 中，CA=CB=1，
90BCA ∠=，棱12AA =，M ，N 分别是11,1A B A A 中点，
（1）求BN 的长。

（2）求直线B 1A 与C 1B 所成的角的余弦值。

（3）过点M 作平面α与直线BN 垂直，试确定平面α与棱1A A 交点P 的位置。

解．（1）建立直角坐标系如图，则A （1，1，O ），B （0，1，0），C 1（0，0，1）， A 1（1，0，2），∴BN =（1，－1，1）， ||3BN ∴=
（2）1112BA =-（，，），B 1（0，1，2），1CB =（0，1，2）11BA CB ⋅=3，
11||6||5,BA CB ==， ∴COS 〈11,BA CB 〉=
111130||||BA CB BA CB ⋅=
⋅（3）连C 1M ，11(,,2)22M ∴C 1M=（11
,,022
），
又(1,1,1),BN =-∴110.C N BN C N BN ⋅=∴⊥ 设P （1，0，K ），
则11(,,2),,22MP K MP BN =-⊥∴11
1()(1)(2)1022
K ⨯+-⨯-+-⨯=
，则K=1。

说明P 在
N 点。

18．[文] （满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，
90ABC ∠=，1PA AB ==，3AD =，且5
ADC ∠= (1) 三棱锥P ACD -的体积； (2)直线PC 与AB 所成角的大小. 解：(1)做CE ⊥AD 于E ，易得DE=2，∴BC=AE=1
∴ACD ∆的面积为：S=131322⨯⨯=， ∴三棱锥P-ACD 的体积V=13Sh=1
2
A
P
B
D
C
（2）连接PE.
∵AB ⊥AD ，AB ⊥PA ，AB ⊥平面PAD ，则AB ⊥PE ，又∵CE ∥AB ，∴CE ⊥PE. ∴∠PCE 是直线PC 与AB 所成的角，在Rt ⊿PEC 中，
，CE=1
∴tan ∠
，∴∠
，即直线PC 与AB 所成的角大小为
.
19．（本小题满分14分，第（1）题5分，第（2）题9分）
某轮船公司争取一个相距100海里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船的平均载客人数为
200人，轮船每小时使用的燃料费和轮船航行速度的平方成正比，轮船的最大速度为20海
里/小时，当船速为10海里/小时，它的燃料费用是每小时60元，其余费用（不论速度如何）总计是每小时150元，假定轮船从甲地到乙地匀速航行． （1）求轮船每小时的燃料费1W 与速度V 的关系式；
（2）若公司打算从每位乘客身上获得利润10元，试为该轮船公司设计一个较为合理的船票 价格（精确到1元）．
解：（1）由题意设21kV W =，把V=10，601=W 代入得k=0.6 ，所以216.0V W =……5分
（2）设从甲地到乙地的人均总费用为W ，则)150
1001006.0(20012V V V W ⨯+⋅=，
5.990755
6≈≥+=V
V W ，此时 V
V 755
6=，202
125
<=
V
……12分
所以船票20105.9≈+=（元） ……14分
20．（14分）已知函数b a bx ax x f ,(1)(2
++=为实数），x R ∈，⎩⎨⎧<->=)
0( )()0( )()(x x f x x f x F
（1）若01=-）（f ，且函数()f x 的值域为)0,+∞⎡⎣，求)(x F 表达式； （2）在（1）的条件下，当kx x f x g x -=-∈)()(, ]2,2[时是单调函数，
求实数k 的取值范围；
（3）设)(0,0,0x f a n m mn 且>>+<为偶函数，判断)()(n F m F +能否大于0. 解：（1）
(1)0f -= 01=+-b a ，又x R ∈时，()0f x ≥恒成立，
⎩⎨⎧≤-=∆>∴0
402
a b a 1,2,0)1(42==≤--∴a b b b ． 2
2
()21(1)f x x x x ∴=++=+
⎩⎨⎧<+->+=)
0(,)1()0(,)1()(2
2x x x x x F …………4分
（2）22
()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=+-+
=222(2)()124k k x --++-．∴ 当 22,2k -≥ 或 2
22
k -≤-时， 即6k ≥或2k ≤-时()g x 单调．……………………8分
（3）()f x 是偶函数， 2
()1f x ax ∴=+，
⎩⎨
⎧<-->+=0
,10,1)(2
2x ax x ax x F ――――10分
0mn <， 不妨设0,00,0m n m n m n ><+>>->则又，m n ∴>-
22()()()()11F m F n f m f n am an +=-=+--22()0a m n =-> ()()F m F n +能大于0．………14分
21．（16分）已知数列{}n a 有a a =1，p a =2（常数0>p ），对任意的正整数n ，
n n a a a S +++= 21，并有n S 满足2
)
(1a a n S n n -=。

（1）求a 的值；
（2）试确定数列{}n a 是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由； （3）对于数列{}n b ，假如存在一个常数b 使得对任意的正整数n 都有b b n <，且b b n n =∞
→l
i m ，
则称b 为数列{}n b 的“上渐近值”，令2
1
12+++++=
n n n n n S S S S p ，求数列{}n p p p n 221-+++ 的“上渐近值”。

解：（1）02
1
111=-=
=a a a S ，即0=a （3分） （2）()2
11
1----=-=n n n n n a n na S S a
121---=⇒n n a n n a ()p n a n n n n 11
2
233432212-=⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--=
∴{}n a 是一个以0为首项，p 为公差的等差数列。

(8分) （3）()()2121p
n n a a n S n n -=+=
， (9分) 2112+++++=n n n n n S S S S p ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+++=2112222n n n n n n (11分) ∴
⎪
⎭⎫ ⎝⎛+-++--++-+-+-+-=-+++21111116
1
41513141213112221n n n n n
p p p n
32111
2321112112<⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=n n n n （14分）
又∵()32lim 21=-+++∞
→n p p p n n ， （15分） ∴数列{}n p p p n 221-+++ 的“上渐近值”为3。

（16分）
22．（18分）[理]平面内动点M 与点) , (, ) , ( 020221P P -所成直线的斜率分别为21k k 、 ， 且满足.2
121-=k k
(1)求点M 的轨迹E 的方程，并指出E 的曲线类型；
(2)设直线) , ( :00≠>+=m k m x k y l 分别交x 、y 轴于点A 、B ，交曲线E 于 点C 、D ，且|AC|=|BD|.
（1）求k 的值； （2）若已知点)1,2(N ，求△NCD 面积取得最大时直线l 的方程. 22、解：（Ⅰ）设动点M 的坐标为(,)x y ，
1211
,2222
y y k k x x ⋅=-∴⋅=-+-，即221(0)42x y y +
=≠ 动点M 的轨迹E 是中心在原点，半长轴为2，焦点为（0,2±）的椭圆
（除去长轴两个端点.） 它的方程是22
1(0)42
x y y +=≠。

（6分）
（Ⅱ）（1）在),,0(),0,(0,0:m B k
m
A y x m kx y l -
==+=可得中分别令 AB 的中点为(,)22
m m Q k -
设1122(,),(,)C x y D x y ，由2222
2
(12)4240142
y kx m
k x mkx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+
=⎪⎩ 22
2
121222
424
32816,,1212mk m k m x x x x k k -∆=-++=-⋅=
++， ∵||||AC BD =，∴CD 中点就是AB 中点，
即222
2
41,412,,0,122mk m k k k k k k k -
=-=+=>∴=+（12分）
21(2)||||CD x x =-=== 点N 到CD
的距离||3
d m =
=
，
11|||22NCD S CD d m ∆=
⋅=
224)|)22
m m m -+==≤=当且仅当22
4m m -=
时等号成立，即22,m m ==0∆>，
所以直线的方程为:2
l y x =± （18分）
22.【文】设椭圆2
211
x y m +=+的两个焦点是1F 、2F 。

（1）若在直线:2l y x =+上存在一点E ，且点E 在椭圆上，使得12||||EF EF +取得最
小值，求此最小值及此时椭圆的方程；
（2）在条件（1）下的椭圆方程，是否存在斜率为k （0k ≠）的直线L 与椭圆交于不
同的两点A 、B ，
满足AQ QB =，且使得过点(0,1)N -和Q 的直线有0NQ AB ⋅=？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由。

【文】（1）因为直线L 与椭圆相交时，取得最小值。

此时，由
2
22
2
(2)4(1)3(1)011
y x m x m x m x y m =+⎧⎪⇒+++++=⎨+=⎪
+⎩， 于是，有216(1)12(1)(2)02m m m m ∆=+-++≥⇒≥。

122||||a EF EF =+=≥2
213
x y +=。

（8分）
（2）依题意，Q 是弦AB 的中点，且AB QN ⊥。

于是，可设00(,)A x m y n ++，00(,)B x m y n --，00(,)Q x y ，从而有
2
2000002
200()()13
033()()1
3x m y n mx x n ny k m y x m y n ⎧+++=⎪⎪⇒+=⇒==-⎨-⎪+-=⎪⎩。

又因为0011QN y k x k +=
=-，由此可得032x k =-，01
2
y =。

注意到点Q 在椭圆的内部，故2
2
2
00131113324
x y k ⎛⎫+<⇒-+< ⎪⎝⎭，解之得201k <<，即(1,0)(0,1)k ∈-。

（18分）
2006届第二学期高桥中学高三数学月考试卷（文）
一、填空题（本大题共有12个小题，每小题4分，满分共得48分）
1. 若6
1010C C r =，则r= 4或6 。

2．已知函数2
2()log (1)(0)f x x x =+≤，则1
(2)f
-=
-3. 如图所示，在两个椭圆盘中，指针在
本椭圆盘每个数所在区域的机会均等， 两个指针同时落在奇数所在 区域的概率是 49。

4. 已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|
，则P M 等于 {}Z x x x ∈≤≤,30| .
5. 已知)34
()34(01
)1(0
cos )(-+⎩⎨
⎧>+-≤=f f x x f x x x f 则π的值为 1 .
6. 若m x x f ++=)cos(2)(ϕω，
对任意实数t 都有)()4
(t f t f -=+π
，
且1)8
(-=π
f , 则实数m 的值等于 -3或1 .
7. 设全集U 是实数集R ，}4|{2
>=x x M ，}11
2
|{≥-=x x N ，
则图中阴影部分所表示的集合是 }21|{≤<x x . 8. 以下四个命题中，错误命题的序号．．．．．．．
是 ④ 。

①直线b a //，则a 、b 与直线l 所成的角相等;②直线b a //，则a 、b 与平面α所成的角相等;③直线l ⊥平面α，若平面α//平面β，则l ⊥β；④平面α⊥平面γ，若平面β⊥平面γ，则//αβ。

9. 已知2
2
)3,2(),1,(b
a x x +⋅==那么
的取值范围 ]4
2,4
2[- .
10. （文）实数x 、y 满足 ⎪⎩
⎪⎨⎧≥--≥-≥0220
0y x y x y ，则1
1+-=
x y k 的取值范围为 [
2
1,1] 。

11. 已知a b ∈R 、，定义：⑴ 设b a <，则;,b b a a b a =⊗=⊕ ⑵ 有括号的先计算括号.
那么下式 (2003⊕2004)⊗(2005⊕2006) 的运算结果为 2005 .
12. 函数2()43f x x x =-+，集合{(,)|()()0}M x y f x f y =+≤，{(,)|2,2}N x y x y =≤≤，
x 、y ∈R ，则集合N M 在直角坐标系中对应图形的面积是
2
π
.
二、选择题（本大题共有4个小题，每小题4分，满分共得16分）
13.设集合P={直线的倾斜角}，Q={两个向量的夹角}，R={两条直线的夹角}，
M={直线l 1到l 2的角}则必有 ( B ) A. Q R=P M B. R ⊂M ⊂P ⊂Q C. Q=R ⊂M=P D. R ⊂P ⊂M ⊂Q 14．等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项的和为S n ，当首项a 1和d 变化时，1182a a a ++ 是一个定值，则下列各数中也为定值的是 （ C ） A ．S 7 B ．S 8 C ．S 13 D ．S 15 15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上， 且13
AM =，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线
11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的
轨迹是 （ B ）
A ．圆
B ．抛物线
C ．双曲线
D ．直线
16．若圆x 2+y 2=r 2(r>0)至少能盖住函数
r
x x f 2sin
30)(π=
的一个最大值点和 一个最小值点，则r 的取值范围是 （ B ） A 、),30[+∞ B 、),6[+∞ C 、),2[+∞π D 、以上都不对
三、解答题
17．（满分12分）方程0222=+-x x 的根在复平面上对应的点是A 、B ， 点C 对应的复数满足()()6112
-=++z i ，求ABC ∆的最大内角的大小.
解：解方程0222=+-x x 得：x=1±i ,则A(1,1),B(1,-1).
又由()()6112
-=++z i 解得z=-1+3i ,则C （-1，3）.
∴AC =（-2，2），AB =（0，-2） cos A =
||||
AC AB AC
AB ⋅= -∴A=135O
18．[文] （满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，
90ABC ∠=，1PA AB
==，3AD =，且ADC ∠=
__ C
_A
_ B
_M
A P
B
D
C
(1) 三棱锥P ACD -的体积； (2)直线PC 与AB 所成角的大小. 解：(1)做CE ⊥AD 于E ，易得DE=2，∴BC=AE=1 ∴ACD ∆的面积为：S=
131322⨯⨯=， ∴三棱锥P-ACD 的体积V=13Sh=12
（2）连接PE.
∵AB ⊥AD ，AB ⊥PA ，AB ⊥平面PAD ，则AB ⊥PE ，又∵CE ∥AB ，∴CE ⊥PE.
∴∠PCE 是直线PC 与AB 所成的角，在Rt ⊿PEC 中，，CE=1
∴tan ∠，∴∠，即直线PC 与AB 所成的角大小为.
19．（本小题满分14分，第（1）题5分，第（2）题9分）
某轮船公司争取一个相距100海里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船的平均载客人数为
200人，轮船每小时使用的燃料费和轮船航行速度的平方成正比，轮船的最大速度为20海
里/小时，当船速为10海里/小时，它的燃料费用是每小时60元，其余费用（不论速度如何）总计是每小时150元，假定轮船从甲地到乙地匀速航行． （1）求轮船每小时的燃料费1W 与速度V 的关系式；
（2）若公司打算从每位乘客身上获得利润10元，试为该轮船公司设计一个较为合理的船票 价格（精确到1元）．
解：（1）由题意设21kV W =，把V=10，601=W 代入得k=0.6 ，所以216.0V W =……5分
（2）设从甲地到乙地的人均总费用为W ，则)150
1001006.0(20012V V V W ⨯+⋅=，
5.990755
6≈≥+=V
V W ，此时 V
V 755
6=，202
125
<=
V
……12分
所以船票20105.9≈+=（元） ……14分
20．已知函数b a bx ax x f ,(1)(2
++=为实数），x R ∈，⎩⎨⎧<->=)
0( )()0( )()(x x f x x f x F
（1）若01=-）（f ，且函数()f x 的值域为)0,+∞⎡⎣，求)(x F 表达式； （2）在（1）的条件下，当kx x f x g x -=-∈)()(, ]2,2[时是单调函数，
求实数k 的取值范围；
（3）设)(0,0,0x f a n m mn 且>>+<为偶函数，判断)()(n F m F +能否大于0. 解：（1）
(1)0f -= 01=+-b a ，又x R ∈时，()0f x ≥恒成立，
⎩⎨⎧≤-=∆>∴0
402
a b a 1,2,0)1(42==≤--∴a b b b ． 22
()21(1)f x x x x ∴=++=+
⎩⎨⎧<+->+=)
0(,)1()0(,)1()(2
2x x x x x F ……………………4分
（2）2
2
()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=+-+
=222(2)()124k k x --++-．∴ 当 22,2k -≥ 或 2
22
k -≤-时， 即6k ≥或2k ≤-时()g x 单调．……………………8分
（3）()f x 是偶函数， 2()1f x ax ∴=+， ⎩⎨
⎧<-->+=0
,10,1)(2
2x ax x ax x F
0mn <， 不妨设0,00,0m n m n m n ><+>>->则又，m n ∴>-
22()()()()11F m F n f m f n am an +=-=+--22()0a m n =-> ()()F m F n +能大于0．………12分
21．已知数列{}n a 有a a =1，p a =2（常数0>p ），对任意的正整数n ，
n n a a a S +++= 21，并有n S 满足2
)
(1a a n S n n -=。

（1）求a 的值；
（2）试确定数列{}n a 是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由； （3）对于数列{}n b ，假如存在一个常数b 使得对任意的正整数n 都有b b n <，且b b n n =∞
→l
i m ，
则称b 为数列{}n b 的“上渐近值”，令2
1
12+++++=
n n n n n S S S S p ，求数列{}n p p p n 221-+++ 的“上渐近值”。

解：（1）02
1
111=-=
=a a a S ，即0=a （2）()2
11
1----=-=n n n n n a n na S S a
121---=⇒n n a n n a ()p n a n n n n 11
2
233432212-=⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--=
∴{}n a 是一个以0为首项，p 为公差的等差数列。

（3）()()2
121p
n n a a n S n n -=+=
，
2112+++++=
n n n n n S S S S p ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+=+++=211
2222n n n n n n ∴
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-++--++-+-+-+-=-+++211111161
41513141213112221n n n n n p p p n 3
21112321112112<⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=n n n n 又∵()32lim 21=-+++∞
→n p p p n n ，∴数列{}n p p p n 221-+++ 的“上渐近值”为3。

22.【文】设椭圆2211
x y m +=+的两个焦点是1F 、2F 。

（1）若在直线:2l y x =+上存在一点E ，且点E 在椭圆上，使得12||||EF EF +取得最
小值，求此最小值及此时椭圆的方程；
（2）在条件（1）下的椭圆方程，是否存在斜率为k （0k ≠）的直线L 与椭圆交于不
同的两点A 、B ，
满足AQ QB =，且使得过点(0,1)N -和Q 的直线有0NQ AB ⋅=？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由。

【文】（1）因为直线L 与椭圆相交时，取得最小值。

此时，由
22
2
2
(2)4(1)3(1)011
y x m x m x m x y m =+⎧⎪⇒+++++=⎨+=⎪
+⎩， 于是，有216(1)12(1)(2)02m m m m ∆=+-++≥⇒≥。

122||||a EF EF =+=≥2
213
x y +=。

（2）依题意，Q 是弦AB 的中点，且AB QN ⊥。

于是，可设00(,)A x m y n ++，
00(,)B x m y n --，00(,)Q x y ，从而有
2
2000002
200()()13
033()()1
3x m y n mx x n ny k m y x m y n ⎧+++=⎪⎪⇒+=⇒==-⎨-⎪+-=⎪⎩。

又因为0011QN y k x k +=
=-，由此可得032x k =-，01
2
y =。

注意到点Q 在椭圆的内部，故2
2
2
00131113324
x y k ⎛⎫+<⇒-+< ⎪⎝⎭，解之得201k <<，即(1,0)(0,1)k ∈-。

2006届第二学期高桥中学高三数学月考试卷（文）解答
一、填空题（本大题共有12个小题，每小题4分，满分共得48分）
1. 若6
1010C C r =，则r= 4或6 。

2．已知函数2
2()log (1)(0)f x x x =+≤，则1
(2)f
-=
-3. 如图所示，在两个椭圆盘中，指针在
本椭圆盘每个数所在区域的机会均等， 两个指针同时落在奇数所在 区域的概率是 49。

4. 已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|
，则P M 等于 {}Z x x x ∈≤≤,30| .
5. 已知)34
()34(01
)1(0
cos )(-+⎩⎨
⎧>+-≤=f f x x f x x x f 则π的值为 1 .
6. 若m x x f ++=)cos(2)(ϕω，
对任意实数t 都有)()4
(t f t f -=+π
，
且1)8
(-=π
f , 则实数m 的值等于 -3或1 .
7. 设全集U 是实数集R ，}4|{2
>=x x M ，}11
2
|{≥-=x x N ，
则图中阴影部分所表示的集合是 }21|{≤<x x . 8. 以下四个命题中，错误命题的序号．．．．．．．
是 ④ 。

①直线b a //，则a 、b 与直线l 所成的角相等;②直线b a //，则a 、b 与平面α所成的角相等;③直线l ⊥平面α，若平面α//平面β，则l ⊥β；④平面α⊥平面γ，若平面β⊥平面γ，则//αβ。

9. 已知2
2
)3,2(),1,(b
a x x +⋅==那么
的取值范围 ]4
2,4
2[- .
10. （文）实数x 、y 满足 ⎪⎩
⎪⎨⎧≥--≥-≥0220
0y x y x y ，则1
1+-=
x y k 的取值范围为 [
2
1,1] 。

11. 已知a b ∈R 、，定义：⑴ 设b a <，则;,b b a a b a =⊗=⊕ ⑵ 有括号的先计算括号.
那么下式 (2003⊕2004)⊗(2005⊕2006) 的运算结果为 2005 .
12. 函数2()43f x x x =-+，集合{(,)|()()0}M x y f x f y =+≤，{(,)|2,2}N x y x y =≤≤，
x 、y ∈R ，则集合N M 在直角坐标系中对应图形的面积是
2
π
.
二、选择题（本大题共有4个小题，每小题4分，满分共得16分）
13.设集合P={直线的倾斜角}，Q={两个向量的夹角}，R={两条直线的夹角}，
M={直线l 1到l 2的角}则必有 ( B ) A. Q R=P M B. R ⊂M ⊂P ⊂Q C. Q=R ⊂M=P D. R ⊂P ⊂M ⊂Q 14．等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项的和为S n ，当首项a 1和d 变化时，1182a a a ++ 是一个定值，则下列各数中也为定值的是 （ C ） A ．S 7 B ．S 8 C ．S 13 D ．S 15 15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上， 且13
AM =，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线
11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的
轨迹是 （ B ）
A ．圆
B ．抛物线
C ．双曲线
D ．直线
16．若圆x 2+y 2=r 2(r>0)至少能盖住函数
r
x x f 2sin
30)(π=
的一个最大值点和 一个最小值点，则r 的取值范围是 （ B ） A 、),30[+∞ B 、),6[+∞ C 、),2[+∞π D 、以上都不对
三、解答题
17．（满分12分）方程0222=+-x x 的根在复平面上对应的点是A 、B ， 点C 对应的复数满足()()6112
-=++z i ，求ABC ∆的最大内角的大小.
解：解方程0222=+-x x 得：x=1±i ,则A(1,1),B(1,-1).
又由()()6112
-=++z i 解得z=-1+3i ,则C （-1，3）.
∴AC =（-2，2），AB =（0，-2） cos A =
||||
AC AB AC
AB ⋅= -∴A=135O
18．[文] （满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，
90ABC ∠=，1PA AB
==，3AD =，且5
ADC ∠= (1) 三棱锥P ACD -的体积； (2)直线PC 与AB 所成角的大小.
__ C
_A
_ B
_M
A
P
B
D
C
解：(1)做CE ⊥AD 于E ，易得DE=2，∴BC=AE=1 ∴ACD ∆的面积为：S=
131322⨯⨯=， ∴三棱锥P-ACD 的体积V=13Sh=12
（2）连接PE.
∵AB ⊥AD ，AB ⊥PA ，AB ⊥平面PAD ，则AB ⊥PE ，又∵CE ∥AB ，∴CE ⊥PE. ∴∠PCE 是直线PC 与AB 所成的角，在Rt ⊿PEC 中，
，CE=1
∴tan ∠
，∴∠
，即直线PC 与AB 所成的角大小为
.
19．（本小题满分14分，第（1）题5分，第（2）题9分）
某轮船公司争取一个相距100海里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船的平均载客人数为
200人，轮船每小时使用的燃料费和轮船航行速度的平方成正比，轮船的最大速度为20海
里/小时，当船速为10海里/小时，它的燃料费用是每小时60元，其余费用（不论速度如何）总计是每小时150元，假定轮船从甲地到乙地匀速航行． （1）求轮船每小时的燃料费1W 与速度V 的关系式；
（2）若公司打算从每位乘客身上获得利润10元，试为该轮船公司设计一个较为合理的船票 价格（精确到1元）．
解：（1）由题意设21kV W =，把V=10，601=W 代入得k=0.6 ，所以216.0V W =……5分
（2）设从甲地到乙地的人均总费用为W ，则)150
1001006.0(20012V V V W ⨯+⋅=，
5.990755
6≈≥+=V
V W ，此时 V
V 755
6=，202
125
<=
V
……12分
所以船票20105.9≈+=（元） ……14分
20．已知函数b a bx ax x f ,(1)(2
++=为实数），x R ∈，⎩
⎨⎧<->=)0( )()0( )()(x x f x x f x F
（1）若01=-）（f ，且函数()f x 的值域为)0,+∞⎡⎣，求)(x F 表达式； （2）在（1）的条件下，当kx x f x g x -=-∈)()(, ]2,2[时是单调函数，
求实数k 的取值范围；
（3）设)(0,0,0x f a n m mn 且>>+<为偶函数，判断)()(n F m F +能否大于0. 解：（1）
(1)0f -= 01=+-b a ，又x R ∈时，()0f x ≥恒成立，
⎩⎨⎧≤-=∆>∴0
402
a b a 1,2,0)1(42==≤--∴a b b b ．
22
()21(1)f x x x x ∴=++=+
⎩⎨⎧<+->+=)
0(,)1()0(,)1()(2
2x x x x x F ……………………4分
（2）2
2
()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=+-+
=222(2)()124k k x --++-．∴ 当 22,2k -≥ 或 2
22
k -≤-时， 即6k ≥或2k ≤-时()g x 单调．……………………8分
（3）()f x 是偶函数， 2()1f x ax ∴=+， ⎩⎨
⎧<-->+=0
,10,1)(2
2x ax x ax x F
0mn <， 不妨设0,00,0m n m n m n ><+>>->则又，m n ∴>-
22()()()()11F m F n f m f n am an +=-=+--22()0a m n =-> ()()F m F n +能大于0．………12分
21．已知数列{}n a 有a a =1，p a =2（常数0>p ），对任意的正整数n ，
n n a a a S +++= 21，并有n S 满足2
)
(1a a n S n n -=。

（1）求a 的值；
（2）试确定数列{}n a 是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由； （3）对于数列{}n b ，假如存在一个常数b 使得对任意的正整数n 都有b b n <，且b b n n =∞
→l
i m ，
则称b 为数列{}n b 的“上渐近值”，令2
1
12+++++=
n n n n n S S S S p ，求数列{}n p p p n 221-+++ 的“上渐近值”。

解：（1）02
1
111=-=
=a a a S ，即0=a （2）()2
11
1----=-=n n n n n a n na S S a
121---=⇒n n a n n a ()p n a n n n n 11
2
233432212-=⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--=
∴{}n a 是一个以0为首项，p 为公差的等差数列。

（3）()()2121p
n n a a n S n n -=+=
， 2112+++++=n n n n n S S S S p ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+=+++=2112222n n n n n n
∴
⎪
⎭⎫ ⎝⎛+-++--++-+-+-+-=-+++21111116
1
41513141213112221n n n n n p p p n 3
21112321112112<⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=n n n n 又∵()32lim 21=-+++∞
→n p p p n n ，∴数列{}n p p p n 221-+++ 的“上渐近值”为3。

22.【文】设椭圆2211
x y m +=+的两个焦点是1F 、2F 。

（1）若在直线:2l y x =+上存在一点E ，且点E 在椭圆上，使得12||||EF EF +取得最
小值，求此最小值及此时椭圆的方程；
（2）在条件（1）下的椭圆方程，是否存在斜率为k （0k ≠）的直线L 与椭圆交于不
同的两点A 、B ，
满足AQ QB =，且使得过点(0,1)N -和Q 的直线有0NQ AB ⋅=？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由。

【文】（1）因为直线L 与椭圆相交时，取得最小值。

此时，由
2
22
2
(2)4(1)3(1)011
y x m x m x m x y m =+⎧⎪⇒+++++=⎨+=⎪
+⎩， 于是，有216(1)12(1)(2)02m m m m ∆=+-++≥⇒≥。

122||||a EF EF =+=≥2
213
x y +=。

（2）依题意，Q 是弦AB 的中点，且AB QN ⊥。

于是，可设00(,)A x m y n ++，
00(,)B x m y n --，00(,)Q x y ，从而有
2
2000002
200()()13
033()()1
3x m y n mx x n ny k m y x m y n ⎧+++=⎪⎪⇒+=⇒==-⎨-⎪+-=⎪⎩。

又因为0011QN y k x k +=
=-，由此可得032x k =-，01
2
y =。

注意到点Q 在椭圆的内部，故2
2
2
00131113324
x y k ⎛⎫+<⇒-+< ⎪⎝⎭，解之得201k <<，即(1,0)(0,1)k ∈-。