高数数学必修一《2.1.1不等关系与不等式》教学课件

用作差法比较两个实数大小的一般步骤
跟踪训练2 已知x∈R，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小．
解析：(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝(x4＋2x2＋1)－(x4＋x2＋1)＝x2. ∵x2≥0，∴(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)≥0， 即(x2＋1)2≥x4＋x2＋1，当且仅当x＝0时取等号．
答案：C
解析：由长、宽、高之和不超过130 cm得a＋b＋c≤130，由体积不超过72 000 cm3得abc≤72 000.故选C.
2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人400元，请瓦工需付工 资每人500元，现有工人工资预算不超过20 000元，设木工x人，瓦工y 人，则工人满足的关系式是( )
题型 2 作差法比较大小 【问题探究2】 在初中我们学过数轴上的点与实数一一对应，可以 利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定 的呢？
提示：设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a<b；当 点A在点B的右边时，a>b.
例2 比较下列各组中代数式的大小． (1)2a(a＋2)与(a－1)(a＋3)，其中a>0； (2)2a2＋2b2与(a＋b)2.
解析：(1)(2a2＋4a)－(a2＋2a－3)＝a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2>0， 故2a(a＋2)>(a－1)(a＋3)． (2)2a2＋2b2－(a＋b)2＝2a2＋2b2－a2－2ab－b2 ＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2， 因为(a－b)2≥0，所以2a2＋2b2≥(a＋b)2.
题后师说
A．4x＋5y≤200 B．4x＋5y<200 C．5x＋4y≤200 D．5x＋4y<200
答案：A
解析：由题意，可得400x＋500y≤20 000，化简得4x＋5y≤200.故选A.
3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( ) A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．与x有关
答案：A
随堂练习 1.铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外 部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm，且体积不超过72 000 cm3，设 携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c(单位：cm)，这个规定 用数学关系式可表示为( ) A．a＋b＋c<130且abc<72 000 B．a＋b＋c>130且abc>72 000 C．a＋b＋c≤130且abc≤72 000 D．a＋b＋c≥130且abc≥72 000二、两个实数的大小关系❷
a>b⇔___a_－_b_>0______
依据 a＝b⇔___a－__b＝_0______
a<b⇔___a_－_b_<_0_____
结论
要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的____差____ 与0的大小
【即时练习】 已知M＝x2＋5x＋6，N＝2x2＋5x＋8，则M，N的大 小关系是___M_<N____．
证明：因为a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b＝a(a2－b2)＋b(b2－a2)＝(a2－b2)(a－ b)＝(a＋b)(a－b)2，
因为a>0，b>0，所以(a＋b)(a－b)2≥0， 当且仅当a＝b时，等号成立， 所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0， 所以a3＋b3≥ab2＋a2b.
学霸笔记：比较两个数的大小关系，最基本的方法是利用作差法， 通过因式分解或配方的方法，把“差”转化成几个因式乘积的形式， 通过逻辑推理得到每一个因式的符号，从而判定两个数的大小关系， 通过逻辑推理进行证明．
跟踪训练3 已知a>0，b>0.求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)．
证明：因为a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0， 当且仅当a＝b时，等号成立， 所以a2＋3b2≥2b(a＋b)．
题型 3 重要不等式 【问题探究3】 如图是由在北京召开的第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图 形，你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的 大小吗？从中你能得出哪个不等式？它们之间有可能相等吗？如果相
等，则应该满足什么条件呢？
例3 已知a>0，b>0，求证：a3＋b3≥ab2＋a2b.
提示：①最低限速50 km/h，v≥50.②限制质量10 t，0<ω≤10.③限制高度3.5 m，0<h≤3.5.④限制宽度3 m， 0<x≤3.⑤时间范围7：30～10：00，7.5≤t≤10.
例1 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情况下，生产空 调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电 产品每台所需工时如下表：
【即时练习】 据天气预报可知明天白天的最高温度为13 ℃，则明 天白天的气温t与13 ℃之间存在的不等关系是( )
A. t≤13 ℃ B．t＜13 ℃ C．t＝13 ℃ D．t＞13 ℃
答案：A
解析：∵明天白天的最高温度为13 ℃，∴明天白天的气温t与13 ℃之间存在的不等关系是t≤13 ℃，故选 A.
第1课时 不等关系与不等式
预学案
共学案
预学案
一、不等关系与不等式❶ (1)在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和_不_等_关__系___，常 用__不_等__式___来研究含有不等关系的问题． (2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或__代_数_式____， 以表示不等关系．“a≠b”应包含“a>b”或“a<b”．
解析：由于N－M＝x2＋2>0，所以M<N.
三、重要不等式 ∀a ， b ∈ R ， a2 ＋ b2____≥____2ab ， 当 且 仅 当 ___a_＝_b___ 时 ， 等 号 成 立．
【 即 时 练 习 】 已 知 x ， y∈R ， 且 x2 ＋ y2 ＝ 4 ， 则 xy 的 最 大 值 是 ____2____．
家电名称 空调 彩电 冰箱
工时(h)
1 2
1 3
1 4
若每周生产空调x台、彩电y台，试写出满足题意的不等式组．
题后师说
用不等式(组)表示不等关系的步骤
跟踪训练1 (1)雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5 倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是 __4_.5_t<_2_8 0_0_0____．
微点拨❶ (1) 不 等 关 系 强 调 的 是 关 系 ， 可 用 “>”“<”“≠”“≥”“≤” 表 示．而不等式则是表示两者不等关系的式子，如 “a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”． (2)利用不等式表示不等关系时，应注意所比较的两个(或几个)量必 须具有相同性质，才可以进行比较，没有可比性的两个(或几个)量之 间不能用不等式表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题中的不等 关系时，一定要注意单位的统一．
解析：由于x2＋y2≥2xy，所以2xy≤4，故xy的最大值为2.
微点拨❷ 比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与 差的具体数值无关．
共学案
【学习目标】 (1)能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系． (2)初步学会作差法比较两实数的大小．
题型 1 用不等式(组)表示不等关系 【问题探究1】 生活中，我们经常看到下列标志，你知道它们的意 思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？
(2)一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来 多19 km，那么在8天内它的行程将超过2 200 km，用不等式表示为 _8_(x_＋_1_9)_>2_2_0_0 ___．
解析：(1)由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000. (2)因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，所以汽车每天行驶的路程为(x＋19)km，则在8天内它的行 程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表 示．
解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝(x＋12)2＋34>0，所以M>N.故选A.
4．若实数a≥b，则a2－ab____≥____ba－b2(填“≥”或“≤”)．
解析：因为a≥b，所以a－b≥0，所以(a2－ab)－(ba－b2)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，即a2－ab≥ba－b2.
课堂小结 1.用不等式(组)表示不等关系． 2．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法． 3．重要不等式∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab的应用．