浅谈有关恒成立问题的解题策略与技巧
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● 题目：等差数列 {an} 中，a1>0，a7+a8>0，a8<0，则使 an>0 成立的最大自然数 n 为 _______．
● 题目：已知数列 {an} 中，a₁ = - 1，且 (1/an₊₁) = (1/an) + (1/3) (n ∈ N*)，则 a₁₀ = _______．
● 题目：已知数列 {an} 中，Sn 是数列 {an} 的前 n 项和，若对于任意的正整数 n，an，Sn，n 成等差数列，则 S100 = _______．
Part Three
解题策略与技巧
构造函数法
构造函数法的定义
构造函数法的解题步骤
构造函数法的适用范围 构造函数法的注意事项
分离参数法
定义：将恒成立问题中的参数分离出来，单独考虑参数的取值范围 适用范围：适用于参数与变量之间存在明显分离的情况 解题步骤：先确定参数的取值范围，再根据参数的取值范围求解变量的取值范围 注意事项：注意参数的取值范围是否合理，以及变量取值范围的确定方法
换元法
定义：将一个或多个变量用另一个变量代替，从而使问题简化 适用范围：适用于形如“ax+b/cx+d”的表达式 解题步骤：选择适当的变量进行替换，化简原式，得出答案 注意事项：替换后的变量范围要保持一致
数形结合法
定义：将数学问题 与图形相结合，通 过图形的直观性来 理解和解决数学问 题
应用范围：适用于 函数、不等式、方 程等问题的求解
恒成立问题的解题策略 与技巧
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
目录
01 添 加 目 录 项 标 题 03 解 题 策 略 与 技 巧
02 恒 成 立 问 题 的 类 型 与特点
04 典 型 例 题 解 析
05 解 题 注 意 事 项
06 总 结 与 展 望
注意函数的单调性
判断函数在区间上的单调性 利用函数的单调性比较大小 利用函数的单调性求最值 利用函数的单调性解不等式
注意数形结合的应用
理解数形结合的概 念和意义
掌握数形结合的常 见形式和技巧
注意数形结合在解 题中的应用，如函 数图像与不等式解 集的对应关系
避免数形结合的误 区和陷阱，如误将 函数图像与函数解 析式混淆
特点：涉及到的函数形式多 样，包括正弦、余弦、正切 等
定义：在给定条件下，对于 某个三角函数表达式恒成立 的问题
常见类型：求最值、判断单 调性、求周期等
解题策略：利用三角函数的 性质和图像，结合题目条件
进行求解
抽象函数恒成立问题
添加 标题
定义：抽象函数恒成立问题是指给定一个抽象函数， 要求证明该函数在某个区间内恒成立的问题。
添加 标题
类型：根据抽象函数的性质和特点，可以分为多种类 型，如指数型、对数型、三角函数型等。
添加 标题
特点：抽象函数恒成立问题通常涉及到函数的性质、 单调性、有界性等，需要运用多种数学方法进行综合 分析。
添加 标题
解题策略与技巧：对于抽象函数恒成立问题，需要先 分析函数的性质，确定问题的类型，然后选择合适的 数学方法进行证明。同时，需要注意函数的定义域、 值域等限制条件，确保证明的严密性和准确性。
THANKS
汇报人：
展望未来可能出现的恒成立问题类型
函数恒成立问题：探讨函数在定义域内恒成立的条件和性质 三角函数恒成立问题：研究三角函数在特定条件下恒成立的条件和性质 不等式恒成立问题：探讨不等式在特定条件下恒成立的条件和性质 数列恒成立问题：研究数列在特定条件下恒成立的条件和性质 解析几何恒成立问题：探讨解析几何在特定条件下恒成立的条件和性质
Part One
单击添加章节标题
Part Two
恒成立问题的类型 与特点
函数恒成立问题
函数恒成立问 题的定义
函数恒成立问 题பைடு நூலகம்特点
函数恒成立问 题的类型
函数恒成立问 题与函数单调
性的关系
数列恒成立问题
数列的概念与性质
数列恒成立问题的特点
数列恒成立问题的类型 数列恒成立问题的解决方法
三角函数恒成立问题
总结：该例题展示了抽象函数恒成立问题的一种 常见解题思路，对于类似的问题可以借鉴此方法 进行求解
Part Five
解题注意事项
注意题目中的隐含条件
仔细审题，挖掘题目中的隐含条件 掌握常见函数的性质和图像 灵活运用转化与化归思想 注意分类讨论和数形结合的应用
注意参数的取值范围
参数的取值范围是解题的关键 确定参数的取值范围的方法 参数的取值范围对解题的影响 掌握参数的取值范围有助于提高解题效率
三角函数恒成立问题的解题技巧
添加标题
添加标题
三角函数恒成立问题的解题思路
添加标题
添加标题
典型例题的解析过程
抽象函数恒成立问题例题解析
题目：求函数f(x) = x^2 + 2x + 1在区间[-1,2] 上的最小值
解析：利用二次函数的性质，将函数化为完全平 方的形式，再利用区间端点值和对称性求解
结论：通过解析该例题，我们掌握了抽象 函数恒成立问题的一种解题策略，即先进 行变量代换，再利用函数的性质进行化简 和求解
解题步骤：先根据 题意绘制图形，再 通过观察图形找出 数学关系，最后利 用数学知识求解
注意事项：要确保 绘制的图形准确无 误，并根据图形找 出正确的数学关系
Part Four
典型例题解析
函数恒成立问题例题解析
一次函数恒 成立问题
二次函数恒 成立问题
指数函数恒 成立问题
幂函数恒成 立问题
数列恒成立问题例题解析
Part Six
总结与展望
总结恒成立问题的解题策略与技巧
解题策略：利用函数的性质、数形结合、转化与化归等策略进行求解 解题技巧：选择合适的变量、构造函数、利用函数的单调性等技巧进行求解 注意事项：注意恒成立问题与不等式问题的区别，注意问题的转化与化归 总结：通过以上策略和技巧的介绍，可以更好地解决恒成立问题，提高解题效率
● (1) 求数列 {an} 的通项公式； ● (2) 设 bn = (3/((2a n - 11)(2an + 1 - 11))，求数列 {bn} 的前 n 项和为 Tn，并求使不等式 Tn >
k/20对一切 n ∈ ℕ* 都成立的最大正整数 k 的值．
三角函数恒成立问题例题解析
三角函数恒成立问题的常见类型
● 题目：已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，点 (n，Sn/n) 在直线 y = (1/2)x + (11/2) 上． (1) 求数列 {an} 的通项公式； (2) 设 bn = (3/((2an - 11)(2an + 1 - 11))，求数列 {bn} 的前 n 项和为 Tn，并求使不等式 Tn > k/20对一切 n ∈ ℕ* 都成立的最大正整数 k 的值．
● 题目：已知数列 {an} 中，a₁ = - 1，且 (1/an₊₁) = (1/an) + (1/3) (n ∈ N*)，则 a₁₀ = _______．
● 题目：已知数列 {an} 中，Sn 是数列 {an} 的前 n 项和，若对于任意的正整数 n，an，Sn，n 成等差数列，则 S100 = _______．
Part Three
解题策略与技巧
构造函数法
构造函数法的定义
构造函数法的解题步骤
构造函数法的适用范围 构造函数法的注意事项
分离参数法
定义：将恒成立问题中的参数分离出来，单独考虑参数的取值范围 适用范围：适用于参数与变量之间存在明显分离的情况 解题步骤：先确定参数的取值范围，再根据参数的取值范围求解变量的取值范围 注意事项：注意参数的取值范围是否合理，以及变量取值范围的确定方法
换元法
定义：将一个或多个变量用另一个变量代替，从而使问题简化 适用范围：适用于形如“ax+b/cx+d”的表达式 解题步骤：选择适当的变量进行替换，化简原式，得出答案 注意事项：替换后的变量范围要保持一致
数形结合法
定义：将数学问题 与图形相结合，通 过图形的直观性来 理解和解决数学问 题
应用范围：适用于 函数、不等式、方 程等问题的求解
恒成立问题的解题策略 与技巧
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
目录
01 添 加 目 录 项 标 题 03 解 题 策 略 与 技 巧
02 恒 成 立 问 题 的 类 型 与特点
04 典 型 例 题 解 析
05 解 题 注 意 事 项
06 总 结 与 展 望
注意函数的单调性
判断函数在区间上的单调性 利用函数的单调性比较大小 利用函数的单调性求最值 利用函数的单调性解不等式
注意数形结合的应用
理解数形结合的概 念和意义
掌握数形结合的常 见形式和技巧
注意数形结合在解 题中的应用，如函 数图像与不等式解 集的对应关系
避免数形结合的误 区和陷阱，如误将 函数图像与函数解 析式混淆
特点：涉及到的函数形式多 样，包括正弦、余弦、正切 等
定义：在给定条件下，对于 某个三角函数表达式恒成立 的问题
常见类型：求最值、判断单 调性、求周期等
解题策略：利用三角函数的 性质和图像，结合题目条件
进行求解
抽象函数恒成立问题
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定义：抽象函数恒成立问题是指给定一个抽象函数， 要求证明该函数在某个区间内恒成立的问题。
添加 标题
类型：根据抽象函数的性质和特点，可以分为多种类 型，如指数型、对数型、三角函数型等。
添加 标题
特点：抽象函数恒成立问题通常涉及到函数的性质、 单调性、有界性等，需要运用多种数学方法进行综合 分析。
添加 标题
解题策略与技巧：对于抽象函数恒成立问题，需要先 分析函数的性质，确定问题的类型，然后选择合适的 数学方法进行证明。同时，需要注意函数的定义域、 值域等限制条件，确保证明的严密性和准确性。
THANKS
汇报人：
展望未来可能出现的恒成立问题类型
函数恒成立问题：探讨函数在定义域内恒成立的条件和性质 三角函数恒成立问题：研究三角函数在特定条件下恒成立的条件和性质 不等式恒成立问题：探讨不等式在特定条件下恒成立的条件和性质 数列恒成立问题：研究数列在特定条件下恒成立的条件和性质 解析几何恒成立问题：探讨解析几何在特定条件下恒成立的条件和性质
Part One
单击添加章节标题
Part Two
恒成立问题的类型 与特点
函数恒成立问题
函数恒成立问 题的定义
函数恒成立问 题பைடு நூலகம்特点
函数恒成立问 题的类型
函数恒成立问 题与函数单调
性的关系
数列恒成立问题
数列的概念与性质
数列恒成立问题的特点
数列恒成立问题的类型 数列恒成立问题的解决方法
三角函数恒成立问题
总结：该例题展示了抽象函数恒成立问题的一种 常见解题思路，对于类似的问题可以借鉴此方法 进行求解
Part Five
解题注意事项
注意题目中的隐含条件
仔细审题，挖掘题目中的隐含条件 掌握常见函数的性质和图像 灵活运用转化与化归思想 注意分类讨论和数形结合的应用
注意参数的取值范围
参数的取值范围是解题的关键 确定参数的取值范围的方法 参数的取值范围对解题的影响 掌握参数的取值范围有助于提高解题效率
三角函数恒成立问题的解题技巧
添加标题
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三角函数恒成立问题的解题思路
添加标题
添加标题
典型例题的解析过程
抽象函数恒成立问题例题解析
题目：求函数f(x) = x^2 + 2x + 1在区间[-1,2] 上的最小值
解析：利用二次函数的性质，将函数化为完全平 方的形式，再利用区间端点值和对称性求解
结论：通过解析该例题，我们掌握了抽象 函数恒成立问题的一种解题策略，即先进 行变量代换，再利用函数的性质进行化简 和求解
解题步骤：先根据 题意绘制图形，再 通过观察图形找出 数学关系，最后利 用数学知识求解
注意事项：要确保 绘制的图形准确无 误，并根据图形找 出正确的数学关系
Part Four
典型例题解析
函数恒成立问题例题解析
一次函数恒 成立问题
二次函数恒 成立问题
指数函数恒 成立问题
幂函数恒成 立问题
数列恒成立问题例题解析
Part Six
总结与展望
总结恒成立问题的解题策略与技巧
解题策略：利用函数的性质、数形结合、转化与化归等策略进行求解 解题技巧：选择合适的变量、构造函数、利用函数的单调性等技巧进行求解 注意事项：注意恒成立问题与不等式问题的区别，注意问题的转化与化归 总结：通过以上策略和技巧的介绍，可以更好地解决恒成立问题，提高解题效率
● (1) 求数列 {an} 的通项公式； ● (2) 设 bn = (3/((2a n - 11)(2an + 1 - 11))，求数列 {bn} 的前 n 项和为 Tn，并求使不等式 Tn >
k/20对一切 n ∈ ℕ* 都成立的最大正整数 k 的值．
三角函数恒成立问题例题解析
三角函数恒成立问题的常见类型
● 题目：已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，点 (n，Sn/n) 在直线 y = (1/2)x + (11/2) 上． (1) 求数列 {an} 的通项公式； (2) 设 bn = (3/((2an - 11)(2an + 1 - 11))，求数列 {bn} 的前 n 项和为 Tn，并求使不等式 Tn > k/20对一切 n ∈ ℕ* 都成立的最大正整数 k 的值．