5.6 《几何证明举例》教案第2课时
几何证明举例学案
几何证明举例——有关全等三角形的证明第一课时教学目标：1、会证明“AAS”定理，并会应用三角形全等的判定方法证明三角形全等。
2、根据判定两个三角形是否全等，进而推证有关线段和角相等。
3、知道证明的过程有不同的表达形式，学会综合法证明的书写格式。
4、在证明过程中体会数学的转化思想。
学习过程一、复习引入1、同学们还记得有关全等三角形的几个基本事实吗?2、全等三角形的判定方法有哪些？它有什么性质？其中哪些是基本事实？3、几何证明的步骤是什么？二、探究证明1、求证：如果一个三角形的两角及其中一角的对边与另一个三角形的两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。
2、 例 已知：如图，AB =AC ，DB =DC .求证：∠B =∠C .3、变式1、 已知：如上图，AB =AC ，∠B =∠C .求证： DB =DC .练习、已知：如图，PB =PC ，CE 、BD 相交于点P ，∠BDA =∠CEA. 求证：AB =AC.ACB D5、合作与探究两个全等三角形的对应边上的高线、对应边上的中线、对应角的平分线有什么性质呢？三、课堂小结1、判定三角形全等的方法有:————————————————————————————。
2、证明全等的思路：3、利用三角形全等可以得到线段相等或角相等.4、证明两条线段（或角）相等的方法：C ABD PE四、当堂达标1、如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙Ｂ．乙和丙Ｃ．只有乙Ｄ．只有丙2．如图,已知MB＝ND,∠MBA＝∠NDC,下列不能判定△ABM ≌△CDN的条件是（）A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM ∥CN3．某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是（）A．带①去B．带②去 c . 带③去D．带①和②去4：如图，AC 和BD 相交于点O,OA=OC,OB=OD求证：DC ∥AB5、选作题（1）如图，△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝４５°Ｈ是高ＡＤ和高ＢＥ的交点 。
几何证明教案
几何证明教案一、教学目标1. 理解几何证明的定义和意义，明确几何证明的基本要素；2. 学会运用几何证明的方法和技巧，提高解决几何问题的能力；3. 培养学生的逻辑思维和推理能力，培养学生的分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 几何证明的基本概念和要素；2. 几何证明的方法和技巧；3. 经典几何定理的证明。
三、教学过程第一节：几何证明的基本概念和要素1. 引入几何证明是数学中重要的内容，它能够帮助我们理解几何定理，并且培养我们的思维能力。
今天我们将学习几何证明的基本概念和要素。
2. 几何证明的定义几何证明是通过推理和演绎的方法，从已知条件出发，运用几何定理和几何关系，推导出所要证明的结论的过程。
几何证明需要严谨的推理和逻辑思维，才能确保证明的正确性。
3. 几何证明的要素（1）已知条件：几何证明的起点，是所给出的已知事实或条件，可以是已知长度、角度、线段等几何要素。
（2）待证结论：几何证明的终点，是需要证明的结论，通常是要证明某种几何关系或定理。
（3）证明步骤：推导过程中的每一步操作和推理，需要采用几何定理或几何关系，确保每一步都是可靠的。
4. 案例分析通过一个具体的案例来理解几何证明的概念和要素。
案例：证明等腰三角形的底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC。
待证：∠B=∠C。
证明步骤：（1）画出△ABC的示意图，标明已知条件和待证结论。
（2）由已知条件AB=AC，得到线段AB≌AC。
（3）再由线段等长的性质得到∠ABC≌∠ACB。
（4）根据等角三角形的性质，可得到∠B=∠C。
通过以上步骤，我们完成了等腰三角形底角相等的证明。
第二节：几何证明的方法和技巧1. 直接证明法直接证明法，也称为正向证明法，是指直接从已知条件出发，经过一系列合理的推理和推导，得到待证结论。
这是最常用的证明方法之一。
2. 反证法反证法是指假设待证结论不成立，通过逻辑推理的方法，推导出与已知条件矛盾的结论，从而得出待证结论成立的结论。
《几何证明举例》教案 (公开课获奖)
§5.6 几何证明举例（2）教学目标：1. 学生能够证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
2. 会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的证明和计算。
3. 应用等腰三角形的性质和判定进一步认识等边三角形。
4. 培养学生分析问题和逻辑推理的能力。
教学重、难点：重点：会证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
难点：等腰三角形的性质定理和判定定理的应用。
教学准备：电子白板、直尺、圆规、直角三角板教学过程一、情境导入、复习回顾1、等腰三角形的性质是什么，这个命题的逆命题是什么？二、交流展示(鼓励学生自己写出证明的过程，注意几何证明的三步)（1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？怎样证明。
证明：等腰三角形的两个底角相等。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC求证：∠B=∠C法1证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D∴∠BAD = ∠CAD (角平分线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)∠BAD = ∠CAD (已证)AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD(SAS)∴∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等)法2证明：作BC边上的中线 AD∴ BD = CD (中线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)BD = CD （已证）AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD( SSS )∴∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)（2）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是真命题吗，怎样证明它的正确性？证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
已知：如图，在如图，在△ABC中，∠B=∠C求证：AB=AC证明：作AD⊥BC,垂足为D则∠ADB=∠ADC=90°(垂直的定义)，在△ABD和△ACD中，∵∠B=∠C (已知)，∠ADB=∠ADC=90°(已证)AD=AD (公共边)∴△ABD≌△ACD (AAS)∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)(3) 利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明：(鼓励学生当老师讲给其他同学听)①等边三角形的每个内角都是60°②三个角都相等的三角形是等边三角形。
沪教版八年级数学上册几何证明第三节证明举例(2)教案
（3）证明举例（二）【知识要点】知识点1 添辅助线由于证明的需要,可以在原来的图形上添画一些线,即添加辅助线来完成一些几何证明.辅助线通常画成虚线.【学习目标】1.掌握证明的步骤以及理论依据;2.会将复杂的问题转化为较为熟悉的或已掌握的基本图形问题,借助添加辅助线来实现转化.【典型例题】【例1】 如图1,已知ABC ∆为等边三角形,延长BC 到D ,延长BA 到E ,使AE BD =,连接CE 、DE .求证：CE DE =. 【分析】在应用全等三角形的性质和判定来证明线段或角相等时,如果图形不全,就需要运用辅助线构造出所需的全等三角形,达到证明的目的. 【解答】 延长CD 到F ,使CF AE =,连接EF .ABC ∆是等边三角形∴,60AB BC B =∠=︒∴AB AE BC CF +=+（等式性质） E 即BE BF = 又60B ∠=︒∴BEF ∆为等边三角形.∴,60BE EF B F =∠=∠=︒,AE BD CF AE == B C D F ∴BD CF = 图1 ∴BD CD CF CD -=- 即BC DF =在EBC ∆和EFD ∆中 EB EF = B F ∠=∠ BC FD =∴EBC ∆≅EFD ∆S.A.S)( ∴CE DE =A【例2】 如图2,已知在ABC ∆中,AD 是中线,BE 交AD 于点F ,AE EF =.求证：AC BF =.【分析】本例通过添加辅助线,把要证明的两条线段“移”到同一个三角形内,构造等腰三角形证得.【解答】 延长AD 到点G ,使DG AD =,连接BG .在ACD ∆和GBD ∆中AD GD =（已知）ADC GDB ∠=∠（对顶角相等） A CD BD =（已知）∴ACD GBD ∆≅∆(S.A.S) F∴,AC GB DAC G =∠=∠ B（全等三角形的对应边、对应角）相等）.AE EF =（已知）∴DAC AFE ∠=∠（等边对等角） 又AFE BFG ∠=∠（对顶角相等）∴BFG G ∠=∠（等量代换） G ∴BG BF =（等角对等边） 图2 ∴AC BF =（等量代换）【例3】 如图3,已知ABC ∆中,AD 是BAC ∠的角平分线,2B C ∠=∠.求证：AB BD AC +=. 【分析】证明一条线段等于另两条线段之和,常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段,再证明延长部分与另一段相等即可,或者在长线段上截取一条线段等于短线段,再证明余下部分等于另一条短线段.【解答】 延长AB 至E ,使AE AC =,连接DE .AC AE = A EAD CAD ∠=∠AD AD =∴ACD AED ∆≅∆(S.A.S)∴C E ∠=∠（全等三角形对应角相等） B D C,2ABD E BDE ABD C ∠=∠+∠∠=∠∴2ABD E ∠=∠ 图3 ∴E BDE ∠=∠∴BD BE =（等角对等边） ∴AC AB BD =+（等量代换）EED C【例4】如图4,在四边形ABCD 中,60,30,,DAB DCB AD AB ∠=∠==试证明线段CD BC AC 、、能构成直角三角形.【分析】 本题的关键是要将CD BC AC 、、三条线段放到一个三角形中,然后才能判断其形状,其中的60°角又是构造等边三角形的必不可少的条件,因此,通过旋转60°,既保证了图形的不变性,又构造了等边三角形.【解答】如图5,由于60,,DAB AD AB ∠==因此可将ABC ∆绕A 点逆时针方向旋转 60°到ADE ∆处,且B 落在D 处, 则ABC ∆≌ADE ∆. 所以 ,EAD CAB ∠=∠,EDA B ∠=∠.DE BC =因为60,DAB ∠= 所以60.EAC ∠=所以EAC ∆为等边三角形. 所以.EC AC AE ==所以EDC ∆为线段CD BC AC 、、构成的三角形. 因为360,DAB B BCD CDA ∠+∠+∠+∠=360,,60,30,90.EDA CDA CDE EDA B DAB DCB CDE ∠+∠+∠=∠=∠∠=∠=∠=所以所以线段CD BC AC 、、能构成直角三角形.图4DCBA【基础训练】1． 如图,等边ABC ∆中,,BD CE = AD 与BE 相交于点P ,那么APE ∠=度.2． 如图,在ABC ∆中,34,B ∠= 104,ACB ∠=AD 平分,BAC AE ∠为BC 边上的高,则.DAE ∠=3． 如图,ABC ∆中,,AB AC =,D E F BC AC AB 、、分别是、、上的点,BF CD BD CE ==且EDF A ∠∠那么等于（用的代数式表示）.4. 如图,已知,,AB AD B D =∠=∠在求证BC DC =的过程中,正确添加辅助线的方法是： 联结 .5.在ABC ∆中,高AD 与高BE 相交于点H ,且,BH AC =那么ABC ∠的度数等于 度数等于 .E图5CBA第1题图CD BA第2题图AE B【能力提高】1. 如图,,,BD CD B C =∠=∠求证：.AC AB =第3题图DCBA第4题图DCBA第1题图CBA2. 证明：两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.(请画出图形,将命题写成“已知”、“求证”的形式后再证明)3. 如图,在ABC ∆中,AB AC =,108A ∠=,BD 平分,ABC ∠求证：.BC AB CD =+4. 在ABC ∆中,90A ∠=,AB AC =,D 为斜边BC 的中点,点E F 、分别在AB AC 、上,且BE AF =.（1） 以D 为对称中心,画出BDE ∆的中心对称图形CDG ∆; （2） 联结FG ,CFG ∆是什么三角形？试说明理由; （3） EF 与FG 相等吗？试说明理由.、第3题图CBA第4题图D CBA5. 如图点O 是等边ABC ∆内一点,110,135,AOB BOC ∠=∠=问（1） 以OA OB OC 、、为边能否构成一个三角形？若能,试求出该三角形各内角的度数;若不能,说明其理由;（2） 如果AOB ∠的大小保持不变,那么当BOC ∠等于多少度时,以OA OB OC 、、为边的三角形是直角三角形？第5题图CBA。
5.6几何证明举例(2) A课教案
八年级数学上册教案5.6几何证明举例（2）A课（基础卷）1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，连接AD，＝16cm，AB＝5cm，若△ABD的周长C△ABD则线段BC的长度等于（）A．8cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm2.一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为（）A．24°B．30°C．36°D．48°4．如图，已知△ABC中，∠ABC＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分別交AB、BC于点M、N．若M在P A的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（）A．100°B．105°C．115°D．无法确定5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC＝BE B．EC＝BE C．BC＝EC D．AE＝EC5.6几何证明举例（2）A课（提高卷）6．如图，在△ABC中，AB＝AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．（1）如图（1），若∠A＝40°，则∠NMB＝度；（2）如图（2），若∠A＝70°，则∠NMB＝度；（3）如图（3），若∠A＝120，则∠NMB＝度；（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．。
幸福教育教案
第11.5章（单元）《几何证明举例（第2课时）》学案设计人: 陈勇审批人: 时间:一、学习目标：1.学生会根据三角形全等推导“HL”定理；2.熟练应用“斜边、直角边”定理。
二、学习过程：（一）情境导入：小明在参加教具制作活动中，发现在制作直角三角板时，甲、乙、丙三位同学将运用三种相同的设计板料，但他们的组装顺序不同（勾-股-弦，股-弦-勾，弦-勾-股），他们制作的直角三角板相同吗，画一画，试一试，说出你的意见？设置这一情景，动手实践与学生的知识积累实际紧密相连且有区别，有利于激发学生的学习兴趣，培养学生的探究意识。
2、合作探究的内容1.问题导读：1.问题导读：1、一个直角三角形的两条直角边与另一个直角三角形的两条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？画图并证明。
2、一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？（试着写出“已知”“求证”，并证明。
）已知：求证：证明：2.合作交流：求证：到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上已知：求证：3、达标测试题目1、巩固新知：已知：如图，BD、CE是ΔABC的高，且BD=CE.求证：∠BCE=∠CBD2、能力提升：如图，在RtΔABC中，∠A=90°，AB=AC,BD是角平分线，DE⊥BC,点E是垂足，如果BC=10cm，那么ΔDEC的周长是 cm.（四）达标测评：1、选择题：（1）如图所示，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF交于点O，下列结论正确的是（）①△ABE≌ACF ②△BOF≌COE ③Ｏ点在∠BAC的平分线上A. ①B. ②C. ①②D. ①②③（2）下列命题中，错误的是（）A. 两条直角边对应相等两个直角三角形全等B. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等C. 斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等D. 斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等2、解答题：（3）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
5.6几何证明举例(2)教案
青岛版八年级数学上册第五章《几何证明初步》《5.6几何证明举例》第二课时教学设计高唐县第二实验中学王春娥5.6几何证明举例（2）【教学目标】1．证明等腰三角形的性质定理及判定定理；等边三角形的性质定理及判定定理.理解上述定理的作用，并会运用上述定理，证明有关的命题.2．掌握基本的证明方法，会通过分析的方法探索证题的思路.3．进一步体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，发展推理的能力.【教学重点】等腰三角形证明思路的分析和步骤的叙述.【教学难点】等腰三角形证明思路的分析和步骤的叙述.【教学措施】以多媒体为教学平台，采用启发式教学与师生互动式教学模式.通过精心设计的问题与活动，不断创造思维兴奋点，让学生在学习过程中探索证明的方式方法.教给学生多观察、勤动手、肯钻研的研讨式学习方法，使学生在动脑、动手、动口的过程中获得充足的体验与发展，从而提高学生的学习主动性与积极性.【教学过程】一、创设情境、导入新课播放微课视频前，向学生提出问题：从视频中可以知道哪些知识？提出问题：刚才视频中提到的“等边对等角”指的是什么？（等腰三角形的两个底角相等）你还记得这条性质是怎样得到的吗？不妨用你手中的等腰三角形卡纸再体验一下吧.你能用基本事实以及已有的定义和定理，对它的真实性进行证明吗？设计意图：向学生抛出问题，让学生在动脑、动手、动口的过程中感受合情推理获取结论的过程，为本节课演绎推理做好铺垫，以此激发学生的探究欲望，调动学生的学习兴趣.二、合作交流、探求新知【活动一】证明：等腰三角形的两个底角相等.思考：1.这个命题的条件和结论分别是什么？为了推理时叙述方便，我们还要把文字语言“翻译”成图形语言和数学符号语言，怎样画图？怎样写出已知和求证？（引导学生按着几何证明的三个步骤，先画出图形、写出已知和求证）2.由折叠的操作方法启发学生，让他们意识到折痕也就是我们要添加的辅助线，并在学生交流的基础上给出小莹的证法：已知：如图,在△ABC中,AB=AC.求证：∠B=∠C证明：作∠A的平分线AD，与BC交于点D则∠BAD= ∠CAD（角平分线的定义）在△ABD和△ACD中，∵AB=AC（已知）∠BAD= ∠CAD（已证）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（SAS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角的定义）你同意她的证法吗？你还能给出其他的证法吗？选学生代表发言.通过证明，我们得到等腰三角形的性质定理1 等腰三角形的两个底角相等.符号表示：在△ABC中，∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等腰三角形的两个底角相等）设计意图：通过折纸引导学生回顾第2章探索“等腰三角形的两个底角相等”的过程，启示学生怎样添加辅助线.通过证明让学生感受演绎推理和利用轴对称性探索结论二者的不同，也为后面验证“等腰三角形的性质定理2”做好铺垫.【活动二】在刚才的证明方法中，分别是怎样添加辅助线的？请体会添加辅助线对于证明上面命题的结论起到了什么作用？小组简单交流后，选代表发言：这些证法都是通过添加辅助线，使等腰三角形的两个底角分别成为两个全等三角形的对应角.借助小莹的证明过程，师生共同完成等腰三角形的性质定理2的推理过程，得到CBADCBA等腰三角形的性质定理2：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合. 设计意图：在等腰三角形性质定理2的推理验证的过程中，进一步体会添加辅助线的作用，给学生证明方法的引领，感受几何证明的方式.【活动三】证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形.思考：你能说出等腰三角形性质定理1的逆命题吗？你能证明它是真命题吗？教师引导学生说出等腰三角形性质定理1的逆命题，然后让学生独立写出已知、求证及证明过程.并借助投影仪展示学生的推理过程，得到等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.符号表示：在△ABC中，∵∠B=∠C （已知）∴ AB=AC（有两个角相等的三角形是等腰三角形）教师结合性质定理1，说明两个定理的联系、区别和应用.设计意图：通过对判定定理的证明，让学生明确证明的思路及证明过程的表述.在证明完成后，教师再指出性质定理1与判定定理的联系、区别和应用，为后面的“学以致用”做好铺垫.三、巩固提升、学以致用1.利用等边三角形的定义和等腰三角形的性质定理证明：等边三角形的性质定理：等边三角形的每个内角都等于60°教师引导学生应用等边三角形的定义和等腰三角形的性质定理进行推理证明.2. 利用等边三角形的定义和等腰三角形的判定定理证明：等边三角形的性质定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形让学生分别按演绎证明的格式完整、规范的写出它们的证明过程，小组进行交流，选代表发言.在此基础上，教师引导学生分析等边三角形两个判定定理的条件的区别，明确它们分别在什么情况下适用.设计意图：巩固等腰三角形的性质定理和判定定理，借助等边三角形性质定理和判定定理的证明，让学生进一步感受演绎推理的方式方法. CBA四、典例精析、提炼升华例2：已知：在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE ⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F.求证：AD=AF教师引导学生利用等腰三角形的性质定理和判定定理进行证明.通过证明向学生提出问题思考：在证明角的相等或线段的相等时，除利用全等三角形外，还可利用什么图形和定理？设计意图：通过例2让学生体会等腰三角形的性质定理和判定定理在证明角相等和线段相等中的作用，提示学生克服一概依赖全等三角形证线段或两角相等的思维定势.五、反思梳理、画龙点睛回顾学习活动，形成自主反思，让学生总结交流本节课的收获.设计意图：鼓励学生积极大胆发言，培养学生的语言表达能力；引导、帮助学生建构起比较完善的知识结构.六、当堂测试、检查效果已知：如图所示,C为△ABD内一点，且有AB=AD, ∠ABC=∠ADC.求证：BC=DC设计意图：检测学生对本节课所学内容的掌握情况.七、分层作业、各有所得A层：P180第1、2题 P187第5题B层： P180挑战自我设计意图：通过分层作业的设置，对不同学生提出不同要求，使“不同的学生在数学上得到不同发展”.八、板书设计、规范细节5.6几何证明举例（2）。
八年级数学上册5.6几何证明举例教案(新版)青岛版.doc
5.6 几何证明举例具体设计内容1、经历探索直角三角形全等条件的过程，学会运用“HL”解决实际问题。
教学目的2、掌握“H L”定理并运用定理解决问题，体会证明的必要性。
3、感受数学思想，激发学生的求知欲，使学生体会到逻辑推理的应用价值。
重点：掌握判定直角三角形全等的特殊方法.难点：证明“H L”定理的思路探究和分析。
教学重点难点一、1、复习引入：舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1) 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？(2) 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？2、做一做：已知∠C=900; 线段a= 7cm, 线段b=12cm.求作：Rt △ABC，使∠C =∠1 ，CA=a=7cm,AB=b=12cm1、画∠MCN= ∠1=90°;2、在射线CN上截取CA=7cm;3、以A 为圆心，12cm为半径画弧，交射线CM于点B;教学4、连结AB;过程即△ABC为所求三角形二：探究解读：规律：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“H L”）．A A'B'BC'C/ B/ C/中几何语言：在Rt△ABC和Rt△A∵AB= A/ / C/B/ ,AC =A/ B/ ,AC =A∴Rt △ABC ≌ Rt △ A/ B / C / （H L ）．定理证明：证明：在 Rt △ABC 中，∠ C=90°∴BC2=AB 2－AC 2( 勾股定理 ) ．同理 , B / C /2 = A / B /2 -A / C / 2∵AB=A/ B /， AC=A / C / / C/ ∴BC=B∴Rt △ABC ≌ Rt △ A/ B / C / (SSS)结，得。
青岛版八年级上册数学《几何证明举例》(第2课时)
20
3．求证：三个角都相等的三角形是等边三角形． 已知：∠ABC＝∠ACB＝∠BAC．
求证：△ABC是等边三角形．
A
证明：∵∠ABC＝∠ACB（已知），
B
C
∴AB＝AC（有两个角相等的三角形是等腰三角形）．
同理可证：AB＝BC．
∴AB＝BC＝AC．
∴△ABC是等边三角形（有三条边相等的三角形是等边
小莹的证法正确． ∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）． 4
2．在上面的图形中，如果AD
是底边的中线，能证出“等腰三角 形的两个底角相等”吗？如果AD是 底边上的高呢？
B
A
D
C
5
答：如果AD是底边的中线： 证明：取BC的中点D，连接AD． 在△ABD和△ACD中 ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD（中点的定义）． ∵AB＝AC（已知）， AD＝AD（公共边）， ∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∵∠B＝∠C（已知），AD＝AD（公共边）．
∴△ABD≌△ACD（AAS）．
∴AB＝AC（全等三角形的对应边相等）．
13
已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C．
求证：AB＝AC．
A
方法二：作∠A的平分线AD，与BC交于点D．
在△ABD和△ACD中
B C
∵∠B＝∠C（已知），
∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义），
17
探究三：等边三角形的性质及判定
1．等边三角形的定义：______________________．
18
2．求证：等边三角形的每个内角都等于60°．
已知：如图，△ABC是等边三角形．
A
求证：∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°． ∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC（等边三角形的定义）．
5.6几何证明举例 教案(表格式)
1、知识方面：
2、方法总结：
达标测试
三）、等腰三角形、等边三角形性质及判定的应用
对例2进行分析及证明
方法总结：利用等腰三角形的判定和性质也可以证明两个角相等或两条线段相等。
四、பைடு நூலகம்究拓展：
1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）
（A）60° （B）120° （C）60°或150° （D）60°或120°
2、三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，则这个三角形一定是。
2.由学生代表展示预习成果，思考并回答相关问题。
三、精讲点拨
一）、结合上述问题及课本P177—178页内容，证明等腰三角形的性质和判定：
1.等腰三角形的两个底角相等 A
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
求证：∠B=∠C.
证明：
B C
归纳结论：（等腰三角形的性质定理1）
2.在上面1证明过程中，由△ABD≌△ACD,还可以进一步推出
教学重点：等腰三角形、等边三角形性质定理与判定定理的证明及应用
教学难点：等腰三角形、等边三角形性质定理与判定定理的灵活应用
教学过程
二次备课
一、回顾引入：
1、我们在前面已学过了等腰三角形的哪些性质？是通过什么方法探索得到的
2、你能对这些性质进行推理证明吗？
二、展示交流
1.分小组在小组内交流学案完成情况，解决能解决的问题，提出疑惑。
，即AD不仅是顶角的，也是底边上的，还是底边上的，由此可得结论
等腰三角形的性质定理2：
3.说出等腰三角形的性质定理1的逆命题
它是真命题吗？，如果是，请尝试进行证明。
归纳结论：
5.6几何证明举例学案(第二课时)
5.6几何证明举例学案（第二课时）【学习目标】1、进一步学习掌握等腰三角形的性质和判定。
2、熟悉等腰三角形的性质和判定的证明过程。
3、应用等腰三角形的性质和判定解决相应问题。
【学习重点、难点】几何证明的步骤。
【学习过程】一、交流与发现我们利用等腰三角形的轴对称性质，通过对折的方法探索出等腰三角形的性质：“等腰三角形的两个底角相等。
”你能利用基本事实以及已有的定义和定理，通过推理证明它的真实性吗？与同学交流。
二、自主探究1、如图：已知：在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C证明过程自己完成：由此得出等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。
2、在上述证明方法中，分别是怎样添加辅助线的？你体会添加辅助线对于证明上面的结论起到了什么作用？在上述证明过程中，由△ABD≌△ACD，还可以进一步推出BD=DC，∠ADB=∠ADC=90°,因而AD不仅是顶角的平分线，也是底边上的中线，还是底边上的高。
由此得出,等腰三角形的性质定理2：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合。
3、你能说出 “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题吗？它是真命题吗？请写出它的证明过程。
通过证明我们得出等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
三、学以致用1、利用等腰三角形的性质完成“等边三角形的每个内角都等于60°”的证明过程。
已知：△ABC 中，AB=BC=CA 。
求证：∠A=∠B=∠C=60°证明：2、你能写出“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题吗？它是真命题吗？讨论一下减少条件，使它仍是真命题。
四、例题讲解例题2：已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,D 是AB上的一点，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，交CA 的延长线于点F 。
求证：AD=AF.BC。
初中数学_几何证明举例(2)教学设计学情分析教材分析课后反思
几何的证明举例导学案（二）宫里镇初级中学主备：课本内容：P177——179课前准备：三角板学习目标：1.进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。
2.能用“公理”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
一、合作与探究等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等性质定理2：等腰三角形的顶角平分线﹑底边上的中线﹑底边上的高互相重合(简称“三线合一”)二、交流与发现说出等腰三角形的性质定理的逆命题，如何证明这个逆命题是正确的？要求：（1）写出它的逆命题：＿＿＿＿＿＿。
（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。
如果一个三角形的两个角相等, 那么这两个角所对的边也相等. 三、学以致用利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明 1、等边三角形的每个内角都是60° 2、三个角都相等的三角形是等边三角形。
四、例已知：在△ABC 中，AB=AC ，D 是AB 上的一点，DE ⊥BC ， 交BC 于点E ，交CA 的延长线于点F 。
求证：AD=AFC三、巩固练习1.如图（1），已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边，AD ⊥BC ，AD ＝BC ，将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2∠ACB ，BD 平分∠ABC ，AD ∥BC ，则图中等腰三角形共有 个.3、如图所示，AB ＝AC ，AC 上一点D 在AB 的垂直平分线上，若△ABC 的周长为16cm，△BCD 的周长为10cm ，则AB 的长为 .（第5题）（第6题）4、如图，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，AB 的垂直平分线交AC 于D ，求∠DBC 的度数.四、学习小结：通过本节课的学习，你都有哪些收获？ 五、达标检测1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）（A ）60° （B ）120° （C ）60°或150° （D ）60°或120 2.已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）（A ）12或9 （B ）12 （C ）9 （D ）73.如图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝44°，CD ⊥AB 于D ，则∠DCB 等于（ ）（A ）44° （B ）68° （C ）46° （D ）22° 4、已知：如图，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 。
教学设计几何证明法——教案、学案、教学设计资料文档
教学设计几何证明法——教案、学案、教学设计资料文档一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握几何证明的基本方法，理解几何证明的逻辑结构，能够运用几何证明解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、推理等过程，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对几何证明的兴趣，体会数学的严谨性，培养学生的团队合作意识和解决问题能力。
二、教学内容1. 第一课时：几何证明的基本概念及术语教学重点：了解几何证明的基本概念，如证明、定理、公理等。
2. 第二课时：几何证明的方法与步骤教学重点：掌握几何证明的基本方法，如构造辅助线、相似三角形的应用等。
3. 第三课时：平行线的证明教学重点：学习平行线的证明方法，如同位角相等、内错角相等等。
4. 第四课时：全等三角形的证明教学重点：掌握全等三角形的证明方法，如SSS、SAS、ASA等。
5. 第五课时：三角形的性质及其证明教学重点：了解三角形的基本性质，如三角形的内角和、三角形的两边之和大于第三边等，并学会运用这些性质进行证明。
三、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析、推理等过程，发现几何证明的规律。
2. 利用多媒体教学资源，为学生提供丰富的视觉、听觉学习材料，提高学生的学习兴趣。
3. 组织小组合作学习，让学生在讨论、交流中共同解决问题，培养团队合作意识。
4. 注重个体差异，针对不同水平的学生给予适当的指导，使他们在原有基础上得到提高。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对几何证明方法的掌握程度。
3. 单元测试：进行单元测试，了解学生对几何证明知识的掌握情况，为下一步教学提供依据。
五、教学资源1. 多媒体教学课件：包括几何证明的基本概念、方法、实例等内容。
2. 几何证明题库：提供各种类型的几何证明题目，供学生练习使用。
青岛版初中数学几何证明举例 第2课时教学案
11.5 几何证明举例（第2课时）教师寄语：有志不在年高，无志空活百岁。
学习目标：1、根据三角形全等推导“HL”定理；2、熟练应用“斜边、直角边”定理。
教学重点：“斜边、直角边”定理及应用教学难点：“到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”的证明学习过程：一、快乐预习：（一）全等方法归纳全等三角形的判断方法1 、2 、3 、4 。
（二）定理识记1如果一个直角三角形的斜边及与另一个直角三角形的斜边及对应相等，那么这两个直角三角形全等，此定理简记为“斜边、直角边”或“”2线段的垂直平分线的定理与判定定理。
（1）线段垂直平分线上的点到这条线段的距离相等。
（2）到一条线段两个端点的距离的点，在这条线段的平分线上。
二、合作探究:探究有关全等直角三角形的证明与同学交流下列问题。
1.一个直角三角形的两条直角边与另一个直角三角形的两条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？2.一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角的斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？无为什么？已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C和∠C′都是直角，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证：Rt△ABC≌Rt△ABC。
三、拓展提高:AB CA′B′C′1、反思拓展：例3 求证：到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
已知：如图，点P 和线段AB ，求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。
2、系统总结：四、感恩达标：（每题2分） 1、下列命题正确的是（ ）①线段的垂直平分线上任一点到线段两个端点的距离相等 ②线段上的任一点到垂直平分线的两端点的距离相等 ③经过线段中的的直线只有一条④点P 在线段AB 外且PA =PB ,过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线 ⑤ 过线段上的任一点可以作线段的垂直平分线 A1个 B2个 C3个 D4个2、已知⊿ABC 中，∠A = 090，角平分线BE 、CF 交于点O ，则∠BOC = 3、在RtΔABC 中，∠A =90°，AB =AC ,BD 是角平分线，DE ⊥BC ,点E 是垂足，如果BC =10cm ，那么ΔDEC 的周长是 cm .４如图，已知ＣＤ⊥ＡＢ,ＢＥ⊥ＡＣ,垂足分别是Ｄ、Ｅ,ＢＥ、ＣＤ交于点Ｏ, 且ＡＯ平分∠ＢＡＣ,那么图中全等三角形共有 对5、已知：如图，BD 、CE 是ΔABC 的高，且BD =CE . 求证：∠BCE =∠CBDPABC┐ＡＢＣＤ Ｅ ＯA。
5.6几何证明举例(2)教案 新
青岛版八年级数学上册5.6几何证明举例第二课时教案高唐县第二实验中学刘和祥2019年12月5.6几何证明举例（2）高唐县第二实验中学刘和祥教学目标：1、证明等腰三角形的性质定理、判定定理、等边三角形的性质定理以及判定定理；并会利用上述定理证明有关命题。
2、进一步掌握几何证明的基本步骤和书写格式，掌握基本的证明方法，会通过分析的方法探索证明的思路。
3、进一步体会通过合情推理探索数学结论，发展学生推理的能力。
教学重点：几何证明问题的思路分析及其书写步骤。
教学难点：分类讨论思想、多种途径解决几何证明问题。
教学过程：一、引入新课：1、第二章我们曾用对折等腰三角形纸片的方法，得出了等腰三角形的性质。
教师拿出一张等腰三角形纸片，指出它的两条腰，两个底角和顶角，并向学生演示对折过程。
得出：等腰三角形的性质1——等腰三角形的两个底角相等；中间产生了一条折痕，问学生：它是等腰三角形的什么线段？这条折痕既是等腰三角形底边上的高、中线，还是顶角的平分线。
得出等腰三角形的性质2——等腰三角形的底边上的高、中线及顶角的平分线重合。
像上面，我们用观察、实验等方法得出的结论，不能保证它是真命题。
要确定它的真实性，还要进一步经过逻辑推理加以证实。
本节课我们就以等腰三角形的性质定理和判定定理的证明为例，继续研究几何证明问题。
设计意图：通过对折演示，让学生回顾探索等腰三角形的性质的过程，进一步明确通过实验观察的方法得出的结论，不一定是真命题，还得进行演绎推理的证明。
二、探索新知：（一）等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。
下面是小莹同学的证法：（课件展示）D 已知：如图，在△ABC中，AB=AC求证：∠B=∠C证明：作∠BAC的平分线AD，与BC交于点D。
在△ABD和△ACD中，∵AB=AC（已知），∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）AD=AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（SAS）∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）问：还有其他证明方法吗？好，大家在课堂练习卡上写出来。
《证明》(第2课时)教案1doc初中数学
《证明》（第2课时）教案1doc初中数学
一.设计思路
往常我们曾用直观感知、操作讲理的方法，通过师生共同探究，得出了各种图形的一些属性，然后以探究所得到的这些图形属性作为依据，对学生进行一两步逻辑推理的训练，从而达到解决一些较为简单的几何咨询题的目的.本节课用逻辑推理的方法对往常曾用直观感知、操作讲理得到的有关平行线的判定和性质的一些命题重新进行研究.证明是一种从〝题设〞到〝结论〞的论证过程，同时要求论证的每一步都不出毛病.通过对证明的方法与步骤的介绍，让学生充分地感受到用直观感知、操作讲理的方法来研究几何图形属性的重要方法外，还有逻辑推理的方法也是研究几何图形属性的重要方法.
二.目标设计
1.回忆平行线的判定和性质，能主动地区不这些互逆命题；
2.回忆平行线判定定理的证明，引导学生不断感受几何演绎体系的思维方法，并通过新的摸索和讨论，以利于学生主动参与本节课的教学活动.
3.能从〝同位角相等，两直线平行〞、〝两直线平行，同位角相等〞这两个差不多事实动身，证明平行线的判定定理、平行线的性质定理，并能简单应用这些结论.
三.活动设计
四.例题设计
五.拓展练习。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5.6 《几何证明举例》
教学目标
一、知识与技能
1．熟练掌握角平分线的性质和判定定理；
2．能够灵活应用性质及判定定理进行几何证明；
二、过程与方法
1．经历观察、验证、归纳等过程,能进行简单的证明；
2．通过渗透“化归”的数学思想，使学生体会解决数学问题的基本思路；
三、情感态度和价值观
1．体验数学学习充满了探索和创造、感受证明的必要性,养成对数学的好奇性、求知欲和探索创新精神；
2．培养学生有条理的思考问题和合乎情理的表达问题的能力；
教学重点
几何证明的步骤；
教学难点
角平分线的性质及判定的应用；
教学方法
引导发现法、启发猜想、讲练结合法
课前准备
教师准备
课件、多媒体；
学生准备
三角板，练习本；
课时安排
5课时
教学过程
一、导入新课
什么叫做角平分线？
角平分线有哪些性质
二、新课学习
（1）在本册第2章，我们利用角的轴对称性质，通过实验的方法，探索出角平分线的性质：“角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.”你能用推理的方法证明它的真实性吗？
下面是小莹给出的证法：
已知：如图5-18，BD是∠ABC的平分线，点P在BD上，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是点M和N .
求证：PM=PN
证明：因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD=∠CBD . 又因为PM⊥AB，PN⊥BC，M，N分别是垂足，所以∠PMB=∠PNB=90°. 在△PMB和△PNB中，BP是公共边，所以△PMB与△PNB全等（AAS），于是PM=PN
你同意她的证法吗？请你用“∵”“∴”的格式写出上面的证明过程。
通过证明，我们得到：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（2）你能说出角平分线的性质定理的逆命题吗？它的逆命题是否正确？
如图5-19，点P是∠ABC内的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是点M和N，且PM=PN . 连接MN得到等腰三角形PMN，从而∠PMN=∠PNM . 由∠BMN与∠PMN互余，∠BNM 与∠PNM 互余，可得∠BMN=∠BNM . 所以△BMN 也是等腰三角形，从而BM=BN . 过点B，P作射线BD，由BP 是公共边，根据SSS，△PBM ≌△PBN . 由此得到∠ABD=∠CBD . 因此点P在∠ABC 的平分线上 .
通过证明，我们得到角平分线的性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
（3）过去我们曾通过画图发现三角形三条角平分线交于一点，现在利用已有的知识，能证明这个结论吗？
已知：如图5-20，AM，BN，CP 是△ABC的三条角平分线.
求证：AM，BN，CP交于一点
证明：如图5-20，设AM，BN交于点O. 过点O分别作 OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F.∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（已知）
∴OE=OF（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
同理，OD=OF .∴OD=OE（等量代换）.
∵CP是∠ACB 的平分线（已知），
∴O在CP 上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
因此，AM，BN，CP 交于一点.
三、结论总结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
四、课堂练习
1．已知：如图，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ． 求证：
BO=CO
2．如图：在△ABC 中，∠B ，∠C 相邻的外角的平分线交于点D 。
求证：点D 在∠A 的平分线上
D
C
B
A
五、作业布置
课本P.184第1、2题
六、板书设计 5.6几何证明举例
第四课时
角平分线的性质定理：
角平分线的性质定理的逆定理：。