2024届江苏省新沂市第一学校高一数学第二学期期末经典试题含解析

2024届江苏省新沂市第一学校高一数学第二学期期末经典试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、废、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按顺序配对，周而复始，循环记录．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，则数学王子高斯出生的1777年是干支纪年法中的（ ） A ．丁申年
B ．丙寅年
C ．丁酉年
D ．戊辰年
2．若一个人下半身长（肚脐至足底）与全身长的比近似为
（
，称为黄
金分割比），堪称“身材完美”，且比值越接近黄金分割比，身材看起来越好，若某人着装前测得头顶至肚脐长度为72
，肚脐至足底长度为103
，根据以上数据，作为形
象设计师的你，对TA 的着装建议是（ ） A ．身材完美，无需改善 B ．可以戴一顶合适高度的帽子 C ．可以穿一双合适高度的增高鞋 D ．同时穿戴同样高度的增高鞋与帽子
3．要得到函数
的图象，只要将函数
的图象( )
A ．向左平行移动个单位
B ．向右平行移动个单位
C ．向右平行移动个单位
D ．向左平行移动个单位
4．在直角ABC 中，AB AC ⊥，线段AC 上有一点M ，线段BM 上有一点P ，且
::2:1CM AM PB MP ==，若2AB CM ==，则AP BC ⋅=（ ）
A ．1
B ．2
3
-
C ．
143
D ．
23
5．某几何体的三视图如图所示，其外接球体积为（ ）
A．24πB．86πC．6πD．6π
6．我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷()
guǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸.意思是：一年有二十四个节气，
每相邻两个节气之间的日影长度差为
1
99
6
分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；
“夏至”时日影长度最小，为160分.则“立春”时日影长度为()
A．
1
953
3
分B．
1
1052
2
分C．
2
1151
3
分D．
5
1250
6
分
7．中国数学家刘微在《九章算术注》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”意思是“圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”.如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的边界及其内部的概率为（）
A 33
B
3
C
33
D
33
8．己知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分別内3n a n =+，24
n b n =，若,,n n n n n n n
a a
b
c b a b ≥⎧=⎨⎩＜，
则数列{}n c 中最小项的值为（ ） A
．3
B ．24
C ．6
D ．7
9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3S A =，6S B =，9S C =，则（ ） A ．2A+C =B B ．2AC B =
C ．2
A C
B B +-=
D ．22()A B A B C +=+
10．若(1,2),(1,0)a b ==，则a 与b 夹角的余弦值为（）
A
B ．12
C ．13
D ．1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知直线
134
x y
+=分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，则||AB 等于________. 12．已知数列的通项公式226n a n =-+，*n N ∈，前n 项和n S 达到最大值时，n 的值为______.
13．已知α，β为锐角，且(1tan )(1tan )2αβ--=，则αβ+=__________．
14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：221x y +=，圆1O ：22
(4)4x y ++=，动
点P 在直线l
：0x b -+=上（0b <），过P 分别作圆O ，1O 的切线，切点分别为A ，B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有一个，则实数b 的值为______. 15．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+（*n N ∈），则5a =________. 16．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a n ＝_____
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．为了了解当下高二男生的身高状况,某地区对高二年级男生的身高(单位: cm )进行了抽样调查,得到的频率分布直方图如图所示.已知身高在(185,190]之间的男生人数比身高在(150,155]之间的人数少1人.
(1)若身高在(160,175]以内的定义为身高正常,而该地区共有高二男生18000人,则该地区高二男生中身高正常的大约有多少人?
(2)从所抽取的样本中身高在(150,155]和(185,190]的男生中随机再选出2人调查其平时体育锻炼习惯对身高的影响,则所选出的2人中至少有一人身高大于185cm 的概率是多少
18．已知集合{}12,,,(2)k A a a a k =≥，其中(1,2,
,)i a i k ∈=Z ，由A 中的元素构
成两个相应的集合：
{}(,)|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，{}(,),,T a b a A b A a b A =∈∈-∈．
其中(,)a b 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ． 若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．
（Ⅰ）检验集合{}0,1,2,3与{}1,2,3-是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ．
（Ⅱ）对任何具有性质P 的集合A ，证明(1)
2
k k n -≤
． （Ⅲ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．
19．已知,n n S T 分别是数列{}{},n n a b 的前n 项和，*
121,()2n n n n S nb T n N +=+=∈且
22b =.
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n R .
20．设两个非零向量1e ，2e 不共线，如果12AB e e =+，1228BC e e =+，
()
123CD e e =-.
（1）求证：A 、B 、D 共线；
（2）试确定实数k ，使12ke e +和12e ke +共线.
21．已知动点P 与两个定点O （0，0），A （3，0）的距离的比值为2，点P 的轨迹为曲线C ．
（1）求曲线C 的轨迹方程
（2）过点（﹣1，0）作直线与曲线C 交于A ，B 两点，设点M 坐标为（4，0），求△ABM 面积的最大值．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、C 【解题分析】
天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，按照这个规律进行推理，即可得到结果． 【题目详解】
由题意，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，1994年是甲戌年，则1777的天干为丁，地支为酉，故选：C ． 【题目点拨】
本题主要考查了等差数列的定义及等差数列的性质的应用，其中解答中认真审题，合理利用等差数列的定义，以及等差数列的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 2、C 【解题分析】
对每一个选项逐一分析研究得解. 【题目详解】 A.
,所以她的身材不完美，需要改善，所以该选项是错误的；
B.假设她需要戴上高度为x 厘米的帽子，则，显然不符合实际，
所以该选项是错误的;
C ．假设她可以穿一双合适高度为y 的增高鞋，则，所以该选项
是正确的；
D.假设同时穿戴同样高度z 的增高鞋与帽子,则，显然不符合实
际，所以该选项是错误的. 故选：C 【题目点拨】
本题主要考查学生对新定义的理解和应用，属于基础题. 3、B 【解题分析】 把
化简即得解.
【题目详解】 由题得，
所以要得到函数的图象，只要将函数
的图象向右平行移动个单
位， 故选：B 【题目点拨】
本题主要考查三角函数的图像变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 4、D 【解题分析】
依照题意采用解析法，建系求出目标向量坐标，用数量积的坐标表示即可求出结果． 【题目详解】
如图，以A 为原点，AC ，AB 所在直线分别为,x y 轴建系， 依题设A(0,0),B(0,2),C(3,0),M(1,0),(,)P x y ，
由2BP PM =得，
(,2)2(1,)x y x y -=-- ，2(1)
22x x y y =-⎧⎨-=-⎩
解得23x =
，23y =，所以22
(,)33AP = ，(3,2)BC =- ， 2 22
3(2)333
AP BC ⋅=⨯+⨯-= ，故选D ．
【题目点拨】
本题主要考查解析法在向量中的应用，意在考查学生数形结合的能力．
5、D
【解题分析】
易得该几何体为三棱锥,再根据三视图在长方体中画出该三棱锥,再根据此三棱锥与长方体的外接球相同求解即可.
【题目详解】
在长方体中画出该几何体,易得为三棱锥,且三棱锥与该长方体外接球相同.
又长方体体对角线等于外接球直径222
26
R AD CD BC
=++=,故
6
2
R=.
故外接球体积
3
3
446
6 332
V R
πππ
⎛⎫
==⨯=
⎪
⎪
⎝⎭
故选：D
【题目点拨】
本题主要考查了三视图还原几何体以及求外接球体积的问题,属于基础题.
6、B
【解题分析】
首先“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分，即可求
出
1190
d
12
=-,进而求出立春”时日影长度为
1
1052
2
.
【题目详解】
解：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1
99
6
分， 且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．
135012d 160∴+=，
解得1190
d 12
=-
， ∴“立春”时日影长度为：11901135031052(122⎛⎫
+-⨯= ⎪
⎝⎭
分)． 故选B ． 【题目点拨】
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，利用等差数列的性质直接求解． 7、C 【解题分析】
设出圆的半径,表示出圆的面积和圆内接正六边形的面积,即可由几何概型概率计算公式得解. 【题目详解】 设圆的半径为r
则圆的面积为2
S r π=圆
圆内接正六边形的面积为2=64
S r ⨯
六 由几何概型概率可知,在圆内任取一点,则此点取自其内接正六边形的边界及其内部的概
率为
22
642S p S r ππ==
=六圆
故选:C 【题目点拨】
本题考查了圆的面积及圆内接正六边形的面积求法,几何概型概率的计算公式,属于基础题. 8、D 【解题分析】
根据两个数列的单调性，可确定数列{}n c ，也就确定了其中的最小项． 【题目详解】
由已知数列{}n a 是递增数列，数列{}n b 是递减数列，且计算后知
33446,7a b a b =<=>，又88b =，∴数列{}n c 中最小项的值是1．
故选D ． 【题目点拨】
本题考查数列的单调性，数列的最值．解题时依据题意确定大小即可．本题难度一般． 9、D 【解题分析】
根据等比数列前n 项和的性质可知A 、B A -、C B -成等比数列,即可得关于,,A B C 的等式,化简即可得解. 【题目详解】
等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若3S A =,6S B =,9S C = 根据等比数列前n 项和性质可知,A 、B A -、C B -满足：
()
()2
B A A
C B -=-
化简可得2
2
()A B A B C +=+ 故选：D 【题目点拨】
本题考查了等比数列前n 项和的性质及简单应用,属于基础题. 10、A 【解题分析】
根据向量的夹角公式，准确运算，即可求解，得到答案. 【题目详解】
由向量(1,2),(1,0)a b ==，
则a 与b 夹角的余弦值为21cos ,1a b a b a b
⋅⨯==
=
+,故选A. 【题目点拨】
本题主要考查了向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的夹角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、5
【解题分析】
分别求得A ，B 的坐标，再用两点间的距离公式求解. 【题目详解】 根据题意
令0x =得4y =所以(0,4)B 令0y =得3x =所以(3,0)A
所以||5AB == 故答案为：5 【题目点拨】
本题主要考查点坐标的求法和两点间的距离公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
12、12或13 【解题分析】
令0n a ≥，求出n 的取值范围，即可得出n S 达到最大值时对应的n 值. 【题目详解】
令2260n a n =-+≥，解得13n ≤，因此，当12n =或13时，前n 项和n S 达到最大值. 故答案为：12或13. 【题目点拨】
本题考查等差数列前n 项和最值的求解，可以利用n S 关于n 的二次函数，由二次函数的基本性质求得，也可以利用等差数列所有非正项或非负项相加即得，考查计算能力，属于基础题. 13、
34
π
【解题分析】
由题意求得tan tan tan tan 1αβαβ+=-，再利用两角和的正切公式求得tan()αβ+的值，可得αβ+ 的值． 【题目详解】
α，β为锐角，且(1tan )(1tan )2αβ--=，即tan tan tan tan 1αβαβ+=-，
tan tan tan()11tan tan αβ
αβαβ
+∴+=
=--．
再结合(0,)αβπ+∈，则34
αβπ+=
， 故答案为
34
π． 【题目点拨】
本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题． 14、283
-
. 【解题分析】
根据圆的切线的性质和三角形全等，得到12PO PO =，求得点P 的轨迹方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求解． 【题目详解】
由题意得：(0,0)O ，1(4,0)O -，设(,)P x y ，如下图所示 ∵PA 、PB 分别是圆O ，O 1的切线，∴∠PBO 1=∠PAO =90°， 又∵PB =2PA ，BO 1=2AO ，∴△PBO 1∽△PAO ，∴12PO PO =，
∴2214PO PO =，∴2222(4)4()x y x y ++=+，整理得22464()39x y -+=，
∴点P （x ，y ）的轨迹是以4(,0)3
为圆心、半径等于8
3的圆，
∵动点P 在直线l ：220x y b -+=上（0b <），满足PB =2PA 的点P 有且只有一个，
∴该直线l 与圆22
464()39x y -+=相切，
∴圆心4
(,0)3
到直线l 的距离d 满足d r =，即
22483
3
1(22)b +=+，解得203b =或283
-， 又因为0b <，所以283
b =-
．
【题目点拨】
本题主要考查了圆的切线的性质，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据圆的切下的性质和三角形全等求得点P 的轨迹方程，再根据直线与圆相切，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 15、31 【解题分析】
根据数列的首项及递推公式依次求出2a 、3a 、……5a 即可. 【题目详解】 解：
11a =，121n n a a +=+
21213a a ∴=+= 32217a a ∴=+= 432115a a ∴=+= 542131a a ∴=+=
故答案为：31 【题目点拨】
本题考查利用递推公式求出数列的项，属于基础题. 16、12n - 【解题分析】
利用等比数列的前n 项和公式列出方程组，求出首项与公比，由此能求出该数列的通项公式． 【题目详解】
由题意，631,2q S S ==,不合题意舍去；
当1,q ≠等比数列{}n a 的前n 项和为36,7,63n S S S ==，
即()
()
3136
1617
11631a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪
⎨-⎪
=
=⎪-⎩
，解得11,2a q ==，所以12n n
a ，
故答案为：12n -． 【题目点拨】
本题主要考查了等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运
算求解能力，是基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1)12600；(2) 710
. 【解题分析】
（1）由频率分布直方图知，身高正常的频率，于是可得答案；
（2）先计算出样本容量，再找出样本中身高在(150,155]中的人数，从而利用古典概型公式得到答案. 【题目详解】
（1）由频率分布直方图知，身高正常的频率为0.7，所以估计总体，即该地区所有高二年级男生中身高正常的频率为0.7，所以该地区高二男生中身高正常的大约有
180000.712600⨯=人.
（2）由所抽取样本中身高在(150,155]的频率为0.00650.03⨯=，可知身高在
(185,190]的频率为0.00450.02⨯=，所以样本容量为
1
1000.030.02
=-，则样本中
身高在(150,155]中的有3人，记为,,a b c ，身高在(185,190]中的有2人，记为,A B ，从这5人中再选2人，共有(,)a b ，(,)a c ，(,)a A ，(,)a B ，(,)b c ，(,)b A ，(,)b B ，
(,)c A ，(,)c B ，(,)A B 10种不同的选法，而且每种选法都是互斥且等可能的，所以，
所选2人中至少有一人身高大于185cm 的概率7
10
P =. 【题目点拨】
本题主要考查频率分布直方图，古典概型的相关计算，意在考查学生的转化能力，计算能力和分析能力，难度中等.
18、（Ⅰ）集合{}0,1,2,3不具有性质P ，集合{}1,2,3-具有性质P ，相应集合
(1,3)S =-，(3,1)-，集合(2,1)T =-，(2,3)（Ⅱ）见解析（Ⅲ）m n =
【解题分析】
解：集合{}01
23，，，不具有性质P ． 集合{}1
23-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，， {}(21)(23)T =-，，，．
（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．
因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉=，，
，，； 又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，所以当()i j a a T ∈，时，
()(12)j i a a T i j k ∉=，，，，，．
从而，集合T 中元素的个数最多为
21(1)()22
k k k k --=， 即(1)
2
k k n -≤
． （III ）解：m n =，证明如下：
（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从而()a b b T +∈，． 如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立． 故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．
可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，
（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而
a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，
故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．
可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤， 由（1）（2）可知，m n =．
19、（1）13,12,2
n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，n b n =，（2）(1)23n
n R n =-+
【解题分析】
（1）分别求出1n =和2n ≥时的n a ，n b ，再检验即可. （2）利用错位相减法即可求出数列{}n n a b 的前n 项和n R 【题目详解】
（1）当1n =时，1
11213a S ==+=，
当2n ≥时，111
121(21)222n n n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=.
检验：当1n =时，0
1213a ==≠，
所以1
3,1
2,2
n n n a n -=⎧=⎨
≥⎩. 因为12n n nb T +=，所以12
n n n
T b +=. 当1n =时，121
12
T b =
=，即11b =， 当2n ≥时，111
22
n n n n n n n b T T b b -+-=-=-
整理得到：101n n b b
n n +-=+.
所以数列{}n b
n 是以首项为1，公差为0的等差数列.
所以1n b
n
=，即n b n =.
（2）1232232n
R =+⨯+⨯+……12n n -+⨯
0122122232n R -=⨯+⨯+⨯+……12n n -+⨯①， 1232(2)122232n R -=⨯+⨯+⨯+……2n n +⨯②，
①-②得：012(2)222n
R --=+++……122n n n -+-⨯，
12(2)212
n
n n R n ---=-⨯-，
(1)23n n R n =-+.
【题目点拨】
本题第一问考查由数列前n 项和求数列的通项公式，第二问考查数列求和中的错位相减法，属于难题.
20、（1） 证明见解析 （2） 1k =± 【解题分析】
(1) 要证A 、B 、D 共线，只要证明存在实数λ，使得AB BD λ=成立即可. (2) 利用向量共线的充要条件和两个非零向量1e 与2e 不共线即可求出. 【题目详解】
(1) 证明：由()()()
1112222835BD BC CD e e e e e e -=++++==. 又12AB e e =+，则5BD AB =.
所以//BD AB . 所以A 、B 、D 共线.
（2）12ke e +和12e ke +共线，则存在实数()0λλ≠，使得12ke e +()
12e ke λ=+成立.
向量1e ，2e 不共线,所以1k k
λ
λ=⎧⎨=⎩，解得：1k =±
所以当1k =±时，使12ke e +和12e ke +共线. 【题目点拨】
本题考查利用向量共线的充要条件证明点共线和求参数的值. 21、（1）()2
244x y -+=；（2）2 【解题分析】
（1）设点(),P x y ，运用两点的距离公式，化简整理可得所求轨迹方程；
（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，求得M 到直线的距离，以及弦长公式，和三角形的面积公式，运用换元法和二次函数的最值可得所求． 【题目详解】 （1）设点(),P x y ，
2PO PA
=,即2PO PA =，
()2
22243x y x y ⎡⎤∴+=-+⎣⎦
，即()2244x y -+=，
∴曲线C 的方程为()2
244x y -+=．
（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+， 由（1）可知，点M 是圆()2
244x y -+=的圆心， 点M 到直线l
的距离为d =
2d <
2<，即24
021
k ≤<
，
又AB ==
所以
1•2ABM S AB d ∆===， 令21t k =+，所以25121t ≤<，
211
125t
<≤，
则
ABM S ∆=
=
==，
所以2ABM S ∆==， 当1
2325t =
，即2523t =，此时2
242321k =<，符合题意，
即k =时取等号，所以ABM ∆面积的最大值为2. 【题目点拨】
本题主要考查了轨迹方程的求法，直线和圆的位置关系，以及弦长公式和点到直线的距离公式的运用，考查推理与运算能力，试题综合性强，属于中档题．。