(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》测试卷(答案解析)

一、选择题
1．已知实数满足约束条件020360x y x y x y -≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =-的最小值为（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．2-
D ．1-
2．已知x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．3
B ．3-
C ．1
D ．
32
3．设,x y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，则z x y =+的最小值是（ ）
A ．7-
B ．2
C ．3
D ．5-
4．若实数,x y 满足121
x y y x -+<⎧⎨≥-⎩，则22x y +的取值范围是（ ） A
．1[2
B ．1[,13)4
C
．5
D ．1[,13)5
5．若正数a ，b 满足111a b +=，则41611
a b +--的最小值为（ ） A ．16
B ．25
C ．36
D ．49
6．已知变量,x y 满足约束条件50
21010x y x y x +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-≥⎩
，则目标函数=21z x y =+-的最大值为
（ ） A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
7．不等式
1
12
x x ->+的解集是（ ）． A ．{}|2x x <-
B ．{}|21x x -<<
C ．{}|1x x <
D ．{}|x x ∈R
8．若直线l ：()200,0ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则21
a b
+的最小值为（ ） A ．2
B ．4
C
D
．
9．已知实数x ，y 满足222y x x y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，3z x y =-，则z 的最小值是（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
10．已知实数x 、y 满足约束条件22x y a x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
，且32x y +的最大值为10，则a =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥-⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
12．已知实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（ ）
A ．2
B ．8
C ．11
D ．13
二、填空题
13．已知函数()()log 310,1a y x a a =-+>≠的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数
2
m y x n =
+的图像上，其中0,0m n >>，则12
m n +的最小值是__________．
14．若,x y 满足约束条件5,
5,25,x y x y x y +⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
则25x y +=的整数解的个数为___________.
15．若正实数x 、y 、z ，满足3z x y +=，4z y x +=，则x y x y z
++-的最小值为_______.
16．实数,x y 满足20
25040x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩
,则24z x y =+-的最大值是___.
17．已知实数x ，y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为________.
18．在下列函数中，
①1y x x
=+
②1123212y x x x ⎛
⎫=++< ⎪-⎝⎭
③()2114141
x y x x x x ⎛⎫=
++> ⎪+⎝⎭ ④2
2
22
1πsin cos 0,sin cos 2y x x x x x ⎛⎫
⎛⎫=+
∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
其中最小值为2的函数是__________.
19．已知,x y 满足约束条件220
22x y x y y +-≥⎧⎪
+≤⎨⎪≤⎩，则目标函数z x y =-的最大值为_____.
20．已知2z y x =-，式中变量x ，y 满足下列条件：213201x y x y k y -≥-⎧⎪
+-≥⎨⎪≥⎩
，若z 的最大值为
11，则k 的值为______.
三、解答题
21．已知m R ∈，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立．
（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；
（2）当1a =时，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围．
22．已知函数
()()2
12
log 1f x x =+，()26g x x ax =-+. （1）若关于x 的不等式()0g x <的解集为{}|23x x <<，当1x >时，求()
1
g x x -的最小值；
（2）若对任意的1[1,)x ∈+∞、2[2,4]x ∈-，不等式12()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
23．已知关于x 的一元二次不等式2(3)30x m x m -++<． （Ⅰ）若不等式的解集为(2,3)-，求实数m 的值；
（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围．
24．（1）若关于x 的不等式m 2x 2﹣2mx ＞﹣x 2﹣x ﹣1恒成立，求实数m 的取值范围． （2）解关于x 的不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0，其中a ＜1． 25．已知0a >，0b >且3a b +=．
（Ⅰ
）求11()a b +的最大值及此时a ，b 的值；
（Ⅱ）求22
31
a b a b ++
+的最小值及此时a ，b 的值． 26．已知定义在R 上的函数2()f x x x k =-+，其中k 为常数． （1）求解关于x 的不等式()f x kx <的解集；
（2）若()2f 是()f a 与f b 的等差中项，求+a b 的取值范围．
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为122z
y x =-，通过平移直线法可求出2
z -的最大值，从而可得z 的最小值． 【详解】
作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：
将目标函数2z x y =-变形为122z
y x =-，由图可知当直线经过点(0,2)A 时，截距2
z -最大，
所以，2z x y =-的最小值为4-． 故选：A 【点睛】
方法点睛：解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解z 的几何意义，求最优解时采用“平移直线法”． 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
2．A
解析：A 【分析】
由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解最大值即可. 【详解】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，
联立直线方程：1
1y x y =-⎧⎨+=⎩
，可得点A 的坐标为：()2,1A -，
据此可知目标函数的最大值为：max 2213z =⨯-=. 故选：A
【点睛】
方法点睛：求线性目标函数()0z ax by ab =+≠的最值，当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.
3．B
解析：B 【分析】
由约束条件可得可行域，将问题转化为y x z =-+在y 轴截距最小值的求解问题，利用数形结合的方法可得到结果. 【详解】
由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：
由z x y =+得：y x z =-+，
当z 取最小值时，y x z =-+在y 轴截距最小， 由图象可知：当y x z =-+过A 时，在y 轴截距最小， 又()2,0A ，min 202z ∴=+=. 故选：B. 【点睛】
方法点睛：线性规划问题中，通常有三种类型的最值或取值范围问题： （1）截距型：形如z ax by =+的形式，转化为a z
y x b b
=-+，将问题转化为直线在y 轴截距的求解问题；
（2）斜率型：形如cy d z ax b
+=+的形式，转化为d y c c b a x a
+
⋅
+，将问题转化为(),x y 与
,b d a c ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
连线斜率的求解问题； （3）距离型：形如z Ax By C =++的形式，转化为2222
Ax By C z A B A B ++=
++题转化为(),x y 到直线0Ax By C ++=的距离的求解问题.
4．D
解析：D 【详解】
根据实数,x y 满足1
21x y y x -+<⎧⎨≥-⎩
，画出可行域如图所示
22x y +表示可行域内的点与坐标原点O 距离的平方，
O 与直线AB ：210x y +-=22001521
⨯+-=+， O 与(2,3)C 222313+= ∵可行域不包含(2,3)C
∴
21135r ≤<，即22x y +的取值范围是1
[,13)5 故选：D 【点睛】
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
5．A
解析：A 【分析】
由111a b +=得：(1,1)1a b a b a =>>-，代入416
11a b +--化简，利用基本不等式可求函数最小值.
【详解】 由
111a b +=得：(1,1)1
a b a b a =>>-，代入416
11a b +--得到： 4164164416(1)216(1)16
111111
1
a a a a
b a a a a +=+=+-≥⋅-=------- 当且仅当：
4=16(1)1
a a --即3
2a =时取等号.
故选：A
【点睛】
本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
6．C
解析：C
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】
由约束条件
50
210
10
x y
x y
x
+-≤
⎧
⎪
-+≤
⎨
⎪-≥
⎩
作出可行域如图，
联立
1
50
x
x y
=
⎧
⎨
+-=
⎩
，解得A（1，4），
化目标函数z＝x+2y﹣1为y
1 22
2
x z
=-++，
由图可知，当直线y
1
222
x z
=-++过A时，z有最大值为8．
故选C．
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了目标函数的几何意义，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
7．A
解析：A
【解析】
分析：首先对原式进行移项、通分得到
3
2
x
->
+
，之后根据不等式的性质可得20
x+<，从而求得不等式的解集.
详解：将原不等式化为1202x x x --->+，即3
02
x ->+，
即
3
02
x <+，则有20x +<，解得2x <-， 所以不等式
1
02
x x ->+的解集为{}|2x x <-，故选A. 点睛：该题是一道关于求不等式解集的题目，解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的解法，属于简单题目.
8．B
解析：B 【分析】
求出圆的圆心与半径，可得圆心在直线20(0,0)ax by a b -+=>>上，推出22a b +=，利用基本不等式转化求解21
a b
+取最小值． 【详解】
解：圆222410x y x y ++-+=，即22
(1)(2)4x y ++-=，
表示以2()1,M -为圆心，以2为半径的圆，
由题意可得圆心在直线20(0,0)ax by a b -+=>>上， 故220a b --+=，即22a b +=，
∴2212222112242a b
a b b a b a b a b a b a +++=+=++++， 当且仅当
22b a
a b
=，即2a b =时，等号成立， 故选：B ． 【点睛】
本题考查直线与圆的方程的综合应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
9．D
解析：D 【分析】
根据约束条件画出可行域，将问题转化为133
z
y x =-在y 轴截距最大值的求解问题，利用数形结合的方式可求得结果. 【详解】
由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：
由3z x y =-得：133z y x =-， ∴当z 取最小值时，133
z
y x =-在y 轴截距最大；
由图象可知，当133
z
y x =
-过点A 时，在y 轴截距最大， 由2
22x x y =-⎧⎨+=⎩得：()2,2A -，min 2328z ∴=--⨯=-. 故选：D . 【点睛】
本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将所求最值转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，属于常考题型.
10．B
解析：B 【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出使得目标函数32z x y =+取得最大值时对应的最优解，代入目标函数可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值. 【详解】
不等式组所表示的可行域如下图所示：
易知点()2,A a ，由题意可知，点A 在直线2x y +=上或其上方，则22a +≥，可得
0a ≥，
令32z x y =+，平移直线32z x y =+，当直线32z x y =+经过点A 时，直线
32z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，即
max 3226210z a a =⨯+=+=，
解得2a =.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用线性目标函数的最值求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 11．D
解析：D
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩
的可行域，如图，
画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ，
平移直线2z x y =+，
由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时
目标函数2z x y =+有最大值，
2z x y =+的最大值为9.
故选D.
【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的
一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
12．C
解析：C
【分析】
根据条件作出可行域，根据图形可得出答案.
【详解】
由实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩
，作出可行域，如图.
设2z x y =+，则化为2y x z =-+
所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.
2401x y y -+=⎧⎨=-⎩可得()6,1A --，2401
x y y +-=⎧⎨=-⎩可得()61B -， 根据图形可得，当直线2y x z =-+过点()61B -，
时截距最大， 所以2z x y =+的最大值为11.
故选：C
【点睛】
方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;
二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;
三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
二、填空题
13．8【分析】可得定点代入一次函数得利用展开由基本不等式求解【详解】由可得当时故点A 在一次函数的图像上即当且仅当即时等号成立故的最小值是8故答案为：8【点睛】本题考查基本不等式的应用解题的关键是得出定点 解析：8
【分析】
可得定点()4,1A ，代入一次函数得21m n +=，利用
()12122m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开由基本不等式求解.
【详解】
由()()log 310,1a y x a a =-+>≠可得当4x =时，1y =，故()4,1A ，
点A 在一次函数2
m y x n =+的图像上，142m n ∴=⨯+，即21m n +=， 0,0m n >>，
()121242448n m m n m n m n m n ⎛⎫∴+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当
4n m m n =，即11,42m n ==时等号成立， 故12m n
+的最小值是8. 故答案为：8.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，解题的关键是得出定点A ，代入一次函数得出21m n +=，利用“1”的妙用求解.
14．4【分析】先画出约束条件所表示的平面可行域然后根据画出所表示的直线确定边界再求解满足上整数点的个数【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示作出直线直线与可行域的边界交于两点由解得又且当时 解析：4
【分析】
先画出约束条件所表示的平面可行域，然后根据画出25x y +=所表示的直线确定边界，再求解满足25x y +=上整数点的个数.
【详解】
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
作出直线25x y +=，直线52y x =-与可行域的边界交于,B D 两点，
由25,25,x y x y +=⎧⎨-=⎩解得3,(3,1)1,x D y =⎧∴-⎨=-⎩
， 又(0,5),[0,3],[1,5]B x y ∴∈∈-，且,x y Z ∈，
当0x =时，5y =；当1x =时3y =；
当2x =时，1y =；当3x =时，1y =-，
∴整数解的个数为4.
故答案：4.
【点睛】
关键点点睛：该题考查线性规划问题，考查最优解的整数点的个数问题，正确解题的关键是画出可行域.
15．【分析】由已知条件得出由得出可得出利用基本不等式可求得所求代数式的最小值【详解】已知实数均为正实数且可得所以可得令则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最 211- 【分析】 由已知条件得出43y x =，2443
z x x =-，由0z >得出03x <<，可得出71143
x y x y t z t ++-=+-，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】
已知实数x 、y 、z 均为正实数，且3z x y +=，4z y x
+=，可得34z y xy x xy =-=-，
43y x ∴=，所以，2443
z x x =-， ()27171343
43343
x x y x y x x z x x x +∴+-=-=---， ()24443033
z x x x x =-=->，可得03x <<，令()30,3t x =-∈，则3x t =-， 所以，
()(
)717171311143343433x y x y x t t z x t t ++-=-=--=+-≥=--.
当且仅当2t =
时，等号成立， 因此，x y x y z ++-
1.
故答案为：
13-. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
16．21【分析】画出满足的可行域当目标函数经过点时取得最大值求解即可
【详解】画出满足的可行域由解得点则目标函数经过点时取得最大值为【点睛】本题考查的是线性规划问题解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化 解析：21
【分析】
画出,x y 满足的可行域，当目标函数24z x y =+-经过点()7,9B 时，z 取得最大值，求解即可．
【详解】
画出,x y 满足的可行域，由20250
x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得点()7,9B ，则目标函数24z x y =+-经
过点()7,9B 时，z 取得最大值为718421+-=.
【点睛】
本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．
17．【解析】作可行域如图则直线z=x+2y 过点A （20）时z 取最小值2点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化即数形结合的思想需要注意的是：一准确无误地作出可行域；二画目标函数所对应的直线时要注意与约束条
解析：【解析】
作可行域，如图，则直线z=x+2y 过点A （2，0）时z 取最小值2.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
18．①③【分析】结合基本不等式对四个函数逐个分析可得出答案【详解】
对于①函数是定义域为的偶函数当时当且仅当时等号成立根据对称性可知函数的最小值为2满足题意；对于②因为所以则当且仅当即时等号成立所以即函数 解析：①③
【分析】
结合基本不等式，对四个函数逐个分析，可得出答案.
【详解】
对于①，函数1y x x =+
是定义域为()(),00,-∞+∞的偶函数，
当()0,x ∈+∞时，12x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立， 根据对称性可知，函数1y x x =+
的最小值为2，满足题意； 对于②，11123214124212112y x x x x x x ⎛⎫=+
+=-++=--+- ⎪---⎝⎭， 因为12
x <，所以120x ->，
则11244212x x -+-≥=--，当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立， 所以1124212y x x ⎛
⎫=--+
-≤ ⎪-⎝⎭，即函数1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭的最大值为2，没有最小值，不满足题意； 对于③，222114144141
x x x y x x x x x +⎛⎫=++=+ ⎪++⎝⎭， 因为1x >，所以2104x x
+>，
所以2214241x x y x x +=+≥=+，当且仅当221441x x x x +=+，即
2x =
所以()2114141
x y x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭的最小值为2，符合题意； 对于④，22221sin cos sin cos y x x x x =+
， 因为π0,2x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以sin cos 0x x >，
所以222222221sin cos sin cos 22sin cos sin cos x x x x x x x x +≥=，当且仅当22221sin cos sin cos x x x x
=，即sin cos 1x x =时等号成立， 因为11sin cos sin 222x x x =
≤，所以sin cos 1x x ≠， 即函数22221sin cos sin cos y x x x x
=+
的最小值不是2，不符合题意； 故答案为：①③.
【点睛】 本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.
19．【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则则表示直线在轴的截距的相反数根据图像知当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划 解析：2
【分析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
z x y =-，则y x z =-，则z 表示直线在y 轴的截距的相反数，
根据图像知当直线过点()2,0时，即2x =，0y =时，z 有最大值为2.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
20．23【分析】先画出约束条件所表示的可行域结合图象确定目标函数的最优解代入最优解的坐标即可求解【详解】画出不等式组所表示的可行域如图所示可得交点又由解得目标函数可化为当直线过点C 时直线在轴上的截距最大
解析：23
【分析】
先画出约束条件所表示的可行域，结合图象确定目标函数的最优解，代入最优解的坐标，即可求解.
【详解】
画出不等式组213201x y x y k y -≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩
所表示的可行域，如图所示，
可得交点(0,1),(7,1)A B ，
又由21211x y y x -=-⎧⎨-=⎩
，解得(3,7)C ， 目标函数2z y x =-可化为122z
y x =
+， 当直线122
z y x =+过点C 时，直线在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值， 将C 代入直线320x y k +-=，解得23k =.
故答案为：23
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出不等式组所表示的平面区域，结合图象得出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查数形结合法，以及计算能力.
三、解答题
21．（1）[]1,2；（2）()
(],11,2-∞．
【分析】
（1）由p 为真命题，若()[]()
220,1f x x x =-∈，只需()2min 3f x m m ≥-恒成立，即可求m 的取值范围；
（2）若q 为真时1m ，结合已知条件：讨论p 真q 假、p 假q 真，分别求得m 的范围，取并集即可.
【详解】
解：（1）对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，
令()[]()
220,1f x x x =-∈，则()2min 3f x m m ≥-， 当[]0,1x ∈时，()()min 02f x f ==-，即232m m -≤-，解得12m ≤≤．
因此，当p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2．
（2）当1a =时，若q 为真命题，则存在[]1,1x ∈-，使得m x ≤成立，所以1m ；故当命题q 为真时，1m ．
又∵p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．
当p 真q 假时，由121m m ≤≤⎧⎨>⎩
，得12m <≤； 当p 假q 真时，有1m <或2m >，且1m ，得1m <．
综上所述，m 的取值范围为()
(],11,2-∞．
【点睛】
关键点点睛：
（1）函数不等式在闭区间内恒成立，有()2min 3f x m m ≥-求参数范围. （2）由复合命题的真假讨论简单命题的真假组合，并求对应参数范围取并集即可.
22．（1）3（2）112
a -
≤≤【分析】
（1）根据二次不等式的解集得5a =，再根据基本不等式求解即可；
（2）根据题意将问题转化为261x ax -+≥-在[]2,4x ∈-恒成立，再令()27F x x ax =-+，（24x -≤≤），分类讨论即可求解.
【详解】
（1）由关于x 的不等式()0<g x 的解集为{}
23x x <<，所以知235a =+= ∴()()256213111
g x x x x x x x -+==-+----
又∵1x >，∴()21331x x -+
-≥-，取“=”时1x =
∴()31g x x ≥-
即()1
g x x -的最小值为3-，取“=”时1x = （2）∵1≥x 时，212x +≥，()()
2
12log 11f x x =+≤- ∴根据题意得：261x ax -+≥-在[]2,4x ∈-恒成立
记()2
7F x x ax =-+，（24x -≤≤） ①当4a ≤-时，()()min 2211F x F a =-=+ 由1121102
a a +≥⇒≥-，∴1142a -≤≤- ②当48a -<<时，()2min
724a a F x F ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭
由2
704
a a -+≥⇒-≤≤∴4a -<≤③当8a ≥时，()()min 4423F x F a ==-+ 由2342304
a a -+≥⇒≤
，a ∈∅
综上所述，a 的取值范围是112
a -≤≤【点睛】 本题的第二问中关键是采用动轴定区间的方法进行求解，即讨论对称轴在定区间的左右两侧以及对称轴在定区间上的变化情况，从而确定该函数的最值.
23．（Ⅰ）2m =-；（Ⅱ）[0,1)(5,6]⋃．
【分析】
（1）根据不等式的解集为(2,3)-，得到关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，代入方程求解即可.
（2）将不等式2(3)30x m x m -++<，转化为()(3)0x m x --<，然后分3m <和
3m >讨论求解.
【详解】
（1）由题意可知，关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3， 则2
(2)2(3)30m m -+++=，
整理得5100m +=，
解得2m =-；
（2）不等式2(3)30x m x m -++<，即为()(3)0x m x --<． ①当3m <时，原不等式的解集为(,3)m ，
则解集中的两个整数分别为1、2，此时01m ≤<；
②当3m >时，原不等式的解集为(3,)m ，则解集中的两个整数分别为4、5，此时
56
m
<≤．
综上所述，实数m的取值范围是[0,1)(5,6]
⋃．
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法以及应用，还考查了分类讨论求解问题的能力，属于中档题.
24．(1) m
3
4
-
＞；(2)见解析
【分析】
（1）利用△＜0列不等式求出实数m的取值范围；
（2）讨论0＜a＜1、a＝0和a＜0，分别求出对应不等式的解集．
【详解】
（1）不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1化为（m2+1）x2﹣（2m﹣1）x+1＞0，由m2+1＞0知，△＝（2m﹣1）2﹣4（m2+1）＜0，
化简得﹣4m﹣3＜0，解得m
3
4
-＞，
所以实数m的取值范围是m
3
4
-＞；
（2）0＜a＜1时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为（x﹣1）（x
1
a
-）＞0，且
1
a
＞1，
解得x＜1或x
1
a ＞，
所以不等式的解集为{x|x＜1或x
1
a ＞}；
a＝0时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为﹣（x﹣1）＞0，解得x＜1，
所以不等式的解集为{x|x＜1}；
a＜0时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为（x﹣1）（x
1
a
-）＜0，且
1
a
＜1，
解得1
a
＜x＜1，
所以不等式的解集为{x|1
a
＜x＜1}．
综上知，0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜1或x
1
a ＞}；
a＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}；
a＜0时，不等式的解集为{x|1
a
＜x＜1}．
【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题和含有字母系数的不等式解法与应用问题，是基础题．
25．（Ⅰ）
3
2
a b
==
时，
11
a b
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
取得最大值为2
-；（Ⅱ
）6
a=-
3 b=-+
，最小值为3+；
【分析】
（Ⅰ）利用“乘1法”与基本不等式的性质，对数函数的单调性即可得出；（Ⅱ）先对已知式子进行化简，然后结合基本不等式即可求解．
【详解】
解：（Ⅰ）1133224
2
33333333333
a b a b b a b a
a b a b a b a b a b
++
+
=+=+=+++=，
当且仅当
33
b a
a b
=且3
a b
+=，即
3
2
a b
==时取等号，
3
114
2
3
log
a b
⎛⎫
∴+=-
⎪
⎝⎭
即最大值为2
-，
（Ⅱ）3
a b
+=，
∴22
3313131
(1)1
2
1111
a b
a b a b
a b a b a b a b
+
+=++-+=+-++=++
++++
3113(1)3(
2()()3323
14444(1)4(1)
a b
b a b
a b a b b
++
=+++=+++=+
+++
，
当且仅当
3(1)
44(1)
b a
a b
+
=
+
且3
a b
+=，即6
a=-3
b=-+时取等号，
【点睛】
本题考查了基本不等式的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．（1）详见解析；（2）[]
2,4
-
【分析】
（1）不等式转化为()()
10
x x k
--<，然后分类讨论解不等式；（2）由条件转化为224
a b a b
+--=，再转化为关于+
a b的一元二次不等式.
【详解】
（1）()
2210
x x k kx x k x k
-+<⇔-++<，
整理为()()
10
x x k
--<，
当1
k<时，不等式的解集是{}1
x k x
<<，
当1
k=时，不等式的解集是∅，
当1
k>时，不等式的解集是{}
1
x x k
<<;
（2）由条件可知()()()
22
f a f b f
+=，
即2242
a a k
b b k k
-++-+=+，
即()()2
22424a b a b a b ab a b +--=⇔+--+=， ()222a b ab +≤，()()()2242a b a b a b +∴+--+≤，
()()2280a b a b +-+-≤ ，即()()240a b a b +++-≤，
解得：24a b -≤+≤，
所以+a b 的范围是[]2,4-.
【点睛】
本题考查含参一元二次不等式的解法，基本不等式，重点考查转化与化归的思想，讨论的思想，计算能力，属于基础题型.。