3.3.2第1课时 抛物线的简单几何性质 导学案答案

3.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质
【课前预习】
知识点一
向右 向左 向上 向下 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R x 轴 y 轴 (0,0) e=1 诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)抛物线不关于原点对称. (2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,抛物线没有对称中心. (3)抛物线的离心率均为1.
知识点二
1.(2)焦点弦 x 0+p
2 p
2-x 0 y 0+p
2 p
2-y 0 2.2p 诊断分析
(1)√ (2)× (3)× [解析] (1)抛物线x 2=4y ,y 2=4x 的焦点到准线的距离都是2,是相同的,离心率都是1,也相同. (2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是2p. (3)抛物线y 2=2px (p>0)的焦半径长|PF|=x 1+p
2. 【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由y 2=8x ,得p=4,变量x 的范围为x ≥0,∴该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴分别为(0,0),(2,0),直线x=-2,x 轴.
(2)椭圆的方程可化为x 24+y 2
9=1,其短轴在x 轴上,∴抛物线的对称轴为x 轴,∴设抛物线的方程为y 2=2px 或y 2=-2px ,其中p>0.∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即p
2=3,∴p=6,∴抛物线的标准方程为y 2=12x 或y 2=-12x ,其准线方程
为x=-3或x=3.
变式 解:(1)设AB 与x 轴交于点E ,则由|AB|=2得E (√3,0),∴A (√3,1).设抛物线的方程为y 2=2px (p>0),则1=2p ·√3,
∴2p=√33,∴抛物线的方程为y 2=√3
3x.
(2)由(1)知2p=√3
3,∴p 2=√3
12,∴抛物线的焦点坐标为(√3
12,0),准线方程为x=-√3
12,离心率e=1.
探究点二
例2 解:(1)因为直线l 的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=√3,又F (32,0),所以直线l 的方程为y=√3(x -3
2).由
{y 2=6x ,y =√3(x -3
2
),
消去y 得x 2-5x+9
4
=0.
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=5,而|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p
2+x 2+p
2=x 1+x 2+p , 所以|AB|=5+3=8.
(2)结合(1)知|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p
2+x 2+p
2=x 1+x 2+p=x 1+x 2+3=9,所以x 1+x 2=6,于是线段AB 的中点M 的横坐标是3,又准线方程是x=-3
2
,所以点M 到准线的距离为3+32=9
2
.
变式 AD [解析] 设直线AB 的方程为x=ty+p 2
,将x=ty+p
2
代入y 2=2px ,得y 2-2pty-p 2=0,则y 1+y 2=2pt ,y 1y 2=-p 2,x 1+x 2=t (y 1+y 1)+p=2pt 2+p ,x 1x 2=y 12y 22
4p
2=
p
2
4.当直线AB 与x 轴垂直时,t=0,|AB|最小,故A 中说法正
确;
1
|AF |+
1
|BF |
=
1
x 1+
p 2
+
1
x 2+
p 2
=
x 1+x 2+p
x 1x 2+p 2(x 1+x 2)+
p 2
4
=2
p
,故B 中说法错误;以弦AB 为直径的圆的圆心为(
x 1+x 22,
y 1+y 22
),半径为
12
|AB|=12
(x 1+x 2+p )=pt 2+p ,圆心到准线的距离d=12
(x 1+x 2)+12
p=pt 2+p=12
|AB|,所以圆与准线x=-p 2
相切,故C 中说法错
误;y 1y 2=-p 2,故D 中说法正确.故选AD .
探究点三
例3 (1)A (2)2√2 [解析] (1)依据抛物线的对称性,以及等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y 2=4x 上,可设另外两个顶点的坐标分别为(m 24
,m),(
m 24
,-m)(m>0),∴tan 30°=√33=m
m 24
,解得m=4√3,故这个等边三
角形的边长为2m=8√3.故选A .
(2)因为抛物线C 的方程为y 2=4√2x ,所以2p=4√2,可得p
2
=√2,所以焦点为F (√2,0),准线方程为x=-√2,又P 为抛物
线C 上一点,且|PF|=3√2,所以点P 到准线x=-√2的距离为3√2,所以x P =3√2-√2=2√2,所以y P 2
=4√2×2√2=16,所以
|y P |=4,所以S △POF =12×|OF|×|y P |=1
2×√2×4=2√2.
变式 (1)B [解析] 根据题意,可得F (1,0),准线方程为x=-1.不妨设A (x ,y )(y>0),∵|AQ|=4
3
,∴x+1=4
3
,∴x=1
3
,∴
A (13,
2√3
3
),∴直线AF 的方程为2√33
-0
=x -1
13
-1
,即y=-√3(x-1).将x=-1代入y=-√3(x-1)中,可得y=2√3,∴B (-1,2√3).将
y=2√3代入y 2=4x 中,可得x=3,∴P (3,2√3).△PBF 的周长C △PBF =|FB|+|PF|+|PB|,又|FB|=√22+(2√3)2=4,|PF|=|PB|=4,∴C △PBF =12.故选B .
(2)解:设点A (x 0,y 0)(x 0>0),由题意可知点B (x 0,-y 0).∵抛物线的焦点F (p
2,0)是△AOB 的垂心,∴AF ⊥OB ,∴k AF ·k OB =-1,即
y 0
x 0-p
2
·(-y 0x 0
)=-1,∴y 0
2=x 0(x 0-p 2).又y 02
=2px 0,∴x 0=2p+p 2=5p
2, ∴直线AB 的方程为x=5p
2.。