安徽省蚌埠铁中高二第一学期期中考试(8科8套)(1)蚌埠铁中第一学期期中考试高二语文
2023-2024学年安徽省A10联盟(人教A版)高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省A10联盟（人教A 版）高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．直线√3x +y ﹣1＝0的倾斜角是（ ） A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π62．若双曲线y 22−x 2m=1的焦点与椭圆x 24+y 29=1的焦点重合，则m 的值为（ ） A ．2B ．3C ．6D ．73．以A （2，0），B （0，4）为直径端点的圆方程是（ ） A ．（x +1）2+（y +2） 2＝20 B ．（x ﹣1） 2+（y ﹣2） 2＝20C ．（x +1） 2+（y +2） 2＝5D ．（x ﹣1） 2+（y ﹣2） 2＝54．堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB =π2，若AA 1＝2AC ＝2BC ＝2，则异面直线B 1C 与A 1B 所成角的余弦值为（ ）A ．√3010B ．−√3010C ．√7010D ．−√70105．已知椭圆C ：x 225+y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 两点都在C 上，且A ，B 关于坐标原点对称，下列说法错误的是（ ） A ．|AB |的最大值为10 B ．|AF 2|+|BF 2|为定值C ．C 的焦距是短轴长的34D ．存在点A ，使得AF 1⊥AF 26．已知在△ABC 中，顶点A （1，1），点B 在直线l ：x ﹣y +2＝0上，点C 在x 轴上，则△ABC 的周长的最小值为（ ） A ．√5B ．2√5C ．4√5D ．5√527．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 满足AG →=λAP →（0＜λ＜1），P A ＝4，AB ＝2，若OG ∥平面CEF ，则λ＝（ ）A ．14B ．13C ．12D ．238．已知底边BC 长为2的等腰直角三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB ：DC =√3：1，则△ABD 面积的最大值是（ ） A ．3+√62B ．3−√62C ．3√2+2√32D ．3√2−2√32二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．直线l 的方向向量为a →，平面α，β的法向量分别为n →，m →，则下列命题为真命题的是（ ） A ．若m →⊥n →，则α⊥β B ．若l ∥α，则a →⊥n →C ．若cos〈a →，n →〉=√32，则直线l 与平面α所成角的大小为π6D ．若cos〈m →，n →〉=12，则平面α，β的夹角大小为π310．若方程x 25−t+y 2t−1=1所表示的曲线为C ，则（ ）A ．曲线C 可能是圆B ．若1＜t ＜5，则C 为椭圆C ．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则1＜t ＜3D ．若C 为双曲线，且焦点在y 轴上，则t ＜1 11．下列有关直线与圆的结论正确的是（ ）A ．过点（3，4）且在x ，y 轴上的截距相等的直线方程为x ﹣y ﹣7＝0B ．若直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （2，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为[32，2]C ．若点P （a ，b ）是圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）外一点，直线l 的方程是ax +by ＝r 2，则直线l 与圆相离D ．若圆（x ﹣1）2+y 2＝4上恰有3个点到直线y ＝x +b 的距离等于1，则实数b =−1±√2 12．已知O 为坐标原点，F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =√3x ，且F 1到l 的距离为3√3，P 为C 在第一象限上的一点，点Q 的坐标为（2，0），PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的方程为x 29−y 227=1 B ．双曲线C 的离心率为2 C ．|PF 1|＝3|PF 2|D ．点P 到x 轴的距离为3√152三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知圆C ：x 2+y 2＝4，过点P （1，1）的直线被圆C 截得弦长最短时，直线的方程为 ． 14．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，AA 1＝2，E 为A 1D 的中点，F 为CC 1上靠近点C 的三等分点，则点E 到平面BDF 的距离为 ． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的离心率是√5，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，过点F 2且垂直于x 轴的垂线在x 轴上方交双曲线C 于点M ，则tan ∠MF 1F 2的值为 ．16．过直线l ：x ﹣y +4＝0上任意点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 过定点 ；记线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的最小值为 ． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点分别是A （4，0），B （6，7），C （0，3）． （1）求边BC 的高所在的直线方程；（2）求平分△ABC 的面积且过点B 的直线的方程． 18．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x +2y ＝0垂直，且右顶点A 到该条渐近线的距离为2√55． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M （3，2），求直线l 的斜率． 19．（12分）已知点P （4，0），圆C 的圆心在直线x ﹣y ﹣4＝0上，且圆C 与y 轴切于点M （0，﹣2）． （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为2√2，求直线l 的方程．20．（12分）一动圆与圆C 1：x 2+y 2+6x +5＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣91＝0内切，动圆圆心的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）点P 为E 上一动点，点O 为坐标原点，曲线E 的右焦点为F ，求|PO |2+|PF |2的最小值．21．（12分）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，△SAB 是边长为2的等边三角形，AC ⊥平面SAB ，M ，N ，P ，Q 分别是SB ，BC ，SA ，CN 的中点． （1）求证：PQ ∥平面AMN ；（2）若AC ＝2，求平面AMN 与平面SAC 夹角的余弦值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为12，且椭圆上动点M 与点F 1的最大距离为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴、椭圆C 顺次交于P ，Q ，R （点P 在椭圆左顶点的左侧），且∠PF 1Q +∠PF 1R ＝π，求△RQF 1面积的最大值．2023-2024学年安徽省A10联盟（人教A 版）高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．直线√3x +y ﹣1＝0的倾斜角是（ ） A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π6解：由直线√3x +y ﹣1＝0，得y =−√3x +1，可得直线的斜率为−√3，设倾斜角为α（0≤α＜π），则tan α=−√3，α=2π3． 故选：C ． 2．若双曲线y 22−x 2m=1的焦点与椭圆x 24+y 29=1的焦点重合，则m 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．6D ．7解：因为椭圆x 24+y 29=1的焦点为(0，√5)，(0，−√5)，所以双曲线y 22−x 2m=1的焦点为(0，√5)，(0，−√5)，故2+m ＝5，解得m ＝3．故选：B ．3．以A （2，0），B （0，4）为直径端点的圆方程是（ ） A ．（x +1）2+（y +2） 2＝20 B ．（x ﹣1） 2+（y ﹣2） 2＝20C ．（x +1） 2+（y +2） 2＝5D ．（x ﹣1） 2+（y ﹣2） 2＝5解：∵A （2，0），B （0，4），∴AB 的中点坐标为（1，2），由|AB |=√22+42=2√5， ∴以A （2，0），B （0，4）为直径端点的圆方程是（x ﹣1） 2+（y ﹣2） 2＝5． 故选：D ．4．堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB =π2，若AA 1＝2AC ＝2BC ＝2，则异面直线B 1C 与A 1B 所成角的余弦值为（ ）A ．√3010B ．−√3010C ．√7010D ．−√7010解：以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1（0，1，2），C （0，0，0），A 1（1，0，2），B （0，1，0）， 所以CB 1→=（0，1，2），BA 1→=（1，﹣1，2）， 所以cos ＜CB 1→，BA 1→＞=CB 1→⋅BA 1→|CB 1→|⋅|BA 1→|=−1×1+2×2√5×√6=√3010， 因为异面直线夹角的取值范围为（0，π2]， 所以异面直线B 1C 与A 1B 所成角的余弦值为√3010． 故选：A ．5．已知椭圆C ：x 225+y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 两点都在C 上，且A ，B 关于坐标原点对称，下列说法错误的是（ ） A ．|AB |的最大值为10 B ．|AF 2|+|BF 2|为定值C ．C 的焦距是短轴长的34D ．存在点A ，使得AF 1⊥AF 2解：由题意得，a 2＝25，b 2＝16，c 2＝a 2﹣b 2＝9，所以a ＝5，b ＝4，c ＝3，而|AB |≤2a ＝10，2c 2b=34，故选项A ，C 正确；由椭圆的对称性知，|AF 2|+|BF 2|＝|BF 1|+|BF 2|＝2a ＝10，故选项B 正确；当A 在y 轴上时，cos ∠F 1AF 2=52+52−622×5×5＞0，则最大角∠F 1AF 2为锐角，所以不存在点A ，使得AF 1⊥AF 2，故选项D 错误． 故选：D ．6．已知在△ABC 中，顶点A （1，1），点B 在直线l ：x ﹣y +2＝0上，点C 在x 轴上，则△ABC 的周长的最小值为（ ） A ．√5 B ．2√5C ．4√5D ．5√52解：如图示：，设A （1，1）点关于直线x ﹣y +2＝0的对称点为A ′（a ，b ），则{b−1a−1=−1a+12−b+12+2=0，解得：{a =−1b =3，故A ′（﹣1，3），点A 关于x 轴的对称点A ″（1，﹣1）， 则|A ′A ″|=√4+16=2√5，故A ′A ″的长即△ABC 周长的最小值． 故选：B ．7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 满足AG →=λAP →（0＜λ＜1），P A ＝4，AB ＝2，若OG ∥平面CEF ，则λ＝（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23解：因为P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以AB ，AD ，AP 两两互相垂直， 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ．，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 满足AG →=λAP →（0＜λ＜1），P A ＝4，AB ＝2，所以B （2，0，0），D （0，2，0），C （2，2，0），P （0，0，4），E （0，1，2），F （1，0，2），O （1，1，0），G （0，0，4λ），所以OG →=(−1，−1，4λ)，CE →=(−2，−1，2)，CF →=(−1，−2，2)， 设平面CEF 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅CE →=−2x −y +2z =0n →⋅CF →=−x −2y +2z =0，解得{y =xz =32x， 令x ＝2，得y ＝2，z ＝3，所以n →=(2，2，3)，因为OG ∥平面CEF ，所以OG →⊥n →，即OG →⋅n →=−2−2+12λ=0， 解得λ=13． 故选：B ．8．已知底边BC 长为2的等腰直角三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB ：DC =√3：1，则△ABD 面积的最大值是（ ） A ．3+√62B ．3−√62C ．3√2+2√32D ．3√2−2√32解：以BC 的中点O 为原点，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图，则A （0，1），B （﹣1，0），C （1，0），设D （x ，y ）， 因为DB ：DC =√3：1，所以√(x+1)2+y 2√(x−1)2+y 2=√3，化简整理得：（x +1）2+y 2＝3（x ﹣1）2+3y 2，即（x ﹣2）2+y 2＝3， 所以点D 的轨迹为以（2，0）为圆心，以√3为半径的圆， 当点D 与直线AB 距离最大时，△ABD 面积最大， 直线AB 的方程为x ﹣y +1＝0，且|AB|=√2，设圆心到直线的距离为d ，则点D 到直线AB 的最大距离为d +r =|2−0+1|2+√3=3√2+2√32，所以△ABD 面积的最大值为12×√2×3√2+2√32=3+√62．故选：A ．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．直线l 的方向向量为a →，平面α，β的法向量分别为n →，m →，则下列命题为真命题的是（ ） A ．若m →⊥n →，则α⊥β B ．若l ∥α，则a →⊥n →C ．若cos〈a →，n →〉=√32，则直线l 与平面α所成角的大小为π6D ．若cos〈m →，n →〉=12，则平面α，β的夹角大小为π3解：对于选项A ，若m →⊥n →，则α⊥β，即A 正确； 对于选项B ，若l ∥α，则a →⊥n →，即B 正确；对于选项C ，若cos〈a →，n →〉=√32，则a →与n →的夹角为π6，因为直线与平面所成角的取值范围为[0，π2]，所以直线l 与平面α所成角的大小为π3，即C 错误；对于选项D ，若cos〈m →，n →〉=12，则n →与m →的夹角为π3，因为两平面夹角的取值范围为[0，π2]，所以平面α与β的夹角大小为π3，即D 正确．故选：ABD ． 10．若方程x 25−t+y 2t−1=1所表示的曲线为C ，则（ ）A ．曲线C 可能是圆B ．若1＜t ＜5，则C 为椭圆C ．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则1＜t ＜3D ．若C 为双曲线，且焦点在y 轴上，则t ＜1 解：A 选项，当5﹣t ＝t ﹣1＞0，即t ＝3时，方程x 25−t+y 2t−1=1为x 2+y 2＝2，表示圆心为原点，半径为√2的圆，故选项A正确，选项B错误；C选项，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则5﹣t＞t﹣1＞0，解得1＜t＜3，故选项C正确；D选项，若C为双曲线，且焦点在y轴上，方程x25−t +y2t−1=1即y2t−1−x2t−5=1，则{t−1＞0t−5＞0，解得t＞5，故选项D错误．故选：AC．11．下列有关直线与圆的结论正确的是（）A．过点（3，4）且在x，y轴上的截距相等的直线方程为x﹣y﹣7＝0B．若直线kx﹣y﹣k﹣1＝0和以M（2，1），N（3，2）为端点的线段相交，则实数k的取值范围为[32，2]C．若点P（a，b）是圆x2+y2＝r2（r＞0）外一点，直线l的方程是ax+by＝r2，则直线l与圆相离D．若圆（x﹣1）2+y2＝4上恰有3个点到直线y＝x+b的距离等于1，则实数b=−1±√2解：当截距不为0时，设直线xa+ya=1，将点（3，4）代入得，3a+4a=1，∴a＝7，则直线方程为x+y ﹣7＝0，当截距为0时，设直线y＝kx，将点（3，4）代入得，4＝3k，∴k=43，则直线方程为4x﹣3y＝0，则直线方程为x+y﹣7＝0和4x﹣3y＝0，∴A错误．对于B，已知直线kx﹣y﹣k﹣1＝0过定点A（1，﹣1），又直线AM，AN的斜率为k AM=1+12−1=2，k AN=2+13−1=32，所以直线kx﹣y﹣k﹣1＝0和以M（2，1），N（3，2）为端点的线段相交，实数k的取值范围为[32，2]，故B正确；对于C，点P（a，b）是圆x2+y2＝r2外一点，所以a2+b2＞r2，所以圆心（0，0）到直线的距离d=r2√a2+br，所以直线与圆相交，故C不正确；因为圆C：（x﹣1）2+y2＝4上恰有三个点到直线l：y＝x+b的距离等于1，所以圆心（1，0）到直线的距离等于半径的一半，所以√2=1，解得b＝﹣1±√2，故D正确．故选：BD．12．已知O 为坐标原点，F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =√3x ，且F 1到l 的距离为3√3，P 为C 在第一象限上的一点，点Q 的坐标为（2，0），PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的方程为x 29−y 227=1 B ．双曲线C 的离心率为2 C ．|PF 1|＝3|PF 2|D ．点P 到x 轴的距离为3√152解：对于A ，由F 1（﹣c ，0）到渐近线y =√3x 的距离为3√3，得√3c2=3√3，解得c ＝6， 由渐近线方程为y =√3x ，得ba =√3，结合a 2+b 2＝c 2可得a ＝3，b =3√3，则双曲线C 的方程为x 29−y 227=1，故A 正确．对于B ，e =ca =2，故B 正确． 对于C ，PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则|PF 1||PF 2|=|QF 1||QF 2|=84=2，故C 错误．对于D ，由双曲线定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝6，则可得|PF 1|＝12，|PF 2|＝6，在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=122+62−1222×12×6=14，sin ∠F 1PF 2=√1−cos 2∠F 1PF 2=√154，设点P 到x 轴的距离为d ，则|PF 2|•sin ∠F 1PF 2 即12×12×d =12×12×6×√154，解得d =3√152，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知圆C ：x 2+y 2＝4，过点P （1，1）的直线被圆C 截得弦长最短时，直线的方程为 x +y ﹣2＝0 ． 解：显然点P 在圆C 内，过点P 且弦长最短的弦应是垂直于直线CP 的弦， 又直线CP 的斜率为1，所以所求直线的斜率为﹣1， 故所求直线的方程为y ﹣1＝﹣（x ﹣1），即x +y ﹣2＝0． 故答案为：x +y ﹣2＝0．14．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，AA 1＝2，E 为A 1D 的中点，F 为CC 1上靠近点C 的三等分点，则点E 到平面BDF 的距离为4√1717． 解：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，可得D （0，0，0），B （1，1，0），F （0，1，23），E （12，0，1），则DE →=（12，0，1），DB →=（1，1，0），DF →=（0，1，23），设平面BDF 的法向量为n →=（x ，y ，z ），由n →•DB →=n →•DF →=0，即x +y ＝y +23z ＝0，可取z ＝﹣3，则y ＝2，x ＝﹣2， 即n →=（﹣2，2，﹣3），则点E 到平面BDF 的距离为|n →⋅DE →|n →|||√4+4+9|4√1717． 故答案为：4√1717． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的离心率是√5，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，过点F 2且垂直于x 轴的垂线在x 轴上方交双曲线C 于点M ，则tan ∠MF 1F 2的值为 2√55 ．解：将x ＝c 代入双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1中，可得|MF 2|=b2a ，又|F 1F 2|＝2c ，∴tan ∠MF 1F 2=|MF 2||F 1F 2|=b 22ac =c 2−a 22ac =12(e −1e )=12(√515)=2√55．故答案为：2√55． 16．过直线l ：x ﹣y +4＝0上任意点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 过定点 （﹣1，1） ；记线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的最小值为 √2 ． 解：设P （x 0，y 0），因为P 是直线l ：x ﹣y +4＝0上一点，所以y 0＝x 0+4，以OP 为直径的圆的方程为x （x ﹣x 0）+y （y ﹣y 0）＝0， 即x 2+y 2﹣x 0x ﹣y 0y ＝0，所以x 0x +y 0y ＝4，即直线AB 的方程为x 0x +y 0y ＝4，又y 0＝x 0+4，∴直线AB 的方程为x 0（x +y ）+4y ﹣4＝0，故直线AB 过定点（﹣1，1）． 设Q （x ，y ），直线AB 过定点为M ，则M （﹣1，1）， 由MQ →⋅OQ →=0，得（x +1）x +（y ﹣1）y ＝0， 整理得点Q 的轨迹方程为(x +12)2+(y −12)2=12，因为点(−12，12)到直线l ：x ﹣y +4＝0的距离d =|−12−12+4|√2=3√22＞√22，所以直线l ：x ﹣y +4＝0与圆(x +12)2+(y −12)2=12相离， 所以点Q 到直线l 的距离的最小值为|−12−12+4|√2−√22=√2．故答案为：（﹣1，1），√2．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点分别是A （4，0），B （6，7），C （0，3）． （1）求边BC 的高所在的直线方程；（2）求平分△ABC 的面积且过点B 的直线的方程． 解：（1）由题意可得：直线BC 的斜率k BC =3−70−6=23， 则边BC 的高所在的直线的斜率k =−32，所求直线方程为y −0=−32(x −4)，即3x +2y ﹣12＝0． （2）由题意可知：所求直线即为边AC 的中线所在的直线，则线段AC 的中点为D(2，32)，可得直线BD 的斜率k BD =7−326−2=118，所以直线BD 的方程为y −32=118(x −2)，即11x ﹣8y ﹣10＝0． 18．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x +2y ＝0垂直，且右顶点A 到该条渐近线的距离为2√55． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M （3，2），求直线l 的斜率． 解：（1）因为双曲线C 的一条渐近线与直线x +2y ＝0垂直，且直线x +2y ＝0的斜率为−12，因为双曲线C 的渐近线为y =±b a x ，所以−12⋅ba =−1，解得ba=2，则双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，即2x ±y ＝0， 因为右顶点（a ，0）到该条渐近线的距离为2√55，所以√5=2√55，解得a ＝1，可得b ＝2， 所以双曲线C 的方程为x 2−y 24=1； （2）若直线l ⊥x 轴， 此时A ，B 两点关于x 轴对称，可得线段AB 的中点在x 轴上，不符合题意； 若直线l 与x 轴不垂直，不妨设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），直线l 的斜率为k ，此时{x 12−y 124=1x 22−y 224=1，即(x 12−x 22)−y 12−y 224=0， 此时(x 1+x 2)(x 1−x 2)−(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，整理得y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1−y 2x 1−x 2=4．因为线段AB 的中点为M （3，2），所以x 1+x 2＝6，y 1+y 2＝4，则46⋅k =4，解得k ＝6，故直线l 的斜率为6．19．（12分）已知点P （4，0），圆C 的圆心在直线x ﹣y ﹣4＝0上，且圆C 与y 轴切于点M （0，﹣2）． （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为2√2，求直线l 的方程． 解：（1）设圆心坐标为C （a ，b ），因为圆C 的圆心在直线x ﹣y ﹣4＝0上，且圆C 与y 轴切于点M （0，﹣2）， 所以{a −b −4=0b =−2，解得{a =2b =−2，所以C （2，﹣2），半径r ＝|MC |＝2， 所以圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y +2）2＝4；（2）由题意得，圆心C （2，﹣2）到直线l 的距离为√4−2=√2， 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣4），则√k 2+1=√2，解得k =2+√3或k =2−√3，当直线l 的斜率不存在，l 的方程为x ＝4，此时圆心C （2，﹣2）到直线l 的距离为2，不满足题意，舍去， 综上，直线l 的方程为y =(2+√3)(x −4)或y =(2−√3)(x −4)．20．（12分）一动圆与圆C 1：x 2+y 2+6x +5＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣91＝0内切，动圆圆心的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）点P 为E 上一动点，点O 为坐标原点，曲线E 的右焦点为F ，求|PO |2+|PF |2的最小值． 解：（1）不妨设动圆圆心为M （x ，y ），半径为R ，易知圆C 1：(x +3)2+y 2=4，圆C 2：(x −3)2+y 2=100， 当动圆M 与圆C 1外切时，|C 1M |＝R +2； 当动圆M 与圆C 2内切时，|C 2M |＝10﹣R ， 所以|C 1M |+|C 2M |＝12＞|C 1C 2|，则点M 的轨迹是焦点为C 1（﹣3，0），C 2（3，0），长轴长为12的椭圆， 不妨设该椭圆的长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ， 此时2c ＝6，2a ＝12，解得c ＝3，a ＝6，则b 2＝36﹣9＝27， 故动圆圆心轨迹方程为x 236+y 227=1；（2）由（1）知F （3，0），不妨设P （x ，y ）， 此时|PO |2+|PF |2＝x 2+y 2+（x ﹣3）2+y 2＝2x 2﹣6x +9+2y 2， 因为点P 在椭圆上，所以x ∈[﹣6，6]，y 2=27−34x 2， 此时|PO|2+|PF|2=12x 2−6x +63=12(x −6)2+45， 易知当x ＝6时，|PO |2+|PF |2取得最小值，最小值为45．21．（12分）如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，△SAB 是边长为2的等边三角形，AC ⊥平面SAB ，M ，N ，P ，Q 分别是SB ，BC ，SA ，CN 的中点． （1）求证：PQ ∥平面AMN ；（2）若AC ＝2，求平面AMN 与平面SAC 夹角的余弦值．（1）证明：连接BP 交AM 于点I ，连接NI ， 因为M ，P 分别为SB ，SA 的中点， 所以I 为△SBA 的重心，所BI BP=23，因为N 为BC 的中点，Q 为CN 的中点， 所以BN BQ=23，所以BIBP=BN BQ，所以NI ∥PQ ，又因为PQ ⊄平面AMN ，NI ⊂平面AMN ， 所以PQ ∥|平面AMN ；（2）解：由AC ⊥平面SAB ，可得AC ⊥AB ，平面SAB ⊥平面ABC ， 故可建立以A 为坐标原点，以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴， 过A 作垂直于AC 的直线Az 为z 轴的空间直角坐标系，如图所示， 则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），S (1，0，√3)， M (32，0，√32)，N （1，1，0），Q (12，32，0)，所以AM →=(32，0，√32)，AN →=（1，1，0），AS →=(1，0，√3)，AC →=(0，2，0)， 设平面AMN 的法向量为m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅AM →=32a +√32c =0m →⋅AN →=a +b =0，取a ＝1，可得m →=(1，−1，−√3)，设平面SAC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AS →=x +√3z =0n →⋅AC →=2y =0，取x =√3，可得n →=(√3，0，−1)， 设平面AMN 与平面SAC 夹角为θ，则cos θ＝|cos ＜m →⋅n →＞|=|m⋅n →||m →||n →|=2√3√5×2=√155，所以平面AMN 与平面SAC 夹角的余弦值为√155．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为12，且椭圆上动点M 与点F 1的最大距离为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴、椭圆C 顺次交于P ，Q ，R （点P 在椭圆左顶点的左侧），且∠PF 1Q +∠PF 1R ＝π，求△RQF 1面积的最大值．解：（1）因为椭圆C 的离心率为12，所以e =c a =12， 即a ＝2c ，①因为椭圆上动点M 与点F 1的最大距离为3， 所以a +c ＝3，② 又b =√a 2−c 2，③联立①②③，解得a ＝2，c ＝1，b =√3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）不妨设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2）， 由（1）知F 1（﹣1，0）， 因为∠PF 1Q +∠PF 1R ＝π， 所以k QF 1+k RF 1=0，即y 1x 1+1+y 2x 2+1=0，整理得x 1y 2+y 2+x 2y 1+y 1＝0，不妨设直线PQ 的方程为x ＝my +n （m ≠0），联立{x =my +n x 24+y 23=1，消去x 并整理得（3m 2+4）y 2+6mny +3n 2﹣12＝0，此时Δ＝36m 2n 2﹣4（3m 2+4）（3n 2﹣12）＞0， 解得n 2＜3m 2+4， 由韦达定理得y 1+y 2=−6mn 3m 2+4，y 1y 2=3n 2−123m 2+4， 又x 1＝my 1+n ，x 2＝my 2+n ，所以x 1y 2+y 2+x 2y 1+y 1＝2my 1y 2+（n +1）（y 1+y 2）＝0， 即2m ⋅3n 2−123m 2+4+(n +1)(−6mn3m 2+4)=0，因为m ≠0， 所以n ＝﹣4，则直线PQ 的方程为x ＝my ﹣4（m ≠0）， 此时点F 1（﹣1，0）到直线PQ 的距离d =|−1+4|√1+m 2=3√1+m 2，所以S △F 1QR=12|QR|d =12√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2⋅3√1+m 2=18√m 2−43m 2+4，因为n 2＜3m 2+4，n ＝﹣4， 所以3m 2+4＞16， 即m 2＞4，不妨令√m 2−4=t ，t ＞0， 此时m 2＝t 2+4， 所以√m 2−43m 2+4=t 3(t 2+4)+4=t 3t 2+16=13t+16t≤2√3t⋅t=8√3，当且仅当3t =16t 时，等号成立， 此时m 2=t 2+4=283，直线l 存在， 综上，△RQF 1面积的最大值为18×18√3=3√34．。
安徽省合肥市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析
绝密★启用前合肥2023~2024学年度第一学期高二年级期中考试（学考模拟）数学（答案在最后）本试卷共4页.全卷满分100分，考试时间90分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共54分)一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，满分54分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求，多选不给分)1.已知集合{}1,2A =，{}1,3B =，则A B ⋃=（）A.{}1 B.{}1,2 C.{}1,3 D.{}1,2,3【答案】D 【解析】【分析】利用并集运算求解.【详解】解：因为集合{}1,2A =，{}1,3B =，所以A B ⋃={}1,2,3，故选：D2.下列函数中，在其定义域上单调递减的是（）A.y x=- B.²y x = C.sin y x= D.cos y x=【答案】A 【解析】【分析】利用幂函数与正余弦函数的单调性一一判定即可.【详解】由幂函数的单调性可知y x =-在定义域上单调递减，故A 正确；²y x =在(),0∞-上单调递减，()0,∞+上单调递增，不符题意，sin y x =在()ππ2π,2πZ 22k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，不符题意，cos y x =在[]()π2π,2πZ k k k -+∈上单调递增，不符题意，即B 、C 、D 错误.故选：A3.在平面直角坐标系中，下列与角420o 终边相同的角是（）A.20B.60C.120D.150【答案】B 【解析】【分析】利用终边相同的角的定义计算即可.【详解】由题意可知42036060=+ ，所以60 与420o 终边相同.故选：B4.若12i z =+，则4i 1zz =-A.1 B.-1C.iD.-i【答案】C 【解析】【详解】试题分析：()()4i 4ii 112i 12i 1zz ==-+--，故选C ．【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．5.下列函数为奇函数的是（）A.1y x=B.y x= C.2xy = D.y =log ₂x【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求求解.【详解】对于A 中，函数1y x=为奇函数，符合题意；对于B 中，函数y x =为偶函数，不符合题意；对于C 中，函数2x y =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，函数2log y x =为非奇非偶函数，不符合题意.故选：A.6.已知函数()f x 对于任意实数x 满足()()2f x f x +=，若()13f -=，则()5f =（）A.-5B.-3C.3D.5【答案】C 【解析】【分析】首先判断函数的周期，利用周期求函数值.【详解】由R x ∀∈，()()2f x f x +=，可知，函数()f x 的周期2T =，()()()513213f f f =-+⨯=-=.故选：C7.已知a +b >0，b <0，那么a ，b ，-a ，-b 的大小关系是（）A.a >b >-a >-bB.a >b >．-b >-aC.a >-b >-a >bD.a >-b >b >-a【答案】D 【解析】【分析】根据题目信息，a +b >0，b <0，则可知0a >且a b >，在对内容排序即可【详解】因为a +b >0，b <0，则可知0a >且a b >，则a b b a >->>-，因此D 正确.故选：D.8.已知向量()(),1,1,2a b λλ=-=- ，若a b ⊥，则实数λ的值是（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据a b ⊥，由()()1120λλ⨯-+-⨯=求解.【详解】解：因为向量()(),1,1,2a b λλ=-=- ，且a b ⊥，所以()()1120λλ⨯-+-⨯=，解得2λ=，故选：D9.已知函数()()0,1xf x a a a =>≠的图象过点()2,9P ，则()1f -=（）A.3 B.-3C.13D.13-【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数的定义求底数，再计算函数值即可.【详解】由题意可知()()2293,3xf a a f x ==⇒==，所以()113f -=.故选：C10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ＝AD ＝2，13AA =，则四棱锥1D ABCD -的体积为（）A.3B.4C.6D.9【答案】B 【解析】【分析】根据长方体的特殊线面关系，结合棱锥体积公式求得结果.【详解】在长方体中，1DD ⊥底面ABCD ，则四棱锥1D ABCD -的体积为122343⨯⨯⨯=.故选：B11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1sin 2a b A ===，则C =（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】B 【解析】【分析】根据正弦定理，即可求解.【详解】根据正弦定理sin sin a bA B =，即sin sin 1b A B a==，则π2B =，sin 2A =，a b <，则π4A =，所以π4C B A π=--=.故选：B12.若函数21y x kx =++的图象与x 轴没有交点，则k 的取值范围是（）A.()2,2- B.()2,+∞C.(),2-∞- D.()(),22,∞∞--⋃+【答案】A 【解析】【分析】利用二次函数的性质计算即可.【详解】由题意可知210y x kx =++=无解，即()2Δ402,2k k =-<⇒∈-.故答案为：A13.已知AB=(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅ =A.-3B.-2C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=- ，1BC == ，得3t =，则(1,0)BC = ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．14.在篮球选修课上，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则（）A.男生投篮水平比女生投篮水平高B.女生投篮水平比男生投篮水平高C.男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定D.男女同学投篮命中数的极差相同【答案】C 【解析】【分析】根据平均数和方差计算公式结合图表数据计算出x 男，x 女，2s 男，2s 女，然后进行比较即可求得结果.【详解】由图可知1(45286)55x =++++=男，1(53764)55x =++++=女，222222(45)(55)(25)(85)()14565s -+-+-⎡⎤==⎣++-⎦-男，2222221(55)(35)(75)(65)(45)25s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦女，所以x x =男女，22s s >男女，所以本次投篮练习中男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定，故选：C.15.向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分析容器的形状，结合匀速注水的条件可以直接得到答案.【详解】由于容器上粗下细，所以匀速注水的过程中，高度的增长会越来越慢，只有C 选项的图象符合条件，故选：C.16.函数()22log f x x =-零点所在的区间是（）A.()1,2 B.()2,4 C.()4,8 D.()8,16【答案】B 【解析】【分析】根据零点存在性定理，即可判断选项.【详解】函数()f x 在()0,∞+上单调递减，()120f =>，()2210f =->，()4220f =-<，()()240f f <，且函数单调递减，连续不断，所以函数的零点所在的区间是()2,4.故选：B17.从2名男生和2名女生中任选2人参加社区活动，那么互斥而不对立．．．．．．的两个事件是（）A.“恰有1名男生”与“全是男生”B.“至少有1名男生”与“全是女生”C.“至少有1名男生”与“全是男生”D.“至少有1名男生”与“至少有1名女生”【答案】A 【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念结合选项进行判断.【详解】对于A ，“恰有1名男生”与“全是男生”不能同时发生，但不一定必有其一发生，所以是互斥而不对立事件；对于B ，“至少有1名男生”与“全是女生”是对立事件；对于C ，“至少有1名男生”与“全是男生”能同时发生，所以不是互斥事件；对于D ，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”能同时发生，所以不是互斥事件；故选：A.18.如图，在长方形ABCD 中，6,4AB AD ==，点P 满足DP DC λ= ，其中20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则PA PB+ 的取值范围是（）A.[]4,5B.[]8,10C.⎡⎣D.⎡⎤⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到()6,4P λ，20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而求出PA PB +=，求出最值.【详解】以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,6,0,0,4,6,4A B D C ，设(),P s t ，因为DP DC λ=，所以()(),46,0s t λ-=，即6,4s t λ==，故()6,4P λ，20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()6,466,4612,8PA PB λλλ+=--+--=--，则PA PB +=，因为20,3λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]6122,6λ-∈-，()[]26120,36λ-∈，故[]8,10PA PB +=.故选：B第Ⅱ卷(非选择题共46分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，满分16分，把答案填在题中的横线上)19.若a >0，则1a a+的最小值是___________.【答案】2【解析】【分析】利用基本不等式求解.【详解】解：∵a >0，∴12a a +≥=（当且仅当a =1时取“=”）.故答案为：220.某校高一年级有学生1000人，高二年级有学生800人，为制订学生课外活动方案，采用分层抽样的方法从两个年级分别抽取学生参加问卷调查，若从高一年级抽取学生50人，则应从高二年级抽取的学生人数是_______________.【答案】40【解析】【分析】根据分层抽样计算公式，即可求解.【详解】设高二年级抽取的学生人数为x ，则100050800x=，则40x =.故答案为：4021.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是___________.【答案】【解析】【分析】正方体外接球球心为其体对角线的中点，体对角线即为外接球的直径.【详解】设正方体棱长为a ，则2262442a a a =⇒=⇒=，根据正方体和球的对称性可知，正方体外接球球心为其体对角线的中点，其体对角线即为外接球的直径，设外接球半径为R ，则22(2)32R a R a =⇒==，∴外接球体积334433V R ππ==⋅=.故答案为：.22.在精准扶贫工作中，某单位帮助农户销售当地特色产品，该产品的成本是30元/千克，产品的日销售量P (千克)与销售单价x (元/千克)满足关系式()1623,30501122,5056x x P x x x -≤<⎧=⎨-≤≤⎩，要使农户获得日利润最大，则该产品销售单价x (元/千克)为_______________.【答案】42【解析】【分析】利用分段函数、二次函数的性质计算即可.【详解】由题意可知农户的日利润()()()()22342432,305030243338,5056x x W x P x x x ⎧--+≤<⎪=-⋅=⎨--+≤≤⎪⎩，由二次函数的单调性可知：若3050x ≤<，有42x =时，max 432W =；若5056x ≤≤，有50x =时，max 240432W =<；故42x =时，日利润取得最大值432.故答案为：42三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，满分30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)23.已知函数()sin 2f x x =.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）已知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2cos 2θ=，求()f θ的值.【答案】（1）π（2）1【解析】【分析】（1）根据周期公式求解即可；（2）先根据平方关系求得sin θ，进而结合二倍角的正弦公式求解即可.【小问1详解】函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.【小问2详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则212sin 1cos 122θθ=-=-=，所以()22sin 22sin cos 2122f θθθθ===⨯⨯=.24.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，点D 为棱AB 的中点，3,2PA AB ==（1）求证:CD ⊥平面PAB ；（2）求三棱锥P BCD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得PA CD ⊥，再根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）根据棱锥的体积公式计算即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以PA CD ⊥，因为ABC 为等边三角形，点D 为棱AB 的中点，所以CD AB ⊥，又,,PA AB A PA AB ⋂=⊂平面PAB ，所以CD ⊥平面PAB ；【小问2详解】CD =13122BCD S =⨯= ，因为PA ⊥平面ABC ，所以1132P BCD BCD V PA S -=⋅=.25.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)0,0.1[)0.1,0.2[)0.2,0.3[)0.3,0.4[)0.4,0.5[)0.5,0.6[)0.6,0.7频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)0,0.1[)0.1,0.2[)0.2,0.3[)0.3,0.4[)0.4,0.5[)0.5,0.6频数151310165（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：0.35m的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于3（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）47.45m.【答案】（1）直方图见解析；（2）0.48；（3）3【解析】【分析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；（2）结合直方图，算出日用水量小于0.35的矩形的面积总和，即为所求的频率；（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得50天日用水量的平均值，作差乘以365天得到一年能节约用水m，从而求得结果.多少3【详解】（1）频率分布直方图如下图所示：（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48；（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=．【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.。
2023-2024学年安徽省六安一中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省六安一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线l 的一个方向向量为(−1，√33)，则它的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．若a ∈{﹣1，0，1，2，3}，则方程x 2+y 2+x +2ay +a 2+a ﹣1＝0表示的圆的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知椭圆方程x 2169+y 225=1，若△ABC 的顶点B ，C 分别是椭圆的两个焦点，A 在椭圆上，则sinB+sinC+sinA sinB+sinC−sinA的值为（ ）A ．25B ．252C ．12D ．244．已知两定点A （﹣1，1）、B （2，5），动点P 在直线上x ﹣y ＝0，则|P A |+|PB |的最小值为（ ） A ．5√13B ．√34C ．5D ．√375．已知直线l ：x +ay ﹣1＝0（a ∈R ）是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝（ ） A ．2B ．4√2C ．6D ．76．如图底面为平行四边形的四棱锥P ﹣ABCD ，EC ＝2PE ，若DE →=xAB →+yAC →+zAP →，则x +y +z ＝（ ）A ．1B ．2C ．13D ．537．已知点F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 、B 是以O （O 为坐标原点）为圆心、|OF 1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F 2AB 是正三角形，则此椭圆的离心率为（ ） A ．√3−1B ．√32C ．√2−1D ．√38．柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体．如图是棱长均为1的柏拉图多面体EABCDF ，P ，Q ，M ，N 分别为DE ，AB ，AD ，BF 的中点，则PQ →⋅MN →=（ ）A ．12B ．14C ．−14D ．−12二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．若向量a →=（1，2，0），b →=（﹣2，0，1），则（ ） A ．cos ＜a →，b →＞=−25 B ．a →⊥b →C ．a →∥b →D ．|a →|＝|b →|10．下列说法正确的有（ ）A ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．直线y ＝x +1在x 轴上的截距为1C ．经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）＝（x ﹣x 1）（y 2﹣y 1）表示D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为−2311．已知圆M ：x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0，圆N ：x 2+y 2﹣8x ﹣8y +23＝0，则下列选项正确的是（ ） A ．两圆是外切的位置关系 B ．直线MN 的方程为4x ﹣3y ﹣4＝0C ．若P 、Q 两点分别是圆M 和圆N 上的动点，则|PQ |的最大值为5D ．圆M 和圆N 的一条公切线段长为2√612．已知A ，B 两点的距离为定值4，平面内一动点C ，记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，下面说法正确的是（ ） A ．若CA →⋅CB →=0，则S 最大值为2 B ．若b =√2a ，则S 最大值为8√2C ．若a +b ＝8，则S 最大值为4√3D ．若（tan ∠CAB ）•（tan ∠CBA ）=14，则S 最大值为1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．过点A （1，2）且与两定点（2，3）、（4，﹣5）等距离的直线方程为 ． 14．已知椭圆C ：x 225+y 29=1，点M 在椭圆C 上，已知点N(1，√3)与点F （﹣4，0），则|MF |+|MN |的最小值为 ．15．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点F ，G 分别是AB ，CC 1的中点，则点D 1到直线GF 的距离为 ．16．已知P 为圆O ：x 2+y 2＝1上一动点，过点P 作圆O 的切线l ，交圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣4）2＝36于点A 、B ，则|PA||PB|的最大值是 ．四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知直线l 1：x +3y +1＝0，l 2 ：x +（a ﹣2）y +a ＝0． （1）若l 1⊥l 2，求实数a 的值；（2）当l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离． 18．（12分）已知平面内两点P （﹣1，﹣3），Q （3，3）． （1）求PQ 的垂直平分线所在直线的直线方程；（2）过点Q 作直线l ，分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，当|OA |+|OB |取得最小值时，求直线l 的方程．19．（12分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，△SAD 是正三角形，且平面SAD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，P 为棱AD 的中点，AD ＝2． （1）若E 为棱SB 的中点，求证：PE ∥平面SCD ；（2）在棱SA 上是否存在点M ，使得平面PMB 与平面SAD 所成锐二面角的余弦值为2√35？若存在，指出点M 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知圆C 1：（x +1）2+y 2＝1，C 2：（x ﹣1）2+y 2＝9，动圆M 与圆C 1外切，与圆C 2内切，记圆心M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）直线l 过点C 2，且与曲线C 交于A ，B 两点，满足AC 2→=32C 2B →，求直线l 的方程．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ≥1)的右焦点F 坐标是(√3，0)，且椭圆C 上的点到F 距离的最大值为2+√3，过点M （3，0）的直线交椭圆C 于点A 、B ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆上一点，且满足OA →+OB →=tOP →（O 为坐标原点），当|AB |＜√3时，求实数t 的取值范围．22．（12分）已知圆心在坐标原点的圆C 与直线x +y −2√2=0相切． （1）求圆C 的标准方程；（2）已知点P （﹣4，1），过点P 作圆C 的两条切线，切点分别是A 、B ，若点Q 是线段AB 上的一个动点，直线PQ 交圆C 于M 、N 两点，求|PM |•|PN |﹣|QA |•|QB |最小值．2023-2024学年安徽省六安一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线l 的一个方向向量为(−1，√33)，则它的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：因为直线l 的一个方向向量为(−1，√33)，所以直线l 的斜率k =−√33，所以直线l 的倾斜角为150°． 故选：D ．2．若a ∈{﹣1，0，1，2，3}，则方程x 2+y 2+x +2ay +a 2+a ﹣1＝0表示的圆的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：方程x 2+y 2+x +2ay +a 2+a ﹣1＝0整理得(x +12)2+(y +a)2=14+1−a ； 当a ＝﹣1，0，1时，表示圆． 故选：C ． 3．已知椭圆方程x 2169+y 225=1，若△ABC 的顶点B ，C 分别是椭圆的两个焦点，A 在椭圆上，则sinB+sinC+sinA sinB+sinC−sinA的值为（ ）A ．25B ．252C ．12D ．24解：由题意可知，a ＝13，b ＝5，所以c ＝12， 又△ABC 的顶点B 、C 分别是椭圆的焦点， 所以|AB |+|AC |＝2a ＝26，|BC |＝2c ＝24， 所以由正弦定理可得sinB+sinC+sinA sinB+sinC−sinA=|AC|+|AB|+|BC||AC|+|AB|−|BC|=26+2426−24=25．故选：A ．4．已知两定点A （﹣1，1）、B （2，5），动点P 在直线上x ﹣y ＝0，则|P A |+|PB |的最小值为（ ） A ．5√13B ．√34C ．5D ．√37解：作出图形知A ，B 在直线的同侧，点A 关于直线 x ﹣y ＝0 的对称点A 1（1，﹣1），则(|PA|+|PB|)min =|A 1B|=√(2−1)2+(5+1)2=√37．故选：D ．5．已知直线l ：x +ay ﹣1＝0（a ∈R ）是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝（ ） A ．2B ．4√2C ．6D ．7解：由圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0得，（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4， 所以C （2，1）为圆心、半径为2，由题意可得，直线l ：x +ay ﹣1＝0经过圆C 的圆心（2，1）， 故有2+a ﹣1＝0，得a ＝﹣1，则点A （﹣4，﹣1）， 即|AC |=√(2+4)2+(1+1)2=√40，所以切线的长|AB |=√|AC|2−r 2=√40−4=6， 故选：C ．6．如图底面为平行四边形的四棱锥P ﹣ABCD ，EC ＝2PE ，若DE →=xAB →+yAC →+zAP →，则x +y +z ＝（ ）A ．1B ．2C ．13D ．53解：由题意，DE →=DC →+CA →+AE →=AB →−AC →+AP →+PE →=AB →−AC →+AP →+13PC →=AB →−AC →+AP →+13(AC →−AP →)=AB →−23AC →+23AP →，又因为DE →=xAB →+yAC →+zAP →， 所以x ＝1，y =−23，z =23， 所以x +y +z ＝1． 故选：A ．7．已知点F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 、B 是以O （O 为坐标原点）为圆心、|OF 1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F 2AB 是正三角形，则此椭圆的离心率为（ ） A ．√3−1B ．√32C ．√2−1D ．√3解：由题意，∵A 、B 是以O （O 为坐标原点）为圆心、|OF 1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点， ∴|OA |＝|OB |＝|OF 2|＝c ∵△F 2AB 是正三角形， ∴|F 2A|=√3c ∴|F 1A |＝c ， ∵|F 1A |+|F 2A |＝2a ∴(1+√3)c =2a ∴ca =1+√3=√3−1故选：A ．8．柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体．如图是棱长均为1的柏拉图多面体EABCDF ，P ，Q ，M ，N 分别为DE ，AB ，AD ，BF 的中点，则PQ →⋅MN →=（ ）A ．12B ．14C ．−14D ．−12解：由柏拉图多面体的性质可知，侧面均为等边三角形，四边形ABCD 为边长为1的菱形，又△AEC ≌△BED ，所以AC ＝BD ，故四边形ABCD 为正方形， 同理四边形BEDF 也为正方形， 取AE 的中点K ，连接PK ，KQ ，则PQ →=PK →+KQ →=12DA →+12EB →， 同理MN →=12DF →+12AB →，所以PQ →⋅MN →=（12DA →+12EB →）•（12DF →+12AB →）=14DA →⋅DF →+14DA →⋅AB →+14EB →⋅DF →+14EB →⋅AB →=14×1×1×cos60°+0+14×1×1+14×1×1×cos60°=12． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．若向量a →=（1，2，0），b →=（﹣2，0，1），则（ ） A ．cos ＜a →，b →＞=−25B ．a →⊥b →C ．a →∥b →D ．|a →|＝|b →|解：因为a →=（1，2，0），b →=（﹣2，0，1）， 所以cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=−25⋅5=−25， 故A 正确，B ，C 都错误； |a →|=√5，|b →|=√5， 所以|a →|＝|b →|=√5，故选：AD ．10．下列说法正确的有（ ）A ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．直线y ＝x +1在x 轴上的截距为1C ．经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）＝（x ﹣x 1）（y 2﹣y 1）表示D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为−23解：对于A ，直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴交于点（2，0），（0，﹣2）， 故与两坐标轴围成的三角形的面积S =12×2×2=2，故A 正确， 对于B ，直线y ＝x +1过（﹣1，0），在x 轴上的截距为﹣1，故B 错误， 对于C ，经过两个不同的点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线， 若x 1≠x 2且y 1≠y 2，则方程为y−y 1y 2−y 1=x−x 1x 2−x 1，化简得（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）＝（x ﹣x 1）（y 2﹣y 1）；若x 1＝x 2，则直线方程为x ﹣x 1＝0，可以化成（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）＝（x ﹣x 1）（y 2﹣y 1）； 若y 1＝y 2，则直线方程为y ﹣y 1＝0，也可以化成（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）＝（x ﹣x 1）（y 2﹣y 1）． 因此，经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线， 都可以用方程（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）＝（x ﹣x 1）（y 2﹣y 1）表示，C 正确；对于D ，由题意得该直线的方向向量为（﹣3，2），可知该直线的斜率为−23，故D 正确． 故选：ACD ．11．已知圆M ：x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0，圆N ：x 2+y 2﹣8x ﹣8y +23＝0，则下列选项正确的是（ ） A ．两圆是外切的位置关系 B ．直线MN 的方程为4x ﹣3y ﹣4＝0C ．若P 、Q 两点分别是圆M 和圆N 上的动点，则|PQ |的最大值为5D ．圆M 和圆N 的一条公切线段长为2√6解：由题意可知：圆M ：（x ﹣1）2+y 2＝4的圆心M （1，0），半径r 1＝2， 圆N ：（x ﹣4）2+（y ﹣4）2＝9的圆心N （4，4），半径r 2＝3，|MN|=√(4−1)2+(4−0)2=5=r 1+r 2，可知圆M 与圆N 外切，故A 正确； 直线MN 的方程为y−04−0=x−14−1，即4x ﹣3y ﹣4＝0，故B 正确；因为|MN |＝5，所以|PQ |的最大值为|MN |+r 1+r 2＝10，故C 错误；如图，直线l 为两圆的公切线，A ，B 为切点坐标，过N 作ND ⊥AM ，垂足为D ，则ADNB 为矩形，可得|MN |＝5，|DM |＝r 2﹣r 1＝1， 所以公切线长为|AB |=√|DN|2−|AD|2=2√6，故D 正确． 故选：ABD ．12．已知A ，B 两点的距离为定值4，平面内一动点C ，记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，下面说法正确的是（ ） A ．若CA →⋅CB →=0，则S 最大值为2 B ．若b =√2a ，则S 最大值为8√2 C ．若a +b ＝8，则S 最大值为4√3D ．若（tan ∠CAB ）•（tan ∠CBA ）=14，则S 最大值为1 解：以AB 中点为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系， 因为|AB |＝4，则A （﹣2，0），B （2，0），设C （x ，y ），对于选项A ，若CA →⋅CB →=0，则点C 的轨迹方程为x 2+y 2＝4，（x ≠±2）， 则S =12×|AB|×|y|=2|y|≤4，即S 的最大值为4，即选项A 错误；对于选项B ，若b =√2a ，则√(x +2)2+y 2=√2√(x −2)2+y 2，即（x ﹣6）2+y 2＝32，（y ≠0）， 则|y|≤4√2，则S =12×4×|y|≤8√2，则S 的最大值为8√2，即选项B 正确； 对于选项C ，若a +b ＝8，由椭圆的定义可得，点C 的轨迹方程为x 216+y 212=1，（y ≠0），即|y|≤2√3，则S =12×4×|y|≤4√3，则S 的最大值为4√3，即选项C 正确；对于选项D ，若(tan ∠CAB)⋅(tan ∠CBA)=14，则k AC ⋅k BC =−14，即x 24+y 2=1，（y ≠0），则|y |≤1，即S =12×4×|y|≤2，则S 的最大值为2，即选项D 错误．故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．过点A （1，2）且与两定点（2，3）、（4，﹣5）等距离的直线方程为 3x +2y ﹣7＝0，4x +y ﹣6＝0 ． 解：①过两定点（2，3）、（4，﹣5）的直线方程为：y ﹣3=−5−34−2（x ﹣2），化为：4x +y ﹣11＝0， 过点A （1，2）的直线与直线：4x +y ﹣11＝0平行时满足条件：y ﹣2＝﹣4（x ﹣1），化为：4x +y ﹣6＝0． ②两定点（2，3）、（4，﹣5）所在线段的中点为（3，﹣1）． 则经过点A （1，2）与中点的直线满足条件：y ﹣2=−1−23−1（x ﹣1），化为：3x +2y ﹣7＝0． 综上可得：满足条件的直线方程为：3x +2y ﹣7＝0，4x +y ﹣6＝0． 故答案为：3x +2y ﹣7＝0，4x +y ﹣6＝0． 14．已知椭圆C ：x 225+y 29=1，点M 在椭圆C 上，已知点N(1，√3)与点F （﹣4，0），则|MF |+|MN |的最小值为 10−2√3 ．解：根据题意可得a ＝5，b ＝3，c ＝4，设椭圆的右焦点为F ′，则F ′为（4，0），又点N(1，√3)， ∴|NF ′|=√9+3=2√3∴|MF |+|MN |＝2a ﹣|MF ′|+|MN |≥2a ﹣|NF ′|＝10−2√3， 当且仅当M ，N ，F ′三点共线时，等号成立， 故|MF |+|MN |的最小值为10−2√3． 故答案为：10−2√3．15．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点F ，G 分别是AB ，CC 1的中点，则点D 1到直线GF 的距离为√423．解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则D 1（0，0，2），G （0，2，1），F （1，1，0）， FD 1→=（﹣1，﹣1，2），FG →=（﹣1，1，1）， ∴点D 1到直线GF 的距离：d ＝|FD 1→|•√1−(FD 1→⋅FG→|FD 1→|⋅|FG →|)2=√6⋅√1−(2√6⋅√3)2=√423．∴点D 1到直线GF 的距离为√423． 故答案为：√423．16．已知P 为圆O ：x 2+y 2＝1上一动点，过点P 作圆O 的切线l ，交圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣4）2＝36于点A 、B ，则|PA||PB|的最大值是 3+2√2 ．解：原题等价于已知O ：x 2+y 2＝1及其P （0，1）处的切线l ：y ＝1，圆C 的圆心到圆O 的距离为d =√12+42=√17，半径为r ＝6且与直线l 交于A ，B 两点， 求A ，B 两点横坐标的绝对值的比的取值范围， 如图，设C(√17cosθ，√17sinθ)，则圆C 的方程为(x −√17cosθ)2+(y −√17sinθ)2=36， 与直线l 的方程联立可得x 2−2√17cosθ⋅x −18−2√17sinθ=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点横坐标之比为λ，则x 1+x 2=λx 2+x 2=2√17cosθ，x 1x 2=λx 22=−18−2√17sinθ，得(2√17cosθλ+1)2=−18−2√17sinθλ， 整理得λ+1λ=18+2√17sinθ+18+217sinθ−38≥2√256−38=−6，当且仅当18+2√17sinθ=25618+2√17sinθ时，λ+1λ取得最小值﹣6，当sin θ＝±1时，λ+1λ取得最大值﹣2，所以−6≤λ+1λ≤−2，得−3−2√2≤λ≤−3+2√2，得|λ|≤3+2√2，故|PA||PB|的最大值为3+2√2．故答案为：3+2√2．四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知直线l1：x+3y+1＝0，l2：x+（a﹣2）y+a＝0．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．解：（1）因为直线l1：x+3y+1＝0，l2：x+（a﹣2）y+a＝0，且l1⊥l2，所以1×1+3×（a﹣2）＝0，所以3a﹣5＝0，所以a=5 3．（2）当l1∥l2时，1×（a﹣2）＝3×1，解得a＝5，此时l1：x+3y+1＝0，l2：x+3y+5＝0，所以l1与l2的距离d=|1−5|√1+3=2√105．18．（12分）已知平面内两点P（﹣1，﹣3），Q（3，3）．（1）求PQ的垂直平分线所在直线的直线方程；（2）过点Q作直线l，分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，当|OA|+|OB|取得最小值时，求直线l的方程．解：（1）∵P（﹣1，﹣3），Q（3，3），∴PQ中点M(1，0)，k PQ=3 2，∴直线PQ的垂直平分线的斜率k=−2 3，直线l：y=−23(x−1)=−23x+23⇒2x+3y−2=0；（2）设A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0），则直线l：xa+yb=1，∵Q在直线上，∴3a +3b=1，∴|OA|+|OB|=a+b=(a+b)(3a+3b)=6+3ba+3ab≥6+2√3ba⋅3ab=12，当且仅当3b a=3a b时取等号，即当且仅当a ＝b ＝6时，等号成立此时，l ：y ＝﹣x +6⇒x +y ﹣6＝0．19．（12分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，△SAD 是正三角形，且平面SAD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，P 为棱AD 的中点，AD ＝2． （1）若E 为棱SB 的中点，求证：PE ∥平面SCD ；（2）在棱SA 上是否存在点M ，使得平面PMB 与平面SAD 所成锐二面角的余弦值为2√35？若存在，指出点M 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由．（1）证明：取SC 中点F ，连EF 、DF ，∵E ，F 为棱SB ，SC 的中点，∴EF ∥BC ，且EF =12BC ， ∵四边形ABCD 是矩形，P 为棱AD 的中点， ∴PD ∥BC ，PD =12BC ，∴EF ∥PD ，EF ＝PD ，∴四边形PEFD 是平行四边形， ∴PE ∥FD ，又∵FD ⊂平面SCD ，PE ⊄平面SCD ， ∴PE ∥平面SCD ；（2）解：假设在棱SA 上存在点M 满足题意，在等边三角形SAD 中，P 为AD 的中点，所以SP ⊥AD ， 又平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ， SP ⊂平面SAD ，∴SP ⊥平面ABCD ，以点P 为原点，PA →的方向为x 轴正方向，PS →的方向为z 轴的正方向， 过P 作AB 的平行线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），S(0，0，√3)， ∴PA →=(1，0，0)，PB →=(1，1，0)，AS →=(−1，0，√3)， 设AM →=λAS →=(−λ，0，√3λ)(0≤λ≤1)， ∴PM →=PA →+AM →=(1−λ，0，√3λ)， 设平面PMB 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅PM →=(1−λ)x +√3λz =0n →⋅PB →=x +y =0，令x =√3λ，可得y =−√3λ，z ＝λ﹣1， ∴n →=（√3λ，−√3λ，λ﹣1），易知平面SAD 的一个法向量为m →=（0，1，0）， ∴|cos ＜n →，m →＞|=|−3λ|√7λ−2λ+1=2√35，解得λ=23， ∴存在点M 为SA 的靠近点S 的三等分点时，平面PMB 与平面SAD 所成锐二面角的余弦值为2√35． 20．（12分）已知圆C 1：（x +1）2+y 2＝1，C 2：（x ﹣1）2+y 2＝9，动圆M 与圆C 1外切，与圆C 2内切，记圆心M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）直线l 过点C 2，且与曲线C 交于A ，B 两点，满足AC 2→=32C 2B →，求直线l 的方程．解：（1）由题意可知，圆C 1的圆心C 1（﹣1，0），半径r 1＝1，圆C 2的圆心C 2（1，0），半径r 2＝3， 由条件，可得{|MC 1|=r +1|MC 2|=3−r，即|MC 1|+|MC 2|＝4＞|C 1C 2|，则根据定义可知，点M 是以C 1，C 2为焦点，以4为长轴长的椭圆，则a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2﹣c 2＝3， 所以曲线C 的方程为x 24+y 23=1．（2）由a ＝2，c ＝1知直线l 斜率不为0， 不妨设l ：x ＝my +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则AC 2→=(1−x 1，−y 1)，C 2B →=(x 2−1，y 2)， 由AC 2→=32C 2B →，可得y 1=−32y 2，联立方程{x =my +1x 24+y 23=1，消去x ，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0，则Δ＞0，由韦达定理，可得{y 1+y 2=−6m3m 2+4y 1y 2=−93m 2+4， 将y 1=−32y 2代入，得4m 23m 2+4=16，解得m 2=421，即m =±221√21，因此直线l ：x =±221√21y +1，即y =±√212(x −1)． 21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ≥1)的右焦点F 坐标是(√3，0)，且椭圆C 上的点到F 距离的最大值为2+√3，过点M （3，0）的直线交椭圆C 于点A 、B ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆上一点，且满足OA →+OB →=tOP →（O 为坐标原点），当|AB |＜√3时，求实数t 的取值范围．解：（1）由焦点坐标可知c =√3，又椭圆C 上的点到F 距离的最大值为a +c =2+√3，可知a ＝2， 所以b 2＝1； 故椭圆方程是x 24+y 2=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x ，y ），显然直线斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k （x ﹣3）， 由{y =k(x −3)x 24+y 2=1，整理得（1+4k 2）x 2﹣24k 2x +36k 2﹣4＝0， 则Δ＝（﹣24k 2）2﹣16（9k 2﹣1）（1+4k 2）＞0，解得k 2＜15，又x 1+x 2=24k21+4k2，x 1⋅x 2=36k 2−41+4k2，因|AB|＜√3且|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|，则(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]＜3， 于是有(1+k 2)[242k4(1+4k 2)2−4(36k 2−4)1+4k2]＜3，化简得（8k 2﹣1）（16k 2+13）＞0，则8k 2﹣1＞0， 即k 2＞18，所以18＜k 2＜15，由OA →+OB →=tOP →得（x 1+x 2，y 1+y 2）＝t （x ，y ），则x =1t (x 1+x 2)=24k 2t(1+4k 2)，y =1t (y 1+y 2)=1t [k(x 1+x 2)−6k]=−6k t(1+4k 2)， 而点P 在椭圆上，即(24k 2)2t 2(1+4k 2)2+144k 2t 2(1+4k 2)2=4，化简得36k 2＝t 2（1+4k 2），从而有t 2=36k21+4k2=9−91+4k2， 而32＜1+4k 2＜95，即5＜91+4k2＜6，于是得3＜t 2＜4，解得−2＜t ＜−√3或√3＜t ＜2， 故实数t 的取值范围为(−2，−√3)∪(√3，2)．22．（12分）已知圆心在坐标原点的圆C 与直线x +y −2√2=0相切． （1）求圆C 的标准方程；（2）已知点P （﹣4，1），过点P 作圆C 的两条切线，切点分别是A 、B ，若点Q 是线段AB 上的一个动点，直线PQ 交圆C 于M 、N 两点，求|PM |•|PN |﹣|QA |•|QB |最小值．解：（1）圆心在坐标原点的圆C 与直线x +y −2√2=0相切． 可得圆的半径r =2√2√2=4， 圆C 的标准方程为x 2+y 2＝4．（2）由点P （﹣4，1）可得切点弦AB ：4x ﹣y +4＝0，d 0=417， 则|AB|=2√r 2−d 02=2√5217=|QA|+|QB|，∴|QA|⋅|QB|≤(|QA|+(QB)2)2=5217．当且仅当|QA |＝|QB |时，取等号． 设PQ ：y ﹣1＝k （x ﹣4），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y −1=k(x −4)x 2+y 2=4，得（1+k 2）x 2+2k （4k +1）x +（16k 2+8k ﹣3）＝0，∴{ Δ＞0x 1+x 2=−k(4k+1)1+k 2x 1x 2=16k 2+8k−31+k 2， ∴|PM|⋅|PN|=(1+k 2)(x 1+4)(x 2+4)=(1+k 2)[x 1x 2+4(x 1+x 2)+16]=13， 故|PM|⋅|PN|−|QM|⋅|QN|≥13−5217=16917．。
安徽省蚌埠市蚌山区2023-2024学年九年级上学期期中语文试题(含答案)
2023—2024学年第一学期蚌埠G5教研联盟期中考试九年级语文试卷注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分（其中卷面书写5分），考试时间为150分钟。
2．试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分。
3．请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题无效。
一、语文积累和运用（35分）1．默写古诗文。
（10分）（1）遭遇贬谪的文人往往在诗中流露出自己的情绪。
韩愈《左迁至蓝关示侄孙湘》讲述自己被贬的原因“____________，____________”，蕴含无罪遭贬的怨愤、悲痛之情；刘禹锡《酬乐天扬州处逢席上见赠》讲述自己长期被贬谪、遭弃置偏远之地“____________，____________”，发出愤懑不平、无限心酸；范仲淹《岳阳楼记》却以“____________，____________”，劝诫友人表达虽遭贬谪依然要保持乐观旷达的胸襟。
（2）古诗文写景名句有着永恒的魅力。
当流连西湖，看到碧绿的莲叶连接天际，娇艳的荷花映衬阳光，我们常会想起杨万里《晓出净慈寺送林子方》中的“____________”；当想要比喻重大事件发生前的紧张气氛时，我们又会想起诗人许浑《咸阳城东楼》中的写景句“____________，____________”。
2．阅读《艾青诗选》，完成以下任务。
（12分）阅读方法诗句呈现阅读记录把握中心意象今天/太阳的炫目的光芒/把我们从绝望的眨眼里刺醒了……我们/笑得像太阳！（《向太阳》）A这首诗中心意象是①“________”，象征②________。
体会诗歌情感我爱这悲哀的国土/古老的国土/——这国土/养育了为我所爱的/世界上最jiān苦/与最古老的民族。
（《北方》）B这首诗抒发了对_________感情。
联系创作背景一棵树，一棵树/彼此孤离地兀立着/风与空气/告诉着它们的距离/但是在泥土的fù盖下/它们的根伸长着/在看不见的深处/它们把根须纠缠在一起。
【注】本诗写于抗日战争最艰苦的阶段。
安徽省蚌埠铁中2014-2015学年高二第一学期期中考试英语试题
安徽省蚌埠铁中2014-2015学年高二第一学期期中考试英语试题考试时间：120分钟试卷分值：150分第I卷（选择题共115分）第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What’s wrong with the man’s watch?A. It goes slowly.B. It goes too fast.C. It doesn’t work sometimes.2. When will the speakers meet?A. At 2:00.B. At 4:00.C. At 6:00.3. What is the relationship between the speakers?A. Neighbors.B. Teacher and student.C. Classmates.4. What will the woman do?A. Give Tom some medicine.B. Take Tom’s temperature.C. Have a look at Tom’s mouth.5. Why did the woman make Mr. Jones angry?A. She asked the answered question again.B. She didn’t finish her work in 20 minutes.C. She asked the same question three times.第二节（共15个小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话。
每段对话后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
2023-2024学年安徽省皖中联考高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省皖中联考高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y ＝﹣cos45°的倾斜角为（ ） A ．0°B ．90°C ．135°D ．不存在2．已知向量a →=(−3，m ，−1)，b →=(n ，−2，1)，若a →∥b →，则（ ） A ．mn ＝1B ．mn ＝﹣1C ．m ﹣n ＝1D ．n ﹣m ＝13．已知A ，B 分别为椭圆E ：x 26+y 2m 2=1(0＜m ＜√6)的左、右顶点，点C 在E 上，若△ABC 是一内角为120°的等腰三角形，则m ＝（ ） A ．√22B ．1C ．√2D ．24．关于圆x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0有四个命题：①点A （1，﹣3）在圆内；②点B （2，3）在圆上；③圆心为（﹣1，0）；④圆的半径为3．若只有一个假命题，则该命题是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④5．如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，若AB ＝2A 1B 1，点M 在BD 1上，且BM ＝3D 1M ，则CM →=（ ）A ．34AA 1→+38AB →−58AD →B ．34AA 1→+34AB →−58AD →C ．34AA 1→−34AB →−58AD →D ．34AA 1→−38AB →+58AD →6．点P （﹣1，2）到直线l ：（m +1）x +（m ﹣2）y +1﹣2m ＝0（m ∈R ）的最大距离为（ ） A ．2√2B ．√5C ．2D ．√27．在如图所示的结构对称的实验装置中，底面框架ABCD 是边长为2的正方形，两等腰三角形框架ADE ，BCF 的腰长均为√3，EF ∥框架ABCD 所在的平面，EF ＝1，活动弹子M ，N 分别在EF ，AC 上移动，M ，N 之间用有弹性的细线连接，且3MF =√2AN 始终成立，则当MN 的长度取得最小值时，MF ＝（ ）A ．12B ．1017C ．2134D ．11178．若圆C 1：x 2+（y ﹣a ）2﹣4x ﹣5＝0与圆C 2：x 2+（y +b ）2﹣4x +3＝0相切，则√a 2+b 2的最小值为（ ）A ．√22B ．√2C ．2D ．2√2二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分） 9．已知A （0，1），B （﹣2，0），C （1，﹣1），则（ ） A ．直线AB 的方程为x ﹣2y +2＝0 B ．点A 到直线BC 的距离为√102C ．△ABC 为等腰直角三角形D ．△ABC 的面积为5 10．已知曲线C ：x 21−m+y 22+m=1为椭圆，则（ ）A ．﹣2＜m ＜1B ．若C 的焦点在x 轴上，则C 的焦距为2√−2m −1C ．若C 的焦点在x 轴上，则C 的短轴长取值范围为(0，√62) D ．若C 的焦点在y 轴上，则C 的离心率为√2m+12+m11．已知圆O ：x 2+y 2＝4内有一点P(1，12)，过点P 的直线l 与圆O 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作圆O 的切线l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点Q ，则（ ）A ．当l 在两坐标轴上截距相等时，l 的方程为2x +2y ﹣3＝0或x ﹣2y ＝0B ．点Q 的轨迹方程为2x +y ﹣8＝0C ．当|OQ |＝4时，点Q 的坐标为(125，165)或（4，0） D ．当|OQ |＝4时，直线l 的方程为3x +4y ﹣5＝0或x ＝112．已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AA 1＝2，点P ，Q 分别满足A 1P →=λAB →+μAD →−AA 1→，λ，μ∈[0，1]，CQ →=m CC 1→，m ∈[0，1]．甲、乙、丙、丁四名同学利用《空间向量与立体几何》这一章的知识对其进行研究，各自得出一个结论： 甲：当m =12时，存在λ，μ，使得A 1P →⊥QP →；乙：当m =12时，存在λ，μ，使得|A 1P →|+|PQ →|=2√3；丙：当m =78时，满足D 1P →⊥A 1Q →的λ，μ的关系为λ＝μ；丁：当m =116时，满足A 1P →⊥QP →的点P 围成区域的面积为π2．其中得出错误结论的同学有（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．小明研究一张坐标纸中四点A （﹣4，m ），B （1，0），C （3，0），D （2，n ）的关系时，发现直线AB 与CD 的方向向量互相垂直，则mn ＝ ．14．两平行直线3x ﹣ay +6＝0与x ﹣2y ﹣3＝0之间的距离为 ．15．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均相等，∠ACC 1＝2∠A 1AB ＝120°，E ，F 分别为B 1C 1，A 1C 1的中点，则异面直线BE 与CF 所成角的余弦值为 ．16．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过y 轴上的点A 与F 2的直线与C交于点B ，且B 不在线段AF 2上，∠AF 1B ＝90°，2|AF 2|＝3|BF 2|，则C 的离心率为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC 的边AB 上的高所在的直线方程为2x +y ﹣3＝0，角C 的平分线所在的直线方程为x +y ﹣4＝0，E （0，﹣1）为边AC 的中点． （1）求边AB 所在的直线方程； （2）求点B 的坐标．18．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝2，P A ＝3，2PM →=MB →，PN →=ND →，PH →=14PA →．（1）证明：C ，M ，H ，N 四点共面； （2）求点P 到平面MNC 的距离．19．（12分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为等边三角形，AB ＝2，M ，N 分别为BC ，AC 1的中点． （1）证明：MN ∥平面A 1BC 1；（2）若三棱锥A 1﹣ABC 1的体积为2√33，求平面ABC 1与平面A 1BC 1夹角的余弦值．20．（12分）在一公园内有一如图所示的绿化空地，∠AOB ＝120°，OA ，OB 为两条甬路（宽度忽略不计，均视作直线），在点E 处建一个八角亭，点E 到直线OA 的距离为50√311m ，到直线OB 的距离为(10√3+25√311)m ，过E 再修一条直线型的甬路（宽度忽略不计），与直线OA ，OB 分别交于M ，N 两点，其中OM ＝30m ，现建立如图所示的平面直角坐标系，请解决下面问题： （1）求M ，N 之间两路的长；（2）在△OMN 内部选一点F ，建一个可自动旋转的喷头，喷洒区域是一个以喷头F 为圆心的圆形，喷洒的水不能喷到△OMN 的外面，求喷洒区域的最大面积，并求此时圆F 的方程．21．（12分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠DAB ＝60°，M ，N 分别为BC ，CD 的中点，将△MNC 沿MN 折起，使点C 到点P 的位置，AP =√6． （1）证明：平面APN ⊥平面PMN ；（2）若Q 为线段AB 上一点，求PQ 与平面APM 所成角的正弦值的最大值．22．（12分）已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1(a ＞b ＞0)经过P(3a ，a 2)，Q(−32，−1)两点．（1）求C 的方程；（2）设A 为C 的上顶点，过点B （0，﹣4）且斜率为k 的直线与C 相交于E ，F 两点，且点E 在点F 的下方，点M 在线段EF 上，若∠AMF ＝2∠ABM ，证明：|BE |•|MF |＝|BF |•|EM |．2023-2024学年安徽省皖中联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y ＝﹣cos45°的倾斜角为（ ） A ．0°B ．90°C ．135°D ．不存在解：因为cos45°=−√22，所以直线y ＝﹣cos45°就是y =−√22，平行于x 轴，因此直线y ＝﹣cos45°的倾斜角为0°． 故选：A ．2．已知向量a →=(−3，m ，−1)，b →=(n ，−2，1)，若a →∥b →，则（ ） A ．mn ＝1B ．mn ＝﹣1C ．m ﹣n ＝1D ．n ﹣m ＝1解：a →=(−3，m ，−1)，b →=(n ，−2，1)， 由a →∥b →，得−3n=m −2=−11，解得m ＝2，n ＝3，所以n ﹣m ＝1． 故选：D ．3．已知A ，B 分别为椭圆E ：x 26+y 2m 2=1(0＜m ＜√6)的左、右顶点，点C 在E 上，若△ABC 是一内角为120°的等腰三角形，则m ＝（ ） A ．√22B ．1C ．√2D ．2解：A ，B 分别为椭圆E ：x 26+y 2m 2=1(0＜m ＜√6)的左、右顶点，点C 在E 上，若△ABC 是一内角为120°的等腰三角形，由椭圆的对称性可知，C 为E 的上或下顶点，且∠ACB ＝120°， 如图所示．不妨设C 为E 的上顶点，所以√6m=tan60°=√3，则m =√2．故选：C ．4．关于圆x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0有四个命题：①点A （1，﹣3）在圆内；②点B （2，3）在圆上；③圆心为（﹣1，0）；④圆的半径为3．若只有一个假命题，则该命题是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④解：若②③正确，则圆的半径r =√(−1−2)2+(3−0)2=3√2，可知圆方程为（x +1）2+y 2＝18， 由（1+1）2+（﹣3）2＜18，可知点A （1，﹣3）在圆内，①正确，而④的结论错误，符合题意； 若③④正确，则圆的方程为（x +1）2+y 2＝9，此时点B （2，3）不在圆上且点A （1，﹣3）在圆外，①②都错误，不合题意；其他两个条件的组合无法确定圆的方程，不能对剩余命题判断真伪，所以只有④是假命题． 故选：D ．5．如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，若AB ＝2A 1B 1，点M 在BD 1上，且BM ＝3D 1M ，则CM →=（ ）A ．34AA 1→+38AB →−58AD →B ．34AA 1→+34AB →−58AD →C ．34AA 1→−34AB →−58AD →D ．34AA 1→−38AB →+58AD →解：BD 1→=AD 1→−AB →=AA 1→+12AD →−AB →， 又因为BM ＝3D 1M ，所以BM →=34BD 1→=34AA 1→+38AD →−34AB →，所以CM →=BM →−BC →=BM →−AD →=34AA 1→+38AD →−34AB →−AD →=34AA 1→−34AB →−58AD →．故选：C ．6．点P （﹣1，2）到直线l ：（m +1）x +（m ﹣2）y +1﹣2m ＝0（m ∈R ）的最大距离为（ ） A ．2√2B ．√5C ．2D ．√2解：直线l 的方程（m +1）x +（m ﹣2）y +1﹣2m ＝0（m ∈R ） 可化为（x +y ﹣2）m +（x ﹣2y +1）＝0，由{x +y −2=0，x −2y +1=0，解得{x =1，y =1，则直线l 恒过定点Q （1，1），所以点P （﹣1，2）到直线l 的最大距离为√(−1−1)2+(2−1)2=√5． 故选：B ．7．在如图所示的结构对称的实验装置中，底面框架ABCD 是边长为2的正方形，两等腰三角形框架ADE ，BCF 的腰长均为√3，EF ∥框架ABCD 所在的平面，EF ＝1，活动弹子M ，N 分别在EF ，AC 上移动，M ，N 之间用有弹性的细线连接，且3MF =√2AN 始终成立，则当MN 的长度取得最小值时，MF ＝（ ）A ．12B ．1017C ．2134D ．1117解：取BC ，AD 的中点分别为H ，G ，连接GH ，与AC 交于点O ， 则GH ⊥BC ，连接FH ，EG ，则FH ⊥BC ，又GH ∩FH ＝H ，所以BC ⊥平面EFHG ，又BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面EFHG ．以O 为坐标原点，过O 作平行于AD 的直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，在平面EFHG 内过O 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．设MF ＝m （0≤m ≤1），则AN =3√22m ，在等腰三角形BCF 中，FH =√3−1=√2， 易知梯形EFHG 为等腰梯形，过F 作FQ ⊥GH ， 则FQ =√(√2)2−(2−12)2=√72，则M(0，12−m ，√72)，N(1−32m ，32m −1，0)， 则MN →=(1−32m ，52m −32，−√72)，所以|MN →|=√(1−32m)2+(52m −32)2+74=√172m 2−212m +5=√172(m −2134)2+239136， 当m =2134时，|MN →|取得最小值． 故选：C ．8．若圆C 1：x 2+（y ﹣a ）2﹣4x ﹣5＝0与圆C 2：x 2+（y +b ）2﹣4x +3＝0相切，则√a 2+b 2的最小值为（ ）A ．√22B ．√2C ．2D ．2√2解：由题得圆C 1：(x −2)2+(y −a)2=9，圆C 2：（x ﹣2）2+（y +b ）2＝1． 当圆C 1与圆C 2外切时，√(2−2)2+(a +b)2=4，所以（a +b ）2＝16，又a 2+b 2≥2(a+b2)2=8，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立， 所以√a 2+b 2≥2√2；当圆C 1与圆C 2内切时，√(2−2)2+(a +b)2=2，所以（a +b ）2＝4，又a 2+b 2≥2(a+b2)2=2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，所以√a 2+b 2≥√2． 故√a 2+b 2的最小值为√2． 故选：B ．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分） 9．已知A （0，1），B （﹣2，0），C （1，﹣1），则（ ） A ．直线AB 的方程为x ﹣2y +2＝0 B ．点A 到直线BC 的距离为√102C ．△ABC 为等腰直角三角形D ．△ABC 的面积为5解：对于A ：因为A （0，1），B （﹣2，0）， 所以，直线AB 的方程为x −2+y 1=1，整理得x ﹣2y +2＝0，A 项正确；对于B ：因为B （﹣2，0），C （1，﹣1），所以，直线BC 的斜率为k =−1−01−(−2)=−13，所以直线BC 的方程为y =−13(x +2)，即x +3y +2＝0， 则点A 到直线BC 的距离为d =√1+3=√102，B 项正确；对于C ：易知k AB =0−1−2−0=12，k AC =−1−11−0=−2， 则k AB •k AC ＝﹣1，即AB ⊥AC ，所以∠BAC ＝90°，又|AB|=√(0−1)2+(−2−0)2=√5，|AC|=√(−1−1)2+(1−0)2=√5，所以|AB |＝|AC |， 所以△ABC 为等腰直角三角形，C 项正确；对于D ：由上述可知，△ABC 的面积为12×√5×√5=52，D 项错误．故选：ABC ． 10．已知曲线C ：x 21−m+y 22+m=1为椭圆，则（ ）A ．﹣2＜m ＜1B ．若C 的焦点在x 轴上，则C 的焦距为2√−2m −1C ．若C 的焦点在x 轴上，则C 的短轴长取值范围为(0，√62)D ．若C 的焦点在y 轴上，则C 的离心率为√2m+12+m解：对A 选项，由题意可知{1−m ＞02+m ＞01−m ≠2+m，解得−2＜m ＜−12或−12＜m ＜1，故A 选项错误；对B 选项，当C 的焦点在x 轴上时，c =√a 2−b 2=√1−m −(2+m)=√−2m −1，所以C 的焦距为2√−2m −1，故B 选项正确；对C 选项，当C 的焦点在x 轴上时，1﹣m ＞2+m ＞0，所以−2＜m ＜−12，则0＜m +2＜32， 所以0＜2√m +2＜√6，则C 的短轴长的取值范围是(0，√6)，故C 选项错误； 对D 选项，当C 的焦点在y 轴上时，c =√a 2−b 2=√2+m −(1−m)=√2m +1， 所以C 的离心率为e =√2m+1√2+m=√2m+12+m ，故D 选项正确．故选：BD ．11．已知圆O ：x 2+y 2＝4内有一点P(1，12)，过点P 的直线l 与圆O 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作圆O的切线l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点Q ，则（ ）A ．当l 在两坐标轴上截距相等时，l 的方程为2x +2y ﹣3＝0或x ﹣2y ＝0B ．点Q 的轨迹方程为2x +y ﹣8＝0C ．当|OQ |＝4时，点Q 的坐标为(125，165)或（4，0） D ．当|OQ |＝4时，直线l 的方程为3x +4y ﹣5＝0或x ＝1解：当l 过原点时，直线l 的方程为x ﹣2y ＝0，此时AB 为圆O 的一条直径， 过A ，B 分别作圆O 的切线l 1，l 2，则l 1∥l 2，不满足题意，当l 不过原点时，设直线l 的方程为xa+y a=1，将P(1，12)代入解得a =32，此时l 的方程为2x +2y ﹣3＝0，A 项错误； 设Q （x 0，y 0），连接OA ，OB ，则OA ⊥AQ ，OB ⊥BQ ， 所以以OQ 为直径的圆的方程为x （x ﹣x 0）+y （y ﹣y 0）＝0，即x 2+y 2﹣x 0x ﹣y 0y ＝0，与x 2+y 2＝4相减得直线l 的方程为x 0x +y 0y ﹣4＝0， 又P(1，12)在直线l 上，则x 0+12y 0−4=0，所以2x 0+y 0﹣8＝0， 因此点Q 的轨迹方程为2x +y ﹣8＝0，B 项正确； 当|OQ |＝4时，点Q 在圆x 2+y 2＝16上，联立{x 2+y 2=162x +y −8=0，解得x =125或x ＝4，所以点Q 的坐标为(125，165)或（4，0），C 项正确；设AB 与OQ 的交点为D ，由图可知△AOD ～△QOA ，所以|OA||OQ|=|OD||OA|，即|OA |2＝|OQ |•|OD |，所以|OD |＝1， 当直线l 的斜率不存在时，x ＝1满足题意， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y −12=k(x −1)， 即kx −y +12−k =0，由|12−k|√k 2+1=1，得k =−34，所以直线l 的方程为3x +4y ﹣5＝0，D 项正确． 故选：BCD ．12．已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AA 1＝2，点P ，Q 分别满足A 1P →=λAB →+μAD →−AA 1→，λ，μ∈[0，1]，CQ →=m CC 1→，m ∈[0，1]．甲、乙、丙、丁四名同学利用《空间向量与立体几何》这一章的知识对其进行研究，各自得出一个结论： 甲：当m =12时，存在λ，μ，使得A 1P →⊥QP →；乙：当m =12时，存在λ，μ，使得|A 1P →|+|PQ →|=2√3；丙：当m =78时，满足D 1P →⊥A 1Q →的λ，μ的关系为λ＝μ；丁：当m =116时，满足A 1P →⊥QP →的点P 围成区域的面积为π2．其中得出错误结论的同学有（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．由A 1P →=λAB →+μAD →−AA 1→=AP →−AA 1→，λ，μ∈[0，1]，得AP →=λAB →+μAD →，λ，μ∈[0，1]，所以点P 为底面ABCD 内一点（包含边界）， 则A 1（0，0，2），Q （1，1，2m ），D 1（0，1，2）， 设P （x ，y ，0）（0≤x ≤1，0≤y ≤1）．对于甲同学，当m =12时，Q(1，1，1)，A 1P →=(x ，y ，−2)，QP →=(x −1，y −1，−1)， 若A 1P →⊥QP →，故得(x −12)2+(y −12)2=−32，显然方程无解，则点P 不存在，所以不存在λ，μ，使得A 1P →⊥QP →，故甲说法错误；对于乙同学，当m =12时，Q （1，1，1），点A 1关于平面ABCD 的对称点为A '，则A '（0，0，﹣2），连接A 'Q ，A 'P ， 则A 'P ＝A 1P ，所以|A 1P →|+|PQ →|=A′P +PQ ≥|A′Q →|=√11，所以存在点P ，使得|A 1P →|+|PQ →|=2√3，所以存在λ，μ，使得|A 1P →|+|PQ →|=2√3，故乙说法正确；对于丙同学，当m =78时，Q(1，1，74)，D 1P →=(x ，y −1，−2)，A 1Q →=(1，1，−14)由D 1P →⊥A 1Q →，得x +y −1+(−2)×(−14)=0，即x +y =12(0≤x ≤1，0≤y ≤1)， 所以点P 的轨迹为△ABD 中平行于边BD 的中位线，当P 为该中位线的中点时，λ＝μ， 当P 不为该中位线的中点时，λ≠μ，故丙说法错误；对于丁同学，当m =116时，Q(1，1，18)，A 1P →=(x ，y ，−2)，QP →=(x −1，y −1，−18)，由A 1P →⊥QP →，整理得(x −12)2+(y −12)2=14，所以点P 的轨迹为正方形ABCD 的内切圆，其区域的面积为(12)2π=14π，故丁说法错误．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．小明研究一张坐标纸中四点A （﹣4，m ），B （1，0），C （3，0），D （2，n ）的关系时，发现直线AB 与CD 的方向向量互相垂直，则mn ＝ ﹣5 ．解：由于四点A （﹣4，m ），B （1，0），C （3，0），D （2，n ）的关系时， 直线AB 与CD 的方向向量互相垂直， 由题意可知m−0−4−1⋅0−n3−2=−1，整理得mn ＝﹣5． 故答案为：﹣5．14．两平行直线3x ﹣ay +6＝0与x ﹣2y ﹣3＝0之间的距离为 √5 ． 解：由两直线3x ﹣ay +6＝0与x ﹣2y ﹣3＝0平行可知a ＝6， 所以直线3x ﹣6y +6＝0，即x ﹣2y +2＝0， 所以两直线之间的距离d =|2−(−3)|√1+(−2)=√5．故答案为：√5．15．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均相等，∠ACC 1＝2∠A 1AB ＝120°，E ，F 分别为B 1C 1，A 1C 1的中点，则异面直线BE 与CF 所成角的余弦值为√156．解：设三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均为1，AB →=a →，AC →=b →，AA 1→=c →， 由∠ACC 1＝2∠A 1AB ＝120°，得∠A 1AC ＝∠A 1AB ＝60°， ∴a →⋅b →=1×1×cos60°=12，b →⋅c →=12，a →⋅c →=12，又CF →=c →−12b →，BE →=BB 1→+B 1E →=BB 1→+12BC →=BB 1→+12(AC →−AB →)=c →+12(b →−a →)， ∴BE →⋅CF →=[c →+12(b →−a →)]•(c →−12b →)=c →2−12a →⋅c →−14b →2+14a →⋅b →=58，又|CF →|=√(c →−12b →)2=√32，|BE →|=√[c →+12(b →−a →)]2=√52，∴cos ＜BE →，CF →＞=BE →⋅CF→|BE →|⋅|CF →|=√156，故异面直线BE 与CF 所成角的余弦值为√156． 16．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过y 轴上的点A 与F 2的直线与C交于点B ，且B 不在线段AF 2上，∠AF 1B ＝90°，2|AF 2|＝3|BF 2|，则C 的离心率为 √55． 解：如图，设|BF 2|＝2m ， 则|AF 2|＝3m ．由椭圆的定义可知|BF 1|＝2a ﹣2m ，因为点A 在y 轴上，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点， 所以|AF 1|＝|AF 2|＝3m ， 由∠AF 1B ＝90°，得（2a ﹣2m ）2+（3m ）2＝（5m ）2， 则2a ﹣2m ＝4m ，所以a ＝3m ，由cos ∠AF 2F 1＝﹣cos ∠BF 2F 1， 得c 3m=−4c 2+4m 2−16m 22×2c×2m，整理得9m 2＝5c 2， 则m =√53c ，所以a =3m =√5c ， 故e =c a =√55． 故答案为：√55．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC 的边AB 上的高所在的直线方程为2x +y ﹣3＝0，角C 的平分线所在的直线方程为x +y ﹣4＝0，E （0，﹣1）为边AC 的中点． （1）求边AB 所在的直线方程； （2）求点B 的坐标．解：（1）由{2x +y −3=0x +y −4=0，解得{x =−1y =5；所以点C 的坐标为（﹣1，5），又E （0，﹣1）为边AC 的中点，所以A （1，﹣7）， 又边AB 上的高所在的直线方程为2x +y ﹣3＝0， 其斜率为﹣2，所以直线AB 的斜率为12，所以边AB 所在的直线方程为y +7=12(x −1)， 即x ﹣2y ﹣15＝0．（2）设A （1，﹣7）关于直线方程x +y ﹣4＝0对称的点为A 1（a ，b ），则{b+7a−1⋅(−1)=−1a+12+b−72−4=0，解得a ＝11，b ＝3，则A 1（11，3），又角C 的平分线所在的直线方程为x +y ﹣4＝0， 所以点A 1在直线BC 上， 所以直线BC 的方程为y−35−3=x−11−1−11，即x +6y ﹣29＝0，联立{x −2y −15=0x +6y −29=0，解得{x =372y =74；故点B 的坐标为(372，74)． 18．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝2，P A ＝3，2PM →=MB →，PN →=ND →，PH →=14PA →．（1）证明：C ，M ，H ，N 四点共面； （2）求点P 到平面MNC 的距离．（1）证明：因为P A ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，又四边形ABCD 为正方形，所以AB ⊥AD ．建立如图的空间直角坐标系A ﹣xyz ，可得A （0，0，0），C （2，2，0），P （0，0，3）， 由2PM →=MB →，PN →=ND →，PH →=14PA →， 得PM PB=13，PN PD =12，PH PA=14，则H （0，0，94），M （23，0，2），N （0，1，32），所以CH →=(−2，−2，94)，CM →=(−43，−2，2)，CN →=(−2，−1，32)，设CH →=λCM →+μCN →，则{ −2=−43λ−2μ−2=−2λ−μ94=2λ+32μ，解得λ=34，μ=12，所以CH →=34CM →+12CN →，故C ，M ，H ，N 四点共面．（2）解：设平面MNC 的法向量为m →=(a ，b ，c)， 由{CM →⋅m →=0CN →⋅n →=0，可得{−43a −2b +2c =0−2a −b +32c =0，取a ＝3，则m →=(3，6，8)，由H （0，0，94），P （0，0，3），可得HP →=(0，0，34)，所以点P 到平面MNC 的距离d =|HP →⋅m →||m →|=|8×34|√3+6+8=6√109109．19．（12分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为等边三角形，AB ＝2，M ，N 分别为BC ，AC 1的中点． （1）证明：MN ∥平面A 1BC 1； （2）若三棱锥A 1﹣ABC 1的体积为2√33，求平面ABC 1与平面A 1BC 1夹角的余弦值．解：（1）证明：连接AM ，则AM ⊥BC ，以M 为坐标原点，MA ，MB 所在直线分别为x ，y 轴，以过M 与BB 1平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝a ，则M(0，0，0)，B(0，1，0)，A 1(√3，0，a)，N(√32，−12，12a)，因为MN →=(√32，−12，12a)，BA 1→=(√3，−1，a)，所以MN →=12BA 1→，所以MN ∥A 1B ， 因为MN ⊄平面A 1BC 1，A 1B ⊂平面A 1BC 1， 所以MN ∥平面A 1BC 1．（2）过点C 1作C 1D ⊥A 1B 1，垂足为D ，易知C 1D =√3， 因为平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1A 1， 所以C 1D ⊥平面ABB 1A 1，由V 三棱锥A 1−ABC 1=V 三棱锥C 1−ABA 1，得13×12AA 1×AB ×C 1D =2√33， 即13×12AA 1×2×√3=2√33，所以AA 1＝2， 则C 1(0，−1，2)，A(√3，0，0)，AC 1→=(−√3，−1，2)，BC 1→=(0，−2，2)，A 1C 1→=(−√3，−1，0)．设平面ABC 1的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)， 由{AC 1→⋅m →=−√3x 1−y 1+2z 1=0BC 1→⋅m →=−2y 1+2z 1=0，令y 1＝1，得m →=(√33，1，1)，设平面A 1BC 1的法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)，由{A 1C 1→⋅n →=−√3x 2−y 2=0BC 1→⋅n →=−2y 2+2z 2=0，令y 2＝1，则n →=(−√33，1，1)，所以cos〈m →，n →〉=−13+1+173=57，故平面ABC 1与平面A 1BC 1夹角的余弦值为57．20．（12分）在一公园内有一如图所示的绿化空地，∠AOB ＝120°，OA ，OB 为两条甬路（宽度忽略不计，均视作直线），在点E 处建一个八角亭，点E 到直线OA 的距离为50√311m ，到直线OB 的距离为(10√3+25√311)m ，过E 再修一条直线型的甬路（宽度忽略不计），与直线OA ，OB 分别交于M ，N 两点，其中OM ＝30m ，现建立如图所示的平面直角坐标系，请解决下面问题： （1）求M ，N 之间两路的长；（2）在△OMN 内部选一点F ，建一个可自动旋转的喷头，喷洒区域是一个以喷头F 为圆心的圆形，喷洒的水不能喷到△OMN 的外面，求喷洒区域的最大面积，并求此时圆F 的方程．解：（1）因为∠AOB ＝120°，且直线OB 的斜率为tan120°=−√3， 所以直线OB 的方程为y =−√3x ， 由点E 到直线OA 的距离为50√311m ，设点E （a ，50√311），a ＞0， 由题意知|√3a+50√311|√3+1=√3a+50√3112=10√3+25√311，解得a ＝20，所以E(20，50√311)，又M （30，0），则直线ME 的斜率为k ME =−5√311， 所以MN 的方程为y =−5√311(x −30)， 由{y =−√3x y =−5√311(x −30)，解得{x =−25y =25√3； 所以点N(−25，25√3)，所以M ，N 之间甬路的长为|MN |=√(30+25)2+(0−25√3)2=70m ． （2）由（1）知，|ON|=√(−25)2+(25√3)2=50， 当喷洒区域面积最大时，圆F 与直线OA ，OB ，MN 均相切，易知△OMN 的内切圆F 的圆心在∠AOB 的平分线上， 即在直线y =√3x 上，设圆心F(a ，√3a)(a ＞0)，则半径r =√3a ， 由12|OM|×|ON|sin120°=12(|OM|+|ON|+|MN|)×√3a ，得12×30×50×√32=12×(30+50+70)×√3a ，解得a ＝5，因此喷洒区域的最大面积S ＝πr 2＝75πm 2． 所以圆心F(5，5√3)，半径r =5√3，所以圆F 的方程为(x −5)2+(y −5√3)2=75．21．（12分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠DAB ＝60°，M ，N 分别为BC ，CD 的中点，将△MNC 沿MN 折起，使点C 到点P 的位置，AP =√6． （1）证明：平面APN ⊥平面PMN ；（2）若Q 为线段AB 上一点，求PQ 与平面APM 所成角的正弦值的最大值．（1）证明：连接AC ，BD ，AC 与MN 交于点O ，连接OP ， 则AC ⊥BD ，又M ，N 分别为BC ，CD 的中点，所以MN ∥BD ， 则AC ⊥MN ，因为MN ⊥OA ，MN ⊥OP ，OA ∩OP ＝O ， 所以MN ⊥平面APO ，又AP ⊂平面APO ，所以MN ⊥AP ， 在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠DAB ＝60°，则在△ADN 中，由余弦定理得AN =√AD 2+DN 2−2AD ⋅DNcos120°=√4+1−2×2×1×(−12)=√7，因为PN ＝CN ＝1，所以AP 2+PN 2＝AN 2， 则AP ⊥PN ，又PN ∩MN ＝N ，所以AP ⊥平面PMN ，因为AP ⊂平面APN ，所以平面APN ⊥平面PMN ．（2）解：以O 为原点，以OA ，OM 所在直线分别为x ，y 轴，过O 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(3√32，0，0)，B(√32，1，0)，M(0，12，0)． 由（1）可知，平面APO ⊥平面ABCD ，易知P(√36，0，√63) 所以AM →=(−3√32，12，0)，AP →=(−4√33，0，√63)，AB →=(−√3，1，0)． 设平面APM 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{AM →⋅m →=0，AP →⋅m →=0，即{−3√32x +12y =0，−4√33x +√63z =0， 令x ＝1，则m →=(1，3√3，2√2)．设AQ →=λAB →=(−√3λ，λ，0)(0≤λ≤1)，则PQ →=AQ →−AP →=(4√33−√3λ，λ，−√63)， 设PQ 与平面APM 所成角为θ，显然当λ＝0时，sin θ＝0，不满足题意，所以0＜λ≤1，所以1λ≥1， 所以sin θ＝|cos ＜PQ →，m →＞|=2√3λ6√4λ−8λ+6=√33√6(1λ−23)2+43， 所以当1λ=1，即λ＝1时，sin θ取得最大值为√66． 22．（12分）已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)经过P(3a ，a 2)，Q(−32，−1)两点． （1）求C 的方程； （2）设A 为C 的上顶点，过点B （0，﹣4）且斜率为k 的直线与C 相交于E ，F 两点，且点E 在点F的下方，点M 在线段EF 上，若∠AMF ＝2∠ABM ，证明：|BE |•|MF |＝|BF |•|EM |． 解：（1）因为椭圆C 经过P(3a ，a 2)，Q(−32，−1)两点，所以{14+9a 2b 2=11a 2+94b 2=1， 解得a 2＝4，b 2＝3或a 2=43，b 2=9（舍去），则C 的方程为y 24+x 23=1；（2）证明：由（1）知A （0，2），不妨设直线EF 的方程为y ＝kx ﹣4，E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），M （x 0，y 0），联立{y 24+x 23=1y =kx −4，消去y 并整理得（3k 2+4）x 2﹣24kx +36＝0，此时Δ＝（﹣24k ）2﹣4（3k 2+4）•36＝144（k 2﹣4）＞0，解得k 2＞4，由韦达定理得x 1+x 2=24k3k 2+4，x 1x 2=363k 2+4，因为∠AMF ＝2∠ABM ，所以2∠ABM ＝∠ABM +∠BAM ，即∠ABM ＝∠BAM ，则|AM |＝|BM |，所以点M 在线段AB 的垂直平分线y ＝﹣1上，此时y 0＝﹣1．易知|BE||BF|=x 1x 2， 不妨设EM →=λMF →，可得（x 0﹣x 1，y 0﹣y 1）＝λ（x 2﹣x 0，y 2﹣y 0），即x 0﹣x 1＝λ（x 2﹣x 0），①因为点M （x 0，y 0）在直线EF 上，所以y 0＝kx 0﹣4，则x 0=3k =7224k =2×363k 2+424k 3k 2+4=2x 1x2x 1+x 2，所以x 0（x 1+x 2）＝2x 1x 2， 即x 2x 0﹣x 1x 2＝x 1x 2﹣x 1x 0， 整理得x 0−x 1=x1x 2(x 2−x 0)，②联立①②，可得λ=x1x 2， 所以EM →=x1x 2MF →， 可得|EM||MF|=x 1x 2，则|BE||BF|=x 1x 2=|EM||MF|， 故|BE |•|MF |＝|BF |•|EM |．。
安徽省蚌埠铁中2015届高三上学期期中考试化学试题 Word版含答案
蚌埠铁中2014-2015学年度第一学期期中检测试卷高三化学考试时间：90分钟试卷分值：100分第Ⅰ卷选择题（48分）一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，共16小题,每小题3分，注意答案请写在后面的答题卡里）1、下列科研成果不是由我国发明或创造的是（）A、世界上第一个由人工合成的、具有生理活性的蛋白质——结晶牛胰岛素B、黑火药和造纸C、提出原子学说D、世界上首次人工合成的酵母丙氨酸转移核糖核酸2、下列各物质的用途（括号内为用途），错误的是（）A、硅（半导体材料）B、碳酸钡（透视钡餐）C、溴化银（感光材料）D、二氧化硅（光导纤维）3、下列有关氮的说法正确的是（）A、N2分子的结构比较稳定，因而氮气不能支持任何物质燃烧B、NO可用向上排空气方法收集C、浓硝酸保存在棕色试剂瓶内是因为浓硝酸易挥发D、过量的铜与浓硝酸反应有一氧化氮生成45A、用SO2漂白纸浆和草帽辫B、用硫酸清洗锅炉中的水垢C、高温下用焦炭还原SiO2制取粗硅D、用Na2S作沉淀剂，除去废水中Cｕ2+和Ｈｇ2+6、下列化学反应的离子方程式正确的是( )A、往FeCl3溶液中加入Cu粉： Fe3＋＋Cu = Fe2＋＋Cu2＋B、硫酸铜溶液和氢氧化钡溶液混合Cu2＋＋SO42－＋Ba2＋＋2OH－=Cu(OH)2↓+BaSO4↓C、AlCl3溶液与浓氨水反应： Al3＋+3OH―＝A l(O H)3↓D、氯气溶于水中：Cl2＋H2O = 2H＋＋Cl－＋ClO－7、 ClO2是一种消毒杀菌效率高、二次污染小的水处理剂。
实验室可通过以下反应得△ClO2。
2KClO3+H2C2O4+H2SO4 2ClO2↑+K2SO4+2CO2↑+2H2O 下列说法正确的是（）A、 KClO3在反应中得电子B、 ClO2是氧化产物C、 H2C2O4在反应中被还原D、 1mol KClO3参加反应有2mol 电子转移8、下列说法错误的是（）A、第一电离能：Na<Mg<AlB、电负性：C<N<OC、Fe元素在周期表中的位置：第4周期Ⅷ族D、.氨气极易溶于水，是因为氨分子与水分子间可形成氢键9、室温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是A．饱和氯水中 Cl—、NO3—、Na+、SO32—B．c(H+)==1.0×10—13mol/L溶液中 ClO—、K+、SO42—、Br—C．Na2S溶液中 SO42—、K+、Cl—、Cu2+D．pH==12的溶液中 NO3—、I—、Na+、Al3+10、新课程倡导合作学习和探究学习。
安徽省芜湖市2023-2024学年高二上学期期中物理试题含解析
2023—2024学年高二年级上学期期中检测联考物理（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分100分，考试时间75分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。
一、选择题（本题共10小题，共43分。
在每小题给出的四个选项中，第1~7小题只有一个选项符合题目要求，第8~10小题有多个选项符合题目要求。
第1~7小题选对得4分，选错、多选、不选均得0分；第8~10小题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错、不选均得0分。
）1.法国科学家库仑在1785年发现了库仑定律，下列关于库仑定律发现过程的说法，正确的是（）A.库仑从万有引力定律中得到启示，将电荷间的相互作用类比于物体间的引力作用，用实验直接测量了电荷间作用力与距离的关系B.库仑用库仑扭秤直接测出了静电力常量的数值9229.010N m /C k =⨯⋅C.质量相等的两个带电金属球，如果相互接触后再分开，每个金属球的电荷量都是原来的一半D.任何两个电荷间的相互作用都满足库仑定律【答案】A【解析】【详解】A ．库仑从万有引力定律中得到启示，将电荷间的相互作用类比于物体间的引力作用，用实验直接测量了电荷间作用力与距离的关系，故A 正确；B ．库仑通过库仑扭秤实验得出库仑定律，没有测出静电力常量，故B 错误；C ．完全相同的两个带电金属球，如果相互接触后再分开，电荷量的分配应先中和再平分，不一定是原来的一半，故C 错误；D．真空中两个静止的点电荷间的相互作用满足库仑定律，故D错误。
故选A。
2.体液的主要成分是水和电解质，因此容易导电，而体内脂肪则不容易导电。
2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．若直线l 的倾斜角α满足0＜α＜2π3，且α≠π2，则其斜率k 满足（ ） A ．−√3＜k ＜0 B ．k ＞−√3C ．k ＞0或k ＜−√3D ．k ＞0或k ＜−√332．直线l 过点（﹣1，2）且与直线2x ﹣3y +1＝0垂直，则l 的方程是（ ） A ．3x +2y +7＝0B ．2x ﹣3y +5＝0C ．3x +2y ﹣1＝0D ．2x ﹣3y +8＝03．已知a →，b →，c →是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A ．3a →，a →−b →，a →+2b →B ．2b →，b →−2a →，b →+2a →C ．a →，2b →，b →−c →D ．c →，a →+c →，a →−c →4．在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，向量AB ′→、AD ′→、BD →、是（ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长的向量 C ．共面向量D ．不共面向量5．如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱桥离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）A ．14米B ．15米C ．√51米D ．2√516．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →=AD →+m AB →−n AA 1→，则m ，n 的值分别为（ ）A ．12，−12B ．−12，−12C ．−12，12D ．12，127．四棱锥P ﹣ABCD 中，AB →=（2，﹣1，3），AD →=（﹣2，1，0），AP →=（3，﹣1，4），则这个四棱锥的高为（ ） A ．√55B ．15C ．25D ．2√558．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣1＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．2x +y +1＝0二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线y ＝ax ﹣2a +1必过定点（2，1）B ．直线3x ﹣2y +4＝0在y 轴上的截距为﹣2C ．直线√3x +y +1=0的倾斜角为120°D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为−2310．已知a →=(1，0，1)，b →=(−1，2，−3)，c →=(2，−4，6)，则下列结论正确的是（ ） A ．a →⊥b →B ．b →∥c →C ．＜a →，c →＞为钝角D ．c →在a →方向上的投影向量为（4，0，4）11．圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3＝0，直线l ：3x ﹣4y ﹣7＝0，点P 在圆C 上，点Q 在直线l 上，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 与圆C 相交 B ．|PQ |的最小值是1C ．若P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个D ．从Q 点向圆C 引切线，则切线段的最小值是312．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中（ ）A ．AC 与BD 1的夹角为60°B ．三棱锥B 1﹣ACD 1外接球的体积为√32πC ．AB 1与平面ACD 1所成角的正切值√2 D ．点D 到平面ACD 1的距离为√33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x 、y 满足x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，则√x 2+y 2的最大值是 ．14．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，且A 1A ＝3，则A 1C 的长为 ．15．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC =√3，沿对角线AC 将△ABC 折起，若二面角B ﹣AC ﹣D 的大小为120°，则B ，D 两点之间的距离为 ．16．瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A （﹣4，0），B （0，4），其欧拉线方程为x ﹣y +2＝0，则顶点C 的坐标可以是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知空间向量a →=（2，4，﹣2），b →=（﹣1，0，2），c →=（x ，2，﹣1）． （Ⅰ）若a →∥c →，求|c →|；（Ⅱ）若b →⊥c →，求cos ＜a →，c →＞的值．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣5＝0．求： （1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程．19．（12分）已知以点C （﹣1，1）为圆心的圆与直线m ：3x +4y +4＝0相切． （1）求圆C 的方程；（2）过点P （﹣2，3）的作圆C 的切线，求切线方程．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝AP ＝2，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥AE ；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）求点A 到平面PBD 的距离．21．（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，DD1＝3，AD＝2，∠BCD=π3，E为棱BB1上一点，BE＝1，过A，E，C1三点作平面α交DD1于点G．（1）求点D到平面BC1G的距离；（2）求平面AEC与平面BEC夹角的余弦值．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的圆心在直线x+y﹣3＝0上，圆C经过点A（0，4），且与直线3x﹣4y+16＝0相切．（1）求圆C的方程；（2）设直线l交圆C于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求该定点坐标．2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．若直线l 的倾斜角α满足0＜α＜2π3，且α≠π2，则其斜率k 满足（ ） A ．−√3＜k ＜0 B ．k ＞−√3C ．k ＞0或k ＜−√3D ．k ＞0或k ＜−√33解：因为0＜α＜2π3，且α≠π2，所以tan α＞0或tan α＜−√3，所以k ＞0或k ＜−√3， 故选：C ．2．直线l 过点（﹣1，2）且与直线2x ﹣3y +1＝0垂直，则l 的方程是（ ） A ．3x +2y +7＝0B ．2x ﹣3y +5＝0C ．3x +2y ﹣1＝0D ．2x ﹣3y +8＝0解：∵直线2x ﹣3y +1＝0的斜率为23， 由垂直可得所求直线的斜率为−32， ∴所求直线的方程为y ﹣2=−32（x +1）， 化为一般式可得3x +2y ﹣1＝0 故选：C ．3．已知a →，b →，c →是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A ．3a →，a →−b →，a →+2b →B ．2b →，b →−2a →，b →+2a →C ．a →，2b →，b →−c →D ．c →，a →+c →，a →−c →解：对于选项A ，由3a →=2（a →−b →）+（a →+2b →），即3a →，a →−b →，a →+2b →共面，不能构成空间的一个基底；对于选项B ，由2b →=(b →−2a →)+(b →+2a →)，即2b →，b →−2a →，b →+2a →共面，不能构成空间的一个基底； 对于选项C ，设a →=x （2b →）+y(b →−c →)，又a →，b →，c →是不共面的三个向量，则x 、y 无解，即a →，2b →，b →−c →不共面，能构成空间的一个基底；对于选项D ，由c →=12(a →+c →)−12(a →−c →)，则c →，a →+c →，a →−c →共面，不能构成空间的一个基底， 故选：C ．4．在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，向量AB ′→、AD ′→、BD →、是（ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长的向量 C ．共面向量D ．不共面向量解：向量AB ′→、AD ′→、BD →显然不是有相同起点的向量，A 不正确； 等长的向量，不正确；是共面向量，D 不正确； 选项A 、B 、D 结合图形，明显错误．又∵AD ′→−AB ′→=B ′D ′→=BD →，∴AB ′→、AD ′→、BD →共面． 故选：C ．5．如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱桥离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）A ．14米B ．15米C ．√51米D ．2√51解：以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y 轴，建立直角坐标系， 设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知可得：A （6，﹣2）， 设圆的半径为r ，则C （0，﹣r ），即圆的方程为x 2+（y +r ）2＝r 2， 将A 的坐标代入圆的方程可得r ＝10， 所以圆的方程是：x 2+（y +10）2＝100则当水面下降1米后可设A ′的坐标为（x 0，﹣3）（x 0＞0） 代入圆的方程可得x 0=√51，所以当水面下降1米后，水面宽为2√51米．故选：D ．6．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →=AD →+m AB →−n AA 1→，则m ，n 的值分别为（ ） A ．12，−12B ．−12，−12C ．−12，12D ．12，12解：由于AF →=AD →+DF →=AD →+12（DC →+DD 1→）=AD →+12AB →+12AA 1→，所以m =12，n =−12，故选：A ．7．四棱锥P ﹣ABCD 中，AB →=（2，﹣1，3），AD →=（﹣2，1，0），AP →=（3，﹣1，4），则这个四棱锥的高为（ ） A ．√55B ．15C ．25D ．2√55解：设平面ABCD 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⊥AB →n →⊥AD→， ∴{2x −y +3z =0−2x +y =0，令x ＝1可得y ＝2，z ＝0，即n →=（1，2，0）， ∴cos ＜n →，AP →＞=n →⋅AP→|n →||AP →|=15×26，设AP 与平面ABCD 所成角为α，则sin α=1√5×√26，于是P 到平面ABCD 的距离为|AP →|sin α=√55，即四棱锥P ﹣ABCD 的高为√55．故选：A ．8．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣1＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．2x +y +1＝0解：化圆M 为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4， 圆心M （1，1），半径r ＝2．∵S 四边形PAMB =12|PM|⋅|AB|=2S △P AM ＝|P A |•|AM |＝2|P A |=2√|PM|2−4． ∴要使|PM |•|AB |最小，则需|PM |最小，此时PM 与直线l 垂直． 直线PM 的方程为y ﹣1=12（x ﹣1），即y =12x +12， 联立{y =12x +122x +y +2=0，解得P （﹣1，0）．则以PM 为直径的圆的方程为x 2+(y −12)2=54．联立{x 2+y 2−2x −2y −2=0x 2+y 2−y −1=0，相减可得直线AB 的方程为2x +y +1＝0．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线y ＝ax ﹣2a +1必过定点（2，1）B ．直线3x ﹣2y +4＝0在y 轴上的截距为﹣2C ．直线√3x +y +1=0的倾斜角为120°D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为−23解：对于A ：直线y ＝ax ﹣2a +1，整理得y ﹣1＝a （x ﹣2），所以该直线经过（2，1）点，故A 正确； 对于B ：直线3x ﹣2y +4＝0，令x ＝0，解得y ＝2，故直线在y 轴上的截距为2，故B 错误；对于C ：直线√3x +y +1=0，所以直线的斜率k =−√3，所以tanθ=−√3，由于θ∈[0°，180°），故θ＝120°，故C 正确；对于D ：直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则v →=(−3，1)，所以直线的斜率为−13，故D 错误． 故选：AC ．10．已知a →=(1，0，1)，b →=(−1，2，−3)，c →=(2，−4，6)，则下列结论正确的是（ ） A ．a →⊥b →B ．b →∥c →C ．＜a →，c →＞为钝角D ．c →在a →方向上的投影向量为（4，0，4）解：对于A ：a →=(1，0，1)，b →=(−1，2，−3)，a →•b →=−1+0﹣3＝﹣4≠0，故A 错误； 对于B ：c →=(2，−4，6)=−2（﹣1，2，﹣3）＝﹣2b →，故b →∥c →，故B 正确；a →•c →=2+0+6＝8＞0，故＜a →，c →＞不为钝角，故C 错误，c →在a →方向上的投影为c →⋅a →|a →|=√2=4√2，故c →在a →方向上的投影向量与a →共线同向且模为4√2， 故可得c →在a →方向上的投影向量为（4，0，4），故D 正确． 故选：BD ．11．圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3＝0，直线l ：3x ﹣4y ﹣7＝0，点P 在圆C 上，点Q 在直线l 上，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 与圆C 相交 B ．|PQ |的最小值是1C ．若P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个D ．从Q 点向圆C 引切线，则切线段的最小值是3解：由圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3＝0，得圆C 的标准方程为（x +2）2+（y ﹣3）2＝16， 圆心C （﹣2，3）到直线l ：3x ﹣4y ﹣7＝0的距离d =|−6−12−7|√3+(−4)2=5＞4，所以直线与圆相离，故A 错误；圆心到直线l ：3x ﹣4y ﹣7＝0的距离d ＝5，所以|PQ |的最小值为5﹣4＝1， 若点P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个，故B 正确，C 正确； 根据图形知，点Q 到圆心C 的最小值为圆心到直线的距离d ＝5， 由勾股定理得切线长的最小值为√25−16=3，故D 正确． 故选：BCD ．12．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中（ ）A ．AC 与BD 1的夹角为60°B ．三棱锥B 1﹣ACD 1外接球的体积为√32πC ．AB 1与平面ACD 1所成角的正切值√2 D ．点D 到平面ACD 1的距离为√33解：如图建立空间直角坐标系，则A （1，0，0），C （0，1，0），B （1，1，0），D 1（0，0，1），B 1（1，1，1）， 对于A ，AC →=(−1，1，0)，BD 1→=(−1，−1，1)，则AC →⋅BD 1→=0，即AC →⊥BD 1→，AC 与BD 1的夹角为90°，故A 错误； 对于B ，三棱锥B 1﹣ACD 1外接球与正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球相同， 又正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球的直径等于体对角线的长， 所以三棱锥B 1﹣ACD 1外接球的半径为√32，所以三棱锥B 1﹣ACD 1外接球的体积为V =43π×(√32)3=√32π，故B 正确； 对于C ，设平面ACD 1的法向量为m →=(x ，y ，z)，AC →=(−1，1，0)，AD 1→=(−1，0，1)，所以{m ⋅AC →=−x +y =0m →⋅AD 1→=−x +z =0，令x ＝1，得到，y ＝z ＝1，则m →=(1，1，1)，因为AB 1→=(0，1，1)，设AB 1与平面ACD 1所成角为α，则sin α=|cos⟨AB 1→，m →⟩|=2⋅3=√63，cos α=√33，tan α=√2，故C 正确； 因为DA →=(1，0，0)，设点D 到平面ACD 1的距离为d ，则d =|DA →⋅m →|m →||=13=√33，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x 、y 满足x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，则√x 2+y 2的最大值是 √5+3 ．解：x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0 即 （x +2）2+（y ﹣1）2＝9，表示一个圆心在（﹣2，1），半径等于3的圆， √x 2+y 2表示圆上的点与原点之间的距离，原点到圆心的距离为√5，结合图形知，√x 2+y 2的最大值是√5+3，故答案为 √5+3．14．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，且A 1A ＝3，则A 1C 的长为 √5 ．解：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，∠A 1AB =∠A 1AD =600，∴∠BCC 1＝∠DCC 1＝120°， 又∵A 1A ＝3，BC ＝DC ＝1，∴CB →⋅CC 1→=CD →⋅CC 1→=|CD →||CC 1→|cos120°=−32．∵底面是边长为1的正方形，∴∠BCD ＝90°，∴CB →⋅CD →=|CB →||CD →|cos90°=0．∵CA 1→=CB →+CD →+CC 1→，∴CA 1→2=(CB →+CD →+CC 1→)2=CB →2+CD →2+CC 1→2+2CB →⋅CC 1→+2CD →⋅CC 1→+2CB →⋅CD →=12+12+32+2×(−32)×2+0=5．∴|CA 1→|=√5．故答案为√5．15．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC =√3，沿对角线AC 将△ABC 折起，若二面角B ﹣AC ﹣D 的大小为120°，则B ，D 两点之间的距离为 √132 ． 解：过B 和D 分别作BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，由AB ＝1，BC =√3，则AC ＝2，∵12AB •BC =12AC •BE =12AC •DF ， ∴BE ＝DF =√32，则AE ＝CF =12，则EF ＝2−12−12=1，∵二面角B ﹣AC ﹣D 的大小为120°，∴＜EB →，FD →＞=120°，即＜BE →，FD →＞=60°，∵BD →=BE →+EF →+FD →，∴BD →2＝（BE →+EF →+FD →）2=BE →2+EF →2+FD →2+2BE →•EF →+2FD →•BE →+2EF →•FD →=BE →2+EF →2+FD →2+2FD →•BE → =34+1+34+2×√32×√32×12=1+94=134， 即|BD →|=√134=√132，即B ，D 之间的距离为√132． 故答案为：√132．16．瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A （﹣4，0），B （0，4），其欧拉线方程为x ﹣y +2＝0，则顶点C 的坐标可以是 （0，﹣2）或（2，0） ．解：∵A （﹣4，0），B （0，4），∴AB 的垂直平分线方程为x +y ＝0，又外心在欧拉线x ﹣y +2＝0上，联立{x +y =0x −y +2=0，解得三角形ABC 的外心G （﹣1，1）， 又r ＝|GA |=√(−1+4)2+(1−0)2=√10，∴△ABC 外接圆的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝10．设C （x ，y ），则三角形ABC 的重心（x−43，y+43）在欧拉线上，即x−43−y+43+2＝0，整理得x ﹣y ﹣2＝0．联立{(x +1)2+(y −1)2=10x −y −2=0，解得{x =0y =−2或{x =2y =0． 所以顶点C 的坐标可以是（0，﹣2）或（2，0），故答案为：（0，﹣2）或（2，0），四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知空间向量a →=（2，4，﹣2），b →=（﹣1，0，2），c →=（x ，2，﹣1）．（Ⅰ）若a →∥c →，求|c →|；（Ⅱ）若b →⊥c →，求cos ＜a →，c →＞的值．解：（Ⅰ）空间向量a →=（2，4，﹣2），b →=（﹣1，0，2），c →=（x ，2，﹣1），因为a →∥c →，所以存在实数k ，使得c →=ka →，所以{x =2k2=4k −1=−2k，解得x ＝1，则|c →|=√12+22+(−1)2=√6；（Ⅱ）因为b →⊥c →，则b →⋅c →=−x +0−2=0，解得x ＝﹣2，所以c →=(−2，2，−1)，故cos ＜a →，c →＞=a →⋅c →|a →||c →|=−2×2+2×4+(−1)×(−2)√4+16+4×√4+4+1=√66． 18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣5＝0．求：（1）顶点C 的坐标；（2）直线BC 的方程．解：（1）设C （m ，n ），∵AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣5＝0．∴{2m −n −5=0n−1m−5×12=−1，解得{m =4n =3． ∴C （4，3）．（2）设B （a ，b ），则{a −2b −5=02×a+52−1+b 2−5=0，解得{a =−1b =−3． ∴B （﹣1，﹣3）．∴k BC =3+34+1=65∴直线BC 的方程为y ﹣3=65（x ﹣4），化为6x ﹣5y ﹣9＝0．19．（12分）已知以点C （﹣1，1）为圆心的圆与直线m ：3x +4y +4＝0相切．（1）求圆C 的方程；（2）过点P （﹣2，3）的作圆C 的切线，求切线方程．解：（1）根据题意，圆C 的半径r =|−3+4+4|9+16=1， 故圆C 的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝1；（2）根据题意，由（1）的结论，圆C 的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝1，若切线的斜率不存在，则切线的方程为x ＝﹣2，符合题意，若切线的斜率存在，设切线的斜率为k ，则切线的方程为y ﹣3＝k （x +2），即kx ﹣y +2k +3＝0， 则有√1+k 2=1，解可得k =−34， 此时切线的方程为3x +4y ﹣6＝0，综合可得：切线的方程为x ＝﹣2或3x +4y ﹣6＝0．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝AP ＝2，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥AE ；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）求点A 到平面PBD 的距离．（Ⅰ）证明：因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，因为AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A所以CD ⊥平面P AD ．因为AE ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AE ．（Ⅱ）解：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设AB ＝AP ＝2，可得B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），由E 为棱PD 的中点，得E （0，1，1）． AE →=(0，1，1)，向量BD →=(−2，2，0)，PB →=(2，0，−2)．设平面PBD 的一个法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅BD →=−2x +2y =0n →⋅PB →=2x −2z =0，令y ＝1，可得n →=（1，1，1），所以 cos〈AE →，n →〉=|AE →⋅n →||AE →|⋅|n →|=√63．所以直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值为√63． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：AE →=(0，1，1)，平面PBD 的一个法向量n →=（1，1，1），所以点A 到平面PBD 的距离 d =|AE →⋅n →||n →|=2√3=2√33． 21．（12分）如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，DD 1＝3，AD ＝2，∠BCD =π3，E 为棱BB 1上一点，BE ＝1，过A ，E ，C 1三点作平面α交DD 1于点G ．（1）求点D 到平面BC 1G 的距离；（2）求平面AEC 与平面BEC 夹角的余弦值．解：（1）连接AC ，BD 交于点O ，由直棱柱的结构特征知：平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，又AG ⊂平面ADD 1A 1，∴AG ∥平面BCC 1B 1，∵平面AGC 1∩平面BCC 1B 1＝C 1E ，AG ⊂平面AGC 1，∴AG ∥C 1E ，同理可得C 1G ∥AE ，∴四边形AGC 1E 为平行四边形，∴AG ＝C 1E ，又AD ＝B 1C 1，∠ADG ＝∠C 1B 1E =π2，DG ＝B 1E ＝2，∴D 1G ＝1，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，以OA →，OB →正方向为x ，y 轴，作z 轴∥DD 1，可建系如图，∵AB ＝BC ＝2，∠BCD =π3，∴BD ＝2，AC ＝2√4−1=2√3，∴B （0，1，0），D （0，﹣1，0），C 1（−√3，0，3），G （0，﹣1，2），∴DB →=（0，2，0），BC 1→=（−√3，﹣1，3），BG →=（0，﹣2，2），设平面BC 1G 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BC 1→=−√3x −y +3z =0n →⋅BG →=−2y +2z =0，取 n →=（2，√3，√3），∴点D 到平面BC 1G 的距离d =|DB →⋅n →||n →|=2310=√305； （2）由（1）知E （0，1，1），又A （√3，0，0），B （0，1，0），C （−√3，0，0），∴AE →=（−√3，1，1），CE →=（√3，1，1），BE →=（0，0，1），设平面AEC 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AE →=−√3x +y +z =0n →⋅CE →=√3x +y +z =0，取n →=（0，1，﹣1），设平面BEC 的法向量m →=（a ，b ，c ），则{m →⋅BE →=c =0m →⋅CE →=√3a +b +c =0，取m →=（1，−√3，0）， ∴|cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=√32×2=−√64， ∴平面AEC 与平面BEC 夹角的余弦值为√64． 22．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的圆心在直线x +y ﹣3＝0上，圆C 经过点A （0，4），且与直线3x ﹣4y +16＝0相切．（1）求圆C 的方程；（2）设直线l交圆C于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求该定点坐标．解：（1）因为圆心C在直线x+y﹣3＝0上，所以设C（a，3﹣a），因为圆C经过点A（0，4），所以圆C的半径r=AC=√a2+(a+1)2，因为圆C和直线3x﹣4y+16＝0相切，所以圆C的半径r=√3+(−4)，所以√a2+(a+1)2=|3a−4(3−a)+16|√3+(−4)2．化简得a2﹣6a+9＝0，解得a＝3．所以C（3，0），半径r＝5．所以圆C的方程为（x﹣3）2+y2＝25．（2）若直线l的斜率不存在，则可设P（x0，y0），Q（x0，﹣y0），x0≠0，所以(x0−3)2+y02=25，k AP⋅k AQ=y0−4x0⋅−y0−4x0=16−y02x02=2，消去y0得x0＝﹣6，再代入(x0−3)2+y02=25，y0不存在，所以直线l的斜率存在；设直线l的方程y＝kx+t（t≠4），P（x1，kx1+t），Q（x2，kx2+t），所以k AP⋅k AQ=kx1+t−4x1⋅kx2+t−4x2=2，整理得，(k2−2)x1x2+k(t−4)(x1+x2)+(t−4)2=0①直线方程与圆C方程联立，{y=kx+t，(x−3)2+y2=25，消去y得（k2+1）x2+（2kt﹣6）x+t2﹣16＝0，所以x1+x2=−2kt−6k2+1，x1x2=t2−16k2+1代入①，得（k2﹣2）（t2﹣16）﹣k（t﹣4）（2kt﹣6）+（t﹣4）2（k2+1）＝0，由于t≠4，整理得6k﹣t﹣12＝0，即t＝6k﹣12，所以直线l的方程为y＝kx+6k﹣12，即y＝k（x+6）﹣12，令{x+6=0，y=−12，解得{x=−6，y=−12，所以直线l过一个定点，该定点坐标为（﹣6，﹣12）．。
安徽省蚌埠市蚌山区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题(含答案)
2023—2024学年第一学期蚌埠G5教研联盟期中考试八年级数学试卷注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分．3．请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．函数中自变量的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A ．3，3，6B ．3，5，10C ．4，6，9D ．4，5，93．在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，它到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标为（）A ．B ．C ．D ．4．下列命题中，逆命题是真命题的是（）A ．对顶角相等B ．如果两个数是偶数，那么它们的和是偶数C ．两直线平行，内错角相等D ．如果，那么5．已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．6．一个三角形的三个内角度数之比为4:5:6，则这个三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D 不确定7在平面直角坐标系中，线段平移后得到线段，点的对应点，则点的对应点的坐标为（）A ．B ．C ．D ．8．一次函数的图象如图所示，则下列正确的是（）12y x=0x ≥0x ≠0x ≤0x >M y M ()3,4-()4,3-()3,4-()4,3-a b =22a b =()13,y -()21,y ()31,y -3y x b =-1y 2y 3y 123y y y <<132y y y <<231y y y <<312y y y <<AB AB''()2,1A ()2,3A '--()6,1B '--B ()10,5--()2,1--()2,3-()6,3-()1yk x b =--A ．，B ．，C ．，D ．，9．如图，在中，平分，点在延长线上，于点，，，则的度数为（）A ．22°B ．27°C ．53°D ．63°10．俩人进行800米耐力测试，在起点同时起跑的甲和乙所跑的路程（米）与所用时间（秒）之间的函数图象分别为线段和折线．下列说法正确的有（）个．①甲的速度随时间的增大而增大；②乙的平均速度比甲的平均速度大；③在起跑后180秒时，两人所跑路程相等；④在起跑后50秒时，乙在甲的前面；⑤两人在途中100秒的时候所跑路程相等．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．若是关于的正比例函数，则的值为______．12．如图，在中，，为边的中线，的周长与的周长相差3，，则______．1k >0b >1k <0b >1k >0b <1k <0b <ABC △AD BAC ∠E BC EF AD ⊥80F =︒46B ∠=︒ACE ∠E ∠S OA OBCD ()211y a x a =-+-2023aABC △B C ∠<∠AD BC ABD △ADC △8AB =AC =13．如图，直线与（且，为常数）的交点坐标为，则关于的不等式的解集为______．14．在平面直角坐标系中，把直线沿轴向下平移后得到直线，如果点是直线上的一点，且，那么直线的函数表达式为______．15．已知平面内有两条直线：，：交于点，与轴分别交于，两点，落在内部（不含边界），则的取值范围是______．三、解答题（8小题，共90分）16．（本小题8分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将先向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到．（1）在图中画出平移后的；（2）求的面积．17．（本小题10分）如图，中，，是的两条高，，．2y x =-+y ax b =+0a ≠()3,1-2x ax b -+<+3y x =y AB (),Nm n AB 32m n -=AB 2y x =+24y x =-+A B C(),21P m m -ABC △m xOy ABC △()2,2A--()3,1B ()0,2C ABC △A B C '''△A B C '''△ABC △ABC △AE CD ABC △6AB =3CD =（1）请用直尺和三角板画出，；（2）若，求的长．18．（本小题10分）如图，根据图中信息解答下列问题：（1）直接写出关于的不等式的解集；（2）当时，直接写出的取值范围．19．（本小题12分）将长为，宽为的长方形白纸按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为．白纸张数12345…纸条长度40______110145______…（1）根据图，将表格补充完整．（2）设张白纸黏合后的总长度为，则与之间的关系式是什么？（3）你认为白纸黏合起来总长度可能为吗？为什么？20．（本小题12分）如图，过点的直线：与直线：交于点．AE CD 4AE =BC 1mx n +<210y y <<40cm 15cm 5cm cm y y2024cm ()2,0A-y kx b =+1y x =-+()1,P a -（1）求直线对应的表达式；（2）直接写出方程组的解；（3）求的面积．21．（本小题12分）在中，，点是边上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，（）．（1）求的度数；（2）若中有两个角相等，求的值．22．（本小题12分）抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的，两仓库．已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而库的容量为70吨，库的容量为110吨．从甲、乙两库到，两库的路程和运费如下表（表中“元/吨．千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）路程（千米）运费（元/吨·千米）甲库乙库甲库乙库库20151212库2520108（1）若甲库运往库粮食吨，请写出将粮食运往，两库的总运费（元）与（吨）的函数关系式，并求出的取值范围；（2）当甲、乙两库各运往，两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？23．（本小题14分）在平面直角坐标系中（单位长度为），已知点，，且．（1）______，______；1y kx by x =+⎧⎨=-+⎩ABP △ABC △90BAC ∠=︒D BC ABD △AD AED △AE BC F 50C B ︒∠-∠=BAD x ∠=︒045x <≤B ∠DEF △A B A B A BA B A A B yA B 1cm ()0,Am (),N n O 60-=m =n =（2）如图，若点是第一象限内的一点，且轴，过点作轴的平行线，与轴交于点，点从点处出发，以每秒的速度沿直线向左移动，点从原点同时出发，以每秒的速度沿轴向右移动．①经过几秒？②若某一时刻以，，，为顶点的四边形的面积是，求此时点的坐标．2023—2024学年第一学期蚌埠G5教研联盟期中考试八年级数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）题号12345678910答案BCDCBACBBB二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．12．513．14．15．三、解答题（8小题，共90分）16．（1）解：（2）解：的面积为：．17．解：（1），即为所求作的高，如图所示：E EN x ⊥E yA PE 2cm Q O 1cm AP OQ =A O Q P 210cm P 1-3x >32y x =-1524m <<ABC △1111315543153242047222222⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=---=AE CD（2）∵，∴．18．解：（1）不等式的解集是；（2）当时，．19．解：（1）由题意可得，2张白纸黏合后的长度为：，5张白纸黏合后的长度为：．故答案为：75，180．（2）根据题意和所给图形可得出：．（3）不能．理由如下：令得：，解得：．∵为整数，∴不能使黏合的纸片总长为．20．解：（1）把代入，得，则点的坐标为．把，代入，得解得所以直线的表达式为．（2）方程组的解为．（3）∵交轴于，交轴于，，∴的面积：．21．（1）解：∵在中，，∴，即，又∵，故，解得：．（2）∵，，则，∴，根据折叠可得：，，∴．，1122ABC S AB CD BC AE =⋅=⋅△63942AB CD BC AE ⋅⨯===1mx n +<0x <210y y <<24x <<()402575cm ⨯-=()40554180cm ⨯-⨯=()4051355y x x x =--=+2024y =2024355x =+57.7x ≈2024cm ()1,P a -1y x =-+2a =P ()1,2P -()2,0A-()1,2P -y kx b =+02,2,k b k b =-+⎧⎨=-+⎩24k b =⎧⎨=⎩24y x =+1y kx b y x =+⎧⎨=-+⎩12x y =-⎧⎨=⎩1y x =-+()1,0B 24y x =+()2,0A -()1,2P -ABP △1132322A B P x x y ⨯-⨯=⨯⨯=ABC 90BAC ∠= 90C B ︒∠+∠=90C B ∠=︒-∠50C B ∠-∠=︒9050B B ︒-∠-∠=︒20B ∠=︒BAD x ∠=20B ∠=︒20ADF B BAD x ︒︒∠=∠+∠=+()180********ADB ADFx x ∠=︒-∠=︒-︒+︒=︒-︒160ADE ADB x ∠=∠=︒-︒20B E ∠=∠=︒()160201402FDE ADE ADF x x x ∠=∠-∠=︒-︒-+︒=︒-︒∴，①当时，即，解得：，②当时，即，解得，，∵，∴不合题意，故舍去，③当，即，解得，，∵，∴不合题意舍去．故答案为：30．22．解：（1）依题意有：设甲库运往库粮食吨，则甲库运到库吨，乙库运往库吨，乙库运到库吨则解得∴（）（2）上述一次函数中，∴随的增大而减小，∴当吨时，总运费最省，最省的总运费为（元），答：从甲库运往库70吨粮食，从甲库往库运送30吨粮食，从乙库运往库0吨粮食，从乙库运往库80吨粮食时，总运费最省为37100元．23．（1）解：依题意，得解得故答案为：4，6；（2）①设经过秒，若点在轴右侧，依题意，得，解得，若点在轴左侧，得，解得经过2秒或6秒，；（10分）②当点在轴右侧时，()180180201402220DFE E FDE x x ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒+︒FDE DFE ∠=∠1402220x x ︒-︒=︒+︒30x =20DFE E ︒∠=∠=22020x +=0x =045x <≤20EDF E ︒∠=∠=140220x -=60x =045x <≤A B ()100x -A ()70x -B ()10x +01000700100x x x x ≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪+≥⎩070x ≤≤()()()1220102510012157082010y x x x x =⨯+⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯+3039200x =-+070x ≤≤300k =-<y70x =30703920037100-⨯+=A B A B40,60,m n -=⎧⎨-=⎩4,6.m n =⎧⎨=⎩AP OQ =P y 62x x -=2x =P y26x x -=6x =∴AP OQ =P y依题意，得，解得，，此时点的坐标为，当点在轴左侧时，依题意，得，解得，，此时点的坐标为．综合以上可得点的坐标为或．()624102x x -+⨯=1x =624x -=P ()4,4P y()264102x x -+⨯=113x =22426633x -=-=P 4,43⎛⎫- ⎪⎝⎭P ()4,44,43⎛⎫-⎪⎝⎭。
安徽省蚌埠市第二中学2021-2022学年高二上学期期中考试语文试题 Word版含答案
（试卷分值：150分考试时间：150分钟）第I卷阅读题甲必考题一、现代文阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成文后各题。
中国文化一个最首要的也是一个最重要的特征，就是“性情化”。
什么意思呢？就是中国人和中华民族在性情和情感方面是最发达的。
性情是属于人与自我、人与自然之间的，而情感是属于人与人、人与社会之间的。
当然有时我们并不严格区分两者。
性情乃是由心而发，由“心性”而生。
这种性情是独立的、自我观赏的、闲适得意的：然后外化为各种自然的事物上，使这种性情显得更加精微、更加深刻。
例如，只有中国人才有“梅兰竹菊”这样精致高雅的性情的外化物，梅之凌霜傲骨、兰之清逸雅致、竹之高风亮节、菊之淡泊不拘，无不对应着中国人独立的性情人格。
中国的诗是抒情的，中国的画是写意的，中国的琴是直达心灵的。
梅兰竹菊自有其精神，琴棋书画自有其性情。
中国人的饮食也是最丰富和最讲究的，中国人讲究色、香、味、形的完善统一。
中国人饮茶叫“品茗”，而西方人却是“喝茶”。
只有带着性情才能是“品”，而满足生理就只能叫“喝”了。
中国的陶瓷之所以精致，是由于它和制作者的情感是一一对应的，是带着性情、带着神韵的。
中国之所以有精致的刺绣，也是由于其中蕴涵有中国人精致的情感。
中国的景观、建筑、亭园，无不对应着中国人精微雅致的性情和情感。
中国人的审美观是性情化的：当一个事物和一个人的性情、心性和心灵相通的时候，便产生了中国式的美；也只有这时才产生中国式的美。
假如我们把中国文化的这种“性情化”放到世界文化中去比对，就可以看得更加清楚了。
就世界文化而言，可以分别以西方、印度、中国为标志，基本上划分为三大类型，它们反映的文化特性分别是“物性”、“神性”和“人性”。
西方文化将“物性”表现得格外极致，他们的物质文化可以格外发达，而物质文化的手段一一科技，也相应的可以格外发达。
西方设计的很多制度特征也是“物性”的，尽量排解人的情感因素。
西方所说的“自由”是指人身及其行为的自由，而中国人的自由更多是“心性”的自由。
2023-2024学年安徽省蚌埠市淮上区高一上学期期中语文质量检测试题(含答案)
2023-2024学年安徽省蚌埠市淮上区高一上学期期中语文质量检测试题考生注意：1.满分150分，考试时间150分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3.本卷命题范围：人教版必修上册第一至四单元。
一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读I(本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成1～5题。
材料一：工匠精神是一种严谨认真、精益求精、追求完美、勇于创新的精神。
党的十八大以来，习近平总书记多次强调要弘扬工匠精神。
新时代大力弘扬工匠精神，对于推动经济高质量发展、实现“两个一百年”奋斗目标具有重要意义。
我国自古就有尊崇和弘扬工匠精神的优良传统，一些工艺水平在世界上长期处于领先地位。
瓷器、丝绸、家具等精美制品和许多庞大壮观的工程建造，都离不开劳动者精益求精的工匠精神。
《诗经》中的“如切如磋，如琢如磨”,反映的就是古代工匠在切割、打磨、雕刻玉器等时精精神。
《诗经》中的“如切如磋，如琢如磨”,反映的就是古代工匠在切割、打磨、雕刻玉器等时精益求精、反复琢磨的工作态度。
《庄子》中讲庖丁解牛游刃有余，“道也，进乎技矣”。
可以说，我国古代非常注重工匠精神，形成了很浓厚的“尚巧工”的社会氛围。
新中国成立以来，我们党在带领人民进行社会主义现代化建设的进程中，始终坚持弘扬工匠精神。
无论是“两弹一星”、载人航天工程取得的辉煌成就，还是高铁、大飞机等的设计与制造，都离不开工匠精神，都展现出我们对工匠精神的继承与发扬。
弘扬工匠精神有助于提高创新能力，加快建设制造强国。
我国是世界制造业第一大国，在世界500多种主要工业产品中，我国有220多种工业产品的产量位居世界第一。
但总体而言，我国制造业大而不强，实现制造业转型升级迫在眉睫。
加快建设制造强国，加快发展先进制造业，关键在于提高创新能力，而工匠精神是助推创新的重要动力。
安徽省蚌埠铁中2015届高三第一学期期中考试数学理试题
安徽省蚌埠铁中2015届高三第一学期期中考试数学理试题考试时间：120分钟试卷分值：150分一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的)1.若全集U=R,集合A={x||2x+3|<5},B={x|y=log3(x+2)},则C U(A∩B)=( )(A){x|x≤-4或x≥1} (B){x|x<-4或x>1}(C){x|x<-2或x>1} (D){x|x≤-2或x≥1}2.以下说法错误的是( )(A)命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”(B)“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件(C)若p∧q为假命题,则p,q均为假命题(D)若命题p存在x∈R,使得x2+x+1<0,则﹁p任意x∈R,则x2+x+1≥03.已知对任意实数x,都有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时( )(A)f′(x)>0,g′(x)>0 (B)f′(x)>0,g′(x)<0(C)f′(x)<0,g′(x)>0 (D)f′(x)<0,g′(x)<04.平面上三点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则·+·+·=( )(A)-25 (B)-16 (C)25 (D)165.函数y=sin(2x-)在区间[-,π]上的简图是( )6.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2+x)=f(2-x),则f(4)=( )(A)4 (B)2 (C)0 (D)不确定7.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为( )(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-28.已知向量m,n满足m=(2,0),n=(,).在△ABC中,=2m+2n,=2m-6n,D为BC的中点,则||等于( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)89.△ABC中,A=,BC=3,则△ABC的周长为( )(A)4sin(B+)+3 (B)4sin(B+)+3 (C)6sin(B+)+3 (D)6sin(B+)+310.设f(x)=asin2x+bcos2x,其中a>0,b>0,若f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立,则①f()=0;②|f()|<|f()|;③f(x)既不是奇函数也不是偶函数;④f(x)的单调递增区间是[kπ+,kπ+](k∈Z);⑤存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图像不相交.以上结论正确的是( )(A)①②④ (B)①③ (C)①③④ (D)①②④⑤二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.已知向量a=(sinθ,-2),b=(1,cosθ),且a⊥b,则sin2θ+cos2θ的值为＿＿.12、已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f(2)=＿＿.13.已知p≤x≤1,q(x-a)(x-a-1)>0,若p是﹁q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是＿＿.14.如图,△ABC中,AB=AC=2,BC=2,点D在BC边上,∠ADC=45°,则AD的长度等于＿＿.15.已知定义在R上的偶函数满足f(x+4)=f(x)+f(2),且当x∈[0,2]时,y=f(x)是增加的,给出以下四个命题①f(2)=0;②x=-4为函数y=f(x)图像的一条对称轴;③函数y=f(x)在[8,10]上是增加的;④若方程f(x)=m在[-6,-2]上的两根为x1,x2,则x1+x2=-8.以上命题中所有正确命题的序号为＿＿.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知集合A={x∈R|log2(6x+12)≥log2(x2+3x+2)},B={x∈R|<4x}.求A∩(CuB).17.(12分)已知a=(1,2),b=(2,1).(1)求向量a在向量b方向上的投影.(2)若(ma+nb)⊥(a-b)(m,n∈R),求m2+n2+2m的最小值.18.(12分)已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值.(2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围.19.(13分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x- (x∈R).(1)当x∈[-,]时,求函数f(x)的最小值和最大值.(2)设△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且c=,f(C)=0,若向量m=(1,sinA)与向量n=(2,sinB)共线,求a,b的值.20.(13分)已知函数f(x)=m·n,其中m=(sinωx+cosωx,cosωx),n=(cosωx-sinωx,2sinωx),其中ω>0,若f(x)相邻两对称轴间的距离不小于.(1)求ω的取值范围.(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a=,b+c=3,当ω最大时,f(A)=1,求△ABC的面积.21.(13分)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值.(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.(3)求证对一切x∈(0,+∞),都有xlnx>-.蚌埠铁中2014-2015学年度第一学期期中检测答题卷高三数学(理科)考试时间：120分钟试卷分值：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、 12、 13、14、 15、三、解答题（本大题共6个题，满分75分）16．（本小题满分12分）17．(本小题满分12分) 18. (本小题满分12分)19．(本小题满分13分) 20．(本小题满分13分)21．（本小题满分13分）蚌埠铁中2014-2015学年度第一学期期中检测答案高三数学(理科)1~10、DCBAA CBADB11、1 12、6 13、[0,] 14、 15、①②③④16.【解析】由log2(6x+12)≥log2(x2+3x+2)得解得-1<x≤5.即A={x|-1<x≤5}.B={x∈R|<4x}={x∈R|<22x},由<22x得x2-3<2x,解得-1<x<3. 即B={x∈R|-1<x<3},则CuB={x∈R|x≤-1或x≥3}.则A∩(CuB)={x∈R|3≤x≤5}.17.【解析】(1)设向量a与向量b的夹角为θ,由题意知向量a在向量b方向上的投影为|a|cosθ=|a|==.(2)∵(ma+nb)⊥(a-b),∴(ma+nb)·(a-b)=0,即5m+4n-4m-5n=0,∴m=n.∴m2+n2+2m=2m2+2m=2(m+)2-≥-,当且仅当m=n=-时取等号,∴m2+n2+2m的最小值为-.18.【解析】(1)∵f(x)=2x+k·2-x是奇函数,∴f(-x)=-f(x),x∈R,即2-x+k·2x=-(2x+k·2-x),∴(1+k)+(k+1)·22x=0对一切x∈R恒成立,∴k=-1.(2)∵x∈[0,+∞),均有f(x)>2-x,即2x+k·2-x>2-x成立,∴1-k<22x对x≥0恒成立,∴1-k<(22x)min.∵y=22x在[0,+∞)上是增加的,∴(22x)min=1,∴k>0.19.【解析】(1)f(x)=sin(2x-)-1.∵-≤x≤,∴-≤2x-≤,∴-≤sin(2x-)≤1,∴-1-≤sin(2x-)-1≤0.则f(x)的最小值是-1-,最大值是0.(2)f(C)=sin(2C-)-1=0,则sin(2C-)=1.∵0<C<π,∴0<2C<2π,∴-<2C-<,∴2C-=,C=.∵向量m=(1,sinA)与向量n=(2,sinB)共线,∴=,由正弦定理得= ①由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos,即a2+b2-ab=3 ②,由①②,解得a=1,b=2.20.【解析】(1)f(x)=m·n=cos2ωx-sin2ωx+2cosωx·sinωx=cos2ωx+sin2ωx=2sin(2ωx+).∵ω>0,∴函数f(x)的周期T==,由题意可知,≥,即≥,解得0<ω≤1,即ω的取值范围是{ω|0<ω≤1}.(2)由(1)可知ω的最大值为1,∴f(x)=2sin(2x+).∵f(A)=1,∴sin(2A+)=,而<2A+<π,∴2A+=π,∴A=.由余弦定理知cosA=,∴b2+c2-bc=3,又b+c=3.联立解得或∴S△ABC=bcsinA=.21.【解析】(1)f'(x)=lnx+1,当x∈(0,)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.①0<t<t+2<,t无解;②0<t<<t+2,即0<t<时,f(x)min=f()=-;③≤t<t+2,即t≥时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt;所以f(x)min=(2)2xlnx≥-x2+ax-3,则a≤2lnx+x+.设h(x)=2lnx+x+ (x>0),则h'(x)= ,x∈(0,1),h'(x)<0,h(x)单调递减, x∈(1,+∞),h'(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=4,因为对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,所以a≤h(x)min=4.(3)由(1)可知f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是-,当且仅当x=时取到.设m(x)=- (x∈(0,+∞)),则m'(x)= ,易得m(x)max=m(1)=-,当且仅当x=1时取到,从而对一切x∈(0,+∞),都有xlnx>-.。
安徽省蚌埠市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
蚌埠2023-2024学年第一学期期中检测试卷高二数学（答案在最后）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若直线l 的一个方向向量为(-，求直线的倾斜角（）A.π3B.π6C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】求出直线斜率，进而求出直线倾斜角即得.【详解】直线l 的一个方向向量为(-，则直线l 斜率为，所以直线l 的倾斜角为2π3.故选：C2.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，已知PA a = ，PB b = ，PC c = ，12PE PD = ，则BE = （）A.131222a b c -+B.111222a b c-+C.131222a b c ++D.113222a b c -+【答案】A 【解析】【分析】利用空间向量加法法则直接求解．【详解】连接BD ，如图，则()()()1111122222BE BP BD PB BA BC PB PA PB PC PB =+=-++=-+-+-()11131131222222222PB PA PB PC PA PB PC a b c=-+-+=-+=-+故选：A ．3.已知点A 与点(1,2)B 关于直线30x y ++=对称，则点A 的坐标为A.(3,4) B.(4,5)C.(4,3)-- D.(5,4)--【答案】D 【解析】【分析】根据对称列式求解.【详解】设(),A x y ,则123052224(1)11x y x y y x ++⎧++=⎪=-⎧⎪∴⎨⎨-=-⎩⎪⋅-=-⎪-⎩，选D.【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.4.在一平面直角坐标系中，已知()1,6A -，()2,6B -，现沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为（）A.27 B.41C.17 D.35【答案】D 【解析】【分析】平面直角坐标系中已知()1,6A -，()2,6B -，现沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角后，通过向量的数量积转化求解距离即可．【详解】解：平面直角坐标系中已知()1,6A -，()2,6B -，沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角后，作AC ⊥x 轴，交x 轴于C 点，作BD ⊥x 轴，交x 轴于D 点，则6,3,6,AC CD DB === ,AC CD CD DB ⊥⊥ ，,AC DB的夹角为120°∴AB AC CD DB =++ ，222222212+2+2=6+3+6266452AB AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅⋅⋅-⨯⨯⨯= 35AB ∴=,即折叠后A ，B 两点间的距离为35.故选：D ．【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．5.如果实数x ，y 满足()2222x y -+=，则yx的范围是（）A.()1,1- B.[]1,1- C.()(),11,-∞-⋃+∞ D.(][),11,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】设yk x =，求y x的范围救等价于求同时经过原点和圆上的点(),x y 的直线中斜率的范围，结合图象，易得取值范围.【详解】解：设yk x=，则y kx =表示经过原点的直线，k 为直线的斜率.如果实数x ，y 满足22(2)2x y -+=和yk x=，即直线y kx =同时经过原点和圆上的点(),x y .其中圆心()2,0C ，半径2r =从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为E则直线的斜率就是其倾斜角EOC ∠的正切值，易得2OC =，CE r ==可由勾股定理求得OE ==，于是可得到tan 1CEk EOC OE =∠==为y x的最大值；同理，yx的最小值为－1.则yx的范围是[]1,1-.故选：B.6.抛物线214x y =的焦点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.233【答案】A 【解析】【分析】先求得抛物线的焦点，根据点到直线的距离公式列方程，求得22b a =，由此求得双曲线的离心率.【详解】抛物线214x y =即24y x =的焦点坐标为()1,0，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，即0bx ay ±=，所以点()1,0到直线0bx ay ±=的距离为22=，则22b a =，则双曲线的离心率为c e a =====故选：A7.直线()2200ax by a b a b +--=+≠与圆2220x y +-=的位置关系为（）A.相离 B.相切C.相交或相切D.相交【答案】C 【解析】【分析】利用几何法，判断圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系即可．【详解】由已知得，圆2220x y +-=的圆心为（0，0），所以圆心到直线()2200ax by a b a b +--=+≠.因为222ab a b ≤+，所以()()2222a b a b+≤+≤，所以直线与圆相交或相切；故选：C ．8.在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1AC 上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是（）A.ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设1AB =，则，01λ≤≤，利用1c s o BC BP =，，即可得出答案．【详解】设BP 与1AD 所成角为θ，如图所示，不妨设1AB =，则()0,0,0B ，()0,1,0A ，()10,1,1A ，()11,0,1C ，()111,0,1AD BC == ，()1,0,0BC = ，()11,1,1AC =-．设1AP AC λ= ，则()1,1,BP BA AC λλλλ=+=-，01λ≤≤．所以111c ·o s BC BPBC BP BC BP==⋅，当0λ=时，10cos BC BP = ，，此时BP 与1AD 所成角为π2，当0λ≠时，1c os BC BP =，，此时10cos 1BC BP <≤，，当且仅当1λ=时等号成立，因为cos y x =在π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上单调递减，所以1π0,2BC BP ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ，，综上，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：B ．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的有（）A.若直线y kx b =+经过第一、二、四象限，则()k b ，在第二象限B.直线32y ax a =-+过定点()32，C.过点()21-，斜率为的点斜式方程为)12y x +=-D.斜率为2-，在y 轴截距为3的直线方程为23y x =-±．【答案】ABC 【解析】【分析】由直线y kx b =+过一、二、四象限，得到斜率0k <，截距0b >，可判定A 正确；由把直线方程化简为()()320a x y -+-+=，得到点()32，都满足方程，可判定B 正确；由点斜式方程，可判定C 正确；由斜截式直线方程可判定D 错误．【详解】对于A 中，由直线y kx b =+过一、二、四象限，所以直线的斜率0k <，截距0b >，故点()k b ，在第二象限，所以A 正确；对于B 中，由直线方程32y ax a =-+，整理得()()320a x y -+-+=，所以无论a 取何值点()32，都满足方程，所以B 正确；对于C 中，由点斜式方程，可知过点()21-，斜率为的点斜式方程为)12y x +=-，所以C 正确；由斜截式直线方程得到斜率为2-，在y 轴上的截距为3的直线方程为23y x =-+，所以D 错误．故选：ABC ．【点睛】本题主要考查了直线的方程的形式，以及直线方程的应用，其中解答中熟记直线的点斜式的概念及形式，以及直线的斜率与截距的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若直线l 的方向向量为()1,0,3e = ，平面α的法向量为22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则直线l α∥B.已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底C.若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面D.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线【答案】BCD 【解析】【分析】计算得到e n ⊥，l α∥或l ⊂α，A 错误，若,,a b a c +r r r r 共面，则,,a b c 共面，不成立，故B 正确，化简得到23PA PB PC =--，C 正确，若这两个向量不共线，则存在向量与其构成空间的一个基底，故D 正确，得到答案.【详解】()22,0,22031,0,3e n ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭⋅⋅ ，故e n ⊥ ，故l α∥或l ⊂α，A 错误；若,,a b a c +r r r r共面，设()()b a a c a c λμλμμ=++=++ ，则,,a b c 共面，不成立，故{},,a b m 也是空间的基底，B 正确；111632OP OA OB OC =++ ，则()()()111632OA OP OB OP OC OP -+-+- 1110632PA PB PC =++=，即23PA PB PC =--，故P ，A ，B ，C 四点共面，C 正确；若这两个向量不共线，则存在向量与其构成空间的一个基底，故D 正确.故选：BCD.11.已知平面α的法向量为()1,2,2n =-- ，点()2,21,2A x x +为α内一点，若点()0,1,2P 到平面α的距离为4，则x 的值为（）A.2 B.1C.3- D.6-【答案】AD【解析】【分析】利用向量法可知，点P 到平面α的距离公式为||||AP n d n →→→⋅=，代入相关数值，通过解方程即可求解.【详解】解：由向量法可知，点P 到平面α的距离公式为||||AP n d n →→→⋅=，又 ()()22,(,20,2,0)122,1,x x AP x x →+--==-，()1,2,2n =--24AP n x x →→∴⋅=+，||3n ==由点()0,1,2P 到平面α的距离为4，有2443x x+=解得2x =或6x =-故选：AD【点睛】本题考查的是点面距离的计算问题，核心是会利用向量法中点到平面的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题.12.已知双曲线C 经过点6,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且与椭圆22Γ:12x y +=有公共的焦点12,F F ，点M 为椭圆Γ的上顶点，点P 为C 上一动点，则（）A.双曲线CB.sin 3MOP ∠>C.当P 为C 与Γ的交点时，121cos 3F PF ∠= D.||PM 的最小值为1【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意中的点求出双曲线方程，结合离心率的定义即可判断A ；根据双曲线的渐近线，结合图形即可判断B ；根据椭圆与双曲线的定义，结合余弦定理计算即可判断C ；由两点距离公式，结合二次函数的性质即可判断D.【详解】A ：由题意，12(1,0),(1,0)F F -，设双曲线的标准方程为222221,11x y a a a-=<-，将点,1)2代入得212a =，所以双曲线方程为2211122x y -=，得其离心率为22c e a ===，故A 正确；B ：由A 选项的分析知，双曲线的渐近线方程为y x =±，如图，π4MON ∠=，所以π3π44MOP <∠<，得sin 12MOP <∠≤，故B 错误；C ：当P为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知，1212PF PF PF PF +=-=12,22PF PF ==，又122F F =，在12F PF △中，由余弦定理得222121212121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅，故C 正确；D ：设00(,)P x y ，则22001,(0,1)2x y M -=，所以PM ==，当012y =时，min1PM =，故D 正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若空间向量(,2,2)a x =和(1,1,1)b = 的夹角为锐角，则x 的取值范围是________【答案】4x >-且2x ≠【解析】【分析】结合向量夹角公式、向量共线列不等式来求得x 的取值范围.【详解】依题意04211a b a bx x ⎧⋅=>⎪⋅⎪⇒>-⎨⎪≠⎪⎩ 且2x ≠.故答案为：4x >-且2x ≠14.已知0a >，0b >，直线1l ：()110a x y -+-=，2l ：210x by ++=，且12l l ⊥，则21a b+的最小值为__________．【答案】8【解析】【分析】根据两条直线的一般式方程及垂直关系，求出a ，b 满足的条件，再由基本不等式求出最小值即可．【详解】因为12l l ⊥，所以()11120a b -⨯+⨯=，即21a b +=，因为0a >，0b >，所以()2121422248b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即12a =，14b =时等号成立，所以21a b+的最小值为8．故答案为：8．15.直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2232x y -+=上，则ABP 面积的取值范围______．【答案】[]6,12【解析】【分析】由题意求得所以()30A -,，()0,3B -，从而求得AB =，再根据直线与圆的位置关系可求得点P 到直线30x y ++=距离h ⎡∈⎣，再结合面积公式即可求解.【详解】因为直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，所以()30A -,，()0,3B -，因此AB =．因为圆()2232x y -+=的圆心为()3,0，半径r =，设圆心()3,0到直线30x y ++=的距离为d ，则3033222d ++==>，因此直线30x y ++=与圆()2232x y -+=相离．又因为点P 在圆()2232x y -+=上，所以点P 到直线30x y ++=距离h 的最小值为32222d r -=-=，最大值为32242d r +=+=，即22,42h ⎡⎤∈⎣⎦，又因为ABP 面积为13222AB h h ⨯⨯=，所以ABC 面积的取值范围为[]6,12．故答案为：[]6,1216.瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC 的顶点()4,0-A ，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是_________【答案】()2,0或()0,2-【解析】【分析】设(,)C x y ，依题意可确定ABC ∆的外心为(0,2)M ，可得出,x y 一个关系式，求出ABC ∆重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出,x y 另一个关系式，解方程组，即可得出结论.【详解】设(,),C x y AB 的垂直平分线为y x =-，ABC 的外心为欧拉线方程为20x y -+=与直线y x =-的交点为(1,1)M -，∴22||||10,(1)(1)10MC MA x y ==++-=①由()4,0-A ，()0,4B ，ABC 重心为44(,)33x y -+，代入欧拉线方程20x y -+=，得20x y --=②由①②可得2,0x y ==或0,2x y ==-.故答案为：()2,0或()0,2-.【点睛】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形的外心与重心，考查逻辑思维能力和计算能力，属于较难题.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知圆M 的圆心为()2,3，且经过点()5,1C -.（1）求圆M 的标准方程；（2）已知直线:34160l x y -+=与圆M 相交于,A B 两点，求AB .【答案】（1）()()222325x y -+-=（2）AB =【解析】【分析】（1）根据条件求出圆M 的半径,再结合圆心坐标求出标准方程即可;（2）求出圆心M 到直线l 的距离,再由垂径定理求出||AB .【小问1详解】因为圆M 的圆心为(2,3),且经过点(5,1)C -,所以圆M 的半径5r MC ===,所以圆M 的标准方程为()()222325x y -+-=.【小问2详解】由（1）知，圆M 的圆心为()2,3，半径=5r ，所以圆心M 到直线l 的距离2d =,所以由垂径定理，得AB ===.18.已知ABC 的顶点()3,2A ，边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，边AC 上的高所在直线方程为290x y --=．（1）求顶点,B C 的坐标；（2）求ABC 的面积．【答案】（1）B 的坐标为()8,7，C 的坐标为()1,3（2）152【解析】【分析】（1）设(),B a b ，(),C m n ，由题意列方程求解即可得出答案.（2）先求出AB 和直线AB 所在的方程，再由点到直线的距离公式求出边AB 上的高，即可求出ABC 的面积．【小问1详解】设(),B a b ，因为边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，边AC 上的高所在直线方程为290x y --=，所以2903238022a b a b --=⎧⎪⎨++-⨯+=⎪⎩，解得87a b =⎧⎨=⎩，即B 的坐标为()8,7．设(),C m n ，因为边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，边AC 上的高所在直线方程为290x y --=，所以3802132m n n m -+=⎧⎪-⎨=-⎪-⎩，解得13m n =⎧⎨=⎩，即C 的坐标为()1,3．【小问2详解】因为()()3,2,8,7A B，所以AB ==因为边AB 所在直线的方程为237283y x --=--，即10x y --=，所以点()1,3C 到边AB的距离为2=，即边AB上的高为2，故ABC的面积为115222⨯=．19.已知直三棱柱111ABC A B C -，侧面11AA C C 是正方形，点F 在线段1AC 上，且13AF =，点E 为1BB 的中点，1AA =，1AB BC ==．（1）求异面直线CE 与BF 所成的角；（2）求平面CEF 与平面11ACC A 夹角的余弦值．【答案】（1）90（2）21【解析】【分析】（1）利用直棱柱的结构特征，结合线面垂直的性质，建立空间直角坐标系，利用直线与直线所成角的向量求法，计算得结论；（2）分别求出两个平面的法向量，利用平面与平面所成角的向量求法，即可得到结果．【小问1详解】因为侧面11AA C C 是正方形，1AA =，1AB BC ==，所以BA BC ⊥，因为三棱柱111ABC A B C -直三棱柱，所以1BB ⊥面ABC ，而BC ，BA ⊂平面ABC ，因此1BB BC ⊥，1BB BA ⊥，所以BC ，BA ，1BB 两两垂直．以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如下图：因此()100C ，，，()000，，B ，()010A ，，，(1102C ，，而点E 为1BB 的中点，所以2002E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，因为F 在线段1AC 上，所以设()()1,201AF AC λλλλλ==-≤≤ ，因此(),12BF BA AF λλλ=+=- ，因为13AF = ()()222123λλλ+-+=解得16λ=，因此152,,666BF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，即152,,666F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为21,0,2CE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以11066CE BF ⋅=-+= ，因此异面直线CE 与BF 所成的角为90 .【小问2详解】设平面CEF 的法向量为()1n x y z = ，，，而552,,666CF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，因此由1100n CE n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得2025520666x z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，取2z =得1x =，35y =，所以13125n ⎛= ⎝ ，，是平面CEF 的一个法向量，设平面11ACC A 的法向量为()2222n x y z = ，，，()110AC =- ，，，(112AC =- ，，，因此由22100n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得020x y x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =得1y =，0z =，所以()2110n = ，，是平面11ACC A 的一个法向量.设平面CEF 与平面11ACC A 夹角为θ，则02πθ≤≤，因此121212cos cos ,n n n n n n θ⋅==31521+==，所以平面CEF 与平面11ACC A 夹角的余弦值为24221．20.已知双曲线C的焦点坐标为()1F，)2F ，实轴长为4，（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若双曲线C 上存在一点P 使得12PF PF ⊥，求12PF F △的面积．【答案】（1）2214x y -=；（2）1．【解析】【分析】（1）由题可知,c a 的值即可求出双曲线C 的标准方程；（2）由双曲线的定义及面积公式即可求出.【详解】（1）设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由条件知c =，24a =，∴2,1a b ==，∴双曲线C 的方程为2214x y -=．（2）由双曲线的定义可知，124PF PF -=±．∵12PF PF ⊥，∴22212420PF PF c +==，即21212()220PF PF PF PF ⨯-+=∴122PF PF ⋅=，∴12PF F △的面积12112122S PF PF =⋅=⨯=．21.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，2PA PB AD ===，4BC =.（1）若PB 的中点为E ，求证：//AE 平面PCD ；（2）若PB 与底面ABCD 所成的角为60︒，求PC 与平面PBD 的所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）80535【解析】【分析】（1）取PC 的中点F ，连接,EF DF .先证明四边形ADFE 是平行四边形，即可得出//DF AE ，然后即可证明线面平行；（2）先证明PO ⊥平面ABCD ，即可得出60PBA ∠=︒.然后建立空间直角坐标系，得出点以及向量的坐标，求出平面PBD 的法向量，根据向量求得PC 与平面PBD 的所成角的正弦值，进而求得余弦值.【小问1详解】如图1，取PC 的中点F ，连接,EF DF ，,E F 分别为,PB PC 的中点，∴//EF BC ，且122EF BC ==.//AD BC 且2AD =，//EF AD ∴且2EF AD ==，∴四边形ADFE 是平行四边形，//DF AE ∴.AE ⊄ 平面PCD ，DF ⊂平面PCD ，∴//AE 平面PCD .【小问2详解】若O 是AB 中点，取CD 中点为G ，连结OG .,O G 分别是,AB CD 的中点，∴//OG BC .AB BC ⊥，∴OG AB ⊥.由底面ABCD 为直角梯形且//AD BC ，2PA PB AD ===，4BC =.PA PB =，∴PO AB ⊥.由侧面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂面PAB ，∴PO ⊥平面ABCD ，P ∴在平面ABCD 的投影在直线AB 上.又PB 与底面ABCD 所成的角为60︒，PB ∴与底面ABCD 所成角的平面角60PBA ∠=︒，∴PAB 为等边三角形，2AB PA ==.以O 为原点，分别以,,OB OG OP 所在的直线为,,x y z 轴，如图2建空间直角坐标系，则()1,0,0B ，()1,4,0C ，()1,2,0D -，(3P ，则(3BP =- ，(1,2,3PD =- ，(1,4,3PC = .设平面PBD 的法向量(),,n x y z =r，则00n BP n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x x y ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩，取x =，得)n = ，∴cos ,35n PC n PC n PC ⋅==r uu u r r uu u r r uu u r .设PC 与平面PBD 的所成角为θ，则sin cos ,35n PC θ== . π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴cos 0θ≥∴cos 35θ==，PC ∴与平面PBD的夹角的余弦值为35.22.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，斜率为1的直线l 经过F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，8AB =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 上一点(),2P a -作两条互相垂直的直线与抛物线C 相交于MN 两点（异于点P ），证明：直线MN 恒过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）24y x=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件，得到直线l 方程为2p y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立抛物线方程，根据抛物线的弦长求得p ，即得答案；（2）求得a 的值，设直线MN 的方程为x my n =+，联立抛物线方程，得根与系数的关系，利用PM PN ⊥，得到32(1)n m -=-或32(1)n m -=--，代入直线方程，分离参数，求得定点坐标，证明结论.【小问1详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知(,0)2p F ，则直线l 方程为2p y x =-，代入()220y px p =>，得22304p x px -+=，280p ∆=>，∴123x x p +=，由抛物线定义，知1||2p AF x =+，2||2p BF x =+，∴12348AB AF BF x x p p p p =+=++=+==，∴2p =，∴抛物线的方程为24y x =.【小问2详解】证明： (),2P a -在抛物线24y x =上，∴242),1(a a =∴=-，由题意，直线MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为x my n =+，设3344(,),(,)M x y N x y ，由24y x x my n⎧=⎨=+⎩，得2440y my n --=，则216160m n '∆=+>，且34344,4y y m y y n +==-，又23434)242(x x m y y n m n +=++=+，22234344334()()()x x my n my n m y y mn y y n n =++=+++=，由题意，可知PM PN ⊥,PM PN ∴⊥,故3434(1)(1)(2)(2)0PM PN x x y y +⋅=+--+= ，故()3434343412()40x x x x y y y y -++++++=，整理得2246850n m n m --++=，即22(3)4)(1n m -=-，∴32(1)n m -=-或32(1)n m -=--，即21n m =+或25n m =-+．若21n m =+，则21(2)1x my n my m m y =+=++=++，此时直线MN 过定点(1,2)-，不合题意；若25n m =-+，则()2525x my n my m m y =+=-+=-+，此时直线MN 过定点(5,2)，符合题意，综上，直线MN 过异于P 点的定点(5,2)．【点睛】方法点睛：直线和抛物线的位置关系中，证明直线过定点问题，一般是设出直线方程，利用根与系数的关系化简，求得参数之间的关系式，再对直线分离参数，求得定点坐标，进而证明直线过定点.。
安徽省合肥市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题含解析
合肥2023~2024学年度高二年级第一学期期中联考数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章、第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若0AB <，0BC >，则直线0Ax By C --=不经过．．．的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及纵截距，再判断正负即可得解.【详解】由0Ax By C --=，得A C y x B B=-，又0AB <，0BC >，则直线的斜率0AB <，在y 轴上的截距0CB-<，所以直线0Ax By C --=经过第二、三、四象限，不经过第一象限.故选：A2.若点()1,1P 在圆22:20C x y x y k +---=的外部，则实数k 的取值范围是（）A.(),1-∞- B.5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D.41,5⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由方程表示圆可得54k >-，再由点在圆外即可得1k <-，求得实数k 的取值范围是5,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【详解】易知圆C 可化为()2215124x y k ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，可得504k +>，即54k >-；又()1,1P 在圆C 外部，可得11120k +--->，解得1k <-；可得514k -<<-.故选：B.3.已知O ，A ，B ，C 为空间中不共面的四点，且()1,3OP OA OB OC λμλμ=++∈R，若P ，A ，B ，C 四点共面，则函数()()[]()2311,2f x x x x λμ=-+-∈-的最小值是（）A.2 B.1 C.1- D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据点共面可得系数和为1，即可结合二次函数的性质求解最值.【详解】因为P ，A ，B ，C 四点共面，所以存在,R x y ∈，使得AP xAB yAC =+，故()()OP O x OB OA A A y OC O --=-+,整理得()1OP OA x y OA xOB yOC -=--++ ，又()1,3OP OA OB OC λμλμ=++∈R，所以113x yx y λμ+=+⎧⎪⎨--=⎪⎩，所以23λμ+=，所以()()222112f x x x x =--=--，当1x =时，函数取最小值，且最小值为2-.故选:D.4.已知()1,2,1A 是平面α内一点，()1,1,1n =--是平面α的法向量，若点()2,0,3P 是平面α外一点，则点P 到平面α的距离为（）A.2 B.233C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据点到平面的距离公式即可求出.【详解】由题意得()1,2,2AP =- ，故点P 到平面α的距离n AP d n⋅===故选：C.5.已知点()1,3A -，()3,1B ，直线:20l mx y ++=与线段AB 有公共点，则实数m 的取值范围为（）A.(][)1,5,∞-⋃-+∞B.[]5,1-C.(][),15,-∞-⋃+∞ D.[]1,5-【答案】C 【解析】【分析】先求出直线l 的定点，再求出,PA PB k k ，数形结合，得出结果.【详解】如图由题意知直线l 过定点()0,2P -，易求PA 的斜率()32510PA k --==---，PB 的斜率()12130PB k --==-，直线l 的斜率l k m =-，所以1m -≥或5m -≤-，即1m ≤-或5m ≥故选：C.6.已知圆22:8120C x y x +-+=，点P 在圆C 上，点()6,0A ，M 为AP 的中点，O 为坐标原点，则tan MOA ∠的最大值为（）A.12B.12C.4D.3【答案】A 【解析】【分析】根据中点坐标公式结合相关点法可得M 的轨迹方程为()2251x y -+=，即可根据相切求解最值.【详解】由题意知圆C 的方程为()2244x y -+=，设()00,P x y ，(),M x y ，则006,20,2x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,所以0026,2,x x y y =-⎧⎨=⎩,又P 在圆C 上，所以()220044x y -+=，即()()2221024x y -+=，即M 的轨迹方程为()2251x y -+=.如图所示，当OM 与圆()2251x y -+=相切时，tan MOA ∠取得最大值，此时OM ==，tan 12MOA ∠=，所以tan MOA ∠的最大值为612.故选:A7.如图，在四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，CA CB ⊥，CA CB AD ==，E 为AB 的中点，F 为DB 上靠近B 的三等分点，则直线DE 与CF 所成角的余弦值为（）A.2B.3C.15D.16【答案】D【解析】【分析】以A 为坐标原点，AC 为y 轴，AD 为z 轴，过A 垂直于平面CAD 的直线为x 轴建立空间直角坐标系（如图所示），设1CA =，求得11,,122DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，211,,333CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据线线角的向量公式即可求解.【详解】以A 为坐标原点，AC 为y 轴，AD 为z 轴，过A 垂直于平面CAD 的直线为x 轴建立空间直角坐标系（如图所示），设1CA =，则()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1D ，11,,022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,,122DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()1,1,1BD =-- ，()1,0,0CB = ，所以1211,,3333CF CB BF CB BD ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭.设直线DE 与CF 所成角的大小为θ，则1cos cos ,6DE CF DE CF DE CF θ⋅===.故选：D.8.已知圆()()22:349C x y -+-=和两点(),0A t ，()(),00B t t ->，若圆C 上至少存在一点P ，使得0PA PB ⋅<，则实数t 的取值范围是（）A.()2,8 B.()2,+∞ C.()3,+∞ D.()1,3【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知，圆C 与圆()2220:O x y t t +=>的位置关系为相交、内切或内含，利用圆心距和两圆半径之间的关系即可求得2t >.【详解】圆()()22:349C x y -+-=的圆心()3,4C ，半径为3r =，因为圆C 上至少存在一点P ，使得0PA PB ⋅<，则90APB ∠>︒，所以圆C 与圆()2220:O x y tt +=>的位置关系为相交、内切或内含，所以可得3OC t <+，又因为5OC ==，所以53t <+，即2t >.即实数t 的取值范围是()2,+∞.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，在四棱锥P ABCD -中，AP a = ，AB b = ，AD c = ，若PE ED = ，2CF FP =，则（）A.1122BE a b c=-+ B.221333BF a b c=-+C.212333DF a b c=+- D.111636EF a b c=-+ 【答案】BC 【解析】【分析】利用空间向量的基本定理可得出BE 、BF、DE 、EF 关于{},,a b c 的表达式.【详解】对于A 选项，()()1122BE PE PB PD PB AD AP AB AP =-=-=---11112222AP AB AD a b =-+=-+，故A 错误；对于B 选项，()2233BF BC CF AD CP AD AP AC =+=+=+-()22212213333333AD AP AB AD AP AB AD a b c =+--=-+=-+，故B 正确；对于C 选项，()()221212333333DF BF BD BF AD AB b c b a b c =-=--=-+--=+-，故C 正确；对于D 选项，2211111133322636EF BF BE a b a b c a b c ⎛⎫⎛⎫=-=-+--+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误.10.已知直线1:30l ax y a +-=，直线()2:2160l x a y +--=，则（）A.当3a =时，1l 与2l 的交点为()3,0B.直线1l 恒过点()3,0C.若12l l ⊥，则13a = D.存在a ∈R ，使12l l ∥【答案】ABC 【解析】【分析】将3a =代入解得两直线交点坐标为()3,0可判断A ；令30,0,x y -=⎧⎨=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩可判断B ，由直线垂直的条件可判断C ，由直线平行的条件可判断D.【详解】对于A ，当3a =时，直线1:390l x y +-=，直线2:2260l x y +-=，联立390,2260,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩所以两直线的交点为()3,0，故A 正确；对于B ，直线()1:30l x a y -+=，令30,0,x y -=⎧⎨=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩即直线1l 恒过点()3,0，故B 正确；对于C ：若12l l ⊥，则()2110a a ⨯+⨯-=，解得13a =，故C 正确；对于D ，假设存在a ∈R ，使12l l ∥，则()120a a ⨯--=，解得2a =或1a =-，当2a =时，1:260l x y +-=，2:260l x y +-=，两直线重合，舍去，当1a =-时，直线1:30l x y --=，直线2:2260l x y --=，两直线重合，舍去，所以不存在a ∈R ，使12l l ∥，故D 错误.故选：ABC.11.已知x 、y 满足226210x y x y +-++=，则（）A.22x y +3- B.1y x +的最大值为47C.2x y +的最小值为1-D.5【答案】BCD【分析】利用距离的几何意义结合圆的几何性质可判断AD 选项；设1yk x =+，可知直线0kx y k -+=与圆C 有公共点，利用直线与圆的位置关系求出k 的取值范围，可判断B 选项；设2x y t +=，可知直线20x y t +-=与圆C 有公共点，利用直线与圆的位置关系求出t 的取值范围，可判断C 选项.【详解】方程226210x y x y +-++=可变形为()()22319x y -++=，则方程226210x y x y +-++=表示的曲线是以()3,1C -为圆心，以3为半径的圆，对于A 选项，设点(),P x y ，则22xy +表示圆C 上的点P 到原点O 的距离的平方，因为()()2203019-++>，则原点O 在圆C 外，所以，min333OP OC =-==，当且仅当P 为线段OC与圆C 的交点时，OP 取最小值，所以，22xy+的最小值为)2319=-A 错误；对于B 选项，设1yk x =+，则0kx y k -+=，由题意知直线0kx y k -+=与圆C 有公共点，3≤，即27880k k +-≤，解得4477k ---+≤≤，即1y x +的最大值为6247-，故B 正确；对于C 选项，设2x y t +=，即20x y t +-=，由题意知直线20x y t +-=与圆C 有公共点，3≤，解得11t -≤≤+，故2x y +的最小值为1-，故C 正确；因为()()22319x y -++=，3+=+表示点P 到点()0,3M 的距离，因为()()2203319-++>，所以，min33532MP MC =-==-=，当且仅当点P 为线段MC 与圆C 的交点时，MP 取最小值，的最小值为325+=，故D 正确.故选：BCD.12.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为3，2AB =，空间中一点P 满足[]()1,0,1AP xAB y AA x y =+∈，则（）A.若12x =，则三棱锥1P AAC -的体积为定值B.若12y =，则点P 的轨迹长度为3C.若1x y +=，则1PB 的最小值为13D.若x y =，则点P 到BC 的距离的最小值为32【答案】ACD 【解析】【分析】A ：做出图像，由已知和选项找到点P 的位置，判断P 到平面1AA C 的距离为定值，又1AA C △的面积为定值可求出；B ：作图找到点P 位置，判断轨迹长度即可；C ：由向量共线得到P 的位置，再点到直线的距离求1PB 最小值；D ：建系，用空间向量关系求出P 到BC 的距离，再用二次函数的性质求出最值.【详解】对A，若12x =，分别作棱AB ，11A B 的中点D ，E ，连接DE ，则P 在线段DE 上，易知DE ∥平面1AA C ，故点P 到平面1AA C 的距离为定值，又1AA C △的面积为定值，所以三棱锥1P AAC -的体积为定值，故A 正确；若12y =，分别作1AA ，1BB 的中点M ，N ，则点P 的轨迹为线段MN ，易知2MN AB ==，故B 错误；若1x y +=，则1A ，P ，B 三点共线，即点P 在线段1A B 上，易求点1B 到1A B 的距离为13，故1PB 的最小值为13，故C 正确；若x y =，则点P 在线段1AB 上，易证DB ，DC ，DE 两两垂直，以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -，()1,0,0B ，()C ，()11,0,3A -，()11,0,3B ，所以()2,0,0AB =，()0AC = ，()BC =- ，()10,0,3AA = ，()()12,0,3AP x AB AA x x =+= ，所以()22,0,3BP AP AB x x =-=- ，所以1cos ,x BP BC BP-= ，所以点P 到BC的距离d ====所以当14x =时，min 32d =，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：本体考查平面向量关系和空间立体几何的位置关系判定和体积，距离的求法，利用点到直线的距离和二次函数和建立空间直角坐标系解答，计算量大，属于比较难的试题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线l 过点()1,2，且在y 轴上的截距为在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程是___________.【答案】2y x =或240x y +-=【解析】【分析】当纵截距为0时，设直线方程为y kx =，代入点()1,2求得k 的值，当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点()1,2求解.【详解】①当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为y kx =，因为直线过点()1,2，所以2k =，所以直线l 的方程为2y x =；②当直线l 在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线l 在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为2a ，则直线l 的方程为12x y a a +=，又因为直线l 过点()1,2，所以1212a a +=，解得：2a =，所以直线l 的方程为124x y +=，即240x y +-=，综上所述：直线l 的方程为2y x =或240x y +-=，故答案为：2y x =或240x y +-=．14.已知点()0,5A ，()1,2B -，()3,4C --，()2,D a 四点共圆，则=a ______.【答案】1【解析】【分析】设出圆的一般方程，带入A ，B ，C 坐标，求出圆的方程，再带入点()2,D a 求出答案.【详解】设过A ，B ，C 的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，()2240D E F +->，则255052025340E F D E F D E F ++=⎧⎪+-+=⎨⎪--+=⎩，解得6215D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以过A ，B ，C 的圆的方程为2262150x y x y ++--=，又点D 在此圆上，所以24122150a a ++--=，即2210a a -+=，所以1a =，故答案为：115.如图，已知二面角l αβ--的大小为60 ，A α∈，B β∈，,CD l ∈，,AC l BD l ⊥⊥且2==AC BD ，4CD =，则AB =______.【答案】【解析】【分析】根据题意，得到AB AC CD DB =++ ，利用()22AB AC CD DB =++ ，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】因为二面角l αβ--的大小为60 ，所以AC 与DB 的夹角为120 ，又因为AB AC CD DB =++，所以()22222222AB AC CD DB AC CD DB AC CD CD DB DB AC=++=+++⋅+⋅+⋅ 1416400222202⎛⎫=+++++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以AB =故答案为：16.在ABC 中，顶点()2,3A ，点B 在直线:310l x y -+=上，点C 在x 轴上，则ABC 周长的最小值为______.【答案】【解析】【分析】拆线段之和最值问题，利用对称，将直线:310l x y -+=同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知.【详解】设A 关于直线l 的对称点为P ，关于x 轴的对称点为Q ，PQ 与l 的交点即为B ，与x 轴的交点即为C .如图，,P Q 两点之间线段最短可知，PQ 的长即为ABC 周长的最小值.设(),P x y ，则331,223310,22y x x y -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪⨯-+=⎪⎩解得2,519,5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即219,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，A 关于x 轴的对称点为()2,3Q -，故ABC周长的最小值为PQ ==故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的三个顶点是()1,2A -，()2,2B -，()3,5C .（1）求边AC 上的高所在直线的方程；（2）求BAC ∠的角平分线所在直线的方程.【答案】（1）4320x y +-=（2）7130x y +-=【解析】【分析】（1）根据垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解直线方程，（2）根据两点距离可得三角形为等腰三角形，进而得中点坐标，根据两点斜率公式即可求解斜率.【小问1详解】设AC 边上的高所在直线的斜率为k ，直线AC 的斜率()523314AC k -==--，所以1AC k k ⋅=-，所以43k =-，故所求直线方程为()4223y x +=--，即4320x y +-=.【小问2详解】由题意得()22345AB =-+=，22435AC =+=，所以5AB AC ==，则ABC 为等腰三角形，BC 的中点为53,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()32125712AD k -==---，由等腰三角形的性质知，AD 为BAC ∠的平分线，故所求直线方程为()1217y x -=-+，即7130x y +-=.18.已知圆()()22:119C x y -+-=.（1）直线1l 过点()2,0A -，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；（2）设直线2:3420l x y +-=与圆C 相交于E ，F 两点，点P 为圆C 上的一动点，求PEF !的面积S 的最大值.【答案】（1）2x =-或4380x y ++=（2）【解析】【分析】（1）分类讨论直线1l 的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解；（2）根据垂径定理求弦长，结合圆的性质求面积最大值.【小问1详解】由题意得()1,1C ，圆C 的半径3r =，当直线1l 的斜率存在时，设直线1l 的方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=，由直线1l 与圆C相切，得3=，解得43k =-，所以直线1l 的方程为4380x y ++=；当直线1l 的斜率不存在时，直线1l 的方程为2x =-，显然与圆C 相切；综上，直线1l 的方程为2x =-或4380x y ++=.【小问2详解】由题意得圆心C 到直线2l的距离1d =，所以2EF ==点P 到直线2l 的距离的最大值为314r d +=+=，则PEF !的面积的最大值()max 11422S EF r d =⨯⨯+=⨯=.19.不同材质的楔形零配件广泛应用于生产生活中，例如，制作桌凳时，利用楔形木块可以防止松动，使构件更牢固.如图是从棱长为3的正方体木块中截出的一个楔形体ABCD MNPQ -，将正方体的上底面平均分成九个小正方形，其中,,,M N P Q 是中间的小正方形的顶点.（1）求楔形体的表面积；（2）求平面APQ 与平面BNQ 的夹角的余弦值.【答案】（1）10+（2）26【解析】【分析】（1）由题意可知求出楔形体侧面等腰梯形的高即可求出表面积为10+（2）以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量即可求出平面APQ 与平面BNQ的夹角的余弦值为26.【小问1详解】易得该楔形体的上底面为边长为1的正方形，下底面是边长为3的正方形，侧面是等腰梯形，其上底面边长为1，下底面边长为3=，所以该楔形体的表面积为()11133413102⨯+⨯+⨯+=+【小问2详解】以点D为坐标原点，分别以DA，DC，1DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()3,0,0A，()3,3,0B，()1,2,3P，()1,1,3Q，()2,2,3N，则()2,2,3AP=-，()2,1,3AQ=-，()1,1,3BN=--，()2,2,3BQ=--.设平面APQ的法向量为()1111,,n x y z=，平面BNQ的法向量为()2222,,n x y z=，则111111112230230AP n x y zAQ n x y z⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，解得10y=，令12z=，则13x=，，所以平面APQ的一个法向量为()13,0,2n=，同理得22221222302230BN n x y zBQ n x y z⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，解得20z=，令21x=，则21y=-；即平面BNQ的一个法向量为()21,1,0n=-.设平面APQ与平面BNQ的夹角为θ，则1212cos26n nn nθ⋅===，所以平面APQ 与平面BNQ的夹角的余弦值为26.20.已知圆C 过()1,3M -，()1,1N 两点，且圆心C 在直线250x y +-=上.（1）求圆C 的方程；（2）设直线3y kx =+与圆C 交于A ，B 两点，在直线3y =上是否存在定点D ，使得直线AD ，BD 的倾斜角互补？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）()()22134x y -+-=（2）存在定点()3,3D -满足条件【解析】【分析】（1）先求MN 的中垂线所在直线方程，根据圆的性质求圆心和半径，即可得结果；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意可得()121220kx x kt x x -+=，联立方程，利用韦达定理运算求解.【小问1详解】由题意得MN 的中点E 的坐标为()0,2，直线MN 的斜率为1-，因为CE MN ⊥，所以直线CE 的斜率为1，所以直线CE 的方程为2y x -=，即2y x =+，解方程组2250y x x y =+⎧⎨+-=⎩得13x y =⎧⎨=⎩，故()1,3C ，所以圆C 的半径2r CM ===，所以圆C 的方程为()()22134x y -+-=.【小问2详解】由()()223134y kx x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩消去y 整理得()221230k x x +--=，可得()241210k ∆=++>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221x x k +=+，12231x x k =-+.（*）设(),3D t ，则113AD y k x t -=-，223BD y k x t -=-（AD k ，BD k 分别为直线AD ，BD 的斜率）.因为直线AD ，BD 的倾斜角互补，所以0AD BD k k +=，即1212330y y x t x t--+=--，即()()()()1221330y x t y x t --+--=，即()121220kx x kt x x -+=，将（*）式代入得2262011k kt k k --=++，整理得()2301k t k+=+对任意实数k 恒成立，故30t +=，解得3t =-，故点D 的坐标为()3,3-.所以在直线3y =上存在定点()3,3D -满足条件..21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 为等边三角形，顶点P 在底面上的射影在正方形ABCD 外部，设点E ，F 分别为PA ，BC 的中点，连接BE ，PF.（1）证明：//BE 平面PDF ；（2）若四棱锥P ABCD -的体积为3，设点G 为棱PB 上的一个动点（不含端点），求直线AG 与平面PCD 所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）223.【解析】【分析】（1）取AD 的中点M ，利用线面平行的判定、面面平行的判定、性质推理即得.（2）利用给定体积求出锥体的高，以点M 为坐标原点建立空间直角坐标系，再利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】取AD 的中点M ，连接EM ，BM ，如图，由E 为PA 的中点，得//EM PD ，而EM ⊄平面PDF ，PD ⊂平面PDF ，则//EM 平面PDF ，又//MD BF ，且MD BF =，即四边形BMDF 为平行四边形，则//MB DF ，又MB ⊄平面PDF ，DF ⊂平面PDF ，于是//MB 平面PDF ，显然MB EM M = ，,MB EM ⊂平面BEM ，因此平面//BEM 平面PDF ，又BE ⊂平面BEM ，所以//BE 平面PDF .【小问2详解】连接MF ，设该四棱锥的高为h ，则体积为21233h ⨯⨯=，h =，连接PM ，则,PM AD FM AD ⊥⊥，,,FM PM M FM PM ⋂=⊂平面PMF ，于是AD ⊥平面PMF ，而AD ⊂平面ABCD ，则平面PMF ⊥平面ABCD ，在平面PMF 内过M 作Mz FM ⊥，而平面PMF 平面ABCD FM =，从而Mz ⊥平面ABCD ，显然,,MA MF Mz 两两垂直，以点M 为坐标原点，直线,,MA MF Mz 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系Mxyz ，则PM =，(0,P -，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,2,0C -，()1,0,0D -，则(1,3,PB = ，(1,3,PC =- ，()0,2,0DC = ，设()01PG PB λλ=<< ，则(),3,PG λλ=，点)(),31G λλλ--，)()1,31AG λλλ=--- ，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则3020n PC x y n DC y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1z =，得()n = ，设直线AG 与平面PCD 所成的角为θ，则sin cos ,3n AG n AG n AG θ⋅=〈〉=== 令1t λ-=，则1t λ=-，且01t <<，因此sin 333θ===，所以当23t =，即13λ=时，sin θ取得最大值，且最大值为3.22.已知点()4,0E -，()1,0F -，动点P 满足2PEPF =，设动点P 的轨迹为曲线C ，过曲线C 与x 轴的负半轴的交点D 作两条直线分别交曲线C 于点,A B （异于D ），且直线AD ，BD 的斜率之积为13-.（1）求曲线C 的方程；（2）证明：直线AB 过定点.【答案】（1）224x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据2PE PF =设点代入即可得到曲线C 的方程；（2）先考虑斜率存在的情况，设直线联立，得到AB 方程，进而得到AB 过定点，再考虑斜率不存在的情况，也得到AB 过该定点即可.【小问1详解】设(),P x y ，由2PE PF =，得2PE PF ==，两边平方并化简，得曲线C 的方程为224x y +=.【小问2详解】由（1）得()2,0D -，设直线AD 、BD 的斜率分别为1k ，()212k k k >，如图所示，当AB 不垂直于x 轴时，设()1:2AD y k x =+，联立()22142x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，整理得()222211114440k x k x k +++-=，解得2x =-（舍）或2121221k x k -+=+，当2121221k x k -+=+时，21112211224211k k y k k k ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭，所以2112211224,11k k A k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理得2222222224,11k k B k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，所以AB 的斜率()()()()()()122222122112222222121221221244414111222221121111AB k k k k k k k k k k k k k k k k k -+-+++==---+--+-++()()()()1221122121124414k k k k k k k k k k k k ---==+-+，因为1213k k =-，代入可得()1243AB k k k =-+，故AB 的方程为()2112211214224131k k y x k k k k ⎛⎫--=-- ⎪+++⎝⎭，即()()()()()()()2211112222121121211218148412443133131k k k k k y x x k k k k k k k k k k k -++=-++=-++++++++，()()()()1212124441,333x x k k k k k k =-+=--+++故AB 过定点()1,0；当AB x ⊥轴时，设()00,A x y ，则()00,B x y -，所以0012001223y y k k x x -=⋅=-++，即()220032y x =+，又因为2222000044x y y x +=⇒=-，代入可得20020x x +-=，解得01x =或02x =-（舍），所以((,1,A B（或((1,,1,A B ），所以AB 的方程为1x =，过点()1,0.综上，直线AB 过定点()1,0T。
安徽省蚌埠市第二中学2021-2022学年高二上学期期中考试物理试题 Word版含答案
蚌埠二中2021-2022学年度高二第一学期期中考试 物理试题考试时间：90分钟 满分：100分留意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，全部答案必需用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，全部答案必需填在答题卷的相应位置，答案写在试卷上均无效，不予记分。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本题共10小题，每小题4分。
1至7小题为单项选择题，8至10小题为多项选择题， 全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）1.库仑定律是电磁学的基本定律。
1766年英国的普里斯特利通过试验证明白带电金属空腔不仅对位于空腔内部的电荷没有静电力的作用，而且空腔内部也不带电。
他受到万有引力定律的启发，猜想两个点电荷之间的静电力与它们的距离的平方成反比。
1785年法国的库仑通过试验证明白两个点电荷之间的静电力与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的平方成反比。
下列说法不正确．．．的是 A ．普里斯特利的试验表明，处于静电平衡状态的带电金属空腔内部的电场处处为零 B ．普里斯特利的猜想运用了“类比”的思维方法 C ．为了验证猜想，库仑精确测定了两个点电荷的电荷量 D ．为了验证猜想，库仑制作了库仑扭秤装置2.R 1和R 2是材料相同、厚度相同、上下表面都为正方形的导体，但R 1的尺寸比R 2大得多，关于两导体的电阻大小，推断正确的是 A ．R 1＝R 2 B ． R 1<R 2 C ．R 1>R 2 D ．无法确定3．安培提出来有名的分子电流假说．依据这一假说，电子绕核运动可等效为一环形电流．设电量为e 的电子以速率v 绕原子核沿顺时针方向做半径为r 的匀速圆周运动，关于该环形电流的说法，正确的是A.电流强度为r 2ve π，电流方向为顺时针B.电流强度为r ve，电流方向为顺时针 C.电流强度为r 2ve π，电流方向为逆时针 D.电流强度为r ve，电流方向为逆时针4．带电粒子仅在电场力作用下，从电场中a 点以初速度v 0进入电场并沿虚线所示的轨迹运动到b 点，如图所示，下列说法正确的是A ．粒子可能带负电，在b 点时速度较大B ．粒子的电势能在b 点时较大C ．粒子的加速度在a 点时较大D ．粒子肯定带正电，动能先变小后变大5. 如图所示，空间存在水平方向的匀强电场E ＝2.0×104N/C ，在A 处有一个质量为0.3kg 的小球，所带电荷量为q=+2.0×10-4C,用一长为L ＝600cm 的不行伸长的绝缘细线与固定点O 连接。
安徽省蚌埠铁中2014-2015学年高二第一学期期中考试化学试题
安徽省蚌埠铁中2014-2015学年高二第一学期期中考试化学试题考试时间：90分钟试卷分值：100分可能用到的相对原子量：H :1 C :12 N:14 O:16 S:32 Na:23一、选择题（本小题包括16小题，每小题3分，共48分）1．有机化学是化学学科的重要分支，在卫生、医药、农业、材料、国防等领域发挥着越来越重要的作用。
请判断，下列各项中不属于有机化学研究范围的是()A．合成自然界中不存在，但对人类有用的有机化合物B．制造半导体材料——芯片(Si)C．破译蛋白质组成密码，认识并改造遗传分子D．发明不会长期存留、专一性更强的农用化学品，开发安全的食品添加剂2．北京奥运会期间对大量盆栽鲜花施用了S-诱抗素制剂，以保证鲜花盛开。
S-诱抗素的分子结构如右图，下列关于该分子说法正确的是()A．含有碳碳双键、羟基、羰基、羧基B．含有苯环、羟基、羰基、羧基C．含有羟基、羰基、羧基、酯基D．含有碳碳双键、苯环、羟基、羰基3．下列有机化合物的名称错误的是()4．完全燃烧某有机物，生成a g二氧化碳和b g水，则有机物中碳、氢原子个数之比是() A．a∶b B．a/44∶b/9 C．a/12∶b/12 D．a/44∶b/185．下列物质中属于同系物的是()①CH3CH2Cl ②CH2===CHCl ③CH3CH2CH2Cl ④CH2ClCH2Cl⑤CH3CH2CH2CH3 ⑥CH3CH(CH3)2A．①②B．①④C．①③D．⑤⑥6．某些芳香族化合物的分子式均为C7H8O，其中与FeCl3溶液混合后，显紫色和不显紫色的种类分别为( )A．2种和1种B．2种和3种C．3种和2种D．3种和1种7．某烃的结构简式为右图所示：若分子中共线碳原子数为a，可能共面的碳原子最多为b，含四面体结构碳原子数为c，则a、b、c分别是()A．3、4、5 B．4、10、4C．3、10、4 D．3、14、48．下列物质中，既能发生水解反应，又能发生加成反应，但不能发生消去反应的是()9．分子组成为C9H12的苯的同系物，苯环上只有一个取代基，下列说法中正确的是() A．该有机物不能发生加成反应，但能发生取代反应B．该有机物不能使酸性高锰酸钾溶液褪色，但能使溴水褪色C．该有机物分子中的所有原子可能在同一平面上D．该有机物的一溴代物最多有6种10．能够鉴定氯乙烷中氯元素的存在的操作是（）A．在氯乙烷中直接加入AgNO3溶液B．在氯乙烷中加蒸馏水，然后加入AgNO3溶液C．在氯乙烷中加入NaOH溶液，加热后酸化，然后加入AgNO3溶液D．在氯乙烷中加入乙醇加热后，然后加入AgNO3溶液11．醇广泛存在于自然界中，是一类重要的有机物，下列物质中不属于醇类的是()12．某同学在帮实验员整理化学试剂时，发现一瓶标签破损的无色溶液，标签只能隐约看到一部分，如下图，下列说法不正确的是()A．该有机物肯定是甲酸乙酯，能发生银镜反应B．该有机物的分子式为C3H6O2C．在酸性条件下水解生成两种有机产物的相对分子质量可能相等D．在碱性条件下可完全水解13．香叶醇是合成玫瑰香油的主要原料，其结构简式如图：下列有关香叶醇的叙述正确的是()A．香叶醇的分子式为C10H18O B．不能使溴的四氯化碳溶液褪色C．不能使酸性高锰酸钾溶液褪色D．能发生加成反应不能发生取代反应14．向淀粉中加入少量稀H2SO4，加热，使之发生水解。
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蚌埠铁中2014-2015学年度第一学期期中检测试卷高二语文考试时间：150分钟试卷分值：150分阅读下面的文字，完成1～3题。
①文学艺术是一定历史条件下，人类对于客观世界、心灵世界、理想世界的一种表达维度。
就文艺作品是“对人类精神世界的一种记录”而言，电影《小时代》无比真切地表达了思想解放、物质财富迅速积累之后，个人主义和消费主义的虎视眈眈和一往无前的力量。
今天，我们都不必讳言物质创造的重要性和必要性，但是一旦对于财富的炫耀和追求，成为一个社会较大人群尤其是已经摆脱贫困的知识分子的终极目标，一个社会先知先觉阶层的知识分子的精神追求向世俗和世故下倾，整个社会的思想面目势必“喜言通俗，恶称大雅”。
②在中国社会物质文明日益发达的今天，文艺作品对于物质和人的关系的探索是必要的和有价值的，但探索如果仅仅停留在物质创造和物质拥有的层面，把物质本身作为人生追逐的目标，奉消费主义为圭臬，是“小”了时代，窄了格局，矮了思想。
今天，中国许多知识分子“言必称西”，认为中国文化传统以大化小，是对个性和个体人发展的剥夺和压迫。
但他们忽视了一个重要的常识：强调发展个性、发挥个体人的天赋特长的西方社会，对于个体的尊重和对于他者即社会大群体的尊重和奉献，通过宗教的层面上升到价值领域并获得共识、付诸实践。
个体的“小”存在于社会历史的“大”之中，工具性的物质服务于本原性的思想和精神。
立功，立言，立人，哪一桩是把个体的价值捆绑在物质的战车上？③青春可掠单纯之美，但幼稚是她隐形的伤疤。
幼稚之人或有美感，文艺的幼稚和浅薄阶段则是必须超越的。
今天，充斥耳目的如果都是《小时代》们，或者因为票房有利可图，就无条件地纵容《小时代2》《小时代3》的出现，物质主义和消费主义引导社会思潮，小时代、小世界、小格局遮蔽甚至替代大时代、大世界、大格局，个人或者小团体的资本运作或许成功了，但是一个时代的人文建设和传播却失控了。
作家和艺术家作为中国知识分子的重要类别，是中国社会人文精神的建设者，也是人文精神的传播者。
文艺创作实践是个体性行为，文艺创作的功能却具有公共性，文艺创作无视大的人群，无视创作底色的世界性、历史性和社会性，是对作家、艺术家自身职责的放弃，也是对时代、历史的伤害和不公道。
④矫枉过正是我们常常会犯的毛病，走过贫穷和物质短缺年代，进入物质相对丰富的时代，对于贫穷的恐慌更加强烈，物质占有的欲望更加迫切。
“凌空高蹈”之不言已久矣。
普通人或可目光和目标向下倾，作家和艺术家不能不为时代唱大风。
作为先知先觉的人群，作家和艺术家要有勇气、有才华，更要有情怀、有格调。
沽名钓誉、追名逐利者请出列，浑浑噩噩、碌碌无为者也请走开。
（选自2013年7月15日《人民日报》，有删节）1．下列对第②段中“‘小’了时代”的理解，正确的一项是（）（3分）A．在思想解放、物质财富迅速积累的今天，个人主义和消费主义虎视眈眈并表现出一往无前的力量，我们已不必讳言物质创造的重要性和必要性。
B．对于财富的炫耀和追求成为知识分子的终极目标，知识分子的精神追求向世俗和世故下倾，整个社会的思想面目变得“喜言通俗，恶称大雅”。
C．发展个性、发挥个体人的天赋特长，把对于个体的尊重和对于社会大群体的尊重和奉献，通过宗教的层面上升到价值领域并获得共识，付诸实践。
D．把个体的“小”存在于社会历史的“大”之中，工具性的物质服务于本原性的思想和精神。
即无沽名钓誉、追名逐利者，也无昏昏噩噩、碌碌无为者。
2．下列对原文思路的分析，不正确的一项是（）（3分）A．第①段提出观点，因为文艺作品是对人类精神世界的一种记录，所以电影《小时代》影响了知识分子的精神追求，从而影响了整个社会思想面目。
B．第②段在第①段基础上论述文艺作品的探索停留在物质层面的弊端，然后从中国许多知识分子认识误区的角度探究其原因，最后表明自己的看法。
C．第③段开头照应第①段，指出物质主义和消费主义引导社会思潮带来的严重后果，进而强调了知识分子应具有的重大的社会责任感和历史使命感。
D．第④段紧承第③段，从历史和心理的角度分析了当代社会物质化的原因，强烈呼吁作家和艺术家们要有情怀，要有格调，为时代唱大风，力矫颓俗。
3．下列对原文中作者观点的概括，正确的一项是（）（3分）A．用文艺作品对物质和人的关系进行探索，这成为已经摆脱了贫困的知识分子对于财富的炫耀和追求。
B．中国文化传统以大化小，对个性和个体人发展进行剥夺和压迫，所以中国许多知识分子“言必称西”。
C．文艺的幼稚和浅薄就在于让个人主义、物质主义和消费主义引导社会思潮，这个阶段是必须超越的。
D．作为先知先觉的人群，作家和艺术家要致力于人文精神的建设和传播，普通人目光向下倾并不为过。
阅读下面的文言文，完成4～7题陶潜，字渊明，浔阳柴桑人也。
曾祖侃，晋大司马。
潜少有高趣，博学，善属文；颖脱不群，任真自得。
尝著《五柳先生传》以自况，时人谓之实录。
亲老家贫，起为州祭酒。
不堪吏职，少日，自解归。
州召主簿，不就．。
躬耕自资，遂抱羸疾。
江州刺史檀道济往候之，偃卧瘠馁有日矣。
道济谓曰：“贤者处世，天下无道则隐，有道则至。
今子生文明之世，奈何自苦如此？”对曰：“潜也何敢望贤？志不及也。
”道济馈以粱肉，麾而去．之。
复为镇军、建威参军。
谓亲朋曰：“聊欲弦歌以为三径之资，可乎？”执事者闻之，以为彭泽令。
公田悉令吏种秫，曰：“吾常得醉于酒，足矣。
”妻子固．请种粳，乃使二顷五十亩种秫，五十亩种粳。
岁终，会郡遣督邮至县，请曰：“应束带见之。
”渊明叹曰：“我岂能为五斗米，折腰向乡里小儿！”即日解绶去职，赋《归去来兮辞》。
义熙末，征著作郎，不就。
江州刺史王弘欲识之．，不能致．也。
潜尝往庐山，弘命潜故人庞通之赍酒具，于半道栗里要之。
潜有脚疾，使一门生二儿舆篮舆，既至，欣然便共饮酌。
俄顷弘至，亦无忤也。
先是颜延之为．刘柳后军功曹，在浔阳，与潜情款，后为始安郡，经过浔阳，日日造潜。
每往，必酣饮致醉。
弘欲邀延之坐，弥日不得。
延之临去，留二万钱与潜；潜悉遣送酒家，稍就取酒。
尝九月九日无酒，出宅边菊丛中坐，久之，满手把菊。
忽值弘送酒至，即便就酌，醉而．归。
潜不解音律，而蓄素琴一张，无弦，每酒适，辄抚弄以．寄其意。
贵贱造之者，有酒辄设。
潜若先醉，便语客：“我醉欲眠，卿可去。
”其真率如此。
其妻翟氏，亦能安勤苦，与其同志。
自以曾祖晋世宰辅，耻复屈身后代。
元嘉四年，将复征命，会卒，时年六十三。
谥号靖节先生。
（选自宋本《陶潜集》，有删改）4．对下列句子中加点词的解释，不正确的一项是( )（3分）A．州召主簿，不就．就职 B．麾而去．之离开C．妻子固．请种粳坚决 D．不能致．也使……到来5．下列各组句子中，加点词的意义和用法相同的一组是( )（3分）A．江州刺史王弘欲识之．胡为乎惶惶欲何之．B．先是颜延之为．刘柳后军功曹奚以之九万里而南为．C．即便就酌，醉而．归怀帝阍而．不见D．辄抚弄以．寄其意谨拜表以．闻6.下列对原文有关内容的概括和分析，不正确的一项是( )（3分）A．陶潜博学多识，擅长写文章。
他的《五柳先生传》中的五柳先生安贫乐道，这一形象被当时人认为是他自己的真实写照；他在辞去彭泽令时作了《归去来兮辞》。
B．陶潜仕途短暂。
因亲人去世，家里贫穷，去做了州祭酒，但嫌官场烦琐，任职不久，就解职回家，此后，还担任过镇军、建威参军、彭泽令等职。
C．陶潜清高不群。
他不接受江州刺史檀道济的馈赠，起初也不愿意同江州刺史王弘交往，更不愿为五斗米向乡里小儿折腰。
D．陶潜任真自得。
他曾将颜延之赠送的二万钱全都送至酒家；有时坐在菊花丛中，有时抚弄无弦琴寄托情感；如果自己喝醉，就叫客人先回去。
7．把文中画线的句子翻译成现代汉语（10分）(1)亲老家贫，起为州祭酒。
不堪吏职，少日，自解归。
（5分)(2)谓亲朋曰：“聊欲弦歌以为三径之资，可乎？”执事者闻之，以为彭泽令。
（5分）夕次盱眙县韦应物落帆逗淮镇，停舫临孤驿。
浩浩风起波，冥冥日沉夕。
人归山郭暗，雁下芦洲白。
独夜忆秦关，听钟未眠客。
8、诗中间两联写景很有特点，请简要分析。
（4分）9、诗人未眠的原因有哪些？从全诗看，表现了诗人怎样的思想情感？（4分）10、名句填空（8分）（1），知来者之可追。
（2），秋水共长天一色。
（3），形影相吊。
(4），又岂在朝朝暮暮。
（5），洞庭波兮木叶下。
（6）心非木石岂无感，。
（7），铁马秋风大散关。
（8）出师未捷身先死，。
阅读下面的文字，完成11～14题。
转角照相馆 [香港]东瑞晨风刮着，落叶在地面上滚动着，发出沙沙沙的声响。
这一区都是五十年以上的唐楼。
前面一条大马路，行人稀少，大半天不见一个人影。
大约在中段，有一条横街，密集并排着一列都是五六层高的唐楼。
唐楼窗外，架满横七竖八的晾衣长竹竿。
横街偶然有一两只流浪狗走过，对空乱吠几声，之后，就静得犹如死寂的墓地。
照相馆就在大马路和横街交界处的转弯。
木门很残破，除了馆主上班。
每天发出悉悉索索锁匙钻锁孔、然后“咿呀"的一声的开门声，到了一天将尽再次重复之外，不再有任何其它声音了。
最令人魂销的是傍晚时分，太阳的余辉照在照相馆外面的橱窗，反射出残黄的余辉，与橱窗内泛黄的、四角卷起的旧照片相得益彰，构成一种天然的怀旧色彩，也慢慢地退出人们的视野了。
照相馆的丘老板今年已六十岁。
老伴在十几年前离世时，他失去了一个好帮手，加上生意清淡，本来就要把照相馆结束掉，但他舍不得。
尽管已几乎没有什么生意，他还是准时每天早上九点就到照相馆上班。
储蓄的老本快要吃光了，一年前他做了一个重大的决定，将唐楼上的居屋卖掉了。
过几天就是交楼的日子。
他就要搬到照相馆来住了。
新儿不久就要三十岁了，在厨艺学院学做厨师，还没毕业。
丘老板想，这家照相馆留传给儿子不现实也不合适，何况十几年前儿子就已多次激烈地劝老爸将它结束，他就是不肯。
儿子的话如今还在耳际响着：爸，照相技术大革命，数码机越出越新。
如今人人玩自拍，连做证件的相片、全家福的照片都是自己拍了……谁还上我们照相馆照相!……在事实面前，他无法和儿子辩论，是的，早就该结束了。
只是四十年来的感情，这儿的每一件过时的工具，包括那些老爷摄影器材，什么蒙头摄影机啦，打光伞啦，老爷椅子啦……都像有生命似的，令他不忍遗弃。
记得六十年代末期，他从父亲手中接棒时，父亲就跟他说起转角照相馆的“威水史”①——照相馆拍得最多的是全家福。
但有一次，一位父亲牵着一个十一二岁的漂亮女孩来此拍合照，他将洗出的相片贴在橱窗里，大约一年后，一个电影公司的老板走过，看中了女孩，联络上父亲，从此，女孩被发掘出来做明星还频频获奖，改变了一生的命运。
还有一次，也是一个女孩，不过这次是由母亲带着，年龄更小，约是八九岁光景，拍的是个人照，父亲拍得很满意，见女孩天真可爱，将她的大头像贴在橱窗内，一个著名导演走过，被女孩的笑容吸引住，也走进了照相馆。