直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系
1. 求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，转化为利用判别式判断一元二次方程是否有解，应特别注意数形结合思想的应用.
2. 注意根与系数的关系的应用.
（1）弦长公式:
斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦若A 、两点的坐标分别是A （x ,y ），B （x ,y ）
1122
则|AB =\:'(X i _x 2)2+(y 1_y 2)2=v1+k 2
3. 有关中点弦问题.
（1）已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用根与系数的关系.
（2）有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“点差法”可简化运算.
4. 圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决.
（1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决.
（2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数、三角函数、均值不等式等）求最值.
二、题型梳理
1. 直线与椭圆位置关系的判断
将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x （或尹）的一元二次方程的判断式/的符号来确定：当/>0时，直线和椭圆相交；当/=0时，直线和椭圆相切；当/<0时，直线和椭圆相离.
2. 直线和椭圆相交的弦长公式
|AB |=\：1+k 2[齐+七2—4X ]X 2]
或|AB 戶\「（1+£|[
儿+歹22—帅」
3. 直线与椭圆相交时的常见处理方法 =鶯(1+k 2)[(x i +x )2一4xx ]
212 =<1+k 2 l a l
当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，
相互转化．
本次授课内容
授课标题
直线与椭圆的位置关系
学习目标1•直线与椭圆位置关系的判断
2.直线和椭圆相交的弦长公式
3.直线与椭圆相交时的常见处理方法
重点难点
直线与椭圆相交时的常见处理方法考点1点差法与中点弦
例1⑴椭圆16+寻=1
的弦被点P（2'1）所平分’求此弦所在直线的方程.
(2)已知椭圆C：養+^2=l(a>b>0)过点P(T，T)，c为椭圆的半焦距，且c=⑵•过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线11的斜率为一1,求口尸肋的面积；
(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程.
考点2直线与圆锥曲线的位置关系
例2在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆斗+y2二1有
两个不同的交点P和Q.求k的取值范围.
规律方法(1)解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法；
(2)直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴(抛物线)或平行于渐近线(双曲线)；
(3)联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对A进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论•
考点3与弦长有关的问题
x2□
例3已知椭圆：古+y2二1,过左焦点尸作倾斜角为匚的直线/交椭圆于A、B两点，求
96
弦AB的长.
考点4直线与椭圆综合
x2y2
例5如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆一+厂二1(a>b>0)(a>b>0)的离心a2b2率为#，且右焦点F到左准线l的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程；
考点5椭圆中的定点、定值问题
例6椭圆C：a2+b2=l(a>b>0)的离心率为拿，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1.
(1)求椭圆C的方程；
⑵设椭圆C的左、右顶点分别为A,B,点P是直线x=l上的动点，直线PA与椭圆的另交点为直线PB与椭圆的另一交点为N.求证：直线MN经过一定点.
x2y2
例7如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A,B,C是椭圆石+乞=1(°>&>°)上不同的三点，A(3\迂,爭)，B(-3,—3),C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求点C的坐标；
(3)设动点P在椭圆上(异于点A,B,C),且直线PB,PC分别交直线OA于M,N两点，证明：OM・ON为定值，并求出该定值.
探究提高(1)求定值问题常见的方法有两种：□从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关•□直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. (2)如果要解决的问题是一个定点问题，而题设条件又没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊
情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后进行推理探究，这种先根据特殊情况确定定点，再进行一般性证明的方法就是由特殊到一般的方法.
考点6圆锥曲线中的最值、范围问题
例8已知圆C：(x+1)2+y2二&定点A(1,O),M为圆上一动点，点P在AM上，点N在
CM上，且满足AM=2AP,NP-AM=0,点N的轨迹为曲线E.
(I)求曲线E的方程；
(II)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间)，
且满足FG=X FH，求九的取值范围.
x2y2
1•已知直线尸-x+1与椭圆一+［二1(a>b>0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在a2b2直线l：x-2y=0上，求此椭圆的离心率.
x2y2
2•已知椭圆C的方程丁+y=1，试确定m的取值范围，使得对于直线y=4x+m，椭圆
C上有不同两点关于该直线对称.
3.已知椭圆C：匸+「二1(a>b>0)的右焦点为F，离心率e二二，椭圆C上的点到Fa2b22的距离的最大值为、迈+1，直线l过点F与椭圆C交于不同的两点A,B.
(1)求椭圆C的方程；
3,''2
(2)若IAB1=十，求直线l的方程.
4•已知椭圆—+二=1(a>b>0)的离心率为冷―，短轴的一个端点到右焦点的距离为詣a2b23直线l:y二kx+m交椭圆于不同的两点A,B.
(I)求椭圆的方程；(II)若坐标原点O到直线/的距离为£,求A AOB面积的最大值.
5•已知椭圆C：02+诗=l(a>b>0)过点P(—1，—1),C为椭圆的半焦距，且c=-j3b.过点P 作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M,N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线11的斜率为一1,求D PMN的面积；
(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程.
6•已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1．
（口）求椭圆C的标准方程；
（口）若直线l:y二kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.
3
7•已知，椭圆C以过点A（1，2），两个焦点为（一1，0）（1，0）•
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.
本次课课后练习
1•椭圆36+才=1的一条弦被A(4,2)平分’那么这条弦所在的直线方程是一X2(11、
2•已知椭圆〒+y2二1，求过点P-，-且被P平分的弦所在的直线方程.
2\22丿
x2
3•已知椭圆q：}+严=1,椭圆C2以q的长轴为短轴，且与q有相同的离心率.
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A,B分别在椭圆C1和C2上,OB=204,求直线AB的方程.
x2y2
4•如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆石+右=1(。

>5>0)的右焦点为F(1,0),离心率为
2
于.分别过O,F的两条弦AB，CD相交于点E(异于A，C两点)，且OE=EF.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：直线AC,BD的斜率之和为定值.
5•已知A,B是椭圆C:-+兰=l(a>b>0)的左，右顶点，B(2,0)，过椭圆C的右焦点F的a2b2直线交于其于点M，N，交直线x=4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列. (△)求椭圆C的方程；
S
(口)若记AAMB,AANB的面积分别为S,S求f的取值范围.
l2S
2
6•已知椭圆的中点为坐标原点O,椭圆短轴长为2,动点MQ,t)(t>0)在椭圆的准线上.
(1)求椭圆的标准方程．
(2)求以OM为直径且被直线3x—4y—5=0截得的弦长为2的圆的方程；
⑶设点F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线FH,且与以OM为直径的圆交于点N,求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值.。