四川初赛函数专题(考试试题)

2013-2016全国高中数学联合竞赛（四川初赛）函数专题
2013年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
（5月19日下午14：30——16：30）
1、函数()f x 对于任意实数x 满足：()()
1
3f x f x +=-
，若(0)2f =， 则(2013)f = 【 】
A 、1
2- B 、12
C 、2
D 、2013
7、已知函数x
x
x f ++=13)(，记m f f f f =++++)1024()4()2()1( ， n f f f f =++++)1024
1()81()41()21( ，则=+n m ．
12、已知函数x x
a
x f -=
)(，对任意(0,1)x ∈，有()(1)1f x f x ⋅-≥恒成立， 则实数a 的取值范围是 ．
13、设实数0ω>，已知函数2
π()sin sin()2
f x x x x ωωω=⋅+的最小
正周期是π2．求()f x 在ππ
[,]84
上的最大值与最小值．
16、若实数0x 满足00()f x x =，则称0x x =为()f x 的不动点． 已知函数3
2
()3f x x ax bx =+++，其中,a b 为常数． （Ｉ）若0a =，求函数()f x 的单调递增区间；
（II ）若0a =时，存在一个实数0x ，使得0x x =既是()f x 的不动点，又是()f x 的极值 点．求实数b 的值；
（III ）求证：不存在实数组(,)a b ，使得()f x 互异的两个极值点皆为不动点．。