北京市重点中学20142015学年高二上学期期中考试数学含答案

学年度第一学期期中考试
高 二 数 学 试 卷2014．11
(考试时间：100分钟 总分：100分)
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填在答题卡中相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．
） 1．下列说法正确的是（ ）
A ．三点确定一个平面
B ．四边形一定是平面图形
C ．梯形一定是平面图形
D ．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 2．一个几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积是（ ）
A ．16π
B ．16
C ．163π
D ．163
3．圆1C ：2
2
20x y x ++=与圆2C ：
22
4840x y x y +-++=的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．外切
C ．内切
D ．相离
4．已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面， 则下列命题正确的是（ ）
A ．若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥
B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥
C ．若l ∥α，m α⊂，则l ∥m
D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m
5．过点(3,1)P -的直线l 与圆22
1x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）
A ．π
(0,]6 B ．π(0,]3 C ．π[0,]6 D ．π[0,]3
6．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点为12,F F 3，过2F 的直线l
交椭圆C 于,A B 两点．若△1AF B 的周长为3C 的方程为( )
主(正)视图
4
4
左（侧）视图
4
俯视图
4
•
A ．22132x y +=
B ．2
213x y +=
C ．
22
1128
x y += D ．
22
1124
x y += 7．设,,,A B C D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．
的是（ ） A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面
B ．若A
C 与B
D 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC = D ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC ⊥
8．如图，定点A ，B 都在平面α内，定点α∉P ，α⊥PB ，
C 是α内异于A 和B 的动点，且AC PC ⊥．那么，动点C
在平面α内的轨迹是（ ）
A ． 一条线段，但要去掉两个点
B ． 一个圆，但要去掉两个点
C ． 一个椭圆，但要去掉两个点
D ． 半圆，但要去掉两个点
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相．．．．．．．．．．．应的位置上．．．．．
） 9．毛泽东主席在《送瘟神》中写到“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，那么火星的大圆周长约为______________万里．
10．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -（底面是正方形的直棱柱）的底面边长为2，高为4，那么异面直线1BD 与
AD 所成角的正切值______________．
11．已知椭圆
22
1(0)3
x y m m +=>的一个焦点是
α
B
P
C
A 2
2
１
１ １
正视图
侧视图
(0,1)，则m = ；若椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点12,F F 构成的三角形12PF F 的面
2，则点P 的坐标是________．
12．直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆2
2
:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则
22a b += ________.
13．某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积是 ． 14．已知点1(,0)2A -
，点B 是圆F ：221
()42
x y -+=（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为______________．
三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案填在答题卡中相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．
） 15．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点．
（Ⅰ）求证：AC PB ⊥； （Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ；
（Ⅲ）若4PA =，求点E 到平面ABCD 的距离．
16．已知圆C ：2
2
2440x y x y +-+-=，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．
（Ⅰ）若直线l 过点()4,0M ，且25AB =l 的方程；
（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，且以弦AB 为直径的圆经过原点，求直线l 的方程．
17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3,5AB BC ==． （Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）若点D 是线段BC 的中点，请问在线段1AB 是否存在点
E ，使得//DE 面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若
E
D
P
C
A
D
C 1
B A 1
A
B
不存在，请说明理由；
（Ⅲ）（本小问．．．只．理科学生做．．．．．
）求二面角111C A B C --的大小．
18．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F -，右顶点为(2,0)D ，设点1
(1,)2
A ． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ∆面积的最大值．
（草稿纸）
2014～2015学年度第二学期期中练习
高 二 数 学 答 案一、选择题（本大题共8小题，每小
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B A
D A C
B
题号 9
10
11
12
13
14
答案
4 5 2 20±（，） 2 16
22
413
x y +
=
15．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由PA ⊥平面ABCD 可得PA ⊥AC ，
又AB AC ⊥，所以AC ⊥平面PAB ， 所以AC PB ⊥． ……… 4分 （Ⅱ）连BD 交AC 于点O ，连EO ，
则EO 是△PDB 的中位线， 所以EO //PB ．
又因为PB ⊄面AEC ，EO ⊂面AEC ， 所以PB //平面AEC ． ……… 8分 （Ⅲ）取AD 中点F ，连接EF ．
E
D
P
C
A
因为点E 是PD 的中点，所以1
//
2
EF PA ． 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以EF ⊥平面ABCD ． 所以线段EF 的长度就是点E 到平面ABCD 的距离．
又因为4PA =，所以2EF =．
所以点E 到平面ABCD 的距离为2． ……… 12分
16．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由题设知直线l 的斜率存在，设其方程为()4y k x =-，即40kx y k --=．
圆C ：2
2
2440x y x y +-+-=，即()()22
129x y -++=，
圆心()1,2C -，半径为3．
由25AB =l ()
2
952-=，
22421
k k k +-=+，即22321k k -=+，
整理得2
5120k k -=，解得，0k =或12
5
k =
． 所以直线l 的方程为0y =或125480x y --=．……… 5分 （Ⅱ）由直线l 的斜率为1，设直线l 的方程为y x b =+．
由222440x y x y y x b
⎧+-+-=⎨=+⎩ ， 得()2
2
221440x b x b b ++++-=．
令()()
2
2
418440b b b ∆=+-+->，解得332332b --<<-+． （1）
设()()1122,,,A x y B x y ，则()121x x b +=-+，21244
2
b b x x +-=．
因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA OB ⊥．
所以12120x x y y +=，即()2
121220x x b x x b +++=．
代入得2
340b b +-=，解得1b =或4b =-，满足（1）．
故直线l 的方程为1y x =+或4y x =-．……… 10分 17．（本小题满分12分）
（Ⅰ）因为四边形11AAC C 为正方形，所以AA 1 ⊥AC ．
因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ， 且平面ABC
平面11AAC C AC =，
所以AA 1⊥平面ABC ．……… 4分（文6分）
（Ⅱ）当点E 是线段1AB 的中点时，有//DE 面11AAC C ． 连结1A B 交1AB 于点E ，连结DE ．
因为点E 是1A B 中点，点D 是线段BC 的中点， 所以1//DE A C ．
又因为DE ⊄面11AAC C ，1AC ⊂面11AAC C ，
所以//DE 面11AAC C ．……… 8分（文12分） （Ⅲ）因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥AB ． 又因为AC ⊥AB ，所以AB ⊥面11AAC C ． 所以11A B ⊥面11AAC C ． 所以11A B ⊥11A C ，11A B ⊥1A C ．
所以11
C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角． 易得11111
tan 1C C
C A C C A ∠=
=． 所以二面角111C A B C --的平面角为45︒．……… 12分
18．（本小题满分10分）
解（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴2a =，半焦距3c =短轴1b =．
又椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的标准方程为14
22
=+y x ．……… 4分 D
C 1
B A 1
A
B
（Ⅱ）当直线BC 垂直于x 轴时，2BC =，因此ABC ∆的面积1ABC S ∆=．
当直线BC 不垂直于x 轴时，该直线方程为y kx =，代入14
22
=+y x ， 解得B （
1
422
+k ,
1
422
+k k ），C （－
1
422
+k ,－
1
422
+k k ），
则2
24114
k
k BC ++=，又点A 到直线BC 的距离2
1
2
1k d k
-
=
+
∴△ABC 的面积ABC
S ∆=2211
214k BC d k
-⋅=+．
于是ABC S ∆=1
441141442
22+-=++-k k
k k k ． 由
2
44
11414k k k k
=≥-++，得2ABC S ∆12k =-时，等号成立． ∴ABC S ∆的最大值是2． ……… 10分。