八年级初二数学下学期平行四边形单元自检题检测

八年级初二数学下学期平行四边形单元自检题检测
一、选择题
1．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 、H 分别是AB 、BC 、CD 的中点，CE 、DF 交于点G,连接AG 、HG ．下列结论：①CE ⊥DF ；②AG=DG;③∠CHG=∠DAG ．其中，正确的结论有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2．如图，菱形ABCD 中，∠A 是锐角，E 为边AD 上一点，△ABE 沿着BE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边CD 上，连接EF ，BF ，给出下列结论：
①若∠A =70°，则∠ABE =35°；②若点F 是CD 的中点，则S △ABE 13
=
S 菱形ABCD 下列判断正确的是（ ）
A ．①，②都对
B ．①，②都错
C ．①对，②错
D ．①错，②对
3．如图，90MON ∠=︒边长为2的等边三角形ABC 的顶点A B 、分别在边OM ，ON 上当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C 到点O 的最大距离为（ ）
A ．2.4
B 5
C 31
D ．52
4．如图，在矩形ABCD 中，25,4,BC AB O ==为边AB 的中点，P 为矩形ABCD 外一动点，且90APC ∠=，则线段OP 的最大值为（ ）
A ．53+
B ．35+
C ．452-
D ．231+
5．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠后点D 与B 重合.若原矩形的长宽之比为3:1,则AE BF
的值为（ ）
A ．12
B ．13
C ．34
D ．45
6．如图，111A B C ∆中，114A B =，115AC =，117B C =．点2A 、2B 、2C 分别是边11B C 、11A C 、11A B 的中点；点3A 、3B 、3C 分别是边22B C 、22A C 、22A B 的中点；
；以此类推，则第2019个三角形的周长是（ ）
A ．20141
2 B ．20151
2 C ．20161
2 D ．201712
7．如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠CBF 为（ ）
A ．75°
B ．60°
C ．55°
D ．45°
8．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边CD 上一点，且BC ＝EC ，CF ⊥BE 交AB 于点F ，P 是EB 延长线上一点，下列结论：①BE 平分∠CBF ；②CF 平分∠DCB ；③BC ＝FB ；④PF ＝PC ．其中正确结论的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．如图，矩形纸片,,ABCD AB a BC b ==，满足12b a b <<，将此矩形纸片按下面顺序折叠，则图4中MN 的长为（用含,a b 的代数式表示）（ ）
A ．2b a -
B ．22b a -
C ．32b a +
D ．12
b a + 10．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为（ ）
A ．0.5
B ．2.5
C 2
D ．1
二、填空题
11．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是直线AB 、AC 上的动点，∠EDF ＝90°，M 、N 分别是EF 、AC 的中点，连结AM 、MN ，若AC =6，AB =5，
则AM -MN 的最大值为________．
12．如图，菱形ABCD 的BC 边在x 轴上，顶点C 坐标为(3,0)-，顶点D 坐标为(0,4)，点E 在y 轴上，线段//EF x 轴，且点F 坐标为(8,6)，若菱形ABCD 沿x 轴左右运动，连接AE 、DF ，则运动过程中，四边形ADFE 周长的最小值是_______．
13．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个．
14．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝OB ，点E ，F 分别是OA ，OD 的中点，连接EF ，EM ⊥BC 于点M ，EM 交BD 于点N ，若∠CEF ＝45°，FN ＝5，则线段BC 的长为_____．
15．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ．F 是AD 的中点，作CE ⊥AB, 垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：(1)∠DCF+
12∠D ＝90°；(2)∠AEF+∠ECF ＝90°；(3)BEC S =2CEF S ； (4)若∠B=80︒，则∠AEF=50°．其中一定成立的是______ (把所有正确结论的字号都填在横线上)．
16．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．
17．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．
18．如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=︒，45ABC ∠=︒，22BC =，则
DF =_________．
19．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．
20．如图，在平行四边形ABCD 中，5
3AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．
三、解答题
21．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．
（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为 ． （2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．
22．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（6，6），将正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连结CH 、CG ．
（1）求证：CG 平分∠DCB ；
（2）在正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转的过程中，求线段HG 、OH 、BG 之间的数量关系；
（3）连结BD 、DA 、AE 、EB ，在旋转的过程中，四边形AEBD 是否能在点G 满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE 的解析式；若不能，请说明理由．
23．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．
（1）如图，当点E 在线段BC 上时，∠BDF=α．
①按要求补全图形；
②∠EBF =______________（用含α的式子表示）；
③判断线段 BF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．
（2）当点E 在直线BC 上时，直接写出线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系，不需证明．
24．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．
（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）
①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系；
②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；
（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
25．如图，ABCD 中，60ABC ∠=︒，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．
（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积； （2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD AG +=．
26．点E 在正方形ABCD 的边BC 上，点F 在AE 上，连接FB ，FD ，∠ABF=∠AFB ． （1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF ；
（2）如图2，过点F 作垂线交AB 于G ，交DC 的延长线于H ，求证：DH=2 AG ； （3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC 的长．
27．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝CD ＝6cm ，BC ＝10cm ，点P 从点B 出发，以2cm /秒的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为t 秒：
（1）PC ＝ cm ．（用t 的代数式表示）
（2）当t 为何值时，△ABP ≌△DCP ？
（3）当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发，以vcm /秒的速度沿CD 向点D 运动，是否存在这样v 的值，使得△ABP 与△PQC 全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．
28．如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG 如图放置，连接AG ，AE ．
（1）求证：AG AE =
（2）过点F 作FP AE ⊥于P ，交AB 、AD 于M 、N ，交AE 、AG 于P 、Q ，交BC 于H ，．求证：NH =FM
29．在边长为5的正方形ABCD 中，点E 在边CD 所在直线上，连接BE ，以BE 为边，在BE 的下方作正方形BEFG ，并连接AG ．
（1）如图1，当点E 与点D 重合时，AG ＝ ；
（2）如图2，当点E 在线段CD 上时，DE ＝2，求AG 的长；
（3）若AG ＝517
，请直接写出此时DE 的长．
30．已知，矩形ABCD 中，4,8AB cm BC cm ==，AC 的垂直平分EF 线分别交AD BC 、于点E F 、，垂足为O ．
（1）如图1，连接AF CE 、，求证：四边形AFCE 为菱形；
（2）如图2，动点P Q 、分别从A C 、两点同时出发，沿AFB △和CDE △各边匀速运动一周，即点P 自A F B A →→→停止，点O 自C D E C →→→停止．在运动过程中，
①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当
A C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t =____________．
②若点P Q 、的运动路程分别为a b 、 （单位:,0cm ab ≠），已知A
C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则a 与b 满足的数量关系式为____________．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，容易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，容易证得CE⊥DF与AH⊥DF，故①正确；根据垂直平分线的性质，即可证得AG=AD，继而AG=DC，而DG≠DC，所以
AG≠DG，故②错误；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG=1
2 DC，
∠CHG=2∠GDC，根据等腰三角形的性质，即可得∠DAG=2∠DAH=2∠GDC．所以∠DAG=∠CHG，④正确，则问题得解．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°，
∵点E. F. H分别是AB、BC、CD的中点，
∴BE=FC
∴△BCE≌△CDF，
∴∠ECB=∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠ECD+∠CDF=90°，
∴∠CGD=90°，
∴CE⊥DF，故①正确；
连接AH，
同理可得：AH ⊥DF ，
∵CE ⊥DF ，
∴△CGD 为直角三角形，
∴HG=HD=
12
CD ， ∴DK=GK ， ∴AH 垂直平分DG ，
∴AG=AD=DC ，
在Rt △CGD 中，DG≠DC ，
∴AG≠DG ，故②错误；
∵AG=AD, AH 垂直平分DG
∴∠DAG=2∠DAH,
根据①，同理可证△ADH ≌△DCF
∴∠DAH=∠CDF ，
∴∠DAG=2∠CDF,
∵GH=DH ，
∴∠HDG=∠HGD ，
∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF ，
∴∠GHC=∠DAG ，故③正确，
所以①和③正确选择C.
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用边角边，容易证明
△BCE ≌△CDF ，从而根据全等三角形的性质和等量代换即可证∠ECD+∠CDF=90°，从而①可证；证②时，可先证AG=DC ，而DG≠DC ，所以②错误；证明③时，可利用等腰三角形的性质，证明它们都等于2∠CDF 即可.
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
只要证明BF BC =，可得ABF BFC C 70∠∠∠===，即可得出ABE 35∠=；延长EF 交BC 的延长线于M ，只要证明DEF ≌CMF ，推出EF FM =，可得
EMB BCDE S S =四边形，BEF MBE 1S S 2=，推出ABE ABCD 1S S 3
菱形=． 【详解】 ①∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∠C=∠A=70°．
∵BA=BF=BC ，∴∠BFC=∠C=70°，∴∠ABF=∠BFC=70°，∴∠ABE 12
=
∠ABF=35°，故①正确；
②如图，延长EF 交BC 的延长线于M ，
∵四边形ABCD 是菱形，F 是CD 中点，∴DF=CF ，∠D=∠FCM ，∠EFD=∠MFC ，∴△DEF ≌△CMF ，∴EF=FM ，∴S 四边形BCDE =S △EMB ，S △BEF 12=S △MBE ，∴S △BEF 12
=S 四边形BCDE ，∴S △ABE 13
=
S 菱形ABCD ．故②正确， 故选A ．
【点睛】 本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
如图，取AB 的中点D ．连接CD ．根据三角形的边角关系得到OC 小于等于OD+DC ，只有当O 、D 及C 共线时，OC 取得最大值，最大值为OD+CD ，由等边三角形的边长为2，根据D 为AB 中点，得到BD 为1，根据三线合一得到CD 垂直于AB ，在直角三角形BCD 中，根据勾股定理求出CD 的长，在直角三角形AOB 中，OD 为斜边AB 上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD 等于AB 的一半，由AB 的长求出OD 的长，进而求出DC+OD ，即为OC 的最大值．
【详解】
解：如图，取AB 的中点D ，连接CD ．
∵△ABC 是等边三角形，且边长是2，∴BC=AB=2，
∵点D 是AB 边中点，
∴BD=12
AB=1， ∴22BC BD -2221-33
连接OD ，OC ，有OC≤OD+DC ，
当O 、D 、C 共线时，OC 有最大值，最大值是OD+CD ，
由（1）得，CD=3， 又∵△AOB 为直角三角形，D 为斜边AB 的中点，
∴OD=12
AB=1， ∴OD+CD=1+3，即OC 的最大值为1+3．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，其中找出OC 最大时的长为CD+OD 是解本题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
连接AC ，取AC 的中点E ，根据矩形的性质求出AC ，OE ，再根据直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半可得12
PE AC =
，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边可得O 、E 、P 三点共线时OP 最大．
【详解】
解：如图，连接AC ，取AC 的中点E ，
∵矩形ABCD 中，25, 4BC AB ==，O 为AB 的中点，
2216,52
AC AB BC OE BC ∴=+==
= ∵AP ⊥CP ， 116322
PE AC ∴==⨯=， 由三角形的三边关系得，O 、E 、P 三点共线时OP 最大，
此时 53OP =最大
故选：B ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理、中位线定理．能正确构造辅助
线，并根据三角形三边关系确定OP最大值是解题关键．
5．D
解析：D
【分析】
根据折叠的性质得到ED′＝BE，∠D′EF＝∠BEF，根据平行线的性质得到∠D′EF＝
∠EFB，求得BE＝BF，设AD′＝BC′＝3x，AB＝x，根据勾股定理得到BE＝5
3
x，于是得
到结论．【详解】
如图，将矩形ABCD沿EF折叠后点D与B重合，
∴ED′＝BE，∠D′EF＝∠BEF，
∵AD′∥BC′，
∴∠D′EF＝∠EFB，
∴∠BEF＝∠EFB，
∴BE＝BF，
∵原矩形的长宽之比为3：1，
∴设AD′＝BC′＝3x，AB＝x，
∴AE＝3x−ED′＝3x−BE，
∵AE2＋AB2＝BE2，
∴（3x−BE）2＋x2＝BE2，
解得：BE＝
5
3
x，
∴BF＝BE＝
5
3
x，AE＝3x−BE=
4
3
x
∴
AE
BF
＝
4
3
3
5
x
x
=
4
5
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
6．A
【分析】
根据三角形的中位线可得，B 2C 2，A 2B 2，A 2C 2分别等于
12B 1C 1，12A 1B 1，12
A 1C 1，所以△A 2
B 2
C 2的周长等于△A 1B 1C 1周长的一半.进而推出第n 个三角形的周长
【详解】 解：∵114A B =，115AC =，117B C =,
∴△A 1B 1C 1的周长是16,
∵点2A 、2B 、2C 分别是边11B C 、11A C 、11A B 的中点,
∴B 2C 2，A 2B 2，A 2C 2分别等于12B 1C 1，12A 1B 1，12
A 1C 1, 以此类推，则△A 4
B 4
C 4的周长是
31×16=22 , ∴△A n B n C n 的周长是4
n 122
- , ∴当n=2019时，第2019个三角形的周长是=42018201421=22
, 故选：A.
【点睛】
本题主要考查了三角形的中位线，解题的关键是找出题目的规律.
7．A
解析：A
【分析】
根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC ，进而得出∠CBF ．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=AD ，
又∵△ADE 是等边三角形，
∴AE=AD=DE ，∠DAE=60°，
∴AB=AE ，
∴∠ABE=∠AEB ，∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=（180°-150°）÷2=15°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠BFC=45°+15°=60°．
∴∠BFA=180°-60°=120°，
∴∠CBF=180°-∠BCA-∠BFC=180°-45°-60=75°，
故选：A ．
本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，解本题的关键是求出∠ABE=15°．8．D
解析：D
【分析】
分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．
【详解】
证明：如图：
∵BC＝EC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CEB＝∠EBF，
∴∠CBE＝∠EBF，
∴①BE平分∠CBF，正确；
∵BC＝EC，CF⊥BE，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴②CF平分∠DCB，正确；
∵DC∥AB，
∴∠DCF＝∠CFB，
∵∠ECF＝∠BCF，
∴∠CFB＝∠BCF，
∴BF＝BC，
∴③正确；
∵FB＝BC，CF⊥BE，
∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，
∴PF＝PC，故④正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．
9．B
【分析】
如图3中，由折叠的性质可得PQ ＝BC ＝b ，A 1F ＝a ﹣12b ，△PEQ 是等腰直角三角形，进而可得△MNE 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得EG =12
MN ，而12EG EF A F =-，进一步即可求得答案．
【详解】
解：如图3中，由折叠的性质可得PQ ＝BC ＝b ，A 1F ＝a ﹣
12b ，∠EPQ =11904522APQ ∠=⨯︒=︒，∠EQP =11904522
DQP ∠=⨯︒=︒， ∴∠PEQ =90°，
∴△PEQ 是等腰直角三角形，
如图4，∵MN ∥PQ ，
∴△MNE 是等腰直角三角形，
∵EG ⊥MN ，
∴EG=MG=NG =12
MN ， ∵12EG EF A F =-=a ﹣2（a ﹣
12b ）＝b ﹣a ， ∴MN =2EG =22b a -．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及等腰直角三角形的判定与性质，正确理解题意、熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
由题意分析可知，点F 为主动点，G 为从动点，所以以点E 为旋转中心构造全等关系，得到点G 的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG 最小值．
【详解】
由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹
如图，将ΔEFB 绕点E 旋转60°，使EF 与EG 重合，得到ΔEFB ≅ΔEHG ，
从而可知ΔEBH 为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，
如图，作CM ⊥HN ，则CM 即为CG 的最小值，
作EP ⊥CM ，可知四边形HEPM 为矩形，
则1351=2.5222
CM MP CP HE EC =+=+
=+=. 故选B ．
【点睛】 本题考查了线段极值问题，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G 的运动轨迹，是解本题的关键．
二、填空题
11．52
【分析】
连接DM ，直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM ，利用两边之差小于第三边得到AM MN DN -≤，又根据三角形中位线的性质即可求解．
【详解】
连接DM ，如下图所示，
∵90BAC EDF ∠=∠=︒
又∵M 为EF 中点
∴AM=DM=12EF ∴AM MN DM MN DN -=-≤（当D 、M 、N 共线时，等号成立）
∵D 、N 分别为BC 、AC 的中点，即DN 是△ABC 的中位线
∴DN=12AB=52
∴AM MN -的最大值为
52 故答案为
52
． 【点睛】 本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定AM MN -的取值范围．
12．18
【分析】
由题意可知AD 、EF 是定值，要使四边形ADFE 周长的最小，AE ＋DF 的和应是最小的，运用“将军饮马”模型作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，此时AE ＋DF 的和即为E 1F 1，再求四边形ADFE 周长的最小值．
【详解】
在Rt △COD 中，OC ＝3，OD ＝4，
CD ＝22OC +OD =5，
∵ABCD 是菱形，
∴AD ＝CD ＝5，
∵F 坐标为(8,6)，点E 在y 轴上，
∴EF ＝8，
作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，
则E 1（0，2），F 1（3，6），
则E 1F 1即为所求线段和的最小值，
在Rt △AE 1F 1中，E 1F 122211
EE +EF =-+(8-5)2(62)， ∴四边形ADFE 周长的最小值＝AD ＋EF ＋AE ＋DF ＝ AD ＋EF ＋ E 1F 1＝5＋8＋5＝18．
【点睛】
本题考查菱形的性质、“将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大．13．8个
【分析】
作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，可得点H到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【详解】
如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝6，
∴EC＝4，FC＝2＝AE，
∵点M与点F关于BC对称，
∴CF＝CM＝2，∠ACB＝∠BCM＝45°，
∴∠ACM＝90°，
∴EM2222
EC+CM=4+2=25
则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为55，
在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE＋PF＝4＋2＝6，
∴点P在CH上时，5PE＋PF≤6，
在点H左侧，当点P与点B重合时，
∵FN⊥BC，∠ABC＝90°，
∴FN∥AB，
∴△CFN∽△CAB，
∴FN CN CF1
===
AB CB CA3
，
∵AB＝BC＝
2
2
AC＝32
∴FN＝1
3
AB2，
CN＝1
3
BC2
∴BN＝BC－CN＝22，
BF＝22
FN+BN=2+8=10，
∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE＝BF＝10，
∴PE＋PF＝210，
∴点P在BH上时，25＜PE＋PF＜210，
∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE＋PF＝5，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE＋PF＝5．
即共有8个点P满足PE＋PF＝5，
故答案为8．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．
14．5
【分析】
设EF＝x，根据三角形的中位线定理表示AD＝2x，AD∥EF，可得∠CAD＝∠CEF＝45°，证
明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM＝45°，证明△ENF≌△MNB，则EN＝MN＝1
2 x，
BN＝FN＝5，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长．【详解】
解：设EF＝x，
∵点E、点F分别是OA、OD的中点，
∴EF是△OAD的中位线，
∴AD＝2x，AD∥EF，
∴∠CAD＝∠CEF＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2x，
∴∠ACB＝∠CAD＝45°，
∵EM⊥BC，
∴∠EMC ＝90°，
∴△EMC 是等腰直角三角形，
∴∠CEM ＝45°，
连接BE ，
∵AB ＝OB ，AE ＝OE
∴BE ⊥AO
∴∠BEM ＝45°，
∴BM ＝EM ＝MC ＝x ，
∴BM ＝FE ，
易得△ENF ≌△MNB ，
∴EN ＝MN ＝12
x ，BN ＝FN ＝5， Rt △BNM 中，由勾股定理得：BN2＝BM2+MN2， 即2221
5()2x x =+
解得，x ＝5
∴BC ＝2x ＝5 故答案为：5
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．
15．(1) (2) (4)
【分析】
由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出(1)正确；
由ASA 证明△AEF ≌△DMF ，得出EF=MF ，∠AEF=∠M ，由直角三角形斜边上的中线性质得
出CF=
12
EM=EF ，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠ECF ，得出(2)正确； 证出S △EFC =S △CFM ，由MC ＞BE ，得出S △BEC ＜2S △EFC ，得出(3)错误；
由平行线的性质和互余两角的关系得出(4)正确；即可得出结论．
【详解】 (1)∵F 是AD 的中点，
∴AF=FD ，
∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，
∴AF=FD=CD=AB ，
∴∠DFC=∠DCF ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DFC=∠FCB ，∠BCD+∠D=180°，
∴∠DCF=∠BCF ，
∴∠DCF=
12∠BCD ， ∴∠DCF+12
∠D=90°，故(1)正确； (2)延长EF ，交CD 延长线于M ，如图所示：
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠A=∠MDF ，
∵F 为AD 中点，
∴AF=FD ，
在△AEF 和△DMF 中，
A FDM AF DF AFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AEF ≌△DMF(ASA)，
∴EF=MF ，∠AEF=∠M ，
∵CE ⊥AB ，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF ，
∴CF=12
EM=EF ， ∴∠FEC=∠ECF ，
∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故(2)正确；
(3)∵EF=FM ，
∴S △EFC =S △CFM ，
∵MC ＞BE ，
∴S △BEC ＜2S △EFC ，故(3)错误；
(4)∵∠B=80°，
∴∠BCE=90°-80°=10°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=180°-80°=100°，
∴∠BCF=1
2
∠BCD=50°，
∴∠FEC=∠ECF=50°-10°=40°，
∴∠AEF=90°-40°=50°，故(4)正确．
故答案为：(1)(2)(4)．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明
△AEF≌△DMF是解题关键．
16．8
3
或
4
43
3
-
【分析】
连接AC交BD于O，由菱形的性质可得AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，
AO=CO，可证四边形BEGF是菱形，可得∠ABG=30°，可得点B，点G，点D三点共线，由直角三角形性质可求BD=43，AC=4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【详解】
如图，连接AC交BD于O，
∵菱形ABCD的边长是4，∠ABC=60°，
∴AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，
∵EG∥BC，FG∥AB，
∴四边形BEGF是平行四边形，
又∵BE=BF，
∴四边形BEGF是菱形，
∴∠ABG=30°，
∴点B，点G，点D三点共线，
∵AC⊥BD，∠ABD=30°，
∴AO=1
2
AB=2，2222
4223
AB AO
--=
∴BD=3AC=4，
同理可求BE ，即
， 若AD=DG'=4时，
∴BG'=BD-DG'=4，
∴BE'4
3==-； 若AG''=G''D 时，过点G''作G''H ⊥AD 于H ，
∴AH=HD=2，
∵∠ADB=30°，G''H ⊥AD ，
∴DG''=2HG''，
∵222HD HG''DG''+=，
解得：HG''=，DG''=2HG''=
∴BG''=BD-DG''=33-
=， ∴BE''=83
，
综上所述：BE 为
83或43-． 【点睛】
本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
17．1或7．
【分析】
存在2种情况满足条件，一种是点P 在BC 上，只需要BP=CE 即可得全等；另一种是点P 在AD 上，只需要AP=CE 即可得全等
【详解】
设点P 的运动时间为t 秒，
当点P 在线段BC 上时，则2BP t =，
∵四边形ABCD 为长方形，
∴AB CD =，90B DCE ∠=∠=︒，
此时有ABP DCE ∆∆≌，
∴BP CE =，即22t =，解得1t =；
当点P 在线段AD 上时，则2BC CD DP t ++=，
∵4AB =，6AD =，
∴6BC =，4CD =，
∴()()6462162AP BC CD DA BC CD DP t t =++-++=++-=-，
∴162AP t =-，
此时有ABP CDE ∆∆≌，
∴AP CE =，即1622t -=，解得7t =；
综上可知当t 为1秒或7秒时，ABP ∆和CDE ∆全等.
故答案为：1或7．
【点睛】
本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到一条直角边相等即可
18．4
【分析】
证明CF ∥DB ，CF=DB ，可得四边形CDBF 是平行四边形，作EM ⊥DB 于点M ，解直角三角形即可．
【详解】
解：∵CF ∥AB ，
∴∠ECF=∠EBD ．
∵E 是BC 中点，
∴CE=BE ．
∵∠CEF=∠BED ，
∴△CEF ≌△BED （ASA ）．
∴CF=BD ．
∴四边形CDBF 是平行四边形．
作EM ⊥DB 于点M ，
∵四边形CDBF 是平行四边形，22BC =
∴BE=122
BC =，DF=2DE ， 在Rt △EMB 中，EM 2+BM 2=BE 2且EM=BM
∴EM=1，
在Rt △EMD 中，
∵∠EDM=30°，
∴DE=2EM=2，
∴DF=2DE=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题， 19．5
【分析】
先判断四边形BCEF 的形状，再连接FM FC 、，利用正方形的性质得出AFG 是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12MN FC =
即可． 【详解】
∵四边形ABCP 是边长为4的正方形，//EF BC ，
∴四边形BCEF 是矩形，
∵1PE =，
∴3CE =，
连接FM FC 、，如图所示：
∵四边形ABCP 是正方形，
∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，
∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，
∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，
又∵N 是FC 中点，12MN FC =
， ∵225FC BF BC =+=
∴ 2.5MN =，
故答案为：2.5 ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．
20．102
【分析】
根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3，再根据BAD BEC ∠=∠证明BC=BE ，由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF ，即可求出平行四边形的面积.
【详解】
过点B 作BF CD ⊥于点F ，如图所示．
∵AE 是BAD ∠的平分线，
∴DAE BAE ∠=∠．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴5
3CD AB BC AD BAD BCE AB CD ====∠=∠，，，∥， ∴BAE DEA ∠=∠，
∴DAE DEA ∠=∠，
∴3DE AD ==，
∴2CE CD DE =-=．
∵BAD BEC ∠=∠，
∴BCE BEC ∠=∠，
∴BC=BE, ∴112CF EF CE ==
=，
∴BF ===
∴平行四边形ABCD 的面积为5BF CD ⋅==．
故答案为：
【点睛】
此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性质、三线合一的性质，勾股定理.
三、解答题
21．（132）；（2）存在，点D 的坐标为（0，3）或（1）或（0，-
1）；（3）OM=
32或2 【分析】
（1）过点B 作BD ⊥y 轴于D ，利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OB ，再利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出BD 和OD 即可得出结论；
（2）根据题意和等边三角形的性质分别求出点A 、B 、C 的坐标，然后根据菱形的顶点顺序分类讨论，分别画出对应的图形，根据菱形的对角线互相平分即可分别求出结论； （3）利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OP 和BP ，然后根据直角三角形的直角顶点分类讨论，分别画出对应的图形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质求解即可．
【详解】
解：（1）如图2，过点B 作BD ⊥y 轴于D
由图1中，点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒，∠AOB=90°
∴OA=1，AB=2OA=2
由勾股定理可得OB=223AB OA -= ∵将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30
∴∠BOD=30°
∴BD=132OB =
∴OD=2232OB BD -=
∴点B 的坐标为（32
，32） 故答案为：（32
，32）； （2）在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，此时点A 落在y 轴上，点B 落在x 轴上
∴点A 的坐标为（0,1），点B 的坐标为（3，0）
∵△ABC 为等边三角形
∴∠ABC=60°，AB=BC=AC=2
∴∠OBC=90°
∴点C 的坐标为（3，2）
设点D 的坐标为（a ，b ）
如图所示，若四边形ABCD 为菱形，连接BD ，与AC 交于点O
∴点O 既是AC 的中点，也是BD 的中点
∴
033
22 120
22
a
b
⎧
++
=
⎪⎪
⎨
++
⎪=
⎪⎩
解得：
3
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
∴此时点D的坐标为（0，3）；
当四边形ABDC为菱形时，连接AD，与BC交于点O
∴点O既是AD的中点，也是BC的中点
∴
033
22
120
22
a
b
⎧++
=
⎪⎪
⎨
++
⎪=
⎪⎩
解得：
23
1
a
b
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
∴此时点D的坐标为（23，1）；
当四边形ADBC为菱形时，连接CD，与AB交于点O
∴点O既是AB的中点，也是CD的中点
∴
033
22
102
22
a
b
⎧++
=
⎪⎪
⎨
++
⎪=
⎪⎩
解得：
1
a
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
∴此时点D的坐标为（0，-1）；
综上：点D的坐标为（0，3）或（23，1）或（0，-1）；（3）∵OB=3，∠ABO=30°
∴OP=1
2
OB=
3
2
∴BP=223 2
OB OP
-=
当∠OMB=90°时，如下图所示，连接BM
∵F为OB的中点
∴PF=1
2
OB，MF=
1
2
OB，OF=BF
∴PF=MF
∴四边形OPBM为平行四边形
∴OM=BP=3
2
；
当∠OBM=90°时，如下图所示，连接OM，
∴∠PBM=∠PBO＋∠OBM=120°
∵点F为OB的中点
∴FP=FB
∴∠FPB=∠FBP=30°
∴∠BMP=180°－∠PBM－∠FPB=30°
∴∠BMP=∠BPM
∴BM=BP=3 2
在Rt△OBM中，2221
OB BM
+=；
综上：OM=
32或2
． 【点睛】 此题考查的是直角三角形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质，掌握30°所对的直角边是斜边的一半、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质是解决此题的关键．
22．（1）见解析；（2） HG ＝OH +BG ；（3）能成矩形，y 3342
x =
-． 【分析】
（1）根据旋转和正方形的性质可得出CD ＝CB ，∠CDG ＝∠CBG ＝90，根据全等直角三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt △CDG ≌Rt △CBG ，即∠DCG ＝∠BCG ，由此即可得出CG 平分∠DCB ；
（2）由（1）的Rt △CDG ≌Rt △CBG 可得出BG ＝DG ，根据全等直角三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt △CHO ≌Rt △CHD ，即OH ＝HD ，再根据线段间的关系即可得出HG ＝HD +DG ＝OH +BG ；
（3）根据（2）的结论即可找出当G 点为AB 中点时，四边形AEBD 为矩形，再根据正方形的性质以及点B 的坐标可得出点G 的坐标，设H 点的坐标为（x ，0），由此可得出HO ＝x ，根据勾股定理即可求出x 的值，即可得出点H 的坐标，结合点H 、G 的坐标利用待定系数法即可求出直线DE 的解析式．
【详解】
（1）∵正方形ABCO 绕点C 旋转得到正方形CDEF ，∴CD ＝CB ，∠CDG ＝∠CBG ＝90°．在Rt △CDG 和Rt △CBG 中，∵CG CG CD CB =⎧⎨=⎩
，∴Rt △CDG ≌Rt △CBG （HL ），∴∠DCG ＝∠BCG ，即CG 平分∠DCB ． （2）由（1）证得：Rt △CDG ≌Rt △CBG ，∴BG ＝DG ．在Rt △CHO 和Rt △CHD 中，∵CH CH CO CD
=⎧⎨=⎩，∴Rt △CHO ≌Rt △CHD （HL ），∴OH ＝HD ，∴HG ＝HD +DG ＝OH +BG ． （3）假设四边形AEBD 可为矩形．
当G 点为AB 中点时，四边形AEBD 为矩形，如图所示．
∵G 点为AB 中点，∴BG ＝GA 12=
AB ，由（2）证得：BG ＝DG ，则BG ＝GA ＝DG 12=AB 12
=DE ＝GE ，又AB ＝DE ，∴四边形AEBD 为矩形，∴AG ＝EG ＝BG ＝DG ．
∵AG 12
=AB ＝3，∴G 点的坐标为（6，3）． 设H 点的坐标为（x ，0），则HO ＝x ，∴HD ＝x ，DG ＝3．
在Rt △HGA 中，HG ＝x +3，GA ＝3，HA ＝6﹣x ，由勾股定理得：（x +3）2＝32+（6﹣x ）2，
解得：x＝2，∴H点的坐标为（2，0）．
设直线DE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），将点H（2，0）、G（6，3）代入y＝kx+b中，
得：
20
63
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
3
4
3
2
k
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，∴直线DE的解析式为：y33
42
x
=-．
故四边形AEBD能为矩形，此时直线DE的解析式为：y
33
42
x
=-．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、待定系数法求函数解析式以及勾股定理．解题的关键是：（1）证出Rt△CDG≌Rt△CBG；（2）找出
BG＝DG、OH＝HD；（3）求出点H、G的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边和角是关键．
23．（1）①详见解析；②45°-α；③2
DF BF CF
=+，详见解析；（2）
2
DF BF CF
=，或2
BF DF CF
=，或2
BF DF CF
+=
【分析】
（1）①由题意补全图形即可；
②由正方形的性质得出
1
45
2
DBE ABC
∠=∠=，由三角形的外角性质得出
45
BEF DBE BDFα
∠=∠+∠=+，由直角三角形的性质得出
9045
EBF BEFα
∠=-∠=-即可；
③在DF上截取DM=BF，连接CM，证明△CDM≌△CBF，得出CM=CF，∠DCM=∠BCF，得出2CF即可得出结论；
（2）分三种情况：①当点E在线段BC上时，2CF，理由同(1)③；
②当点E在线段BC的延长线上时，2CF，在BF_上截取BM=DF，连接CM．同
(1)③得△CBM≌△CDF得出CM=CF，∠BCM=∠DCF，证明△CMF是等腰直角三角形，得出
2CF，即可得出结论；
③当点E在线段CB的延长线上时，2CF，在DF上截取DM=BF，连接CM，同
(1) ③得:ACDM≌△CBF得出CM=CF，∠DCM=∠BCF，证明△CMF是等腰直角三角形，得出2CF，即可得出结论．。