【济南一模_文数】2015年3月济南市高三模拟考试数学试题(文)及答案

2015年高考模拟考试(山东卷)
数学(文科)
本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
参考公式：
柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.
第I 卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}
{}2230,1,1,3,M x x x N M N =+-==-⋃=则 A.{}1,3-
B.{}1,1,3-
C.{}1,1,3,3--
D.{}1,1,3--
2.已知复数z 满足()1i z i -=（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为 A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.函数y = A.[)1,+∞
B.()1,+∞
C.1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
D.1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
4.“1cos 2α=
”是“3
π
α=”的 A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知,,a b c R ∈，那么下列命题中正确的是 A.若a b <，则2
2
ac bc < B.若0,0a b c >><，则
c c a b
< C.若a b >，则()()22
a c
b
c +>+ D.若0ab >，则
2a b
b a
+≥ 6.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.9 B.16 C.25 D.36
7.已知,x y 满足约束条件1
3223x x y z x y x y ≥⎧⎪
+≤=+⎨⎪-≤⎩
，若的最大值和最小值分别为,a b ，则
a b +=
A.7
B.6
C.5
D.4
8.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，当()12,0,x x ∈+∞时，都有
()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦.设()2
1
ln
,ln ,ln a b c πππ
===，则
A.()()()f a f b f c >>
B. ()()()f b f a f c >>
C. ()()()f c f a f b >>
D. ()()()f c f b f a >>
9. 已知12,F F 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲
线一个交点是P ，且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是 A.2 B.3 C.2
D.5
10.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数()0f x x ωω>≤，使对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”.现给出下列函数：①()4f x x =；②()2
2f x x =+；
③()2
225
x
f x x x =
-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第II 卷（共100分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[)50,70中的学生人数是_________.
12.已知ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，若
sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则角C=__________.
13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为
3
π
的扇形，则该几何体的体积为__________. 14.设,,a b c r r r
是单位向量，且()()
0a b a c b c ⋅=-⋅-r r r r r r ，则的最
大值为________.
15.已知P 是直线34100x y +-=上的动点，PA ，PB 是圆
222440x y x y +-++=的两条切线，A,B 是切点，C 是圆
心，那么四边形PACB 面积的最小值为________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分） 设函数()2
23cos
2sin 3f x x x ωω=+-（其中0ω>）
，且()f x 的最小正周期为2π.
（I ）求ω的值；
（II ）将函数()y f x =图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
2
，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调增区间.
17. （本小题满分12分）
某在元宵节活动上，组织了“摸灯笼猜灯谜”的趣味游戏.已知在一个不透明的箱子内放有大小和形状相同的标号分别为1，2，3的小灯笼若干个，每个灯笼上都有一个谜语，其中标号为1的小灯笼1个，标号为2的小灯笼2个，标号为3的小灯笼n 个.若参赛者从箱子中随机摸取1个小灯笼进行谜语破解，取到标号为3的小灯笼的概率为
14
. （I ）求n 的值；
（II ）从箱子中不放回地摸取2个小灯笼，记第一次摸取的小灯笼的标号为a ，第二次摸取的小灯笼的标号为b.记“4a b +≥”为事件A ，求事件A 的概率.
18. （本小题满分12分） 如
图
，
平
面
PBA ⊥
平面ABCD ，
90,,DAB PB AB BF PA ∠==⊥o ，点E 在线段AD 上移动.
（I ）当点E 为AD 的中点时，求证：EF//平面PBD ；
（II ）求证：无论点E 在线段AD 的何处，总有PE BF ⊥.
19. （本小题满分12分）
数列{}n a 满足()
111,2n n a a a n N *+==∈，n S 为其前n 项和.数列{}n b 为等差数列，且满足1143,b a b S ==.
（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （II ）设2221log n n n c b a +=
⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：11
32
n T ≤<.
20. （本小题满分13分）
已知函数()()0x
f x e ax a a R a =+-∈≠且.
（I ）若函数()0f x x =在处取得极值，求实数a 的值；并求此时()[]21f x -在，上的最大值；
（II ）若函数()f x 不存在零点，求实数a 的取值范围.
21. （本小题满分14分）
在平面直角坐标系xoy 中，椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的焦距为2，一个顶点与两个
焦点组成一个等边三角形. （I ）求椭圆C 的标准方程；
（II ）椭圆C 的右焦点为F ，过F 点的两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线2l 与直线4x 交于T 点. （i ）求证：线段PQ 的中点在直线OT 上； （ii ）求
TF PQ
的取值范围.
文科数学参考答案
一、选择题 CBABD BACDC
二、填空题11.25 12.3
π
13. 2π 14. 1 三、解答题
16. 解：（Ⅰ）()2sin 2f x x x ωω=+=2sin(2)3
x π
ω+……………………4分
∴
2=22ππω，即1
2
ω= ……………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x =2sin()3
x π
+,将函数)(x f y =的图象各点的横坐标缩短为原
来的
1
2
，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，即()g x =2sin(2)3
x π
+ ……………………8分
由22+22
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤
，k Z ∈得：
51212
k x k π
πππ-
+≤≤+,k Z ∈，……………………10分 ∴()g x 的单调递增区间是：5[,]1212k k π
πππ-++,k Z ∈ …………12分
17. 解：（Ⅰ）由题意，1
124
n n =++，1n ∴=……………………4分
（2）记标号为2的小灯笼为1a ,2a ；连续．．摸取2个小灯笼的所有基本事件为:
（1, 1a ）,（1, 2a ）,(1,3),（1a ,1）,（2a ,1）,(3,1),（1a ,2a ）, (1a ,3）,（2a ,1a ）, （3,
1a ）,（2a ,3）,
（3, 2a ）共12个基本事件. ……………………8分
A 包含的基本事件为: (1,3), (3,1),（1a ,2a ）
，（2a ,1a ），(1a ,3），（3, 1a ）, （2a ,3）,（3, 2a ）
……………………10分
8()12P A ∴=
2
3
= ……………………12分 18. （Ⅰ）证明： 在三角形PBA 中，,PB AB BF PA =⊥，
所以F 是PA 的中点，连接EF ， ………………………………2分 在PDA ∆中，点,E F 分别是边,AD PA 的中点， 所以//EF PD …………………………………4分 又EF PBD ⊄平面，PD PBD ⊂平面
所以EF //平面PBD .……………………………6分
（Ⅱ）因为平面PBA ⊥平面ABCD ，平面PBA I 平面ABCD AB =, 90DAB ∠=o
，
DA AB ⊥ ,DA ABCD ⊂平面
所以DA ⊥平面PBA …………………… 8分
又BF PBA ⊂平面 ,所以DA BF ⊥,又BF PA ⊥，PA I
DA A =,,PA DA PDA ⊂平面,
所以BF PDA ⊥面 ……………………………………10分 又PE PDA ⊂平面 所以BF PE ⊥
所以无论点E 在线段AD 的何处，总有PE ⊥BF . …………………………12分
19. 解：（Ⅰ）由题意，{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，
11121--⋅=⋅=∴n n n q a a . ∴12n n a -=，21n
n S =-， …………………3分
设等差数列{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d = ∴1(1)221n b n n =+-⨯=-. …………………6分 （II ）∵21
2222log =log 221n n a n ++=+，
∴22211111
()log (21)(21)22121
n n n c b a n n n n +===-⋅-+-+,…………………7分
. …………………9分
∵*
N n ∈, …………………10分
当2n ≥
∴数列{}n T 是一个递增数列，
…………………12分 20. 解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为R ，a e x f x
+=)('
，…………………1分
0)0(0'=+=a e f ，1-=∴a .…………………2分
∴'
()1x
f x e =-
∵在)0,(-∞上)(,0)('
x f x f <单调递减，在),0(+∞上)(,0)('
x f x f >单调递增， ∴0=x 时)(x f 取极小值.
1-=∴a . …………………3分
易知)(x f 在)0,2[-上单调递减，在]1,0(上)(x f 单调递增；
且;31
)2(2
+=
-e f ;)1(e f =)1()2(f f >-.…………………4分 当2-=x 时，)(x f 在]1,2[-的最大值为.31
2+e
…………………5分
（Ⅱ）a e x f x
+=)('
，由于0>x
e .
①当0>a 时，)(,0)('
x f x f >是增函数，…………………7分 且当1>x 时，0)1()(>-+=x a e x f x
.…………………8分 当0<x 时，取a x 1-
=，则0)11
(1)1(<-=--+<-a a
a a f ， 所以函数)(x f 存在零点，不满足题意.…………9分 ②当0<a 时，)ln(,0)('
a x a e x f x
-==+=.
在))ln(,(a --∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在)),(ln(+∞-a 上)(,0)('
x f x f >单调递增，
所以)ln(a x -=时)(x f 取最小值.………………11分 函数)(x f 不存在零点，等价于0)ln(2)ln())(ln()
ln(>-+-=--+=--a a a a a a e a f a ，
解得02
<<-a e .
综上所述：所求的实数a 的取值范围是02
<<-a e .………………13分
21. 解：（Ⅰ）由题意1
222
c a c ⎧=
⎪⎨⎪=⎩，………………1分
解得3,1,2=
==b c a ,………………3分
所求椭圆C 的标准方程为13
42
2=+y x ；………………4分 （Ⅱ）解法一：（i ）设:1PQ l x my =+，
22
14
31x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去x ，化简得096)43(2
2=-++my y m . 09)43(43622>⋅++=∆m m
设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则
436221+-=
+m m y y ，4
39
22
1+-=m y y ，……………6分 43322210+-=+=
m m y y y ，4
34120
0+=+=m my x ， 即22
4
3(
,
)3434
m
G m m -++，……………7分 434434
3322
m m m m k OG
-=+⋅+-=，
设)1(:--=x m y l FT ，得T 点坐标（m 3,4-），
4
3m
k OT -=
Θ，所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当0=m 时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .
1|
||
|,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分
当0m ≠时，
13)3()14(||222+=-+-=m m TF ，||11||122
y y k PQ PQ
-+
=
=-+⋅+=2122124)(1y y y y m 4
39
4)436(
12222+-⋅-+-⋅+m m m m
4
31
122
2++⋅=m m .……………11分 )1113(411243113||||22
222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF
令12+=
m t .则
)1)(13(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)1)(1
3(41)(>+⋅=t t
t t g 则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分 所以1)1()(=>g t g .
所以
|
||
|PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分 解法二：（i ）设T 点的坐标为),4(m ，
当0=m 时，PQ 的中点为F ，符合题意. ……………5分 当0m ≠时，
m
k m k PQ FT 3
,3-==
.
3:(1)PQ l y x m
-=- ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--==+)1(31342
2x m y y x ，消去x 化简得22(12)6270m y my +--=. 027)12(43622>⋅++=∆m m
设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则
126221+=
+m m y y .1227221+-=m y y ，……………6分 12322210+=+=
m m y y y ，121231200+=-=m my x ， 即)12
3,1212(22++m m m G ，……………7分 4121212322m m m m k OG =+⋅+=，又4
m k OT =Θ. 所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当0m = 时，632PQ =
= , 413TF =-=,1TF PQ
= ……………10分 当0m ≠时， 9)14(||222+=+-=m m TF ，||1
1||12y y k PQ PQ -+=.
=-+⋅+=2122124)(91y y y y m 12274)126(912222+-⋅-+⋅+m m m m 12
9422++⋅=m m .……………11分 )939(4141299||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF
令92+=m t .则)3)(3(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)3)(3(41)(>+⋅=t t t t g 则函数()g t 在()3,+∞上为增函数，……………13分
所以1)3()(=>g t g . 所以当|
|||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分 解法三：
（i ）当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T ，符合题意. ……………5分 当直线PQ l 斜率存在时，若斜率为0，则2l 垂直于 x 轴，与 x=4不能相交，故斜率不为0 设)1(:-=x k y l PQ ，（0k ≠）
⎪⎩⎪⎨⎧-==+)
1(13422x k y y x ，消去y ，化简得. 2222(34)84120k x k x k +-+-= 4222644(34)(412)144(1)0k k k k ∆=-+-=+>
设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则
2221438k k x x +=+，2
22143124k k x x +-=，……………6分 222104342k k x x x +=+=，200433)1(k
k x k y +-=-=， 即)433,434(2
22k k k k G +-+，……………7分 k
k k k k k OG 43443433222-=+⋅+-=， 设)1(1:--=x k y l FT ，得T 点坐标（k 3,4-），k
k OT 43-=，所以OT OG k k =，
线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分
(ii) 当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .
1|
|||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分 当直线PQ l 斜率存在时，
2222
13)3()14(||k k k TF +=-+-=，||1||122x x k PQ -+=. =-+⋅+=2122124)(1x x x x k 222222
431244)438(1k k k k k +-⋅-+⋅+ 2243112k
k ++⋅=.……………11分
22
22||34)||12(1)1
14TF k k PQ k k +==+++=⋅ 令211k t +=.则)1)(13(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t t t t g 则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分
所以1)1()(=>g t g . 所以
|
|||PQ TF 的取值范围是),1[+∞.……………14分。