2020-2021学年北师大版高中数学必修五《一元二次不等式的解法》课时作业及解析

（新课标）最新北师大版高中数学必修五
课时作业18 一元二次不等式的解法
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．已知集合A ＝{x|x 2－x －2<0}，B ＝{x|－1<x<1}，则( ) A ．A
B
B ．B
A
C ．A ＝B
D ．A ∩B ＝∅
【答案】 B
【解析】 由题意可得，A ＝{x|－1<x<2}， 而B ＝{x|－1<x<1}，故B
A.
2．不等式(x ＋3)(1－x)≤0的解集为( ) A ．{x|x ≥3或x ≤－1} B ．{x|－1≤x ≤3} C ．{x|－3≤x ≤1} D ．{x|x ≤－3或x ≥1}
【答案】 D
【解析】 (x ＋3)(1－x)≤0⇔(x ＋3)(x －1)≥0⇔x ≤－3或x ≥1，故选D.
3．不等式12x ≥4x 2＋9的解集为( ) A ．∅ B ．R C ．{x|x ＝3
2}
D ．{x|x ≠3
2}
【答案】 C
【解析】 原不等式化为4x 2－12x ＋9≤0，
即(2x －3)2
≤0，故原不等式的解集为{x|x ＝3
2
}．
4．一元二次不等式ax 2
＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫－12，13，则a ＋b 的
值是( )
A ．10
B ．－10
C ．14
D ．－14
【答案】 D
【解析】 由题意知，－12，1
3
是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，
故⎩⎪⎨⎪⎧
－12＋13＝－b a
，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12×13＝2
a
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－12，
b ＝－2，
因此a ＋b ＝－14.
5．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x ＋1， x<0，
x －1， x ≥0，
则不等式x ＋(x ＋1)f(x ＋1)
≤1的解集是( )
A ．{x|－1≤x ≤2－1}
B ．{x|x ≤1}
C ．{x|x ≤2－1}
D ．{x|－2－1≤x ≤2－1} 【答案】 C
【解析】 x ＝1时，1＋2f(2)＝3≤1矛盾，故排除B ，
x ＝－3时，－3＋(－2)f(－2)＝－3＋(－2)×3＝－9≤1，故排除A 、D ，故选C.
6．已知集合A ＝{x|－x 2＋3x ＋10≥0}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∩B ≠∅，则m 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12，4
B.⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫－∞，12∪(4，＋∞)
C ．[2,4]
D ．(2,4) 【答案】 C
【解析】 本题考查一元二次不等式的解法和集合的有关运算．解集合A 中的不等式可得－2≤x ≤5，结合数轴，要使A ∩B ≠∅，应满足⎩⎪⎨⎪
⎧
2m －1≥m ＋1，m ＋1≤5，2m －1≥－2，
解得2≤m ≤4.
7．若a<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解是( ) A ．x>5a 或x<－a B ．x>－a 或x<5a C ．5a<x<－a D ．－a<x<5a
【答案】 B
【解析】 不等式化为：(x ＋a)(x －5a)>0，
相应方程两根x 1＝－a ，x 2＝5a.
∵a<0，∴x 1>x 2，∴不等式解为x<5a 或x>－a. 二、填空题(每小题5分，共20分)
8．已知集合A ＝{x ∈R|3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R|(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝________.
【答案】 (3，＋∞)
【解析】 由题意知A ＝{x|x>－2
3}，B ＝{x|x<－1或x>3}，所以A
∩B ＝(3，＋∞)．
9．不等式2－x
x ＋4>0的解集是________．
【答案】 {x|－4<x<2}
【解析】 本题考查了分式不等式的解法及不等式解集的表示方法．
原不等式⇔x －2
x ＋4<0⇔(x －2)(x ＋4)<0⇒{x|－4<x<2}．
10．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(x ∈R)的部分对应值如下表：
则不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集是________． 【答案】 {x|x<－2或x>3}
【解析】 由表知x ＝－2时y ＝0，x ＝3时y ＝0 ∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 可化为y ＝a(x ＋2)(x －3)，
又当x＝1时，y＝－6，∴a＝1.
∴不等式ax2＋bx＋c>0的解为x<－2或x>3.
11．若不等式x2－2mx＋(m2－m)>0的解集为R，则m的取值范围是________．
【答案】m<0
【解析】∵Δ＝(－2m)2－4(m2－m)＝4m<0，
∴m<0.
三、解答题(共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
12．(14分)求下列一元二次不等式的解集：
(1)x2－5x>14；
(2)－x2＋7x>6.
【解析】(1)先将14移到左边，把不等式化为x2－5x－14>0.因为方程x2－5x－14＝0的两解为－2,7.结合对应二次函数图像易得原不等式解集为{x|x<－2或x>7}．
(2)先将不等式化为x2－7x＋6<0，因为方程x2－7x＋6＝0的两解为1,6.所以利用对应二次函数图像可得原不等式解集为{x|1<x<6}．【点评】把不等式先等价变形为标准形式再求解．
13．(15分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|12x2－31x＋20>0}，求A∩B，(∁R A)∪B.
【解析】由x2－2x－3≤0得(x－3)(x＋1)≤0.
即－1≤x≤3，故A＝{x|－1≤x≤3}，
于是∁R A＝{x|x<－1或x>3}．
由12x 2－31x ＋20>0得(3x －4)(4x －5)>0，
即⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x －43⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫x －54>0.故x<54或x>43.
因此B ＝{x|x<54或x>43
}．
故A ∩B ＝{x|－1≤x<54或4
3<x ≤3}；
(∁R A)∪B ＝{x|x<54或x>4
3
}．
14．(16分)已知a ∈R ，解关于x 的不等式x －1
x ≥a(x －1)．
【解析】 当a ≠1
时，原式可化为
1－a
·x －1
x －1a －1
x
≥0.
①若a<1，则a －1<0，1
a －1<1.
解得1a －1≤x<0，或x ≥1；
②若1<a ≤2，则1
a －1≥1,1－a<0，
解得x<0或1≤x ≤1
a －1
；
③若a>2，则a －1>1，1
a －1
<1,1－a<0.
解得x<0或1
a－1
≤x≤1.
故，当a＝1时，不等式的解集为{x|x<0或x≥1}，
当a≠1时，若a<1，原不等式解集为{x|1
a－1
≤x<0或x≥1}；
若1<a≤2，原不等式解集为{x|x<0或1≤x≤1
a－1
}；
若a>2，原不等式的解集为{x|x<0或1
a－1
≤x≤1}．。