云南省玉溪一中高二上学期期中考试 文理数学.pdf

玉溪一中2014届高二年级上学期期中考试
数学试卷
命题人：夏荣
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟，答案均填写在答题卡上，否则无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题所给的四个选项中，有且只有一个是正确的。

）
1．已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2．某单位有职工人，其中青年职工人，中年职工人，老年职工人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的中年职工为人，则样本容量为
A． B． C． D．
，若则等于( )
A． B． C．D．
4．下列结论中，正确的是：( )
①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程成正相关关系； ②散点图能直观地反映数据的相关程度；③在统计中，众数不一定是数据组中数据； ④在统计中，样本的标准差越大说明这组数据的波动越大； ⑤概率是随机的，在试验前不能确定.
A．①③ B． ②⑤ C．②④ D．④⑤
5．有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是
A．至少有1件次品与至多有1件正品
B．C．D．A． B． C． D．．，乙获胜的概率是，则甲不输的概率是( )
A． B． C． D． 一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为A． B． C．
D．为内角A、B、C所对的边，若，则角A的值是( )
A. 60°
B.90°
C.120°
D.150
10．在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为
A． B． C． D． 绕点(1,0)顺时针旋转90°后，再向上平移1个单位与圆相切，则的值是( )
A． B． C． D．
12．若不等式对恒成立 则关于t的不等式的解为
A． B． C． D．
13．设，则 -2
14．用辗转相除法或更相减损术求115、161的最大公约数是 23 ；
15．设，若是与的等比中项，则的最小值为___4__
16．假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用（万元），有如下的统计资料：
x23456y2.23.85.56.57. 0若由资料可知对呈线性相关关系，且线性回归方程为，其中已知，请估计使用年限为
20年时，维修费用约为__24.68__万元
三、解答题(本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

)
17. （本小题满分10分）
设△ABC的内角A、B、C的对边分别为，且，求：
（Ⅰ）角B的值；
（Ⅱ）函数在区间上的最大值及对应的值．
18．（本小题满分12分）已知集合，.
（1）在区间（－４，４）上任取一个实数，求“”的概率；
（2）设为有序实数对，其中是从集合A中任取的一个整数，是从集合B 中任取的一个整数，
（）列出所有可能的抽取结果；
（）求“”的概率.
解：（Ⅰ）由已知 ，………………2分
设事件“”的概率为，这是一个几何概型，则.…………………5分
（2）因为，且，
所以，基本事件共12个：，，，，，，，，，，，. ………9分
设事件为“”，则事件中包含9个基本事件，……11分
事件的概率.…………………12分
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PＢ与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点Ａ到平面PCD的距离．
（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，
所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD,
平面平面ABCD=AD,
平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,
有OD∥BC且OD=BC,
所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为AD=2AB=2BC=2,
在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,所以OB＝，
在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，　所以OP＝1，
在Rt△PBO中，
cos∠PBO=，所以异面直线PB与CD所成角的余弦值是.
（Ⅲ）由（Ⅱ）得CD=OB=，
在Rt△POC中，
所以PC=CD=DP
设点Ａ到平面ＰＣＤ的距离为，
由VＰ-ＡＣＤ=VＡ-PCD,得，解得
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-
1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
所以
所以异面直线PB与CD所成角的余弦值是
(Ⅲ)由(Ⅱ)知
设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).
可得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).
又，故点Ａ到平面PCD的距离
20. （本小题满分12分）某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组
[40，50），[50，60） ．．．[90，100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
(Ⅰ)求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；
(Ⅱ) 根据直方图估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
(Ⅲ) 若参加考试的学生共有600人，估计本次考试70分（包括70分）以上的学生共有多少人？
解：（Ⅰ）成绩落在[70，80）上的频率是0．3，
频率分布直方图如右图．-----------------------------------------------3分
(Ⅱ) 估计这次考试的
及格率（60分及以上为及格）为:1-0．01×10-0．015×10=75
平均分：45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71----------9分
(Ⅲ) 成绩是70分以上（包括70分）的学生人数为
（0．03+0．025+0．005）×10×600=360-----------------------12分
21．（本小题满分12分）已知曲线。

（1）当为何值时，曲线表示圆；
（2）若曲线与直线交于两点，且 (为坐标原点)，求的值。

解:（1）由，
得。

（4分）
(2）设，
联立直线与圆的方程，消去，
得：，
由韦达定理得：①, ②，
又由得,
由得，
将①、②代入上式得 ，
检验知满足＞0，故为所求 （12分）
22．（本小题满分12分）已知函数 ．的不等式；
时，不等式上恒成立，求的取值范围，已知，，求的范围．
①当c1时，
综上，当c1时，不等式的解集为。

……4分
（2）当ｃ＝－2时，f(x)＞ax－5化为x2＋x－2＞ax－5
ax＜x2＋x＋3，x∈(0,2) 恒成立
∴a＜（）min ……6分
∴≥1＋2
当且仅当x＝，即x＝∈(0,2)时等号∴g(x)min=(1＋x＋)min＝1＋2 ∴ a＜1＋2 ……8分
（3）
设
……12分
0.03
0
分数
0.025
0.015
0.01
0.005
100
90
80
70
60
50
40。