人教A高中数学必修4第一章 1.5 第1课时 y=Asin(ωx+φ)图象的变换

[答案]
D
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[错因与防范]
1.在解答过程中，若不能正确理解平移的实质，则会出现
π π π y＝sin(3x＋ － )，得到 y＝sin(3x＋ )．从而误选 A. 3 4 12 2．在解答过程中，若对伸缩变换理解不到位，对横坐标扩大或缩小为原来的倍 数把握不准，则易出现对 x 的系数缩小或扩大的倍数造成失误，会出现 3π y＝sin(6x＋ )等类似的错误答案． 4
重
难 突 破
重点：函数 y＝Asin(ωx＋φ) 的图象的画法及应用． 难点：y＝Asin(ωx＋φ)的图象 变换的理解及应用.
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01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
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[自主梳理] 一、A、ω、φ 对函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 1．φ 对函数 y＝Asin(x＋φ)图象的影响
π π π 移 个 单 位 长 度 后 ， 得 到 函 数 图 象 对 应 的 解 析 式 为 y ＝ 2sin 2x－ ＋ ＝ 4 6 4 π 2sin2x－ .故选 3
D.
答案：D
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[双基自测]
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π 1．把 y＝sin x 的图象向左平移 个单位，得到的图象的解析式为( 2 A．y＝－cos x π C．y＝sin x－ 2 π B．y＝sin x＋ 2 D．y＝cos x
)
π 解析：由已知得 y＝sin(x＋ )＝cos x. 2
答案：D
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[解析]
π π π 把函数 y＝sin(3x－ )的图象向左平移 个单位长度，可得 y＝sin[3(x＋ ) 4 3 3
π 3π － ]的图象，即函数解析式为 y＝sin(3x＋ )，再把所得图象上各点的横坐标扩 4 4 大为原来的 2 倍， 3 3π 可得 y＝sin( x＋ )的图象． 2 4
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1 2．将 y＝ sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍，横坐标不变，便得 2 到函数 f(x)的图象，则 f(x)＝________.
1 解析：将函数 y＝ sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍，横坐标不 2 1 变，便得到函数 f(x)＝2× sin x＝sin x 的图象． 2
π π 3x－ 4的图象向左平移3 个单位长度，再把所得图象上各
点的横坐标扩大为原来的 2 倍，则所得函数的解析式为( π A．y＝sin(3x＋ ) 12 3 π C．y＝sin( x＋ ) 2 12 3π B．y＝sin(6x＋ ) 4 3 3π D．y＝sin( x＋ ) 2 4
答案：C
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2．要得到函数 y＝cos
π x＋ 的图象，只需将函数 3
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y＝sin x 的图象(
)
π A．向左平移 个长度单位 6 π B．向右平移 个长度单位 6 5π C．向左平移 个长度单位 6 5π D．向右平移 个长度单位 6 π π 5 π 解析：y＝cos x＋3＝cos x－2＋6π且 y＝sin x＝cos x－2 ，故选 C.
由题意知，要得到 y＝sin 单位长度．
5π y＝sin 2x 的图象向左平移 个 12
[答案]
(1)C
(2)A
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三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略 (1)确定函数 y＝sin x 的图象经过平移变换后图象对应的解析式， 关键是明确左右 平移的方向，按“左加右减”的原则进行． (2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时， 首先要将解析式化为同名三 角函数形式，然后再确定平移方向和单位．
答案：C
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π 3．指出 y＝ 2cos(x－ )的图象是怎样由 y＝sin x 的图象变换得到的？ 4 π 解析：∵y＝ 2cos(x－ ) 4
π π ＝ 2sin[ ＋(x－ )] 2 4 π ＝ 2sin(x＋ )． 4 π π ∴y＝ 2cos(x－ )的图象是由 y＝sin x 的图象上所有点向左平移 个单位长度， 再 4 4 将所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍(横坐标不变)而得到的．
答案：sin x
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探究一 [典例 1]
三角函数图象的平移变换 )
(1)要得到 y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数 y＝cos 2x 的图象(
A．向左平移 1 个单位 B．向右平移 1 个单位 1 C．向左平移 个单位 2 1 D．向右平移 个单位 2
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2．ω 对函数 y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
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3． A 对函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
A
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二、正弦曲线 y＝sin x 到函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程 正弦曲线到函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程：
探究二 三角函数图象的伸缩变换 [典例 2] 说明 y＝2sin 到的．
[解析] 解法一 y＝sin x
π 2 x － ＋1 的图象是由 y＝sin 6
x 的图象经过怎样的变换得
图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 横坐标不变
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方法二：先伸缩后平移．
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2．如何由 y＝sin x 的图象得到函数 y＝3sin
π 2x－ 的图象？ 3
解析：y＝sin x 的图象
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三角函数图象平移、伸缩变换中的误区 [典例] 把函数 y＝sin
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(2)为得到函数 y＝cos
π 2x＋ 的图象，只需将函数 3
y＝sin 2x 的图象(
)
5π A．向左平移 个单位长度 12 5π B．向右平移 个单位长度 12 C．向左平移 5π 个单位长度 6
5π D．向右平移 个单位长度 6
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[解析] ＝cos (1)y＝cos 2x→y C.
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解法二 纵坐标伸长到原来的2倍 y＝sin x― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 横坐标不变
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三角函数图象变换的技巧 由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径： “先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 方法一： 先平移后伸缩．
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课时作业
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1 2x＋2＝cos(2x＋1)，故选 π 2x＋ 3
(2)因为 y＝cos ＝sin
π π 5π 2x＋ ＝sin 2x＋ . 2 ＋ 3 6 5π 2x＋ 的图象只需将 6
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[随堂训练] 1．将函数 y＝sin
π x－ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 3
2 倍(纵坐标不 )
π 变)，再将所得的图象向左平移 个单位，得到的图象对应的解析式是( 3 1 A．y＝sin x 2 C．y＝sin
1 π x－ 6 2
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1．5
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换
第 1 课时
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考 纲 定 位 1.理解 y＝Asin(ωx＋φ)中 ω、φ、A 对图象的影响． 2.掌握 y＝sin x 与 y＝Asin(ωx＋φ) 图象间的变换关系，并能正确地指 出其变换步骤.
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1．(2016· 高考全国Ⅰ卷)将函数 图象对应的函数为(
π A．y＝2sin2x＋ 4 π C．y＝2sin2x－ 4
π 1 y＝2sin2x＋ 的图象向右平移 个周期后，所得 6 4
)
π B．y＝2sin2x＋ 3 π D．y＝2sin2x－ 3
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解析：函数
π y＝2sin2x＋ 的周期为 6
π，所以将函数
π y＝2sin2x＋ 的图象向右平 6
B．y＝sin D．y＝sin
1 π x－ 2 2 π 2x－ 6
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解析：y＝sin y＝sin y＝sin
π横坐标伸长到原来的2倍 x－ ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 3 ― 纵坐标不变
1 π x－ 3 2 1 1 π π π － ＝sin 2x－6. 2x＋ 3 3