海南省文昌市2020学年高二数学上学期期中试题 理

海南省文昌市2020学年高二数学上学期期中试题 理
（完成时间：120分钟，满分：150分）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答案写在答题卡上。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

）
1．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k ＝ ( ) A ．2
B ．－4
C ．4
D ．－2
2．已知命题p ：1∈{x|(x＋2)(x －2)<0}；命题q ：0∈∅. 下列判断正确的是 ( ) A ．p 假q 真
B ．“p∨q 为真”
C ．“p∧q 为真”
D ．p 假q 假
3．a∈R，| a |<4成立的一个必要不充分条件是( ) A ．a<4 B ．| a |<3
C ．a 2<16
D ．0< a
<3
4．若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A ．
73
B ．54
C ．4
3
D ．5
3
5．在如下图所示的正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 夹角的余弦值为( ) A ．10
10
-
B ．201-
C ．201
D ．10
10
6．在抛物线y 2＝8x 中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是( )
A ．x －4y －3＝0
B ．x ＋4y ＋3＝0
C ．4x ＋y －3＝0
D ．4x ＋y ＋3＝0
7．已知三棱锥OABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示MN →，则MN →等于 ( ) A ．1
2
(c －a －b)
B ．1
2
(a ＋b －c) C ．12(a －b ＋c) D ．1
2
(b ＋c －a) 8．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A ． 2
B ．3
C ．2
D ． 3
9．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为 ( ) A ．1
2 B ．
22
C ．1
3
D ．16
10．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3
＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则
OP →·FP →的最大值为( ) A ．6
B ．3
C ．2
D ．8
11．已知二面角α-l-β等于120°，A ，B 是棱l 上两点，AC ，BD 分别在半平面α，
β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于( ) A ． 2 B ．2 C ． 3
D ． 5
12．已知抛物线y 2
=2px(p>0)与双曲线22
22x y a b
=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点
A,B(A,B 异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=( ) A ．3
B ．6
C ．12
D ．42
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知a ，b ，c 都是实数，则在命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”与它的逆命题、
否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.
14．与双曲线14
2
2
=-y x 有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是 ．
15．过抛物线y 2＝8x 的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长
为 ．
16．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别在AB 1，BC 1上，
且AM=31AB 1，BN=3
1BC 1，则下列结论：①AA 1⊥MN；②A 1C 1∥MN；
③MN∥平面A 1B 1C 1D 1；④BD 1⊥MN. 其中正确 命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号)
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤）
17．(本小题满分10分) 如图,在四棱锥P-ABCD 中，PC⊥平面ABCD ，PC=2，在
四边形ABCD 中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，点M 在PB 上， PB=4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角. 求证：（1）CM∥平面PAD ；
（2）平面PAB⊥平面PAD.
18．(本小题满分12分) 若F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，
P 是该椭圆上的一个动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3. （1）求出这个椭圆的方程；
（2）是否存在过定点N(0，2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，使OA →⊥OB
→
(其中O 为坐标原点)？若存在，求出直线l 的斜率k ；若不存在，说明理由．
19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥 P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ADC
＝60°，侧面PDC 是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD ，CD ＝2，M 为PB 的中点． （1）求证：PA⊥平面CDM ； （2）求二面角 D －MC －B 的余弦值．
20．(本小题满分12分) 设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投
影，M 为PD 上一点，且|MD|＝4
5
|PD|.
（1）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； （2）求过点(3，0)且斜率为4
5的直线被C 所截线段的长度．
21．(本小题满分12分) 如图，四棱柱ABCD­A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A⊥底面ABCD ，
AB∥DC，AB⊥AD，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点． （1）证明B 1C 1⊥CE；
（2）求二面角B 1－CE －C 1的正弦值； （3）设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面
ADD 1A 1所成角的正弦值为2
6，求线段AM
的长．
22．(本小题满分12分) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －
2＝0，抛物线C ：y 2＝2px(p>0)．
（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点
P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；
②求p的取值范围．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C
B
A
D
D
C
A
D
C
A
B
B
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．2
14
．112
32
2=-
y x 15．16 16．①③
三、解答题（本大题共6小题，满分70分） 17．证明：如图建立空间直角坐标系C-xyz.
因为PC⊥平面ABCD ，
所以∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，……1分 所以∠PBC=30°，
因为PC=2，所以BC=23，PB=4，
所以D(0，1，0)，B(23，0，0)，A(23，4，0)，P(0，0，2)，
M ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛23,0,23， …………………………………
……………2分
所以==-=CM DA DP ),0,3,32( ),2,1,0(⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛23,0,23
（1）设n=(x ，y ，z)为平面PAD 的一个法向量，
所以 即
033202=+=+-y x z y
令y=2，得n=(-3
，2，
1). ………………………4分
因为n·CM =-3×
23+2×0+1×2
3
=0，
所以n⊥CM. 又CM⊄平面PAD，
所以CM∥平面PAD. …………………………6分
（2）如图，取AP的中点E，连接BE，
则E(3，2，1)，BE=(-3，2，1).
因为PB=AB，所以BE⊥PA.
又因为BE·DA=(-3，2，1)·(23，3，0)=0，……………………8分
所以⊥.所以BE⊥DA.
又PA∩DA=A，所以BE⊥平面PAD.
又因为BE⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. ………………10分
18．解：（1）依题意，得2a＝4，2c＝23，所以a＝2，c＝3，
∴b＝a2－c2＝1.
∴椭圆的方程为x2
4
＋y2＝
1. ………………………………4分
（2）显然当直线的斜率不存在，即x＝0时，不满足条件．…………5分
设l的方程为y＝kx＋2，
由A、B是直线l与椭圆的两个不同的交设A(x
1，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，
由x2
4
＋y2＝1，
y＝kx＋2，
消去y并整理，得
(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0. ………………………………7分
∴Δ＝(16k)2－4(1＋4k2)×12＝16(4k2－3)＞0，
得k 2＞
3
4.① …………………………………………8分
x 1
＋
x 2
＝
－
16k 1＋4k 2
，
x 1x 2
＝
12
1＋4k 2
， …………………………9分 ∵OA →⊥OB →，∴OA →·OB →＝0，
∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝x 1x 2＋k 2x 1x 2＋
2k(x 1＋x 2)＋4
＝
(1
＋
k 2)x 1x 2
＋
2k(x 1
＋
x 2)
＋
4 ………………………11分
＝(1＋k 2
)·121＋4k 2＋2k ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－16k 1＋4k 2＋4＝
44－k 21＋4k 2＝0，
∴k 2＝4.②
由①②可知k ＝±2，所以，存在斜率k ＝±2的直线l 符合题
意．……12分
19．（1）证：取DC 的中点O ，连接PO ，OA ，
因为侧面
PDC
是正三角形，平面
PDC⊥平面
ABCD. ………………1分
所以PO⊥底面ABCD ，
因为底面ABCD 为菱形且∠ADC＝60°， DC ＝2，DO ＝1，则OA⊥DC. ………2分 以O 原点，分别以OA ，OC ，OP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系O －xyz ，
则A(3，0，0)，P(0，0，3)，B(3，2，0)， C(0，1，0)，D(0，－1，0)， 所
以
M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1，32， ……………………………………
4分
所以DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，32，PA →
＝(3，0，－3)，DC →＝(0，2，0)，
所以PA →·DM →＝3×32＋0×2＋(－3)×3
2＝0，
PA →·DC →
＝3×0＋0×2＋(－3)×0＝0， 所以PA →⊥DM →，PA →⊥DC →
，所以
PA⊥平面
DMC. ………………7分
（2）解：CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32
，0，32，CB →
＝(3，1，0)，
设平面B MC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)， 由n·CM →
＝0，得x ＋z ＝0， 由n·CB →
＝0，得3x ＋y ＝0. 取x ＝－1，则y ＝3，z ＝1， 所
以
一
个
法
向
量
n
＝
(
－
1
，
3
，
1)． ……………………9分
由(1)知，平面CDM 的一个法向量可取PA →
＝(3，0，－3)． 所以
cos 〈n ，PA →〉＝n ·PA
→
|n||PA →|
＝
－23
5×6
＝－
10
5
. ………………11分 观察可知二面角 D －MC －B 为钝角， 所
以
所
求
二
面
角
的
余
弦
值
是
－
10
5. …………………………12分
20．解：（1）设M 的坐标为(x ，y)，P 的坐标为(x P ，y P )，
由已知得
x P ＝x ，y P ＝5
4y ，
∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
54y 2＝25，
即
C
的
方
程
为
x 225
＋
y 216
＝
1. …………………5分
（2）过点(3，0)且斜率为
45的直线方程为y ＝4
5
(x －3)， ……………6分
设直线与C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 将直线方程y ＝4
5(x －3)代入C 的方程，得
x 225
＋
x －32
25
＝1，即x 2－3x －8＝
0. ……………………9分
∴x 1＝3－412，x 2＝3＋41
2.
∴线段AB 的长度为 |AB|＝
x 1－x 2
2
＋y 1－y 2
2
＝
⎝
⎛
⎭⎪
⎫1＋1625x 1－x 2
2
＝
4125×41＝41
5. ……12分
21．如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得
A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B 1(0，2，2)， C 1(1，2，1)，E(0，1，0)． …………2分
（1）证：易得B 1C 1→＝(1，0，－1)， CE →＝(－1，
1，－1)，
于是B 1C 1→·CE →
＝0，
所以B 1C 1⊥CE. ………………3分
（2）解：B 1C →
＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z)，
则
m ·B 1C →
＝0，m ·CE →＝0，
即
x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0.
消去x ，得y ＋2z ＝0，
不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2，1)． 由(1)，B 1C 1⊥CE，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1， 故B 1C 1→＝(1，0，－1)为平面
CEC 1的一个法向
量． ………………6分
于是
cos 〈m ，B 1C 1→
〉＝
m ·B 1C 1
→
|m||B 1C 1
→|
＝－4
14×2
＝－
27
7
， ……………7分 从而sin 〈m ，B 1C 1→
〉＝217，所以二面角B 1CEC 1
的正弦值为217
. …8分
（3）AE →＝(0，1，0)，EC 1
→＝(1，1，1)，
设EM →＝λEC 1
→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →
＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．
可取AB →＝(0，0，2)为平面ADD 1A 1的一个法向量． 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则 sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →
|
|AM →||AB →|
＝
2λ
λ2＋（λ＋1）2＋λ2×2
＝
λ
3λ2＋2λ＋1
， ……………10分
于是
λ3λ2＋2λ＋1
＝2
6，解得
λ＝
1
3
(负值舍去)， …………11分
所
以
AM
＝
2. ……………………………………12分
22．（1）解：抛物线
C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
p 2，0， ……………2分 由点⎝ ⎛⎭⎪⎫
p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p 2－0－2＝0，
即
p ＝ 4.所以抛物线
C
的方程为
y 2＝
8x. ……………4分 （2）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，线段PQ 的中点M(x 0，y 0)．
因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ， 于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b. ①证明：由
y 2＝2px ，y ＝－x ＋b
消去x 得y 2＋2py －2pb ＝
0.(*) …………8分
因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，
所以y 1≠y 2，从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化简得p ＋2b>0. 方程(*)的两根为y 1，2＝－p±p 2＋2pb ， 从而y 0＝y 1＋y 2
2
＝－p.
因为M(x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－
p. ………………10分
因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p)．
②解：因为M(2－p ，－p)在直线y ＝－x ＋b 上，
所以－p ＝－(2－p)＋b ，即b ＝2－2p.
由①知p ＋2b>0，于是p ＋2(2－2p)>0，所以p<4
3.
因
此
，
p
的
取
值
范
围
是
⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，43. …………………12分。