湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第6章数列 素能培优(七)破解基于问题情境的数列问题
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无法获得解题思路.解题时应认真审题,从问题背景中提取相关信息并分析
归纳,从中构建等差数列或等比数列模型,再根据等差数列或等比数列的有
关公式求解作答,必要时进行检验.
例1(多选题)(2024·福建龙岩模拟)在《算法统宗》中有这样一则故事:“三
百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,六朝才得到其关”,其大致
项为1 200,公比为1.2的等比数列,C正确;an-1 000=1 200×1.2n-1=
1 000×1.2n,即an=1 000(1.2n+1),令an=1 000(1.2n+1)≥4 000,则n≥log1.23=
lg3
≈
2lg2 + lg3-1 6,至少要经过6年,该项目的资金才可以达到或超过翻一番
2,3,7,8,12,13,…,所以{cn}的奇数项是以2为首项,以5为公差的等差数列,则
c2n-1=2+5(n-1)=5n-3;{cn}的偶数项是以3为首项,以5为公差的等差数列,则
c2n=3+5(n-1)=5n-2.所以c2 023=5×1 012-3=5 057.
[对点训练3]已知数表如图,记第m行,第n列的数为a(m,n),如a(4,2)=8,记
增长率.设经过n年之后,该项目的资金为an万元.(取lg 2≈0.30,lg 3≈0.48),则
下列叙述正确的是( ACD )
A.a1=2 200
B.数列{an}的递推关系是an+1=an×(1+20%)
C.数列{an-1 000}为等比数列
D.至少要经过6年,该项目的资金才可以达到或超过翻一番(即为原来的2倍)
创造的价值是上一年创造的价值的50%.现用an(n∈N+)表示A型车床在第n
年创造的价值.
(1)求数列{an}(n∈N+)的通项公式an;
(2)记Sn为数列{an}的前n项的和,Tn=
S
,企业经过成本核算,若Tn>100万元,
则继续使用A型车床,否则更换A型车床,试问该企业须在第几年年初更换A
型车床?
{cn},则c2 023的值为( B )
A.5 052
B.5 057
C.5 058
D.5 063
解析 由题意,得 Sn=20+21+…+2n-1=2n-1,所以 bn= 5log 2 ( + 1)-1 =
5-1,
则数列{bn}即为 4, 9, 14, 19,…,其整数项为 4, 9, 49, 64,…,即
8
1
1
程多 168 里,C 选项错误;a5+a6=192×(16 + 32)=18,此人第五天和第六天共走了
18 里路,D 选项正确.故选 BD.
[对点训练1](多选题)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题
时,发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,….该数列的特点如下:前两个数
中构造出新数列(等差数列、等比数列、周期数列等),那么解决问题的思
想和方法仍然不变.
例3(2024·江西五市九校第二次联考)如图为“杨辉三角”示意图,已知每一
行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为Sn,设
bn=
52 (S + 1)-1 ,将数列{bn}中的整数项依次取出组成新的数列记为
=
100
-6
2 ,
当n=11时,T11>104;
当n=12时,T12<96.
所以当n≥12,n∈N+时,恒有Tn<96.
故该企业需要在第12年年初更换A型车床.
Tn>100;
题型三 数阵或图表中的数列问题
从数列到数阵或图表,尽管数的排列形式发生了变化,但问题的本质仍然是
数列问题,只要抓住每行(每列)的首项,找准每行(每列)的变化规律,从数阵
的目标
解析 根据题意,经过1年之后,该项目的资金为a1=2 000×(1+20%)-200=
2 200万元,A正确;an+1=an×(1+20%)-200=1.2an-200,B不正确;an+1=1.2an-
200,则an+1-1 000=1.2(an-1 000),又a1-1 000=1 200,所以数列{an-1 000}是首
素能培优(七) 破解基于问题情境的数列问题
基于问题情境的数列问题是高考的热点内容,通过具体的问题背景,考查数
列的应用,以此来检验学生的核心价值、学科素养、关键能力、必备知识.
解决情境下的数列问题,常用的解题思路是:审题、建立数列模型、研究模
型、解决实际问题.建立数列模型时需注意分析:问题中有哪些量,这些量
是弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,建立相应的数列模型,抽象出
通项公式或递推关系式,然后利用数列知识解决问题.
例2(多选题)(2024·山东德州模拟)某企业为一个高科技项目注入了启动资
金2 000万元,已知每年可获利20%,但由于竞争激烈,每年年底需从利润中
Байду номын сангаас
取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润
均为1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一
列数组成的数列{an}称为斐波那契数列.现将{an}中的各项除以2所得的余
数按原来的顺序构成的数列记为{bn},数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的
前n项和为Tn,下列说法正确的是( ABD )
A.T2 022=1 348
B.S1 000=a1 002-1
C.若Tn=2 022,则n=3 033
2
D.12 + 22 + 32 +…+500
=a500a501
解析 根据斐波那契数列的特征可以看出,数列为依次连续两个奇数和一个
偶数,所以数列{bn}为1,1,0,1,1,0,…,则数列{bn}为周期数列,且周期为3,所以
T2 022=(1+1+0)×674=1 348,故A正确;因为S1 000=a1+a2+…+a999+a1 000
解 (1)由题意得a1,a2,…,a6构成首项a1=250,公差d=-30的等差数列.故
an=280-30n(n≤6,n∈N+).
a7,a8,…,an(n≥7,n∈N+)构成首项
故
1
a7= a6=50,公比
2
1 n-7
an=50×(2) (n≥7,n∈N+).
280-30,1 ≤ ≤ 6,
于是 an=
(n∈N+).
1 -7
50 × (2) , ≥ 7
1
q= 的等比数列,
2
(2)由(1)得{an}是递减数列,于是数列{Tn}也是递减数列.
当 1≤n≤6
当 n≥7
时,Tn= =265-15n,T6=175>100.所以
1
2
1 050+100×[1-( )
时,Tn= =
-6
]
1 150-
=a1a2+22 +
2
2
2
2
32 +…+500
=a2(a1+a2)+32 +…+500
=a2a3+32 +…+500
=…=a499a500+500
=
a500a501,故 D 正确.故选 ABD.
题型二 实际生活中的数列问题
实际生产生活中的许多问题都与数列问题紧密相关,解决这些问题的关键
1
为2的等比数
1)
6
2 =378,解得 a =192,a =192× 1=96,所以此人第二天走了 96
2
1
1
2
12
1 (1-
列,因为 S6=
96
里路,378
>
1
1
,A 选项错误;a3=192× 4=48,所以此人第三天走了 48 里路,B 选项
4
正确;a4=192×
1
=24,a1-a4=192-24=168,此人第一天走的路程比第四天走的路
(即为原来的2倍)的目标,D正确.故选ACD.
[对点训练2]某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床,A型车床
为企业创造的价值逐年减少(以投产一年的年初到下一年的年初为A型车
床所创造价值的第一年).若第1年A型车床创造的价值是250万元,且第1年
至第6年,每年A型车床创造的价值减少30万元;从第7年开始,每年A型车床
列.M=2 023×(2
2 022
log2(
-1
2 023
-1)+2 022×
2 023
=2
2
010)=log222 022=2 022.
023×22 022+2 023×1 010,所以
本 课 结 束
1-2
=22 022-1,a(2 023,2)=S2 022+1=22 022-0,a(2 023,3)=S2 022+2=22 022+1,…,a(2 023,2 023)=
S2 022+2 022=22 022+2 021,所以{a(2 023,n)}是以 22 022-1 为首项,公差为 1 的等差数
之间的关系和规律是什么,是否符合等差、等比数列的定义,它们之间的递
推关系是什么等,有时还需要从特殊到一般进行归纳总结.只要建立起恰当
的数列模型,就可运用数列的通项公式、前n项和公式以及相关的性质、
方法解决问题.
题型一 数学文化中的数列问题
对于以数学文化为背景的数列问题,解题时常常受困于背景陌生,阅读受阻,
=a3-a2+a4-a3+…+a1 001-a1 000+a1 002-a1 001=a1 002-a2=a1 002-1,故B正确;因为
2 022=(1+1+0)×1 011,1 011×3=3 033,且b3 031=1,b3 032=1,b3 033=0,所以
2
n=3 033 或 n=3 032,故 C 错误;12 + 22 + 32 +…+500
意思是:“某人到某地需走378里路,第一天健步行走,从第二天起因为脚痛
每天走的路程为前一天的一半,走了6天才到达目的地”,则( BD )
A.此人第二天走的路程占全程的
1
4
B.此人第三天走了48里路
C.此人第一天走的路程比第四天走的路程多144里
D.此人第五天和第六天共走了18里路
解析 设此人第 n 天走了 an 里路,则数列{an}是首项为 a1,公比 q
M
M=a(2 023,1)+a(2 023,2)+…+a(2 023,2 023),则log2( 2 023 -1 010)= 2 022
.
解析 设 Sn 表示前 n 行出现的数字个数总和,即第 n+1 行的第 1 个数字,
1-2
Sn=20+21+…+2n-1= =2n-1,如 S3=20+21+22=1+2+4=7,所以 a(2 023,1)=S2 022
归纳,从中构建等差数列或等比数列模型,再根据等差数列或等比数列的有
关公式求解作答,必要时进行检验.
例1(多选题)(2024·福建龙岩模拟)在《算法统宗》中有这样一则故事:“三
百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,六朝才得到其关”,其大致
项为1 200,公比为1.2的等比数列,C正确;an-1 000=1 200×1.2n-1=
1 000×1.2n,即an=1 000(1.2n+1),令an=1 000(1.2n+1)≥4 000,则n≥log1.23=
lg3
≈
2lg2 + lg3-1 6,至少要经过6年,该项目的资金才可以达到或超过翻一番
2,3,7,8,12,13,…,所以{cn}的奇数项是以2为首项,以5为公差的等差数列,则
c2n-1=2+5(n-1)=5n-3;{cn}的偶数项是以3为首项,以5为公差的等差数列,则
c2n=3+5(n-1)=5n-2.所以c2 023=5×1 012-3=5 057.
[对点训练3]已知数表如图,记第m行,第n列的数为a(m,n),如a(4,2)=8,记
增长率.设经过n年之后,该项目的资金为an万元.(取lg 2≈0.30,lg 3≈0.48),则
下列叙述正确的是( ACD )
A.a1=2 200
B.数列{an}的递推关系是an+1=an×(1+20%)
C.数列{an-1 000}为等比数列
D.至少要经过6年,该项目的资金才可以达到或超过翻一番(即为原来的2倍)
创造的价值是上一年创造的价值的50%.现用an(n∈N+)表示A型车床在第n
年创造的价值.
(1)求数列{an}(n∈N+)的通项公式an;
(2)记Sn为数列{an}的前n项的和,Tn=
S
,企业经过成本核算,若Tn>100万元,
则继续使用A型车床,否则更换A型车床,试问该企业须在第几年年初更换A
型车床?
{cn},则c2 023的值为( B )
A.5 052
B.5 057
C.5 058
D.5 063
解析 由题意,得 Sn=20+21+…+2n-1=2n-1,所以 bn= 5log 2 ( + 1)-1 =
5-1,
则数列{bn}即为 4, 9, 14, 19,…,其整数项为 4, 9, 49, 64,…,即
8
1
1
程多 168 里,C 选项错误;a5+a6=192×(16 + 32)=18,此人第五天和第六天共走了
18 里路,D 选项正确.故选 BD.
[对点训练1](多选题)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题
时,发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,….该数列的特点如下:前两个数
中构造出新数列(等差数列、等比数列、周期数列等),那么解决问题的思
想和方法仍然不变.
例3(2024·江西五市九校第二次联考)如图为“杨辉三角”示意图,已知每一
行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为Sn,设
bn=
52 (S + 1)-1 ,将数列{bn}中的整数项依次取出组成新的数列记为
=
100
-6
2 ,
当n=11时,T11>104;
当n=12时,T12<96.
所以当n≥12,n∈N+时,恒有Tn<96.
故该企业需要在第12年年初更换A型车床.
Tn>100;
题型三 数阵或图表中的数列问题
从数列到数阵或图表,尽管数的排列形式发生了变化,但问题的本质仍然是
数列问题,只要抓住每行(每列)的首项,找准每行(每列)的变化规律,从数阵
的目标
解析 根据题意,经过1年之后,该项目的资金为a1=2 000×(1+20%)-200=
2 200万元,A正确;an+1=an×(1+20%)-200=1.2an-200,B不正确;an+1=1.2an-
200,则an+1-1 000=1.2(an-1 000),又a1-1 000=1 200,所以数列{an-1 000}是首
素能培优(七) 破解基于问题情境的数列问题
基于问题情境的数列问题是高考的热点内容,通过具体的问题背景,考查数
列的应用,以此来检验学生的核心价值、学科素养、关键能力、必备知识.
解决情境下的数列问题,常用的解题思路是:审题、建立数列模型、研究模
型、解决实际问题.建立数列模型时需注意分析:问题中有哪些量,这些量
是弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,建立相应的数列模型,抽象出
通项公式或递推关系式,然后利用数列知识解决问题.
例2(多选题)(2024·山东德州模拟)某企业为一个高科技项目注入了启动资
金2 000万元,已知每年可获利20%,但由于竞争激烈,每年年底需从利润中
Байду номын сангаас
取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润
均为1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一
列数组成的数列{an}称为斐波那契数列.现将{an}中的各项除以2所得的余
数按原来的顺序构成的数列记为{bn},数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的
前n项和为Tn,下列说法正确的是( ABD )
A.T2 022=1 348
B.S1 000=a1 002-1
C.若Tn=2 022,则n=3 033
2
D.12 + 22 + 32 +…+500
=a500a501
解析 根据斐波那契数列的特征可以看出,数列为依次连续两个奇数和一个
偶数,所以数列{bn}为1,1,0,1,1,0,…,则数列{bn}为周期数列,且周期为3,所以
T2 022=(1+1+0)×674=1 348,故A正确;因为S1 000=a1+a2+…+a999+a1 000
解 (1)由题意得a1,a2,…,a6构成首项a1=250,公差d=-30的等差数列.故
an=280-30n(n≤6,n∈N+).
a7,a8,…,an(n≥7,n∈N+)构成首项
故
1
a7= a6=50,公比
2
1 n-7
an=50×(2) (n≥7,n∈N+).
280-30,1 ≤ ≤ 6,
于是 an=
(n∈N+).
1 -7
50 × (2) , ≥ 7
1
q= 的等比数列,
2
(2)由(1)得{an}是递减数列,于是数列{Tn}也是递减数列.
当 1≤n≤6
当 n≥7
时,Tn= =265-15n,T6=175>100.所以
1
2
1 050+100×[1-( )
时,Tn= =
-6
]
1 150-
=a1a2+22 +
2
2
2
2
32 +…+500
=a2(a1+a2)+32 +…+500
=a2a3+32 +…+500
=…=a499a500+500
=
a500a501,故 D 正确.故选 ABD.
题型二 实际生活中的数列问题
实际生产生活中的许多问题都与数列问题紧密相关,解决这些问题的关键
1
为2的等比数
1)
6
2 =378,解得 a =192,a =192× 1=96,所以此人第二天走了 96
2
1
1
2
12
1 (1-
列,因为 S6=
96
里路,378
>
1
1
,A 选项错误;a3=192× 4=48,所以此人第三天走了 48 里路,B 选项
4
正确;a4=192×
1
=24,a1-a4=192-24=168,此人第一天走的路程比第四天走的路
(即为原来的2倍)的目标,D正确.故选ACD.
[对点训练2]某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床,A型车床
为企业创造的价值逐年减少(以投产一年的年初到下一年的年初为A型车
床所创造价值的第一年).若第1年A型车床创造的价值是250万元,且第1年
至第6年,每年A型车床创造的价值减少30万元;从第7年开始,每年A型车床
列.M=2 023×(2
2 022
log2(
-1
2 023
-1)+2 022×
2 023
=2
2
010)=log222 022=2 022.
023×22 022+2 023×1 010,所以
本 课 结 束
1-2
=22 022-1,a(2 023,2)=S2 022+1=22 022-0,a(2 023,3)=S2 022+2=22 022+1,…,a(2 023,2 023)=
S2 022+2 022=22 022+2 021,所以{a(2 023,n)}是以 22 022-1 为首项,公差为 1 的等差数
之间的关系和规律是什么,是否符合等差、等比数列的定义,它们之间的递
推关系是什么等,有时还需要从特殊到一般进行归纳总结.只要建立起恰当
的数列模型,就可运用数列的通项公式、前n项和公式以及相关的性质、
方法解决问题.
题型一 数学文化中的数列问题
对于以数学文化为背景的数列问题,解题时常常受困于背景陌生,阅读受阻,
=a3-a2+a4-a3+…+a1 001-a1 000+a1 002-a1 001=a1 002-a2=a1 002-1,故B正确;因为
2 022=(1+1+0)×1 011,1 011×3=3 033,且b3 031=1,b3 032=1,b3 033=0,所以
2
n=3 033 或 n=3 032,故 C 错误;12 + 22 + 32 +…+500
意思是:“某人到某地需走378里路,第一天健步行走,从第二天起因为脚痛
每天走的路程为前一天的一半,走了6天才到达目的地”,则( BD )
A.此人第二天走的路程占全程的
1
4
B.此人第三天走了48里路
C.此人第一天走的路程比第四天走的路程多144里
D.此人第五天和第六天共走了18里路
解析 设此人第 n 天走了 an 里路,则数列{an}是首项为 a1,公比 q
M
M=a(2 023,1)+a(2 023,2)+…+a(2 023,2 023),则log2( 2 023 -1 010)= 2 022
.
解析 设 Sn 表示前 n 行出现的数字个数总和,即第 n+1 行的第 1 个数字,
1-2
Sn=20+21+…+2n-1= =2n-1,如 S3=20+21+22=1+2+4=7,所以 a(2 023,1)=S2 022