4.2抛体运动讲义

4.2抛体运动
【知识梳理】
1．平抛运动
(1)定义：将物体以一定的初速度沿方向抛出，物体只在作用下的运动。

(2)性质：平抛运动是加速度为g的运动，运动轨迹是。

(3)研究方法：运动的合成与分解。

①水平方向：运动；
②竖直方向：运动。

(4)基本规律(如图所示)
①速度关系
②位移关系
③轨迹方程：y＝g
2v20x
2。

2．斜抛运动
(1)定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在作用下的运动。

(2)性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是。

(3)研究方法：运动的合成与分解。

①水平方向：运动；
②竖直方向：运动。

(4)基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)
①水平方向：v0x＝，F合x＝0；
②竖直方向：v0y＝，F合y＝mg。

【巩固小练】
1．判断正误
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。

( )
(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。

( )
(3)做平抛运动的物体的速度越大，水平位移越大。

( )
(4)从同一高度平抛的物体，不计空气阻力时，在空中飞行的时间是相同的。

( )
(5)做平抛运动的物体的初速度越大，落地时竖直方向的速度越大。

( )
(6)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化是相同的。

( )
(7)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动。

( )
[平抛运动的理解]
2．关于做平抛运动的物体，正确的说法是()
A．速度始终不变
B．加速度始终不变
C．受力始终与运动方向垂直
D．受力始终与运动方向平行
[斜抛运动的理解]
3．物体做平抛运动时，下列描述物体的速度变化量大小Δv随时间t变化的图象中，可能正确的是()
[平抛运动规律的应用]
4．做平抛运动的物体，落地过程在水平方向通过的距离取决于()
A．物体的初始高度和所受重力
B．物体的初始高度和初速度
C．物体所受的重力和初速度
D．物体所受的重力、初始高度和初速度
【考点一】 平抛运动的基本规律 问题一 平抛运动
(1)飞行时间：由t ＝2h
g
知，时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关。

(2)水平射程：x ＝v 0t ＝v 02h
g ，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决
定，与其他因素无关。

(3)落地速度：v t ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋2gh ，以α表示落地速度与x 轴正方向的夹角，有tan α＝v y v x ＝2gh
v 0
，所以落地速度也只与初速度v 0和下落高度h 有关。

(4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g ，所以做平抛运动的
物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 相同，方向恒为竖直向下，
如图甲所示。

(5)两个重要推论
①做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过
此时水平位 移的中点，如图乙中A 点和B 点所示。

②做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。

【针对训练】
1．如图所示，一小球从一半圆轨道左端A 点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点。

O 为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R ，OB 与水平方向夹角为60°，重力加速度为g ，则小球抛出时的初速度为( )
A. 3gR 2
B. 33gR 2
C. 3gR 2
D. 3gR
3
2．(2016·台州质检)从某高度水平抛出一小球，经过t 时间到达地面时，速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g ，下列结论中正确的是( ) A ．小球初速度为gt tan θ
B ．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
C ．小球着地速度大小为 gt sin θ
D ．小球在t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ 问题二 类平抛运动 (1)受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。

(2)运动特点：在初速度v 0方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a ＝F 合
m。

(3)求解技巧
①常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。

②特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为a x 、a y ，初速度v 0分解为v x 、v y ，然后分别在x 、y 方向列方程求解。

【针对训练】 3.[多选]如图所示，两个足够大的倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等。

有三个完全相同的小球a 、b 、c ，开始均静止于斜面同一高度处，其中小球b 在两斜面之间，a 、c 分别在两
斜面顶端。

若同时释放a 、b 、c ，小球到达该水平面的时间分别为t 1、t 2、t 3。

若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，小球到达水平面的时间分别为t 1′、t 2′、t 3′。

下列关于时间的关系正确的是( )
A ．t 1>t 3>t 2
B ．t 1＝t 1′、t 2＝t 2′、t 3＝t 3′
C ．t 1′>t 3′>t 2′
D ．t 1<t 1′、t 2<t 2′、t 3<t 3′
【针对训练】
4.质量为m的飞机以水平初速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)。

今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h，如图所示，求：
(1)飞机受到的升力大小；
(2)上升至h高度时飞机的速度。

【考点二】多体平抛问题
1．多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时涉及的问题。

2．三类常见的多体平抛运动
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。

(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。

(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。

[典题1]如图所示，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度v a和v b沿水平方向抛出，经过时间t a和t b后落到与两抛出点水平距离相等的P点。

若不计空气阻力，则()
A．t a>t b，v a<v b B．t a>t b，v a>v b
C．t a<t b，v a<v b D．t a<t b，v a>v b
1．如图所示，在距水平地面分别为H和4H的高度处，同时将质量相同的a、b两小球以相同的初速度v0水平抛出，则以下判断正确的是() A．a、b两小球同时落地
B．两小球落地速度的方向相同
C．a、b两小球水平位移之比为1∶2
D．a、b两小球水平位移之比为1∶4
2．(2016·潍坊模拟)如图所示，半圆形容器竖直放置，从其圆心O点处分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A 点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成θ角，则两小球的初速度之比为()
A.tan θB．tan θ C.tan3θD．tan2θ
2.(2016·怀化模拟)如图所示，滑板运动员从倾角为53°的斜坡顶端滑下，滑下
【考点三】与斜面有关的平抛运动
斜面上的平抛运动问题常见的有物体从空中对着斜面抛出落在斜面上和从斜面上顺着斜面抛出落在斜面或斜面外两种类型，解答时的关键是充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系。

两种模型对比如下：
方法内容
实例
总结
斜面求小球平抛时间
分解速度水平v x＝v0
竖直v y＝gt
合速度v＝
v2x＋v2y
如图，v y＝gt，tan
θ＝
v0
v y＝
v0
gt，故t
＝
v0
g tan θ
分解速
度，构
建速度
三角形
分解位移水平x＝v0t
竖直y＝
1
2gt
2
合位移x合
如图，x＝v0t，y
＝
1
2gt
2，而tan θ
＝
y
x，联立得t＝
2v0tan θ
g
分解位
移，构
建位移
三角形
题组一顺着斜面的平抛运动
1．跳台滑雪运动员的动作惊险而优美，其实滑雪运动可抽象为物体在斜坡上的平抛运动。

如图所示，设可视为质点的滑雪运动员从倾角为θ的斜坡顶端P 处，以初速度v0水平飞出，运动员最后又落到斜坡上A点处，AP之间距离为L，在空中运动时间为t，改变初速度v0的大小，L和t都随之改变。

关于L、t与v0的关系，下列说法中正确的是()
A．L与v0成正比B．L与v0成反比
C．t与v0成正比D．t与v20成正比的过程中他突然发现在斜面底端有一个高h＝1.4 m、宽L＝1.2 m的长方体障碍物，为了不触及这个障碍物，他必须在距水平地面高度H＝3.2 m的A点沿水平方向跳起离开斜面(竖直方向的速度变为零)。

已知运动员的滑板与斜面间的动摩擦因数μ＝0.1，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。

(已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：
(1)运动员在斜面上滑行的加速度的大小；
(2)若运动员不触及障碍物，他从斜面上起跳后到落至水平面的过程所经历的时间；
(3)运动员为了不触及障碍物，他从A点沿水平方向起跳的最小速度。

【针对训练】
题组二对着斜面的平抛运动
3.[多选](2016·吉林模拟)如图所示，A、D分别是斜面的顶端、底端，B、C 是斜面上的两个点，AB＝BC＝CD，E点在D点的正上方，与A等高。

从E点以一定的水平速度抛出质量相等的两个小球，球1落在B点，球2落在C点，关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动过程()
A．球1和球2运动的时间之比为2∶1
B．球1和球2动能增加量之比为1∶2
C．球1和球2抛出时初速度之比为22∶1
D．球1和球2运动时的加速度之比为1∶2
4.(2016·温州质检)如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t为(重力加速度为g)()
A.v0tan θ
g B.
2v0tan θ
g C.
v0cot θ
g D.
2v0cot θ
g
【考点四】平抛中的临界问题
[典题2]如图所示，水平屋顶高H＝5 m，墙高h＝3.2 m，墙到房子的距离L＝3 m，墙外马路宽x＝10 m，小球从房顶水平飞出，落在墙外的马路上，g＝10 m/s2。

求：
(1)小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；
(2)小球落在马路上的最小速度。

1.[多选]如图所示，一高度为h的光滑水平面与一倾角为θ的斜面连接，一小球以速度v从平面的右端P点向右水平抛出，则小球在空中运动的时间t() A．一定与v的大小有关
B．一定与v的大小无关
C．当v大于
gh
2cot θ时，t与v无关
D．当v小于
gh
2cot θ时，t与v有关
2．(2015·全国新课标Ⅰ)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。

水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。

发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。

不计空气的作用，重力加速度大小为g。

若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是()
A.
L1
2
g
6h<v<L1
g
6h
B.
L1
4
g
h<v<
(4L21＋L22)g
6h
C.
L1
2
g
6h<v<
1
2
(4L21＋L22)g
6h
D.
L1
4
g
h<v<
1
2
(4L21＋L22)g
6h
【课后作业】
一、单项选择题
1．游乐场内两支玩具枪在同一位置先后沿水平方向各射出一颗子弹，打在远处的同一个靶上，A为甲枪子弹留下的弹孔，B为乙枪子弹留下的弹孔，两弹孔在竖直方向上相距高度为h，如图所示，不计空气阻力。

关于两枪射出子弹的初速度大小，下列判断正确的是()
A．甲枪射出的子弹初速度较大
B．乙枪射出的子弹初速度较大
C．甲、乙两枪射出的子弹初速度一样大
D．无法比较甲、乙两枪射出的子弹初速度的大小
2.如图所示，从A点由静止释放一弹性小球，一段时间后与固定斜面上B点发生碰撞，碰后小球速度大小不变，方向变为水平方向，又经过相同的时间落于地面上C点，已知地面上D点位于B点正下方，B、D间的距离为h，则()
A．A、B 两点间的距离为h 2
B．A、B两点间的距离为h 3
C．C、D两点间的距离为2h
D．C、D两点间的距离为23 3h
3．如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为()
A．1∶1B．2∶1C．3∶2D．2∶3
二、多项选择题
4.如图所示，一个小球从一斜面顶端分别以v10、v20、v30水平抛出，分别落在斜面上1、2、3点，落到斜面时竖直分速度分别是v1y、v2y、v3y，则() A.
v1y
v10＞
v2y
v20＞
v3y
v30 B.
v1y
v10＜
v2y
v20＜
v3y
v30
C.
v1y
v10＝
v2y
v20＝
v3y
v30D．条件不足，无法比较
5.如图所示，水平路面出现了一个大坑，其竖直截面为半圆，AB为沿水平方向的直径。

一辆行驶的汽车发现情况后紧急刹车安全停下，但两颗石子分别以速度v1、v2从A点沿AB方向水平飞出，分别落于C、D两点，C、D两点距水平路面分别为圆半径的0.6倍和1倍。

则v1∶v2的值为()
A.3
B.
3
5 C.
315
5 D.
33
5
6.如图所示，一网球运动员将球在边界处正上方水平向右击出，球刚好过网落在图中位置(不计空气阻力)，数据如图所示，则下列说法中正确的是()
A．击球点高度h1与球网高度h2之间的关系为h1＝2h2
B．若保持击球高度不变，只要球的初速度v0不大于
s
h12gh1，球就一定落在对方界内
C．任意降低击球高度(仍大于h2)，只要击球初速度合适，球就一定能落在对方界内
D．任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内
7.平抛运动可以分解为水平和竖直两个方向的直线运动，在同一坐标系中作出这两个分运动的v -t图象，则()
A．图线2表示竖直分运动的v -t图线
B．这两个直线运动的合运动还是直线运动
C．水平方向的速度总大于竖直方向的速度
D．t1时刻水平方向的速度大小与竖直方向的速度大小相等
8．如图所示，相同的乒乓球1、2恰好在等高处水平越过球网，不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自最高点到落台的过程中，下列说法正确的是() A．过网时球1的速度小于球2的速度
B．球1的飞行时间大于球2的飞行时间
C．球1的速度变化率等于球2的速度变化率
D．落台时，球1的重力功率等于球2的重力功率
9.如图所示，在水平地面上M点的正上方某一高度处，将S1球以初速度v1水平向右抛出，同时在M点右方地面上N点处将S2球以初速度v2斜向左上方抛出，两球恰在M、N连线中点的正上方相遇，不计空气阻力，则两球从抛出到相遇过程中()
A．初速度大小关系为v1＝v2
B．速度变化量相等
C．水平位移大小相等
D．都不是匀变速运动
12.如图为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图。

参与游戏的选手会遇到
10.如图所示，A、B两质点以相同的水平速度v0抛出，A在竖直面内运动，落地点为P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，不计空气阻力，比较P1、P2在x 轴方向上距抛出点的远近关系及落地瞬时速度的大小关系，则() A．P1较近
B．P1、P2一样远
C．A落地时，速率大
D．A、B落地时，速率一样大
三、计算题
11.如图所示，小球A从倾角37°足够长的斜面上的顶点处开始沿斜面匀速下滑，速度大小v1＝6 m/s，经过时间Δt后，从斜面顶点处以速度v2＝4 m/s水平抛出一个飞镖，结果飞镖恰好在斜面上某处击中小球A。

不计飞镖运动过程中的空气阻力，可将飞镖和小球视为质点。

已知重力加速度为g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，试求：
(1)飞镖是以多大的速度击中小球的？
(2)两个物体开始运动的时间间隔Δt应为多少？
一个人造山谷OAB，OA是高h＝3 m的竖直峭壁，AB是以O点为圆心的弧形坡，∠AOB＝60°，B点右侧是一段水平跑道。

选手可以自O点借助绳索降到A点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A点直接跃上跑道。

选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。

(1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v0的最小值；
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间。