高考数学必考点专项第7练 导数的概念及其运算(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)

高考数学必考点专项第7练
导数的概念及其运算
一、单选题
1. 质点运动规律23s t =+，则在时间[3,3]t +∆中，相应的平均速度等于( ) A. 6t +∆
B. 96t t
+∆+
∆ C. 3t +∆ D. 9t +∆
2. 设()f x 是可导函数，且000
()(2)
lim
2x f x f x x x
∆→-+∆=∆，则0()f x '= ( )
A. 12
B. 1-
C. 0
D. 2-
3. 设
，，
，…，
，
则
( )
A. sin x
B. sin x -
C. cos x
D. cos x -
4. 曲线2()ln 1x f x e x x =-+在点(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的图形的面积为
( )
A.
21
e - B.
4e
C.
21
e + D.
41
e + 5. 下列求导运算正确的是( )
A. 2313
(ln )x x x x
+'=+
B. 2()2x x x e xe '=
C. (3cos 2)3(ln 3cos 22sin 2)x x x x x '=⋅-
D. 211
(ln )22ln 2
log x x +'=+
6. 设函数的导函数为，则
图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知正数a ，b 满足4a b +=，则曲线()ln x
f x x b
=+
在点(,())a f a 处的切线的倾斜角的取值范围为 ( )
A. [,)4π
+∞
B. 5[,)412ππ
C. [,)42ππ
D. [,)43
ππ
8. 对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数
()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点
00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐
点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数
3211
()233
g x x x x =-+-，则(2019)(2020)(2021)(2022)(g g g g -+-++= )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
9. 若过点(,)a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( ) A. e b a <
B. e a b <
C. 0e b a <<
D. 0e a b <<
二、多选题
10. 已知函数()f x 的定义域为R ，且在R 上可导，其导函数记为().f x '下列命题正确
的有( )
()g x
A. 若函数()f x 是奇函数，则()f x '是偶函数
B. 若函数()f x '是偶函数，则()f x 是奇函数
C. 若函数()f x 是周期函数，则()f x '也是周期函数
D. 若函数()f x '是周期函数，则()f x 也是周期函数
三、填空题
11. 曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为_____________________
12. 在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4
(0)y x x x
=+>上的一个动点，则点P 到直
线0x y +=的距离的最小值是__________.
13. 已知函数()()sin cos 23f x f x x π='，其中()f x '为()f x 的导函数，则()2
f π
=
__________.
14. 定义方程的实数根0x 叫做函数的“新驻点”．设
，
则在
上的“新驻点”为_________
15. 已知函数
，若方程()f x kx =恰有两个实数解，则实数
k 的取值范围为__________.
16. 已知函数，函数()f x 的图象在点
和点
的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则
||
||
AM BN 取值范围是__________.
17. 已知直线y kx =是曲线x y e =的切线，也是曲线ln y x m =+的切线，则实数k =
__________，实数m =__________. 四、解答题
()()f x f x ='()f x ()f x
18. 已知函数32()39 1.f x x x x =-+++
(1)求()f x 的单调递减区间；
(2)求()f x 在点(2,(2))f --处的切线方程．
19. 已知函数1()ln ln .x f x ae x a -=-+
(1)当a e =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面
积;
(2)若()1f x ，求a 的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
解：平均速度为22(3)3(33)
633t v t t ++-+==++-，
故选.A
2.【答案】B
解：由题得：00000
20()(2)(2)()
lim
2lim 22x x f x f x x f x x f x x x
∆→∆→-+∆+∆-=-=∆∆，
即02()2f x -'=，得0() 1.f x '=- 故选.B
3.【答案】D
解：根据题意，
，
，，，
，则有
，
，…，
所以，则.
故选.D
4.【答案】A
解：()2ln x
f x e x x x '=--， 故(1)1f e '=-，(1)1f e =+，
故切线方程是：(1)(1)(1)y e e x -+=--， 即(1)2y e x =-+，
令0x =，解得：2y =，令0y =，解得：2
1
x e =-
-， 故围成的三角形的面积122
2211
S e e =⨯⨯=
--， 故选：.A
5.【答案】C
解：23
13
(ln )x x x x
+'=
-，A 错误； 22()2x x x x e xe x e '=+，B 错误；
(3cos 2)3ln 3cos 223sin 23(ln 3cos 22sin 2)x x x x x x x x x '=-⨯=⋅-，C 正确；
211
(ln )2ln 2
log x x +'=
，D 错误． 故选：.C
6.【答案】D
解：因为4
()cos f x x x =--，所以3
()sin 4f x x x '
=-，所以3
()sin 4g x x x =-， 所以函数()g x 是奇函数，其图象关于原点成中心对称， 而函数
为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选项B ，C 错误；
又因为其图象过原点O ，所以选项A 错误. 故选：.D
7.【答案】C
解：
()ln x
f x x b
=+，
11
()f x x b
∴'=
+，而正数a ，b 满足4a b +=， 1111111()()()(2)(22)1444
b a f a a b a b a b a b ∴'=
+=++=+++=， 当且仅当2a b ==取等号成立，
∴曲线()ln x
f x x b
=+
在(,())a f a 处的切线的斜率1k ，又倾斜角范围为[0,),π ∴曲线()ln x f x x b =+
在(,())a f a 处的切线的倾斜角的取值范围为[,),42
ππ 故选.C
8.【答案】D
解：3211
()233
g x x x x =
-+-，2()22g x x x '=-+，()22g x x ''=-， 令()0g x ''=，得1x =， 又3211
(1)1121133
g =
⨯-+⨯-=， 所以()g x 的对称中心为(1,1)，所以(2)()2g x g x -+=， 所以
(2019)(2020)(2021)(2022)[(2019)(2021)][(2020)(2022)]
g g g g g g g g -+-++=-++-+224=+=，
故选：.D
9.【答案】D
解：设切点为根据两点之间斜率和导数的几何意义，
易知000x x e b e x a
-=-，整理得：00000x x x
e b x e ae --+=有两解，
令()x x x g x e b xe ae =--+，
()()x g x a x e '=-，易知()g x 最大值为().g a
即
，
解得b a e >，
又因为当x 趋近正无穷时()0g x <，
当x 趋近负无穷时，()g x 趋近0b -<，则0.b > 综上，a 0b e << 故选.D
10.【答案】AC
解：A 中，若函数()f x 是奇函数， 则
，
则()f x '是偶函数，故A 正确；
B 中，令()sin 1f x x =+，不是奇函数，但是偶函数，故B 错误；
C 中，若函数()f x 是周期函数， 则
，
则()f x '
也是周期函数，故C 正确. D 中，令，不是周期函数，但
是周期函数，故D 错误；
故选.AC
11.【答案】2210x y π+-+=
解：
已知2sin cos y x x =+，
2cos sin y x x ∴'=-，
，
∴曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为：12()y x π+=--，
即2210.x y π+-+= 故答案为2210x y π+-+=
12.【答案】4
解：由4(0)y x x x =+
>，得241y x
'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4
(0)y x x x
=+
>切于0004(,)x x x +，
由20
4
11x -
=-
，解得000).x x > ∴曲线4
(0)y x x x
=+
>
上，点P 到直线0x y +=的距离最小，
4.= 故答案为：4.
13.【答案】0
解：因为()()[(sin )cos 2sin (cos 2)]3
f x f x x x x π
'=''+'
()(cos cos 22sin sin 2)3
f x x x x π
='-，
所以227()()(cos
cos
2sin sin )()33
3
33343
f f f πππ
ππππ'='-=-'， 所以()03f π
'=，所以()0f x =，
所以()02
f π
=，
故答案为0.
14.【答案】
4
π 解：
()sin ()cos f x x f x x =∴'=，
令()()f x f x ='，即cos sin x x =，得tan 1x =，
，解得4
x π
=
，
所以，函数()y f x =在上的“新驻点”为
.4
π 故答案为：
.4
π 15.【答案】
解：函数，
方程()f x kx =恰有两个实数解，
∴函数()f x 的图象与函数y kx =恰有2个交点.
作出函数()f x 和y kx =的图象，如图所示：
当直线y kx =与ln y x =相切时，设切点为00(,ln )x x ， 切线斜率为01k x =， 所以切线方程为0001ln ()y x x x x -=
-， 根据切线方程过原点，可得0ln 1x =，所以0x e =，1k e
=， 结合图象可知，实数k 的取值范围为，
故答案为
16.【答案】
解：由题意，，则， 所以点
和点，12,x x AM BN k e k e =-=， 所以12121,0x x e e
x x -⋅=-+=， 所以
， 所以，
(0,1)
同理，
所以
故答案为：
17.【答案】e
2
解：对于x y e =，设切点为(,)n
n e ， 因为x y e '=，故切线斜率n k e =，
故切线方程为()n n y e e x n -=-，由已知得切线过(0,0)， 所以()n n e e n -=-，故1n =，所以.k e =
对于ln y x m =+，设切点为(,ln )c c m +，且其导函数为1y x '=， 因为直线y ex =也是曲线ln y x m =+的切线，得1|.x c y e c
='== 所以1c e =，所以切点为1(,1)e
，代入ln y x m =+得11ln m e =+， 所以 2.m =
故答案为：e ；2.
18.【答案】解：(1)函数32()391f x x x x =-+++的导数为 2()369f x x x '=-++，
令()0f x '<，解得1x <-，或3x >，
可得函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-和(3,)+∞；
2(2)()369f x x x '=-++，
可得()f x 在点(2,(2))f --处的切线斜率为
3412915k =-⨯-+=-，切点为(2,3)-，
即有()f x 在点(2,(2))f --处的切线方程为315(2)y x -=-+， 即为15270.x y ++=
19.【答案】解：(1)当a e =，()ln 1x f x e x =-+，
1(),(1)1,(1)1x f x e k f e f e x
'=-='=-=+， 所以切线方程为：1(1)(1)y e e x --=--，
即(1)2y e x =-+，
所以切线在y 轴上的截距为2，在x 轴上的截距为21-e
， 所以三角形的面积1222.211
S e e =⨯⨯=-- 1ln 1(2)()ln ln ln ln x a x f x ae x a e x a -+-=-+=-+，
要使()1f x ，只需ln 1ln ln 1a x e x a +--+，
即ln 1ln -1ln a x e a x +-+，
即ln 1ln ln -1+ln ln a x x e a x x x e x +-++=+，
令()x g x e x =+，
，()g x 单调递增，
故只需(ln 1)(ln )g a x g x +-，
因为()g x 为增函数，
只需证ln 1ln a x x +-，
即ln ln 1a x x +-，
设()ln 1h x x x =+-，
11()1x h x x x
-'=-=， 所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， max ()(1)0h x h ==，
所以ln 0a ，1a ，
即a 的取值范围为[1,).+∞。