广东省佛山市南海区2023-2024学年高二下学期素养提升学业水平监测(5月)数学试卷

广东省佛山市南海区2023-2024学年高二下学期素养提升学业
水平监测（5月）数学试卷
一、单选题
1．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若111a =-，321S =-，则{}n a 的公差为（ ） A ．-4 B ．-2 C ．2 D ．4
2．已知随机变量32Y X =+，且()18D Y =，则()D X =（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
3．如图，直线l 和圆C ，当l 从0l 开始在平面上按顺时针方向绕点O 匀速转动（转动角度不超过90︒）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数．这个函数的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知非零实数a ，b ，c 不全相等，则下列结论正确的是（ ）
A ．若a ，b ，c 成等差数列，则1a ，1b ，1c
构成等差数列 B ．若a ，b ，c 成等比数列，则2a ，2b ，2c 构成等差数列
C ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a ，2b ，2c 构成等比数列
D ．若a ，b ，c 成等比数列，则2log a ，2log b ，2log c 构成等比数列
5．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为1%，第2，3台加工的次品率均为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．任取一个零件，则它是次品的概率为（ ）
A ．0.0175
B ．0.017
C ．0.0145
D ．0.014
6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p 满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数p 按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则
213n n S a n
++的最小值为（ ）
A ．19
B ．17
C ．16
D ．15 7．若函数()2
4ln 2
x f x x =-在区间(),1m m +上不单调，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()0,1 B ．[]1,2 C ．()1,2 D ．()2,+∞
8．已知05a <<且2ln525ln a a =，04b <<且2ln 28ln b b =，03c <<且2ln39ln c c =，则（ ）
A ．a b c >>
B ．c b a >>
C ．b c a >>
D ．a c b >>
二、多选题
9．某学院派出甲、乙、丙、丁四名老师带队去A ，B ，C ，D 四个地区参加社会实践活动，每名老师只能去一个地区，则下列说法正确的是（ ）
A ．若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法
B ．若恰有一个区无人去，则共有36种不同的安排方法
C ．若甲不去A 区，且每个区均有人去，则共有18种不同的安排方法
D ．若A 区只能是甲去或乙去，且每个区均有人去，则共有16种不同的安排方法 10．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n 行从左到右的数字之和记为n a ，如1112a =+=，21214a =++=，⋅⋅⋅，{}n a 的前n 项和记为n S ，则下列说法正确的是（ ）
A ．在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数字是120
B ．92046S =
C ．在“杨辉三角”中，从第2行开始到第n 行，每一行从左到右的第3个数字之和为31C n +
D ．12n n n a S S +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭
的前n 项和为211222n +-- 11．已知函数()()1ln 1f x x x x =---，则下列结论正确的是（ ）
A ．函数()f x 在1x =处的切线方程为10x y ++=
B ．函数()f x 存在唯一的极小值点
C ．函数()f x 的极小值大于2-
D ．函数()f x 有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数
三、填空题
12．在6
2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是（用数字作答） 13．已知等比数列{}n a 的前5项和为10，前10项和为50，则这个数列的前15项和为. 14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第3次传球后球在乙手中的概率为，第n 次传球后球在乙手中的概率为．
四、解答题
15．已知函数()321f x ax bx x =+++，当1x =时，()f x 取得极值1．
(1)求()f x 的解析式；
(2)若对任意的[]2,2x ∈-都有()f x c <成立，求c 的取值范围．
16．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，其中1a ，3a ，13a 成等比数列，且23a =，数列n a 的前n 项和为n S ．
(1)求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ；
(2)
设n b {}n b 的前n 项和n T ； (3)设集合{},60|n M m m a m ==<，求集合M 中所有元素的和．
17．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，在购买机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用300元，另外，实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次60元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修费用720元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，根据大数据统计显示，每台机器在三年使用期内的维修次数可能是4
次，5次或6次，其概率分别是12，13，16
．记X 表示2台机器在三年使用期内的维修次数，n 表示购买2台机器时，一次性购买的维修服务次数．
(1)求X 的分布列；
(2)以机器维修所需费用的期望值为决策依据，在9n =和10n =之中选取其一，应选用哪个？ 18．已知函数()e 2x f x ax a =-+，
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)若()f x 存在两个零点12,x x
（ⅰ）求a 的取值范围；
（ⅱ）证明：12e e 4
x x a +<． 19．如果数列{}n a 满足：120n
a a a ++⋅⋅⋅+=且()*1232,n a a a n n ++⋅⋅⋅+=≥∈N ，则称数列为“n 阶万物数列”．
(1)若某“4阶万物数列”{}n a 是等比数列，求该数列的各项；
(2)若某“9阶万物数列”{}n a 是等差数列，求该数列的通项公式；
(3)若{}n a 为“n 阶万物数列”，求证：12333232
n n a a a na -+++⋅⋅⋅+≥．。