2021届河北衡水密卷新高考原创预测试卷(五)理科数学

2021届河北衡水密卷新高考原创预测试卷（五）
理科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如果复数1
2
ai
i
-
+
（a R
∈，i为虚数单位）的实部与虚部相等，则a的值为（）
A. 1
B. -1
C. 3
D. -3 【答案】D
【解析】
【分析】
由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解.
【详解】
()()
()()
()
12212
1
2225
ai i a a i ai
i i i
----+
-
==
++-
，
由题意知：21255
a a
-+=-，解得3a =-. 故选D.
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题. 2.若{0,1,2}A =，{|2,}a
B x x a A ==∈，则A B =（ ）
A. {0,1,2}
B. {0,1,2,3}
C. {0,1,2,4}
D. {1,2,4}
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出集合B ，再求并集即可.
【详解】由{}0,1,2A =，得{}
{}|2,1,2,4a
B x x a A ==∈=.
{}0,1,2,4A B ⋃=.
故选C.
【点睛】本题主要考查了集合的描述法及并集的运算，属于基础题.
3.向量(2,)a t =，(1,3)b =-，若a ，b 的夹角为钝角，则t 的范围是（ ） A. 23
t <
B. 23
t >
C. 2
3
t <
且6t ≠- D. 6t <-
【答案】C 【解析】 【分析】
若a ，b 的夹角为钝角，则0a b <且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解. 【详解】若a ，b 的夹角为钝角，则0a b <且不反向共线，
230a b t =-+<，得23
t <
. 向量()2,a t =，()1,3b =-共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b =-. 所以2
3
t <
且6t ≠-. 故选C.
【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.
4.
《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为
4
π米，肩宽约为8π
米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷
铁饼者双手之间的距离约为（ ） （参考数据：2 1.414,3 1.732≈≈）
A. 1.012米
B. 1.768米
C. 2.043米
D. 2.945米
【答案】B 【解析】 【分析】
由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长.
【详解】由题：“弓”所在弧长54488
l ππππ=++=，其所对圆心角58524
ππα=
=，
两手之间距离2 1.25 1.768d =≈.
故选：B
【点睛】此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息.
5. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不
同的选法共有 A. 60种 B. 70种
C. 75种
D. 150种
【答案】C 【解析】 试题分析：因
,故应选C ．
考点：排列数组合数公式及运用．
6.已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的表面积是( )
A. 162+
B. 122226++
C. 1822+
D.
1622+
【答案】B 【解析】 【分析】
如图所示，还原几何体，证明CD CP ⊥，计算表面积得到答案.
【详解】
还原几何体，如图所示：连接AC
简单计算得到AC CD ==4=AD ，故AC CD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，故PA CD ⊥.故CD CP ⊥
，PC =表面积为：(
)11111
2422242222222
S =
⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯
12=+故选：B
【点睛】本题考查了三视图，表面积的计算，还原几何体是解题的关键. 7.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3
x π
=对称的函数是（ ）
A. 2sin 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
B. 2sin 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭ C 2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ D. 2sin 23y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭的周期为2412
T π
π==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D
求得函数值,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值,即可求出结果.
【详解】先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭的周期为2412
T π
π==,故排除C,将3x π=,代入
A,B,D
求得函数值为0,,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值. 故选:B .
【点睛】本题考查三角函数的周期性、对称性,难度较易.
8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）
A. 20i <，1S S i
=-，2i i = B. 20i ≤，1S S i
=-，2i i = C. 20i <，2S
S =，1i i =+ D. 20i ≤，2
S
S =
，1i i =+ 【答案】D 【解析】 【分析】
先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可.
【详解】根据题意可知，第一天1
2S =，所以满足2S S =，不满足1S S i
=-，故排除AB ，
由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2
S
S =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤.
故选D.
【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.
9.已知α是第二象限角，且3
sin()5
πα+=-
，则tan2α的值为（ ） A.
45
B. 237-
C. 247
-
D. 249
-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据诱导公式得sin α，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得tan α，再利用正切的二倍角公式可得解.
【详解】由()3sin 5πα+=-，得3sin 5
α=. 因为α是第二象限角，所以4
cos 5
α=-.
3
4
sin tan cos ααα==-.
232tan 242tan291tan 7
116
ααα-
==
=---. 故选C.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题.
10.已知抛物线2
4x y =焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y ，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为1A ，1B ，以下四个结论：①124x x =-，②121AB y y =++，③112
A F
B π
∠=，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C 【解析】 【分析】
设直线AB 为1y kx =+与抛物线联立，由韦达定理可判断①，由抛物线定义可判断②，由
0FA FB ⋅=可判断③，由梯形的中位线定理及韦达定理可判断④.
【详解】物线2
4x y =焦点为(0,1)F ，易知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 为1y kx =+.
由21
4y kx x y
=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=. 则12124,4x x k x x +==-，①正确；
1212||||||112AB AF BF y y y y =+=+++=++，②不正确；
1212(,2),(,2),40,FA x FB x FA FB x x FA FB =-=-∴⋅=+=∴⊥ ，112
A F
B π
∠=，③正确；
AB 的中点到抛物线的准线的距离
21112121111
(||||)(2)(112)(44)22222
d AA BB y y kx kx k =+=++=++++=+≥ .
当0k =时取得最小值2. ④正确. 故选C.
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，转化与化归的能力，属于中档题.
11.己知函数()ln 1f x x x kx =-+在区间1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恰有一个零点，则实数k 的取值范围是
（ ）
A. {|1k k =或1}k e >-
B. 1
{|11k k e
≤≤+或1}k e >- C. 1
{|11k k e e +
<≤-或1}k e >- D. 1
{|11k k e e
+
<≤-或1}k = 【答案】D 【解析】 【分析】
构造函数()1
ln g x x x
=+，利用导数得出其单调性，将零点问题，转化为函数的交点问题，即可得出答案.
【详解】解：令ln 10x x kx -+=，则1
ln k x x =+
；.令()1ln g x x x
=+；()22111
x g x x x x -'=
-=； ∴当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
时，0g x ，()g x 单调递减；当[]1,x e ∈时，0g x ，()g x 单调递
增；
∴当1x =时，有()min 1g x =，又∵11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11g e e =+
，∴()1g e g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭
∵()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上只有一个零点，∴()g x k =只有一个解；∴1k =或1
11k e e +<≤-.
【点睛】本题主要考查了已知函数的零点个数求参数范围，属于中档题.
12.在ABC ∆中，AB AC ==
ABC ∆所在平面内存在一点P 使得
22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为（ ）
【答案】B 【解析】 【分析】
以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，写出,,A B C 三点的坐标，利用两点间距离公式，以及圆与圆的位置关系，解不等式，得出a 的范围，再由三角形的面积公式以及二次函数的性质，即可得出ABC ∆面积的最大值.
【详解】以BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系
设(),0B a -，(),0C a ，()0a >，则(
A
设(),P x y ，由22233PB PC PA +==得
()
()
(
2
2
2
2
2
233x a y x a y x y ⎡
⎤
+++-+=+=⎢⎥⎣
⎦
即2
2
2
32
x y a +=-，(2
21x y +=
即点P 既在()0,0(为圆心，1为半径的圆上
可得11≤，由两边平方化简可得22316
a ≤
则ABC ∆的面积为122S a =⋅==
由2
2316a ≤
，可得2
2316
a =，S 取得最大值，且. 故选：B.
【点睛】本题主要考查了两点间距离公式的应用以及由圆与圆的位置关系求参数范围，属于中档题.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________. 【答案】40 【解析】 【分析】
先求出5
(2)x y -的展开式的通项，再求出43,T T 即得解. 【详解】设5
(2)x y -的展开式的通项为555155(2)
()(1)2r r
r r r r r r r T C x y C x y ---+=-=-，
令r=3,则32323
454=40T C x y x y =--， 令r=2,则23
2
3
2
358=80T C x y x y =，
所以展开式中含x 3y 3的项为2
3
3
2
3
3
(40)(80)40x x y y x y x y ⋅-+⋅=. 所以x 3y 3的系数为40. 故答案为：40
【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14.在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 所对32sin a c A =，
7c =ABC ∆33
+a b 的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】
由正弦定理边化角可得3
C π
=，由面积公式和余弦定理列方程可得+a b .
【
详
解
】
由
32sin a c A
=，结合正弦定理可得
33sin 2sin sin ,sin 0,sin A C A A C =≠∴=
. 在锐角三角形ABC 中，可得3
C π
=
.
所以ABC ∆的面积1333
sin 242
S ab C ab =
==
，解得6ab =. 由余弦定理可得2
2
2
2
2
2cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=， 解得5a b +=. 故答案为5.
【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题.
15.如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
（1）每次只能移动一个金属片；
（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.
将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为()f n ，则()f n =__________．
【答案】2n
-1; 【解析】
【详解】设h （n ）是把n 个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数 n=1时，h （1）=1；
n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h （2）=3=22-1；
n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h （2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h （2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]， h （3）=h （2）×h（2）+1=3×2+1=7=23-1，
h （4）=h （3）×h（3）+1=7×2+1=15=24
-1， …
以此类推，h （n ）=h （n-1）×h（n-1）+1=2n
-1， 故答案为:2n -1．
16.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -
中的坐标分别是A
，B ，
(0,1,0)C
，D ，则该四面体的外接球的体积为__________．
【答案】
92
π 【解析】 【分析】
. 【详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体
3=，所以球半径为
32，体积为34932
r ππ=. 【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分. 17.设数列{}n a 满足11
23
n n a a +=
+,14a = (1)求证:数列{}3n a -是等比数列; (2)求数列{}n a 的前n 项和n T .
【答案】(1)证明见解析;(2)313123n
n T n ⎛⎫
⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
【解析】 【分析】
（1）计算得到
131
33
n n a a +-=-，得到证明.
（2）计算1
133n n a -⎛⎫=+
⎪⎝⎭
，利用分组求和法计算得到答案.
【详解】(1)1123n n a a +=+,14a =，故11123133333
313n n n n n n a a a a a a +-===---+-- 故{}3n a -是首项为1,公比为
1
3
的等比数列. (2) 1
133n n a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭
故1
133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
故0
1
11111133(3133313
)n
n n T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎝⎭=+++
+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭-313123n n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查了等比数列的证明，分组求和法，意在考查学生对于数列方法，公式的综合应用.
18.某市对全市高二学生的期末数学测试成绩统计显示，全市10000名学生的数学成绩服从正态分布(
)2
100,15
N .现从甲校高二年级数学成绩在100分以上（含100分）的共200份试卷
中用系统抽样的方法抽取了20份试卷进行分析（试卷编号为001，002，…，200），成绩统计如下：
注：表中试卷编123420029n n n n n <<<<<
<.
（1）写出表中试卷得分为144分的试卷编号（写出具体数据即可）；
（2）该市又用系统抽样的方法从乙校中抽取了20份试卷，将甲乙两校这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图，在这40份试卷中，从成绩在140分以上（含140分）的学生中任意
抽取3人，这3人中数学成绩在全市排名前15名的人数记为X，求随机变量X的分布列和期望.
附：若()2,
X Nμσ，则()68.3%
P X
μσμσ
-<<+=，
()
2295.5%
P X
μσμσ
-<<+=，()
3399.7%
P X
μσμσ
-<<+=
【答案】（1）180；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据等距抽样的定义直接得到答案；
（2）根据正态分布得到全市排名前15名的成绩全部在146分以上，（含146分），根据茎叶图，得出ξ的取值及其相应概率，即可得出随机变量X的分布列和期望.
【详解】（1）因为200份试卷中用系统抽样中等距抽样的方法抽取了20份试卷，所以相邻两份试卷编号相差为1，所以试卷得分为144分的试卷编号180.
（2）∵
15
0.0015
10000
=，根据正态分布可知：()
7414699.7%
P X
<<=，
∴()
199.7%
1460.0015
2
P X
-
≥==，即全市排名前15名的成绩全部在146分以上，（含146分）
根据茎叶图可知这40人中成绩在146分以上含146分的有3人，而成绩在140分以上含140分的有8人，
∴ξ的取值为0，1，2，3
()35
3
8
5
28
C
P
C
ξ===，()21
53
3
8
15
1
28
C C
P
C
ξ
⋅
===
()12
53
3
8
15
2
56
C C
P
C
ξ
⋅
===，()
12
53
3
8
1
3
56
C C
P
C
ξ
⋅
===
∴ξ的分布列为
ξ
0 1 2 3
P
528 1528 1556 156
因此()51515190123282856568
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了系统抽样，正态分布，分布列以及期望，属于中档题.
19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，
E 为PC 上的点，且BE ⊥平面APC
（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；
（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，求二面角B AC P --的余弦值． 【答案】（1）见证明；（2）3
3
. 【解析】 【分析】
（1）通过侧面PAB ⊥底面ABCD ，可以证明出BC ⊥面PAB ，这样可以证明出
⊥AP BC ，再利用BE ⊥平面APC ，可以证明出AP BE ⊥，这样利用线面垂直的判定定理
可以证明出AP ⊥面PBC ，最后利用面面垂直的判定定理可以证明出平面PAD ⊥平面
PBC ；
（2）利用三棱锥体积公式可得111
323
P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==
⨯⨯⨯⨯=⨯⨯， 利用基本不等式可以求出三棱锥P ABC -体积最大值，此时可以求出,PA PB 的长度，以点O
为坐标原点，以OP ，OB 和OF 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -．求出相应点的坐标，求出面PAC 的一个法向量，面ABC 的一个法向量，利用空间向量数量积的运算公式，可以求出二面角B AC P --的余弦值.
【详解】（1）证明：∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB ⋂底面ABCD AB =，四边形ABCD 为正方形，∴BC AB ⊥，面ABCD ，
∴BC ⊥面PAB ， 又AP ⊂面PAB ， ∴⊥AP BC ，
BE ⊥平面APC ，AP ⊂面PAC ，
∴AP BE ⊥，
BC BE B =，,BC BE ⊂平面PBC ，
∴AP ⊥面PBC ，
AP ⊂面PAD ，
∴平面PAD ⊥平面PBC ． （2）111
323
P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==
⨯⨯⨯⨯=⨯⨯， 求三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求PA PB ⨯的最大值． 令,PA x PB y ==，由（1）知，PA PB ⊥， ∴2
2
4x y +=，
而22112
3323
P ABC
x y V xy -+=≤⨯=， 当且仅当2x y ==
，即2PA PB ==时，
P ABC V -的最大值为
2
3
． 如图所示，分别取线段AB ，CD 中点O ，F ，连接OP ，OF ，
以点O 为坐标原点，以OP ，OB 和OF 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系
O xyz -．
由已知(0,1,0),
(0,1,2),(1,0,0)A C P -，
所以(1,1,0),(0,2,2)AP AC ==， 令(,,)n x y z =为面PAC 的一个法向量，
则有0
220x y y z +=⎧⎨
+=⎩
，
∴(1,1,1)n =-
易知(1,0,0)m =为面ABC 的一个法向量， 二面角B AC P --的平面角为θ，θ为锐角 则13
cos 3
n m n m θ⋅=
==⋅.
【点睛】本题考查了证明面面垂直，考查了三棱锥的体积公式、基本不等式的应用，以及利用空间向量的数量积求二面角余弦值的问题.
20.已知点A ，B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，三角形ABM 的两条边AM ，BM 所在直线的斜率之积是3
4
-
． （I ）求点M 的轨迹方程：
（II ）设直线AM 方程为()20x my m =-≠，直线l 方程为2x =，直线AM 交l 于P 点，点
P ，Q 关于x 轴对称，直线MQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆
面积为m 的值．
【答案】（1）221(2)43x y x +=≠±（2
）3
m =±
【解析】 【分析】
(1)本题可以先将点M 的坐标设出，然后写出直线AM 的斜率与直线BM 的斜率,最后根据
AM 、BM 所在直线的斜率之积是3
4-即可列出算式并通过计算得出结果；
(2)首先可以联立直线AM 的方程与直线l 的方程，得出点P Q 、两点的坐标，然后联立直线
AM 的方程与点M 的轨迹方程得出M 点坐标并写出直线MQ 的方程，最后求出D 点坐标并
根据三角形面积公式计算出m 的值．
【详解】（1）设点M 的坐标为(),x y ，因为点A B 、的坐标分别为()20-，
、()20，， 所以直线AM 的斜率()22AM y k x x =
≠-+，直线BM 的斜率()22
BM y
k x x =≠-， 由题目可知3224y y x x ⋅=-+-，化简得点M 的轨迹方程()22
1243
x y x +=≠±； （2）直线AM 的方程为()20x my m =-≠，与直线l 的方程2x =联立，
可得点42,P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故42,Q m ⎛⎫- ⎪⎝
⎭.
将2x my =-与22143
x y +=联立，消去x ，整理得()
22
34120m y my +-=，
解得0y =，或2
1234m
y m =+，根据题目可知点2226812,3434m m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
， 由42,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭可得直线MQ 的方程为()22
21246842203434m m x y m m m m ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+---+= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令0y =，解得22
64
32m x m -=+，故2264032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭
，，
所以22
22641223232
m m AD m m -=+=
++，APD ∆的面积为22224112423232m m m m m ⨯⨯=++ 又因为APD
∆
的
面积为，故
2
2432
m m =+
整理得2
320m m -+=，解得3
m =
3m =±．
【点睛】本题考查轨迹方程以及直线相交的综合应用问题，处理问题的关键是能够通过“AM 、BM 所在直线的斜率之积是34
-
”列出等式以及使用m 表示出M Q D 、、三点的坐
标，然后根据三角形面积公式得出算式，即可顺利解决问题，计算量较大，是难题． 21.己知函数()2
x
f x e ax =+，()3
ln g x ax x ax e x =+-，a R ∈.
（1）求函数()f x 的零点个数；
（2）若()()f x g x >对任意()0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）(
)
3
,a e ∈-+∞. 【解析】 【分析】
（1）分离参数，利用导数得出()2x
e t x x
=的单调性，结合图象，即可得出函数()f x 的零点
个数；
（2）构造函数3
()ln h t t a t e a =++-，t e ≥，分类讨论a 的值，利用导数得出其单调性以
及最值，即可得出a 的取值范围.
【详解】解：（1）由题意，可知()01f =，∴0x =不是()f x 的零点
当0x ≠时，令()2
0x
f x e ax =+=，整理得，2x e a x
-=
令()2x
e t x x =，0x ≠.则()()4
2x x x e t x x
-'=. ()02t x x '>⇒>或0x <；()002t x x '<⇒<<
∴函数()t x 在
,0上单调递增，在()0,2上单调递减，在2,
上单调递增
即在2x =处取得极小值()2
24
e t =.
∵x →-∞，0t →；0x →，t →+∞；x →+∞，t →+∞ ∴函数()t x 大致图象如下图所示：
结合图形可知：①当0a -≤，即0a ≥时，2
x
e a -=无解，即20x e ax +=无解，此时()
f x 没
有零点，
②当204e a <-<，即2
04e a <<时，20x e ax +=有1个解，此时()f x 有1个零点，
③当24e a -=，即2
4e a =-时，20x e ax +=有2个解，此时()f x 有2个零点，
④当24e a ->，即2
4
e a <-时，20x e ax +=有3个解，此时()
f x 有3个零点，
综上所述，当0a ≥时，没有零点；
当2
04e a -<<时，有1个零点；
当2
4e a =-时，有2个零点；
当2
4
e a <-时，有3个零点.
（2）()()()
3
2
ln 0x
f x
g x e e x a x x x x -=++-->在()0,x ∈+∞上恒成立
∴()33
ln 1ln 10x x x e e e a x e e a x x x x ⎛⎫++- ++⎝-=⎪⎭->在()0,x ∈+∞上恒成立 令x e t x =，2
(1)x x e t x '-=
01t x '>⇒>；001t x '
<⇒<<，即函数x
e t x =在区间0,1上单调递减，在区间1
,上单调递增，则t e
令3()ln h t t a t e a =++-，t e ≥，()1a t a t h t t
'+=+= 当a e ≥-时，()0h t '，则函数()h t 在区间[),e +∞上单调递增
即33
()()ln 0h t h e e a e e a e e =++-=+>恒成立
当a e <-时，()0h t t a '>⇒>-；()0h t e t a '<⇒<- 则函数()h t 在区间[),e a -上单调递减，在区间(,)a -+∞上单调递增
3()()ln()20h t h a a a e a ∴-=-+->在区间[),e +∞上恒成立
令3
()ln()2d a a a e a =-+-，()ln()10d a a '=--> ()d a ∴在区间(,)e -∞-上单调递增
()33333ln 20d e e e e e -=-++=
3ln()20a a e a -+->，解得()
3,a e e ∈-- 综上，()
3,a e ∈-+∞
【点睛】本题主要考查了利用导数求函数零点的个数以及研究不等式的恒成立问题，属于中档题.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.
22.在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos a ρθθ=（0a >），直线l
的参数方程为242
x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）己知点()2,4P --，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，若PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值.
【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为2
2y ax （0a >）
，直线l 的普通方程为20x y --=；（2）1.
【解析】
【分析】 （1）利用极坐标化直角坐标，参数方程化普通方程的方法化简即可；
（2）直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，利用参数的几何意义，进行求解即可.
【详解】解：（1）把cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩代入2sin 2cos a ρθθ=中，得到曲线C 的直角坐标方程为22y ax （0a >）
224x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消掉参数，得到直线l 的普通方程为20x y --= （2）直线l 的参数方程与曲线C
的直角坐标方程联立，得)()24840t a t a -+++=
()840a a ∆=+>，点M ，N 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的两实根
则)124t t a +=+，()1284t t a =+， 由PM ，MN ，PN 成等比数列得212
12t t t t -=，即()21212124t t t t t t +-=，
代入得)()()()2448484a a a +-⨯+=+，解得1a =或4a =-，∵0a >∴1a =.
【点睛】本题主要考查了极坐标化直角坐标，参数方程化普通方程，直线参数方程参数的几何意义的应用，属于中档题.
23.已知函数1(1)f x m x x =---+.
（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；
（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）4,03⎛⎫-
⎪⎝⎭
；（Ⅱ）4m ≥ 【解析】 试题分析：（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个
不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由二次函数y=x 2+2x+3=（x+1）2
+2在x=﹣1取得最小值2，f （x ）在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，故有m ﹣2≥2，由此求得m 的范围．
试题解析： （1）当5m =时，()()()()521311521x x f x x x x ⎧+<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩
，
由()2f x >得不等式的解集为332
2x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）由二次函数()222312y x x x =++=++，
知函数在1x =-取得最小值2，
因为()()()()2121121m x x f x m x m x x ⎧+<-⎪=--≤≤⎨⎪->⎩
，在1x =-处取得最大值2m -，
所以要是二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点.
只需22m -≥，即4m ≥.。