湖北省黄冈市黄梅县第二中学高二数学上学期期中试题理

黄梅二中2017年秋季高二年级期中考试
理科数学试题
一、选择题（共12个小题，每小题5分，本题满分60分） 1．命题“0x R ∃∈，32
0010x x -+>”的否定是（ ）
A ．x R ∀∈，3210x x -+≤
B ．0x R ∃∈，32
0010x x -+< C ．0x R ∃∈，32
0010x x -+≤ D ．不存在x R ∈，3210x x -+> 2．下列有关命题的说法错误的是（ ）
A ．命题“若2320x x -+=则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”
B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件
C ．“若0a ≠或0b ≠，则0ab ≠”的否命题为:若0a =且0b =，则0ab =
D ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题
3.“1a =”是“方程22220x y x y a +-++=表示圆”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4.已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
5.与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是( )
A ．()()2
2
222x y -+-= B ．()()2
2
222x y +++= C ．()()2
2
222x y -++= D ． ()()2
2
222x y ++-=
6.已知双曲线()22
2107
y x a a -
=>的一个焦点与抛物线2116y x =的焦点重合，则实数a =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆
与双曲线渐近线的一个交点为()1,2，则此双曲线方程为（ ）
A ．2
214x y -=
B ．22
12y x -= C ．22
14y x -= D ．2212
x y -=
8．我们把由半椭圆()222210x y x a b +=>与半椭圆()22
2210y x x b c
+=<合成的曲线称作“果
圆”（其中222,0a b c a b c =+>>>）．如图，设点012,,F F F 是相应
椭圆的焦点，1A 、2A 和1B 、
2B 是“果圆”与,x y 轴的交点，若012F F F ∆是腰长为1的等腰直角三角形，则,a b 的值分别为（ ）
A ．5,4
B
C ．
9.(),P x y 是圆()2
2
11x y +-=上任意一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，则实数c 的
取
值范围是（ ）
A ．[﹣11]
B ．1，+∞）
C ．（﹣11）
D ．1）
10．已知经过椭圆1 ＝ ＋5
22
y x 的焦点且与其对称轴成45︒的直线与椭圆交于,A B 两点，则
AB ＝( )．
A ．
3
5
2 B ．310
C ．
2
5
D ．10
11.已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y
轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）
A ．
22+ B ．12+ C ．22
- D ．
12
- 12. 设直线l 与抛物线2
4y x =相交于,A B 两点，与圆()2
259x y -+=相切于点M ，且M
为线段AB 中点，则这样的直线l 有( )条。

A ．2 B ．3 C ．4 D ．无数条
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知圆22:9O x y +=上到直线:l (4)0++=a x by （,a b 是实数）的距离为1的点有
且仅有2个，则直线l 斜率的取值范围是 ．
14．已知正三角形ABC ，若,M N 分别是,AB AC 的中点，则以,B C 为焦点，且过,M N
的椭圆与双曲线的离心率之积为 ．
15. 过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆:C 22
22x y a b
+()10a b =>>相交于,A B 两点，
若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．
16．已知12,F F 为椭圆()22
21309x y b b
+=>>的左右两个焦点，若存在过焦点12,F F 的圆与
直线20x y ++=相切，则椭圆离心率的最大值为 ． 三、解答题
17.（本小题满分10分）已知:p 23
1
1≤--
x ,:q ()001222>≤-+-m m x x ,若p ⌝是q ⌝ 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。

18．（本小题满分12分）已知命题:p 方程22
113x y m m
+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，命
题:q 关于x 的方程22230x mx m +++=无实根， （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围．
19.（本小题满分12分）已知圆M 过点()()1,1,1,1C D --且圆心M 在20x y +-=上．
(1)求圆M 的方程；
(2)设P 是直线3480x y ++=上的动点，,PA PB 是圆M 的两条切线，,A B 为切点，求四边形PAMB 的面积的最小值．
20. （本小题满分12分）已知,M N 是焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上两个不同的
点且线段MN 中点A 的横坐标为42
p -. （1）求MF NF +的值；
（2）若2p =，直线MN 与X 轴交于点B ，求点B 的横坐标取值范围.
21．（本小题满分12分）已知1F 、2F 分别是椭圆2
2:
14
x C y +=的左、右焦点． （1）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，125
4
PF PF ⋅=-
，求点P 的坐标； （2）设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，且AOB ∠为锐角（其中
O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．
22．（本小题满分12分）已知ABC ∆的两个顶点,A B 的坐标分别是()()0,1,0,1-，且
,AC BC 所在直线的斜率之积等于()0m m ≠．
（1）求顶点C 的轨迹E 的方程，并判断轨迹E 为何种圆锥曲线； （2）当1
2
m =-
时，过点()1,0F 的直线l 交曲线E 于M 、N 两点，设N 关于x 轴的对称点为Q （M 、Q 不重合），试问：直线MQ 与x 轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由。

黄梅二中2017年秋季高二年级期中考试
理科数学答案
ADABA CCDBA DC
13.,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
14.2 15.22
16. 17．解：由p ：23
1
1≤--
x .102≤≤-⇒x ()()
.
92
1101.,,
11:,210:.110122
≥⎩⎨
⎧-≤-≥+⌝⇒⌝⌝⌝-<+>⌝-<>⌝+≤≤-〉≤-m m m q p q p m x m x p x x p m x m m m x q 所以故只需满足所以的必要不充分条件是因为或或所以所以可得由
18.【解答】解：（1
）∵方程
表示焦点在y 轴上的椭圆，
∴
，即，
即﹣1＜m ＜1，
∴若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围是（﹣1，1）； （2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题， 则p ，q 为一个真命题，一个假命题， 若关于x 的方程x 2
+2mx+2m+3=0无实根，
则判别式△=4m 2
﹣4（2m+3）＜0， 即m 2
﹣2m ﹣3＜0，得﹣1＜m ＜3． 若p 真q
假，则
，此时无解，
柔p 假q
真，则，得1≤m ＜3，
综上，实数m 的取值范围是[1，3）．
19.解：(1)设圆M 的方程为 (x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
，根据题意得：
⎪⎩
⎪⎨⎧=-+=-+--=--+-，
，
）（，）（02)1(1)1(12
22222b a r b a r b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===，，，4112r b a 故圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形PAMB 的面积S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12｜AM ｜·｜PA ｜＋2
1
｜BM ｜·｜PB ｜，又｜
AM ｜＝｜BM ｜＝2，｜PA ｜＝｜PB ｜，所以S ＝2｜PA ｜，而｜PA ｜＝
422
2-=-PM AM
PM ，
即S ＝242
-PM .因此要求S 的最小值，只需求｜PM ｜的最小值，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得｜PM ｜的值最小，所以｜PM ｜min ＝
2
2438
1413++⨯+⨯＝3，所以四边形PAMB 的面积的最小值为2
43242min
2-=-PM
＝
25.
20. （Ⅰ）证明：设1122(,),(,)M x y N x y 则
12128,,22
p p x x q MF x NF x +=-=+
=+而 128MF NF x x p ∴+=++=（定值）……5分
（Ⅱ）解：当2p =时，抛物线4C x =2
：y
①若直线MN 斜率不存在，则(3,0)B ，……7分
②若直线MN 斜率存在，设1122(3,t)(t 0)(,),(,)A M x y N x y ≠g ，则
由211222
44y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得：2212124()y y x x -=- 1212122
()4y y y y x x t
-∴
+=-，即kmn=
2:y t (x 3)MN t ∴-=-B ∴点的横坐标为232
t x =-
由22(3)4y t x t y x ⎧
-=⎪-⎨⎪=⎩
消去x 得：222221200012y ty t t -+-=><<V 由得： 2
3(3,3)2
t x ∴=-∈-又直线MN 斜率不存在时0t =
综上，点B 的横坐标的取值范围为(3,3]-
21.解：（1
）因为椭圆方程为，
知a=2，b=1
，，
可得
，
， 设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），
则
，
又
，联立，
解得
，即为；
（2）显然x=0不满足题意，可设l 的方程为y=kx+2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
联立，
由△=（16k ）2﹣4（1+4k 2）•12＞0
，得
．
，
．
又∠AOB
为锐角，即为
，
即x 1x 2+y 1y 2＞0，x 1x 2+（kx 1+2）（kx 2+2）＞0，
又
，
可得k 2＜4
．又
，即为
，
解得
．
22.解：（1）设点C （x ，y ），由AC ，BC 所在直线的斜率之积等于m （m ≠0），
得：
=m ，化简得：﹣mx 2
+y 2
=1（x ≠0）．
当m ＜﹣1时，轨迹E 表示焦点在y 轴上的椭圆，且除去（0，1），（0，﹣1）两点； 当m=﹣1时，轨迹E 表示以（0，0）为圆心，半径是1的圆，且除去（0，1），（0，﹣1）两点；
当﹣1＜m ＜0时，轨迹E 表示焦点在x 轴上的椭圆，且除去（0，1），（0，﹣1）两点； 当m ＞0时，轨迹E 表示焦点在y 轴上的双曲线，且除去（0，1），（0，﹣1）两点． （2）设11222212(,,)N(,),()(0)M x y x y x y x x θ-≠ 依题直线l 的斜率存在且不为零，可设:1x ty λ=+
由2
21()21x y x v x ty ⎧+=≠⎪⎨⎪=+⎩
得22(t 2)y 210ty ++-= 1212
2221
,22
t y y y y t t --+=
=++ 又M Q 、重合， 则1212,x x y y ≠≠-
12
1112
:(x x )y y MQ y y x x +∴-=
-- 另0y =
121112
(x x )
y x x y y -=+
+
121112
(y y )
ty ty y y -=+
+
12
12
212ty y y y =
+=+
故M Q 、过定点20（，）。