广东省韶关市高三数学第一次调研考试(理)

2009届高三调研考试数学试题(理科)
2009.02
本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分.考试用时间120分钟. 注意事项： 1．
考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔
写在答题卷上； 2．
选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相
应指定位置上。

答在试题卷上不得分； 3．
考试结束，考生只需将答题案交回。

参考公式：锥体的体积公式1
3
V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．
如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．
第一部分 选择题(共40分)
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{}{}|1,|21x M x x N x =<=>，则M N =
A ．∅
B ．{}|0x x <
C ．{}|1x x <
D ．{}|01x x <<
2. 复数
i 215
+的共轭复数为 A.－31035-i B.－i 3
10
35+ C.1－2i
D.1+2i
3. 右图是2008年韶关市举办“我看韶关改革开放三十年”演讲比赛大赛上,
七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最
7984446793
低分后,
所剩数据的平均数和方差分别为 A.5; 1.6 B.85; 1.6 C.85; 0.4 D.5;0.4
4.如图, 共顶点的椭圆①,②与双曲线③,④的离心率分别
为1234,,,e e e e ,其大小关系为
Ａ．1234e e e e <<< Ｂ．2134e e e e <<<
Ｃ．1243e e e e <<< Ｄ．2143e e e e <<<
5. 若=a ，=b ，则∠AOB
平分线上的向量OM 为 A.|
|||b b
a a + B.λ(|
|||b b a a +)，λ由确定 C.
||b a b
a ++ D.
|
|||||||b a b
a a
b ++
6. 电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数
sin()I A t ωϕ=+(0,0,0)2
A π
ωϕ>><<
的图象如右图所示，则当100
1=
t 秒时，电流强度是
A ．5-安
B ．5安
C ．安
D ．10安
7. 已知函数()21log 3x
f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，若实数0x 是方程()0f x =的解，且
100x x <<，则()1f x 的值为
A ．恒为正值
B ．等于0
C ．恒为负值
D ．不大于0
8. 已知棱长为3的正方体1111ABCD A BC D -，长为2的线段MN 的一个
②
① ④
③
端点M 在1DD 上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动.则线段MN 中点P 的轨迹与正方体的表面所围成的较小的几何体的体积为 A ．43π B ．76π C ．13π D ．16
π 第二部分 非选择题(共110分) 二.填空题(每小题5分,共30分)
9. 下面框图表示的程序所输出的结果是___________ (说明，M N =是赋值语句，也可以写成M N ←，或
:M N =)
10. 已知9
)2
22(-x 展开式的第7项为421，则实数x 的
值是______.
11. 斜率为),0(11≠k k 直线l 与椭圆2
212
x y +=交于1P 、2P 两点，线段2
1P P 的中点为P ，直线OP 斜率为2k ，则12k k ⋅=的值等于____________ 12.
在
等
差
数
列
{}
n a 中,若
70
a =,则
121213......(112)n n a a a a a a n -+++=+++≤≤将此命题类比到等比数列中应
是:在等比数列
{}
n a 中,若_________,则
_____________________________________________.
第13至15题，从3题中选答2题，多选按前2题记分
13.在极坐标系中，圆心在()2，π且过极点的圆的方程为______________.
14. 如图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，则点A 到直线l 的距离
AD
为 .
15. 如果关于x 的不等式34x x a -+->的解集是全体实数，则a 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本题满分12分)
在ABC ∆中，c b a 、、为角C B A 、、所对的三边，已知222+c b a bc -=． （Ⅰ）求角A 的值；
（Ⅱ）若a =B 为x ，周长为y ，求)(x f y =的最大值.
17.(本题满分12分)
有人预测:在2010年的广州亚运会上,排球赛决赛将在中国队与日本队之间展开,据以往统计, 中国队在每局比赛中胜日本队的概率为23
,比赛采取五局三胜制,即谁先胜三局谁就获胜,并停止比赛. （Ⅰ）求中国队以3:1获胜的概率; （Ⅱ）.设ξ表示比赛的局数,求ξ的期望值.
18. (本题满分13分)
已知动圆过定点(0,2)N ，且与定直线:2L y =-相切. （I ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（II ）若A 、B 是轨迹C 上的两不同动点，且AN NB λ=. 分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设其交点Q ，证明AB NQ ⋅为定值.
A
p
19. (本题满分14分)
如图，矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD 于点A ，M ，N 分别是AB 、PC 的中点.
（Ⅰ）求证：MN //平面PAD ;
（Ⅱ）设平面PDC 与平面ABCD 所成的二面角为θ，能否确定θ，使
得直线MN 是异面直线AB 与PC θ的值，若不能确定，说明理由.
20．(本题满分14分)
已知函数()2f x x ax b =++ (其中,a b R ∈) （I ）若当[1,1],()0x f x ∈-≤恒成立,求
5
2
b a --的取值范围； （II ）若[1,1],[1,1]a b ∈-∈-,求()f x 无零点的概率;
(Ⅲ) 若对于任意的正整数k ，当 5
555个k x =时，都有
5
2555)(个k x f =成立,则称这样)(x f 是2K 函数.现有函数2
14()(2)()5
g x x a x b f x =+++-,试判断()g x 是不是2K 函数?并给予证明.
21. (本题满分14分) 已知函数()321,.212x F x x x -⎛⎫
=≠ ⎪-⎝⎭
（I ）求122008...;200920092009F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（II ）已知数列{}n a 满足12a =,()1n n a F a +
=,求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ) 求证:123...n a a a a >.
2009年韶关市高三调研测试数学试题(理科)答案及评分标准 一、选择题答案 DCBDB AAC
二、填空题 9. 360 ， 10. 3
1- ， 11. －2
1 ， 12.，2, 13.
ρθ=-22cos
14.
9
2
,15. (),1-∞ 三、解答题
16.(本题满分13分)
解：（Ⅰ）2
2
2
+c b a bc -= ， 2221c o s
22
b c a A bc +-==……………………..2分
π<<A 0
3
π
=
∴A ………………………………………………………4分
（Ⅱ）,sin sin A BC x AC =
x x x BC AC sin 2sin 2
33
sin 3sin =⋅=⋅=∴π…………6分
同理：)3
2sin(2sin sin x C A BC AB -=⋅=π
………………………………8分
3)3
2sin(2sin 2+-+=∴x x y π
3
)6
sin(32++
=π
x …………………………………………………
………10分
3
π=A 3
20π<=<∴x B
)
6
5,6(
6
π
ππ
∈+
∴x (11)
分
33,3
2
6
max ==
=
+
∴y x x 时即π
π
π
……………………13分
17. (本题满分12分)
(Ⅰ)设中国队以3:1获胜的事件为A.
若中国队以3:1获胜,则前3局中国队恰好胜2局,然后第4局胜. ………………………2分 所
以
,
2232128
()()33327
P A C =⋅⋅=.. .......... (5)
分
(Ⅱ)3,4,5ξ=
()33211
3()()333
P ξ==+=;.. .......... (7)
分
()()2331210
4()3327
P P A C ξ==+⋅=.. ………. …………………………………
……9分
()()()8
513427
P P P ξξξ==-=-==
.. ………………………………………10分
所以所求的ξ的期望值
110826
34533272727
E ξ=⋅+⋅+⋅=……………………………12分
18. (本题满分13分)
解：（I ）依题意，圆心的轨迹是以(0,2)N 为焦点，:2L y =-为准线的抛物线上……2分
因为抛物线焦点到准线距离等于4 所以圆心的轨迹是28x y = （II ）解法一：
由已知(0,2)N ，11221122(,),(,).,(,2)(,2),A x y B x y AN NB x y x y λλ=--=-设由即得
故 ()()
12
1212(2)
2x x y y λλ-=⎧⎪⎨
-=-⎪⎩
将（1）式两边平方并把22122
21218,8y y y x y x λ===代入得 （3）
解（2）、（3）式得λ
λ2
,221=
=y y ，
且有.16822221-=-=-=y x x x λλ
…………8分 抛物线方程为.4
1,81
2x y x y ='=求导得 所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是
,)(41,)(41222111y x x x y y x x x y +-=+-=
22
11221111,.4848
y x x x y x x x =-=-即 121212(,)(,2)282x x x x x x
Q ++=-解出两条切线的交点的坐标为 ……11分
),()4,2
(
211221y y x x x x --⋅-+=⋅所以0)8181(4)(212
1222122
=---=x x x x 所以AB NQ ⋅为定值，其值为0. …………13分
解法二：
由已
知
N
（
，2）
1122(,),(,).,,,,A x y B x y AN NB A N B λ=设由知三点共线 ,AB x 直线与轴不垂直: 2.AB y kx =+设
22,
1.8y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩
由可得28160x kx --=， 1621-=x x …………8分
后面解法和解法一相同 19.(本题满分12分) 20.(本题满分14分)
解(1)据题意: (1)010
(1)010(0)00f a b f a b f b -≤--≤⎧⎧⎪⎪
≤∴++≤⎨⎨⎪⎪≤≤⎩⎩
可行域如图(暂缺)
5
2
b a --的几何意义是定点(2,5)P 到区域内的点(,)Q a b 连线的斜率k , 又min max 50550
,42(1)321
k k --====--- 故
52
b a --的取值范围为5
[,4]3
(2)当()f x 有零点时,24a b ≥,满足条件为211
114a b a b -≤≤⎧⎪
-≤≤⎨⎪≥⎩
由抛物线的下方与1,1a b =±=-围成的区域面积
1
2311111113
(1)()|4126
S a da a a --=+=+=⎰ 由直线1,1a b =±=±围成的区域面积24S = 故()f x 有零点的概率1213
24
S P S =
=
∴()f x 无零点的概率为11124
P P =-=
(3)()g x 是2K 函数.
证明： 29
()25
g x x x =+符合条件．
因为)110(9
5)10100101555515
-=++++=-k k k
（个， 同理：)110(9
555525
2-=k k
个； 25
5955
(55
5)((101))[(101)]2(101)9599
k k k k g g =-=-+⨯-个
)110(952)110(952-⨯+-=
k k )110)(110(95+-=k k 5
22555)110(95
个k k =-=．
所以， 29
()25
g x x x =+符合条件．
21. 解:(I )因为()()()()312
321321211
x x F x F x x x ---+-=
+=---
所以设S=122008...;200920092009F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
..........（1） S=200820071...200920092009F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
……….(2) (1)+(2)得:
1200822007200812...200920092009200920092009S F F F F F F ⎧⎫⎧⎫⎧⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎨⎬⎨⎬⎨⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭⎩
⎭ =320086024⨯=, 所以S=3012
(II )由()1n n a F a +=两边同减去1,得
1321
112121
n n
n n n a a a a a +---=
-=-- 所以()12112111
21
111
n n n n n n a a a a a a +-+-=
==+
----, 所以
11
1211n n a a +-
=--,11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭
是以2为公差以
11
11a =-为首项的等差数列, 所以
()1
212211
n n n a =+-⨯=--1212121n n a n n ⇒=+
=-- ()III 因为()
()()()2
2
2212121n n n n >-=-+
所以
221212n n n n +>-2345221
,,...1234212n n n n
+⇒>>>- 所以
123...n a a a a ==。