三年高考(2016-2018)高考数学试题分项版解析 专题12 平面向量 文(含解析)

专题12 平面向量文
考纲解读明方向
分析解读 1.从“方向”与“大小”两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练
掌握平行四边形法则与三角形法则.3.向量共线的条件要结合向量数乘的意义去理解,并能灵活应用
.4.向
量的概念与运算是必考内容.5.本节在高考中主要考查平面向量的线性运算及其几何意义,分值约为5分,属中低档题.
分析解读 1.理解平面向量基本定理的实质,理解基底的概念,会用给定的基底表示向量.2.掌握求向量坐标的方法,掌握平面向量的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点,分值约为5分,属中低档题.
两向量垂直及
分析解读 1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.
2018年高考全景展示
1．【2018年浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是
A. −1
B. +1
C. 2
D. 2−
【答案】A
【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求
最小值.
点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.
2．【2018年天津卷文】在如图的平面图形中，已知,
则的值为
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，
则，由题意可知：，，
结合数量积的运算法则可得：.
本题选择C选项.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
3．【2018年文北京卷】设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若，则m=_________.
【答案】
点睛：此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设，则①
；②.
4．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．
【答案】3
【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.
点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
2017年高考全景展示
1.【2017北京，文7】设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ·n <0”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
试题分析：若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180，那么0
cos1800m n m n m n ⋅==-<T ，
若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(
0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所
以是充分不必要条件，故选A. 【考点】1.向量；2.充分必要条件.
【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要 ，同时q 是p 的必要不充分条件，若p q ⇔，那互为充要条件，若p q <≠>，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若:,:p x A q x B ∈∈,若A B ≠
⊂，那么p 是q 的充分必要
条件，同时q 是p 的必要不充分条件，若A B =，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.
2.【2017课标II ，文4】设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 A.a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 【答案】A
【考点】向量数量积 【名师点睛】
(1)向量平行：1221//a b x y x y ⇒=，
//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R ,111BA AC OA OB OC λλλλ
=⇔=
+++ (2)向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，
(3)向量加减乘： 2
21212(,),||,||||cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅<>
3.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB ＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则
A ．321I I I <<
B ．231I I I <<
C ．213I I I <<
D ．312I I I <<
【答案】C 【解析】
试题分析：因为90AOB COD ∠=∠>，所以0(,)OB OC OA OB OC OD OA OC OB OD ⋅>>⋅>⋅<< 选C ．
【考点】 平面向量数量积运算
【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用． 利用向量夹角
公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得90AOB COD ∠=∠>，由AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，可求OC OA <，OD OB <，进而解得213I I I <<． 4.【2017山东，文11】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若a ||b ,则λ= . 【答案】3- 【解析】
【考点】向量共线与向量的坐标运算
【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量． (3)三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于AB →与AC →
共线.
5.【2017北京，文12】已知点P 在圆22=1x y +上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为_________． 【答案】6 【解析】
试题分析：||||cos ||||2(21) 6.AO AP AO AP AO AP θ⋅=⋅≤⋅≤⨯+=所以最大值是6. 【考点】1.向量数量积；2.向量与平面几何
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，因为AO 是确定的，所以根据向量数量积的几何意义若AO AP ⋅最大，即向量AP 在AO 方向上的投影 最大，根据数形结合分析可得当点P 在圆与x 轴的右侧交点处时最大，根据几何意义直接得到运算结果236⨯=.
6.【2017课标3，文13】已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a b ⊥，则m = . 【答案】2
【解析】由题意可得：2330,2m m -⨯+=∴=.
【考点】向量数量积
【名师点睛】(1)向量平行：1221//a b x y x y ⇒=，
//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R ,111BA AC OA OB OC λλλλ
=⇔=
+++ (2)向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，
(3)向量加减乘： 2
21212(,),||,||||cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅<>
7.【2017浙江，14】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是
_______．
【答案】4，【解析】
【考点】平面向量模长运算
【名师点睛】本题通过设入向量,a b 的夹角θ，结合模长公式， 解得
5c o s
a b a b ++-=+转化能力和最值处理能力有一定的要求．
8.【2017天津，文14】在△ABC 中，60A ∠=︒，AB =3，AC =2.若2BD DC =，AE AC AB λ=-（λ∈R ），且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 .
【答案】 3
11
【解析】
【考点】1.平面向量基本定理；2.向量数量积.
【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，向要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量,AB AC ，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.
9.【2017课标1，文13】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________． 【答案】7 【解析】
试题分析：由题得(1,3)a b m +=-，因为()0a b a +⋅=，所以(1)230m --+⨯=，解得7m = 【考点】平面向量的坐标运算 ，垂直向量
【名师点睛】如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2＝0．
10.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为
OA 与OC 的夹角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R , 则m n += ▲
.
【答案】3
【解析】由tan 7α=
可得sin 10α=
，cos 10
α=，根据向量的分解，
易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩
0210
m n m =⎪
-=⎪⎩
，即510570
n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，
所以3m n +=. 【考点】向量表示
【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提
供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.
(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
11.【2017江苏，16】 已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；
（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.
【答案】（1）5π
6
x =
（2）0x =时，取得最大值，为3； 5π
6
x =
时，取得最小值，为-.
【考点】向量共线，数量积
【名师点睛】(1)向量平行：1221//a b x y x y ⇒=，
//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R ,111BA AC OA OB OC λλλλ
=⇔=
+++ (2)向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，
(3)向量加减乘： 2
21212(,),||,||||cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅<>
2016年高考全景展示
1.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知向量1(2BA =uu v ,1
),2BC =uu u v 则ABC ∠=（ ）
(A)300
(B) 450
(C) 600
(D)1200
【答案】A 【解析】
考点：向量夹角公式．
【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为·
cos a b a b θ＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有||=a a a ·，·cos a b a b
θ=
， ·
0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
2.【2016高考天津文数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为（ ） （A ）8
5
- （B ）
8
1 （C ）
4
1 （D ）
811
【答案】B 【解析】
试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a =
=-，33
()24
DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴253531
44848
AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选B.
考点：向量数量积
【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
3.【2016高考四川文科】已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r
，则2
BM uuu r 的最大值是( )
(A)
443 (B) 449 (C) 43637+ (D) 4
33
237+
【答案】B 【解析】
考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.
【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出
120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，且2D
A D
B D
C ===，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，
写出,,,A B C D 坐标，同时动点P
的轨迹是圆，()
(2
2
2
14
x y BM +++=
，因此可用圆的性质得出最
值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．
4.【2016高考新课标2文数】已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.
【答案】6- 【解析】
考点：平面向量的坐标运算 ，平行向量.
【名师点睛】如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.
5.【2016高考北京文数】已知向量=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________. 【答案】30
【解析】
试题分析：两向量夹角为603030.-=23cos ,222
a b a b a b
⋅<>=
=
=
⋅⋅，且两个向量夹角范围是[]0,π，所以夹角为30，故填：30. 考点：平面向量数量积
【名师点睛】由向量数量积的定义θcos ||||⋅⋅=⋅(θ为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法. 6.【2016高考新课标1文数】设向量a =(x ,x +1),b =(1,2),且a ⊥b ,则x = .
【答案】2
3
- 【解析】
试题分析：由题意, 2
0,2(1)0,.3
x x x ⋅=++=∴=-a b 考点：向量的数量积及坐标运算
【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ,则1122x y x y ⋅=+a b .
7.【2016高考浙江文数】已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______．
【解析】
考点：平面向量的数量积和模.
【思路点睛】先设a ，b 和e 的坐标，再将
转化为三角函数，进而用辅助角公式将三角函数进行化简，最后用三角函数的性质可得三角函数的最大值，进而可得a e b e ⋅+⋅的最大值．
8.【2016高考山东文数】已知向量1,-()()16,-4a b ==，．若()
a ta
b ⊥+，则实数t 的值为________． 【答案】5- 【解析】 试题分析：
()()
()()6,4,6,41,12100ta b t t ta b a t t t +=+--+⋅=+--⋅-=+=，解得5t =-
考点：平面向量的数量积
【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从()
a ta
b ⊥+出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.。