例谈几类常见的“隐藏圆”问题

为
常数
，犃，犅
为定
点．利
用
求
动
点
５ ２
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轨迹方程的一般方法，可得动点犘 的轨迹为圆．因此这也是一种形式的“隐藏圆”，不妨称之 为“数量积圆”．
三、阿波罗尼斯圆
例３ （２００８年江苏卷第１３题）在△犃犅犆 中，已知犃犅＝２，犃犆＝槡２犅犆，则△犃犅犆 面
积的最大值为 ．
●●分析 本题表面上看是一个解三角形的问题，因此利用余弦定理、面积公式，将
的取值范围为 ．
●●分析 类似于例３，建立平面直角坐标系后，用求轨迹方程的一般方法，可得（１）（２）中
（ ） （ ） 点犆 的轨迹均为圆，所以求面积最大值的方法与例３相同．（３）中，设 犆（狓０，狔０），则
｜狓０－狔０＋１｜
槡２
２＋
｜狓０＋狔０－１｜
槡２
２＝４，化简得
狓２０＋（狔０－１）２＝４，即点
槡 （ ） 的最大值．而由弦长公式可得动点犇 到圆心犆 的距离犇犆＝ 狉２－ 犃２犅 ２ ＝１，由圆的定义
可得动点犇 在以犆 为圆心，１为半径的圆上．所以问题最终转化为圆上的动点犇 到定点犗
的距离的最大值．由几何关系可得犇犗 最大值为犆犗＋１＝４，所以答案为８．
●●评注 本题可得出如下结论：若已知圆的一条弦长为定值（小于直径），则此弦的中点
知识可得犱 的最大值为半径２槡２，所以面积最大值为２槡２．
●●评注 由例３可得出，若动点犆 到两定点 犃，犅 的距离之比犆犆犅犃＝λ（其中λ 为正常
数），则动点犆 的轨迹为圆．这种“隐藏圆”最初是由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，因此我们 称之为“阿波罗尼斯圆”．
四、平方和（差）圆
例４ （１）在△犃犅犆 中，已知 犃犅＝２，犆犃２＋犆犅２＝８，则△犃犅犆 面积的最大值为
●●分析 本题从图形上看，并无有效的几何性质可用，况且题中包含向量计算，因此需建
中立垂平线面为直狔角坐轴标建系立，平转面化直为角坐坐标标运系算．易．以得线犃段，犃犅犅，犆的为中三点个为定原点点，，犃而犅求所犆在犙→直的线范为围狓，自轴，然犃想犅 到少点了须犘求的动坐点标犙，再的设轨犘迹（０．利，狋用）求，则轨犃迹犘→方·犃程犙→的＝一（１般，狋方）法·，（设狓＋犙１（狓，狔，狔）＝）１，由，可于得数狓量＋积１运＋狋算狔中＝１还①缺，
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例谈几类常见的“隐藏圆”问题
江苏省南京市第九中学 杜明明
圆是完美的对称图形，具有极其优美的几何性质．在解析几何中，圆的一些几何性质就 可转化为代数方程或不等式．在一些求范围或最值的问题中，我们需要研究其中动点的运动 规律，找出动点的轨迹，要么利用轨迹的几何性质求出范围或最值，要么利用轨迹方程消元 转化为函数或不等式求范围或最值．由于圆的性质较多，所以它是一种非常常见的轨迹．但 是在有些题设中，信息隐藏较深，需要我们通过分析转化来发现“圆”，我们称这类题目为“隐 藏圆”问题．本文例析几种常见的“隐藏圆”问题，供同学们参考学习．
）２＋ 线段
犃犅 为直径的圆上（点犘 可与犃，犅 重合），因此点犘 不仅在圆犆 上，还在另一个“隐藏圆”上，
故只需要两圆有公共点即可．由圆与圆位置关系的判定可得：２－２≤槡（犿－０）２＋（０－０）２ ≤
●● ２＋２，解得 评注
犿 例的２取中值，范动围点为犘［－均４满，４足］犘．犃→·犘犅→＝λ，其
中λ
算 垂
距 直
离平方和时 的直线的距
含 离
的狓０平狔０方的和项为必定然值能的够点正的负轨抵迹消也，为所
பைடு நூலகம்
以点犆 的轨迹仍然为圆，故 圆．这三种“隐藏圆”均与距
到 离
的平方和或差有关，我们不妨称之为“平方和（差）圆”．
五、先求方程，再定圆
线犃犘例上５ 一已点知，满正足三犃角犘→形·犃犃犙→犅犆＝１的，边则长犆为犙→２的，点取犘值为范线围段为犃 犅 中 垂 ．线上任意一点，点犙 为射
△犃犅犆 面积表示为边犫或犮的函数，再利用导数或换元的办法可求出最大值．这种办法计算 量较大，若要减少运算量，需再发掘题目中的几何特征，从而利用几何性质代替代数运算． △犃犅犆 面积的变化究其原因在于点犆 的运动，那么点犆 的运动有何规律呢？单从三角形 本身来看无迹可寻，因此将三角形放在平面直角坐标系中，求点犆 的轨迹方程．以线段犃犅 的中点为原点，犃犅 所在直线为狓 轴，犃犅 中垂线为狔 轴建立平面直角坐标系．则犃（－１，０），
犆
的
轨迹为圆狓２＋
（狔－１）２＝４，故只需此圆与圆 犕 有公共点即可．
●●评注 由（１）（２）可得出，若 犃，犅 为两定点，动点犆 满足犆犃２＋犆犅２＝λ 或犽犆犃２－
犆犅２＝λ，（其中犽，λ 为常数，犽≠１），则动点犆 的轨迹为圆．（３）中显然直线犾１，犾２ 互相垂直，
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因此在计 两条互相
一、定弦圆
点
犃
，例犅１ 在（圆２０犆１５上年，且南京犃犅二＝模２）槡３在，平则｜面犗直犃→角＋坐犗犅→标｜系的狓最犗大狔值中为，已 知 圆
犆：狓２＋狔２－６狓＋５＝０， ．
●● ｜犗犃→＋分犗析犅→｜ ＝同２｜起犗犇点→｜两，从向而量将之两和个利
用平行四边形法则可化为一个向量，取弦犃犅 中点犇，则 动点犃，犅 化为一个动点犇，求动点犇 到定点犗 的距离
的轨迹为圆，这种“隐藏圆”我们不妨称之为“定弦圆”．
二、数量积圆
●● 狔２＝４例分上２析 存 在在由平点犘面犘→犃直·满角犘足→犅坐犘＝犃→标０·系可犘狓得犅→犗犘＝狔犃０中，⊥则，犘已实犅知，数根点犿据犃的直（取径－２值所，范对０围的），圆为犅周 （２角 ，为 ０）直 ，若角 ，圆．点犆犘：（必狓在－犿以
犅（１，０），设犆（狓，狔），代入犃犆＝槡２犅犆 可得：（狓＋１）２＋狔２＝２（狓－１）２＋２狔２，化简得狓２＋
狔２－６狓＋１＝０，即（狓－３）２＋狔２＝８，故点犆 的轨迹还是一个圆．由于线段 犃犅 长度一定，所 以要使面积最大，只需高最大，即点犆 到直线犃犅（狓 轴）的距离犱 最大．由直线与圆的相关
．
（２）在△犃犅犆 中，已知犃犅＝２，２犆犃２－犆犅２＝４，则△犃犅犆 面积的最大值为 ．
（３）在平面直角坐标系狓犗狔 中，已知直线犾１：狓－狔＋１＝０，犾２：狓＋狔－１＝０．若圆 犕：
（狓－２）２＋（狔－犿）２＝４上存在点犆，使得点犆 到直线犾１，犾２ 的距离的平方和为４，则实数犿