2019高考数学二轮复习第4讲导数的综合应用课件理

k x
1 k x x
2
方法归纳 破解此类以函数为背景的不等式恒成立问题需要“一构造、一 分类”.“一构造”是指通过不等式的同解变形,构造一个与背景 函数相关的函数;“一分类”是指在不等式恒成立问题中,常需对 参数进行分类讨论,求出参数的范围.有时也可以利用分离参数 法,即将不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,利 用导数求该函数的最值.一般地,a>f(x)对x∈D恒成立,只需a>f(x)
(1)证明:函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点; (2)求方程f(x)=g(x)的根的个数,并说明理由.
解析 (1)由题意,可得h(x)=f(x)-g(x)=ex-1- x -x. 所以h(1)=e-3<0,h(2)=e2-3- 2 >0.所以h(1)h(2)<0. 所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点. (2)方程f(x)=g(x)的根的个数为2,理由如下: 由(1)可知,h(x)=f(x)-g(x)=ex-1- x -x. 由g(x)= x +x知x∈[0,+∞). 而h(0)=0,则x=0为h(x)的一个零点. 又h(x)在(1,2)内有零点, 所以h(x)在[0,+∞)上至少有两个零点.
所以g '(x)>x- + . 2
所以g '(x)>0. 所以g(x)在(1,+∞)上为增函数. 所以g(x)>g(1)=0,即f(x)> -e1-x.
1 x
考点二
利用导数解决不等式恒成立、存在性问题
例1 (2018陕西质检一)设函数f(x)=ln x+ ,k∈R. (1)若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线x-2=0垂直,求f(x)的单
▲方法总结
利用导数研究函数零点的方法: 方法一:(1)利用导数求出函数f(x)的单调区间和极值; (2)根据函数f(x)的性质作出图象; (3)判断函数零点的个数. 方法二:(1)利用导数求出函数f(x)的单调区间和极值; (2)分类讨论,判断函数零点的个数.
方法归纳 三步解决方程解(或曲线公共点)的个数问题
1 x
由f '(x)>0,得x>1; 由f '(x)<0,得0<x<1. 所以函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).
1 x (2)证明:令g(x)=f(x)- e ,x>1, 1 x
1 1 1-x 则g '(x)=x- + -e . 2 x x
ex 1 (2)当a≥ 时, f(x)≥ -ln x-1. e e ex ex 1 设g(x)= -ln x-1,则g'(x)= - . e e x
当0<x<1时,g'(x)<0;当x>1时,g'(x)>0. 所以x=1是g(x)的最小值点. 故当x>0时,g(x)≥g(1)=0. 因此,当a≥ 时, f(x)≥0.
第 4讲
导数的综合应用
总纲目录
考点一 利用导数证明不等式
考点二
考点三
利用导数解决不等式恒成立、存在性问题
利用导数研究函数的零点或方程的根
考点一
利用导数证明不等式
例 (2018课标全国Ⅰ文,21,12分)已知函数f(x)=aex-ln x-1. (1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;

2


2
Hale Waihona Puke +∞). (2)依题意,∃x∈[1,3],ax3-3x2+3ax2-6x≤0,
3x 2 6 x 3x 6 等价于不等式a≤ = 在x∈[1,3]有解. 2 3 2 x 3x x 3x 3x 6 令h(x)= (x∈[1,3]), 2 x 3x 3( x 2 4 x 6) 3[( x 2) 2 2] 则h '(x)=- 2 =- 2 <0. 2 2 ( x 3x) ( x 3 x)
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故f(x)在(-∞,3-2 3 ),(3+2 3 ,+∞)上单调递增,在(3-2 3 ,3+2 3 )上 单调递减.
x3 (2)因为x +x+1>0,所以f(x)=0等价于 -3a=0. 2 x x 1 2 2 x3 x ( x 设g(x)= -3a,则g'(x)= 2 x 3) ≥0,当且仅当x=0时g'(x) 2 x x 1 ( x 2 x 1) 2
方法归纳 用导数证明不等式的方法
(1)利用单调性:若f(x)在[a,b]上是增函数,则①∀x∈[a,b],有f(a)≤
f(x)≤f(b);②∀x1,x2∈[a,b],且x1<x2,有f(x1)<f(x2).对于减函数有类似 结论. (2)利用最值:若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m),则∀x ∈D,有f(x)≤M(或f(x)≥m). (3)证明f(x)<g(x),可构造函数F(x)=f(x)-g(x),证明F(x)<0.
k x
调性和极小值(其中e为自然对数的底数);
(2)若对任意的x1>x2>0,f(x1)-f(x2)<x1-x2恒成立,求k的取值范围.
解析 (1)由条件,得f '(x)= - 2 (x>0).
1 k x x
∵曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线x-2=0垂直,
∴f '(e)=0,即 - =0, 2 ∴k=e. ∴f '(x)= - = (x>0). 2 2 由f '(x)<0,得0<x<e.由f '(x)>0,得x>e. ∴f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增, 当x=e时,f(x)取得极小值,且极小值为f(e)=ln e+ =2. ∴f(x)的极小值为2.
1 1-x e x1 x -e = x1 , x xe
令h(x)=ex-1-x(x>1),则h '(x)=ex-1-1.
当x>1时,h '(x)>0,
所以h(x)在(1,+∞)上为增函数. 所以h(x)>h(1)=0.
1 x 1 x
所以 -e1-x>0,即-e1-x>- .
2 1 x x 2 1 x3 2 x 1 x 2 2 x 1 而x- + = 2 > 2 >0, 2 x x x x
2
=0.所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增. 故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.
1 1 1 1 2 a 又f(3a-1)=-6a +2a- =-6 <0, f(3a+1)= >0,故f(x)有一个 - 3 6 3 6
2
零点. 综上,f(x)只有一个零点.
1 3
解析 (1)当a=3时,f(x)= x3-3x2-3x-3,
1 3
f '(x)=x2-6x-3.
令f '(x)=0,解得x=3-2 3 或x=3+2 3 . 当x∈(-∞,3-2 3 )∪(3+2 3 ,+∞)时,f '(x)>0;
当x∈(3-2 3 ,3+2 3 )时,f '(x)<0.
e e 1 e x x xe x 1 k e e
(2)由题意知,对任意的x1>x2>0,f(x1)-x1<f(x2)-x2恒成立, 设h(x)=f(x)-x=ln x+ -x(x>0), 则h(x)在(0,+∞)上单调递减. ∴h '(x)= - 2 -1≤0在(0,+∞)上恒成立.
1 1 ∴当x>0时,k≥-x2+x=- x + 恒成立. 2 4 1 ∴k≥ . 4 1 , 故k的取值范围是 . 4
第一步:将问题转化为函数的零点个数问题,进而转化为函数的图
象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点个数问题; 第二步:利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值、端点
值等性质,进而画出其图象;
第三步:结合图象求解.
已知函数f(x)=ex-1,g(x)= x +x,其中e是自然对数的底数,e=2.718 28….
1 e
方法总结 利用导数证明不等式的常用方法: (1)证明f(x)<g(x),x∈(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x).若f '(x)<0, 则F(x)在(a,b)上是减函数,同时若F(a)≤0,由减函数的定义可知,x ∈(a,b)时,有F(x)<0,即证明了f(x)<g(x). (2)证明f(x)>g(x),x∈(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),若f '(x)>0, 则F(x)在(a,b)上是增函数,同时若F(a)≥0,由增函数的定义可知,x ∈(a,b)时,有F(x)>0,即证明了f(x)>g(x).
1 又h'(x)=e - x -1,
x

1 2
2
1 1 x 2 -1, 记φ(x)=ex- 2 3 1 x 2. 则φ'(x)=ex+ 4
当x∈(0,+∞)时,φ'(x)>0, 所以φ(x)在(0,+∞)上单调递增, 易知φ(x)在(0,+∞)内只有一个零点, 则h(x)在[0,+∞)上有且只有两个零点, 所以方程f(x)=g(x)的根的个数为2.
max
;a<f(x)对x∈D恒成立,只需a<f(x)min.
设a∈R,已知函数f(x)=ax3-3x2.
(1)求函数f(x)的单调区间; (2)设g(x)=f(x)+f '(x),若∃x∈[1,3],有g(x)≤0,求实数a的取值范围.
解析 (1)f '(x)=3ax2-6x.当a=0时,f '(x)=-6x. 令f '(x)>0,得x<0;令f '(x)<0,得x>0. 当a>0时,令f '(x)>0,得x> 或x<0; 令f '(x)<0,得0<x< . 当a<0时,令f '(x)>0,得 <x<0; 令f '(x)<0,得x< 或x>0.
1 (2)证明:当a≥ 时, f(x)≥0. e
解析 (1)f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=aex- . 由题设知, f '(2)=0,所以a= 2 .
x x 从而f(x)= . 2 e -ln x-1, f '(x)= 2 e -
1 x
1 2e
1 2e
1 2e
1 x
当0<x<2时, f '(x)<0;当x>2时, f '(x)>0. 所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.
2 a 2 a 2 a 2 a
综上所述,当a=0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为
(0,+∞);
2 ,单调递减区间为 当a>0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,0), , a
2 0, ; a
当a<0时,f(x)的单调递增区间为 ,0 ,单调递减区间为 , ,(0, a a
所以h(x)在[1,3]上是减函数.
所以h(x)的最大值为h(1)= .所以a≤ ,
9 , 即实数a的取值范围为 . 4
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考点三
利用导数研究函数的零点或方程的根
例 (2018课标全国Ⅱ文,21,12分)已知函数f(x)= x3-a(x2+x+1). (1)若a=3,求f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点.
设函数f(x)=ax2- -ln x,曲线y=f(x)在x=2处与直线2x+3y=0垂直. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当x>1时,证明:f(x)> -e1-x.
1 x
1 2
解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=2ax- .
3 1 3 1 由已知,得f '(2)= ,即4a- = .所以a= . 2 2 2 2 1 x2 1 所以f '(x)=x- = . x x