数学_2014年上海市某校高考数学三模试卷(文科)(5月份)_(含答案)

2014年上海市某校高考数学三模试卷（文科）（5月份）
一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. i 为虚数单位，复数1
1−i 的虚部是________．
2. 若抛物线C:y 2=2px 的焦点在直线x +y −2=0上，则p =________；C 的准线方程为________．
3. 设函数f(x)={
log 2x ，x >0
4x ，x ≤0
，则f[f(−1)]________；若函数g(x)=f(x)−k 存在两个零
点，则实数k 的取值范围是________．
4. 阅读如图所示的程序框图，如果输入的n 的值为6，那么运行相
应程序，输出的n 的值为________．
5. 若θ∈R ，则方程|2sin2θ1
11
|=0的解为________．
6. 已知集合A ={x|2−|2x −3|∈N ∗, x ∈N ∗}，则集合A 的子集数为________．
7. 年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如表：
理”，−1代表“生活不能自理”．则随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是________（用分数作答）．
8. 平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是________．
9. 已知函数f(x)=2x ，点P(a, b)在函数y =1
x (x >0)图象上，那么f(a)⋅f(b)的最小值是________．
10. 在平面上，AB 1→
⊥AB 2→
，|MB 1→
|=1，|MB 2→
|=2，AP →
=AB 1→
+AB 2→
．若|MP →
|<1，则
|MA →
|的取值范围是________．
11. 函数f(x)=(2x −1)(2−x −a)的图象关于x =1对称，则f(x)的最大值为________． 12. 对于任意正整数，定义“n 的双阶乘n!!”如下：对于n 是偶数时，n !!＝n ⋅(n −2)⋅(n −
4)…6×4×2；对于n 是奇数时，n !!＝n ⋅(n −2)⋅(n −4)…5×3×1．现有如下四个命题： ①(2013!!)⋅(2014!!)＝2014!； ②2014!!＝21007⋅1007!； ③2014!!的个位数是0； ④2015!!的个位数不是5． 正确的命题是________．
13. 已知关于t 的一元二次方程t 2+(2+i)t +2xy +(x −y)i =0(x, y ∈R)．当方程有实根时，则点(x, y)的轨迹方程为________．
14. 已知向量序列：a 1→，a 2→，a 3→，…，a n →，…满足如下条件：|a 1→
|=4|d →
|=
2，2a 1
→
⋅d →
=−1
且a n →−
a n−1
→=d →
(n =2, 3, 4,…)．若a 1→⋅a k →
=0，则k =________；|a 1→
|，|a 2→
|，|a 3→
|，…，
|a n →
|，…中第________项最小．
二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15. 下列函数中周期为π且图象关于直线x =π
3对称的函数是（ ）
A y ＝2sin(x
2
+π
3
) B y ＝2sin(2x −π
6
) C y ＝2sin(2x +π
6
) D y ＝2sin(x
2
−π
3
)
16. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≤3
y ≤x +1x +3y ≥3
，则函数z =2x −y 的最大值是（ ）
A −1
B 0
C 3
D 6
17. 棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）
A 143
B 4
C 10
3
D 3
18.
若直线mx +ny =4和圆x 2
+y 2
=4没有公共点，则过点(m, n)的直线与椭圆
x 29
+
y 24
=1的
公共点个数为( )
A 至多一个
B 0个
C 1个
D 2个
三、解答题解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．
19. 圆形广场的有南北两个大门在中轴线上，东、西各有一栋建筑物与北门
的距离分别为30米和40米，且以北门为顶点（视大门和建筑物为点）的角为60∘，求广场的直径（保留两位小数）．
20. 设底面直径和高都是4厘米的圆柱的内切球为O ． （1）求球O 的体积和表面积；
（2）与底面距离为1的平面和球的截面圆为M ，AB 是圆M 内的一条弦，其长为2√3，求AB 两点间的球面距离．
21.
设椭圆y 2a 2+x 2
b 2=1(a >b >0)两顶点A(−b, 0)，B(b, 0)，短轴长为4，焦距
为2，过点P(4, 0)的直线l 与椭圆交于C ，D 两点． （1）求椭圆的方程；
（2）求线段C ，D 中点Q 的轨迹方程；
（3）若直线AC 的斜率为1，在椭圆上求一点M ，使三角形△MAC 面积最大． 22. 数列{a n }满足a n+1+(−1)n a n =2n −1，且a 1=2，S n 是a n 的前n 和． （1）求a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8； （2）求a n ； （3）求S n ．
23. 已知函数f(x)=a(1−|x −1|)，a 为常数，且a >1． （1）求f(x)的最大值；
（2）证明函数f(x)的图象关于直线x =1对称；
（3）当a =2时，讨论方程f （f(x)）=m 解的个数．
2014年上海市某校高考数学三模试卷（文科）（5月份）答案
1. 1
2
2. 4,x =−2
3. −2,(0, 1]
4. 5
5. θ=kπ+π12
或θ=kπ+
5π12
，k ∈Z
6. 4
7.
287300
8. 一条直线（过点A 垂直于AB 的平面与平面α的交线） 9. 4 10. (2, √5] 11. 1
4
12. ①②③
13. (x −1)2+(y +1)2=2 14. 9,3 15. B 16. D 17. B 18. D
19. 解：设南、北门分别为点A 、B ，东、西建筑物分别为点C 、D ． 在△BCD 中，CD =√302+402−2⋅30⋅40⋅cos60∘=√1300． 由于AB 为△BCD 的外接圆直径， 所以AB =CD
sin60∘=
20√393
≈41.63米．
所以广场直径约为41.63米． 20. 解：（1）∵ 底面直径和高都是4厘米的圆柱的内切球为O ， ∴ 球O 的半径为2cm ， ∴ 球O 的体积为4
3π⋅23=
32π3
，表面积4π⋅22=16π；
（2）∵ AB 是圆M 内的一条弦，其长为2√3， ∴ ∠AOB =
2π3
，
∴ AB 两点间的球面距离为4π3
．
21.
解：（1）∵ 短轴长为4，焦距为2，
∴ b =2，c =1，
∴ a =√b 2+c 2=√5， ∴ 椭圆方程为y 2
5+
x 24
=1．…
（2）设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，Q(x, y)，则y 1
25+
x 1
24
=1①，y 225+
x 2
24
=1②
∵ 过点P(4, 0)的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，线段C ，D 中点Q ∴ ①-②可得
y
x−4
⋅y x
=−54
，即5x 2−20x +4y 2=0(0≤x ≤1)．…
（3）设平行于AC 的直线方程为y =x +m ，代入椭圆方程得9x 2+8mx +4m 2−20=0．
△=64m 2−4⋅9⋅(4m 2−20)=0，解得m =−3，m =3（舍）． 把m =−3代入上式解得x =4
3
，从而解得M(4
3
, −5
3
)．…
把y =x +2代入椭圆方程整理得9x 2+16x −4=0， ∴ |AC|=√2⋅√(−16
9)2+
169
=
20√29
，AC 边上高的最大值ℎ=
√2
，
∴ △MAC 面积最大值为12⋅
20√29√
2=509
．…
22. 解：（1）∵ 数列{a n }满足a n+1+(−1)n a n =2n −1，且a 1=2，
∴ a 2−2=1，解得a 2=3， a 3+3=3，解得a 3=0， a 4−0=5，解得a 4=5， a 5+5=7，解得a 5=2， a 6−2=9，解得a 6=11， a 7+11=11，解得a 7=0， a 8−0=13，解得a 8=13．…
（2）由（1）猜想：a 4k−3=2，a 4k−2=8k −5，a 4k−1=0，a 4k =8k −3．… 用数学归纳法证明：
①n =1，2，3，4时已经验证． ②n =4k(k ≥1)时，猜想如上，
则a 4k+1+(−1)4k a 4k =2(4k)−1，即a 4k+1=8k −1−(8k −3)=2， a 4k+2+(−1)4k+1a 4k+1=2(4k +1)−1，
即a 4k+2=2(4k +1)−1+2=8(k +1)−5，… a 4k+3+(−1)4k+2a 4k+2=2(4k +2)−1， 即a 4k+3=2(4k +2)−1−(8k +3)， a 4k+4+(−1)4k+3a 4k+3=2(4k +3)−1， 即a 4k+4=2(4k +3)−1−0=8(k +1)−3． 由①、②可知，当n =4k +1时，猜想成立．… 从而a n ={2,n =4k −3,n ∈N ∗2n −1,n =4k −2,k ∈N ∗
0,n =4k −1,k ∈N ∗2n −3,n =4k,k ∈N ∗
．…
（3）当n =4k 时，S n =2k +(4k 2−k)+0+(4k 2+k) =8k 2
+2k =
n 2+n 2
，…
当n =4k −1时，S n =S 4k−1=S 4k −a 4k =8k 2+2k −(8k −3) =8k 2−6k +3 =
n 2−n+4
2
，…
当n =4k −2时，S n =S 4k−2=S 4k −a 4k −a 4k−1 =8k 2+2k −(8k −3) =8k 2−6k +3 =
n 2+n+4
2
，…
当n =4k −3时，S n =S 4k−3=S 4k −a 4k −a 4k−1−a 4k−2 =8k 2+2k −(8k −3)−(8k −5) =8k 2−14k +8 =
n 2−n+4
2
．…
综合上述，S n =
{
n 2−n+4
2，n =4k −3，k ∈N ∗
n 2+n+42
，n =4k −2，k ∈N ∗n 2−n+4
2
，n =4k −1，k ∈N ∗
n 2+n 2
，n =4k ，k ∈N ∗
．…
23. 解：（1）f(x)=a(1−|x −1|)={a(2−x),x ≥1
ax,x <1
当x <1时，f(x)为增函数，最大值为a ；当x ≥1时，f(x)为减函数，最大值为a ，故f(x)
的最大值为a ．
（2）设点(x 0, y 0)为y =f(x)上任意一点，则
，f(2−x 0)=a(1−|2−x 0−1|)=a(1−|1−x 0|)=a(1−|x 0−1|)=y 0=f(x 0)
∴ f(2−x 0)=f(x 0)，令2−x 0=1+x ，则x 0=1−x ，∴ f(1+x)=f(1−x)，即x =1是函数f(x)的对称轴，
所以，函数f(x)的图象关于直线x =1对称．
（3）当a =2时，f(f(x))={
4x,x <1
2
4−4x,12
≤x <1
4x −4,1≤x ≤
32
8−4x,x >32
如图，当m <0时，方程有2个解；当m =0时，方程有3个解；当0<m <2时，方程有4个解；当m =2时，方程有2个解．
综合上述，当m <0或m =2时，方程有2个解；当m =0时，方程有3个解；当0<m <2时，方程有4个解．。