天津市河北区 扶轮中学2019届九年级上学期期末数学试卷( 解析版)

天津市河北区扶轮中学2019 届九年级上学期期末数学试卷
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

，满分36 分）
1.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2.在某个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是8
3.3%，下列说法错误的是（）
A.科比罚球投篮2 次，一定全部命中
B.科比罚球投篮2 次，不一定全部命中
C.科比罚球投篮1 次，命中的可能性较大
D.科比罚球投篮1 次，不命中的可能性较小
3.如图，在△ABC 中，已知∠ADE＝∠B，则下列等式成立的是（）
A．B．C．D．
4.把抛物线y＝﹣x2先向左平移1 个单位，再向下平移2 个单位，得到的抛物线的表达式
是（）
A．y＝﹣（x+1）2+2 B．y＝﹣（x+1）2﹣2
C．y＝﹣（x+1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2
5.若点A（a，b）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则a+b 的最小值是（）
A．3 B．4 C．6 D．9 6．在平面直角坐标系中，△ABC顶点A（2，3）．若以原点O为位似中心，画三角形ABC 的位似图形△A′B′C′，使△ABC 与△A′B′C′的相似比为，则A′的坐标为（）
A．B．
C．D．
7.若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m 的取值范围为（）
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0
8.如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE 的
是（）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝D．＝
9.等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（）
A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：2
10.点M（a，2a）在反比例函数y＝的图象上，那么a 的值是（）
A．4 B．﹣4 C．2 D．±2
11.二次函数y＝（x﹣4）2+3 的最小值是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
12.已知二次函数y＝x2﹣x+m﹣1 的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是（）
A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2
二．填空题（满分18 分，每小题 3 分）
13.如图，两弦AB、CD 相交于点E，且AB⊥CD，若∠B＝60°，则∠A 等于度．
14.已知y 与x﹣1 成反比例，且当x＝2 时，y＝3，则y 与x 的函数关系式为．
15.如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n 与直线a，b，c 分别交于点A，C，E，B，D，F，
若AC＝4，CE＝6，BD＝3，则DF 的值是．
16.从甲、乙、丙、丁4 名学生中随机抽取2 名学生担任数学小组长，则抽取到甲和乙概
率为．
17．已知a+b＝5，ab＝3，则a2+b2＝．
18．如图，线段AB＝4，M 为AB 的中点，动点P 到点M 的距离是1，连接PB，线段PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC 长度的最大值是．
三．解答题（共7 小题，满分66 分）
19．（8分）已知x＝0是一元二次方程﹣2＝0的一个根，求m的值．20．（8分）如图，在⊙O中，圆周角∠ACB＝40°，点D是AB的中点，求∠DOB的度数．
21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA 是⊙O 的切线；
（2）若AB＝4+，BC＝2 ，求⊙O 的半径．
22．（10分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4 元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5 元，每天可多销售4 件，那么每天要想获得510 元的利润，每件应降价多少元？
23．（10分）童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销该店决定降价销售，经市场调查发现：每降价1 元，每星期可多卖10 件，已知该款童装每件成本30 元，设降价后该款童装每件售价x 元，每星期的销售量为y 件，
（1）降价后，当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3 倍时，求这一星期中每件童装降价多少元？（2）当每件售价定为多少元时，一星期的销售利润最大，最大利润是多少？
24．（10分）如图，已知长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b．正方形AEPN是由长方形ABCD 经过图形的运动形成的．其中长方形GBEF 是由长方形ABCD 绕着B 点顺时针旋转90° 得到的，长方形HMND 是由将长方形ABCD 绕着D 点逆时针旋转90°得到的，长方形QFPM 是长方形ABCD 经过平移得到的．
（1）长方形QFPM 是由长方形ABCD 经过怎样平移得到的？
（2）用含a、b 的代数式分别表示正方形HCGQ 的面积；
（3）连接DP，交HM 于点O．用a、b 的代数式分别表示OM．
25．（10分）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+n的图象经过（0，﹣3）．
（1）n＝；
（2）若二次函数y＝mx2﹣2mx+n 的图象与x 轴有且只有一个交点，求m 值；
（3）若二次函数y＝mx2﹣2mx+n 的图象与平行于x 轴的直线y＝5 的一个交点的横坐标为4，则另一个交点的坐标为；
（4）如图，二次函数y＝mx2﹣2mx+n的图象经过点A（3，0），连接AC，点P是抛物线位于线段AC 下方图象上的任意一点，求△PAC 面积的最大值．
参考答案
一．选择题
1.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：
A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错
误．故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．
2.在某个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是8
3.3%，下列说法错误的是（）
A.科比罚球投篮2 次，一定全部命中
B.科比罚球投篮2 次，不一定全部命中
C.科比罚球投篮1 次，命中的可能性较大
D.科比罚球投篮1 次，不命中的可能性较小
【分析】根据概率的意义对各选项分析判断后利用排除法求解．解：
科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，
科比罚球投篮2 次，不一定全部命中，A 选项错误、B 选项正确；
科比罚球投篮1 次，命中的可能性较大、不命中的可能性较小，C、D 选项说法正确；
故选：A．
【点评】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．
3.如图，在△ABC 中，已知∠ADE＝∠B，则下列等式成立的是（）
A.B．C．D．
【分析】首先证明△AED∽△ACB，再根据相似三角形的性质：对应边成比例可得答
案．解：∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，
∴△AED∽△ACB，
∴＝
．故选：
A．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，关键是掌握判断三角形相似的方法和相似三角形的性质．
4.把抛物线y＝﹣x2先向左平移1 个单位，再向下平移2 个单位，得到的抛物线的表达式
是（）
A．y＝﹣（x+1）2+2 B．y＝﹣（x+1）2﹣2
C．y＝﹣（x+1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2
【分析】抛物线y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），向左平移1个单位，再向下平移2个单位后所得的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），根据顶点式可确定所得抛物线解析式．
解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），
平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），
所以所得抛物线解析式为：y＝﹣（x+1）2﹣
2．故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
5.若点A（a，b）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则a+b 的最小值是（）
A．3 B．4 C．6 D．9
【分析】依据（﹣）2≥0，即可得出a+b≥2，当a＝b 时，等号成立，再根据点A（a，b）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，即可得到a+b 的最小值．
解：对于任意正实数a、b，
∵（﹣）2≥0，
∴a+b﹣2 ≥0，
∴a+b≥2 ，当a＝b 时，等号成立，
又∵点A（a，b）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴ab＝9，
∴a+b 的最小值为2＝6，
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
6.在平面直角坐标系中，△ABC顶点A（2，3）．若以原点O为位似中心，画三角形ABC
的位似图形△A′B′C′，使△ABC 与△A′B′C′的相似比为，则A′的坐标为（）
A．B．
C．D．
【分析】由于△ABC 与△A′B′C′的相似比为，则是把△ABC 放大倍，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k，于是把A（2，3）都乘以或﹣即可得到A′的坐
标．解：∵△ABC 与△A′B′C′的相似比为，
∴△A′B′C′与△ABC 的相似比为，
∵位似中心为原点0，
∴A′（2×，3×）或A′（﹣2×，﹣3×），
即A′（3，）或A′（﹣3，﹣）．
故选：C．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在
平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k．
7.若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m 的取值范围为（）
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0 【分析】利用y＝ax2+bx+c 的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0 列出不等式组．
解：由y＝（x﹣m）2+（m+1）可知为顶点（m，m+1），
由顶点在第一象限得m＞0 且m+1＞0，
解得m＞
0．故选：B．
【点评】本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围，同时考查了不等式组的解法，难度较大．
8.如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE 的
是（）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝D．＝
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴A，B，D 都可判定△ABC∽△ADE
选项C 中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
9.等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（）
A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：2
【分析】如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，设⊙O 的半径为r，作AH⊥BC 于H，利用等边三角形的性质得AH 平分∠BAC，则可判断点O 在AH 上，所以OH＝r，连接OB，再证明OA＝OB＝2r，则AH＝3r，所以OH：OA：AH＝1：2：3．
解：如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，设⊙O 的半径为r，作AH⊥BC 于H，
∵△ABC 为等边三角形，
∴AH 平分∠BAC，即∠BAH＝30°，
∴点O 在AH 上，
∴OH＝r，
连接OB，
∵⊙O 为△ABC 的内切圆，
∴∠ABO＝∠CBO＝30°，
∴OA＝OB，
在Rt△OBH 中，OB＝2OH＝2r，
∴AH＝2r+r＝3r，
∴OH：OA：AH＝1：2：3，
即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：
3．故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．
10.点M（a，2a）在反比例函数y＝的图象上，那么a 的值是（）
A．4 B．﹣4 C．2 D．±2
【分析】将点M 坐标代入反比例函数解析式得出关于a 的方程，解之可得．
解：∵点M（a，2a）在反比例函数y＝的图象上．
∴2a＝．
∴解得：a＝±2，
故选：D．
【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．
11.二次函数y＝（x﹣4）2+3 的最小值是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据顶点式的形式，结合二次函数最值求法，确定答
案．解：二次函数y＝（x﹣4）2+3 的最小值是：3．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，y＝a（x﹣h）2+k，当a＞0 时，x＝h 时，y 有最小值k，当a＜0 时，x＝h 时，y 有最大值k．
12.已知二次函数y＝x2﹣x+m﹣1 的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是（）
A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2
【分析】根据已知抛物线与x 轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可．
解：∵二次函数y＝x2﹣x+m﹣1 的图象与x 轴有交点，
∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）≥0，
解得：m≤5，
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点，能根据题意得出关于m 的不等式是解此题的关键．
二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题 3 分）
13.如图，两弦AB、CD 相交于点E，且AB⊥CD，若∠B＝60°，则∠A 等于30 度．
【分析】由同弧所对圆周角相等得出∠C＝∠B＝60°，再根据垂直知∠AEC＝90°，利用
直角三角形两锐角相等得出答
案．解：∵∠B＝60°，
∴∠C＝∠B＝60°，
∵AB⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠A＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14.已知y 与x﹣1 成反比例，且当x＝2 时，y＝3，则y 与x 的函数关系式为y ．【分析】利用待定系数法即可求解．
解：设y＝．根据题意得：3＝，
解得：k＝3．即函数解析式是y＝
．故答案是：y＝．
【点评】考查了待定系数法求函数解析式．待定系数法是求函数解析式最常用的方法，需要熟练掌握．
15.如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n 与直线a，b，c 分别交于点A，C，E，B，D，F，
若AC＝4，CE＝6，BD＝3，则DF 的值是 4.5 ．
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．解：
∵直线a∥b∥c，AC＝4，CE＝6，BD＝3，
∴，即，解得DF＝4.5．
故答案为：4.5
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．
16. 从甲、乙、丙、丁 4 名学生中随机抽取 2 名学生担任数学小组长，则抽取到甲和乙概率
为 ．
【分析】根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比 值就是其发生的概率． 解：画树形图得：
∵一共有 12 种情况，抽取到甲和乙的有 2 种， ∴P （抽到甲和乙）＝ ＝
． 故答案为： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗 漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．已知 a +b ＝5，ab ＝3，则 a 2+b 2＝ 19 ．
【分析】把 a +b ＝5 两边完全平方后，再把 ab ＝3 整体代入解答即可． 解：把知 a +b ＝5 两边平方， 可得：a 2+2ab +b 2＝25，
把 ab ＝3 代入得：a 2+b 2＝25﹣6＝19， 故答案为：19．
【点评】此题考查完全平方公式，关键是把原式完全平方后整体代入计算．
18．如图，线段 AB ＝4，M 为 AB 的中点，动点 P 到点 M 的距离是 1，连接 PB ，线段
PB 绕点 P 逆时针旋转 90°得到线段 PC ，连接 AC ，则线段 AC 长度的最大值是
．
【分析】以 O 为坐标原点建立坐标系，过点 C 作 CD ⊥y 轴，垂足为 D ，过点 P 作 PE ⊥DC ， 垂足为 E ，延长 EP 交 x 轴于点 F ，设点 P 的坐标为（x ，y ），则 x 2+y 2＝1．然后证明△
ECP≌△FPB，由全等三角形的性质得到EC＝PF＝y，FB＝EP＝2﹣x，从而得到点C（x+y，y+2﹣x），最后依据两点间的距离公式可求得AC＝，最后，依据当y＝1时，AC 有最大值求解即可．
解：如图所示：过点C 作CD⊥y 轴，垂足为D，过点P 作PE⊥DC，垂足为E，延长EP 交x 轴于点F．
∵AB＝4，O 为AB 的中点，
∴A（﹣2，0），B（2，0）．
设点P的坐标为（x，y），则x2+y2＝1．
∵∠EPC+∠BPF＝90°，∠EPC+∠ECP＝90°，
∴∠ECP＝∠FPB．
由旋转的性质可知：PC＝
PB．在△ECP 和△FPB 中，
，
∴△ECP≌△FPB．
∴EC＝PF＝y，FB＝EP＝2﹣x．
∴C（x+y，y+2﹣x）．
∵AB＝4，O 为AB 的中点，
∴AC＝＝．
∵x2+y2＝1，
∴AC＝．
∵﹣1≤y≤1，
∴当y＝1 时，AC 有最大值，AC 的最大值为＝3
．故答案为：3 ．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和判定，两点间的距离公式的应用，列出AC 的长度与点P 的坐标之间的关系式是解题的关键．
三．解答题（共7 小题，满分66 分）
19．（8分）已知x＝0是一元二次方程﹣2＝0的一个根，求m的值．【分析】把x＝0 代入一元二次方程﹣2＝0 中即可得到关于m 的方程，解此方程即可求出m 的值．
解：当x＝0 时，m2﹣2＝0，
解得m1＝，m2＝﹣．
∵m﹣≠0，
∴m＝﹣．
【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义．掌握能使方程成立的未知数的值，就是方程的解是解题的关键．
20．（8分）如图，在⊙O中，圆周角∠ACB＝40°，点D是AB的中点，求∠DOB的度数．
【分析】连接OA，由∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝40°，推出∠AOB＝80°，由＝，可得∠DOB＝∠AOD 即可解决问题；
解：连接OA．
∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝40°，
∴∠AOB＝80°，
∵＝，
∴∠DOB＝∠AOD＝∠AOB＝40°．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA 是⊙O 的切线；
（2）若AB＝4+，BC＝2 ，求⊙O 的半径．
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA＝OC 得出∠ACO＝∠OAC＝30°，再由AP＝AC 得出∠P＝30°，继而由∠OAP＝∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论；
（2）过点C 作CE⊥AB 于点E．在Rt△BCE 中，∠B＝60°，BC＝2 ，于是得到BE＝BC ＝，CE＝3，根据勾股定理得到AC＝＝5，于是得到AP＝AC＝5．解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA 是⊙O 的切线；
（2）解：过点C 作CE⊥AB 于点E．
在Rt△BCE 中，∠B＝60°，BC＝2 ，
∴BE＝BC＝，CE＝3，
∵AB＝4+ ，
∴AE＝AB﹣BE＝4，
∴在Rt△ACE 中，AC＝＝5，
∴AP＝AC＝5．
∴在Rt△PAO 中，OA＝，
∴⊙O 的半径为．
【点评】本题考查了切线的判定及圆周角定理，解答本题的关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30°直角三角形的性质．
22．（10分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4 元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5 元，每天可多销售4 件，那么每天要想获得510 元的利润，每件应降价多少元？
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
（2）设每天要想获得510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
解：（1）设每次降价的百分率为x．
40×（1﹣x）2＝32.4
x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去）
答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4 元，两次下降的百分率啊10%；（2）设每天要想获得510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y 元，由题
意，得
（40﹣30﹣y）（4×+48）＝510，
解得：y1＝1.5，y2＝2.5，
∵有利于减少库存，
∴y＝2.5．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．
23．（10分）童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销该店决定降价销售，经市场调查发现：每降价1 元，每星期可多卖10 件，已知该款童装每件成本30 元，设降价后该款童装每件售价x 元，每星期的销售量为y 件，
（1）降价后，当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3 倍时，求这一星期中每件童装降价多少元？（2）当每件售价定为多少元时，一星期的销售利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．
（2）设每星期利润为W 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问
题．解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，
解得：x＝40，
60﹣40＝20 元，
答：这一星期中每件童装降价20 元；
（2）设利润为w，
根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
答：每件售价定为50 元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000 元．
【点评】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．
24．（10分）如图，已知长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b．正方形AEPN是由长方形ABCD
经过图形的运动形成的．其中长方形GBEF 是由长方形ABCD 绕着B 点顺时针旋转90° 得到的，长方形HMND 是由将长方形ABCD 绕着D 点逆时针旋转90°得到的，长方形QFPM 是长方形ABCD 经过平移得到的．
（1）长方形QFPM 是由长方形ABCD 经过怎样平移得到的？
（2）用含a、b 的代数式分别表示正方形HCGQ 的面积；
（3）连接DP，交HM 于点O．用a、b 的代数式分别表示OM．
【分析】（1）根据平移的定义即可得到结论；
（2）根据正方形的面积公式即可得到结论；
（3）根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：（1）长方形QFPM是由长方形ABCD先向上平移a个单位，再向右平移b个单位得到；（2）S 正方形HCGQ＝（a﹣b）2；
（3 ）∵PN∥CD，
∴△PMO∽△DHO，
∴，
即＝，
∴OM＝．
【点评】本题考查了旋转的性质，平移的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，少了掌握旋转的性质是解题的关键．
25．（10分）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+n的图象经过（0，﹣3）．
（1）n＝﹣3 ；
（2）若二次函数y＝mx2﹣2mx+n 的图象与x 轴有且只有一个交点，求m 值；
（3）若二次函数y＝mx2﹣2mx+n 的图象与平行于x 轴的直线y＝5 的一个交点的横坐标为4，则另一个交点的坐标为（﹣2，5）；
（4）如图，二次函数y＝mx2﹣2mx+n的图象经过点A（3，0），连接AC，点P是抛物线位于线段AC 下方图象上的任意一点，求△PAC 面积的最大值．
【分析】（1）将（0，﹣3）代入二次函数解析式中即可求出n 值；
（2）由二次函数图象与x 轴只有一个交点，利用根的判别式△＝0，即可得出关于m 的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论；
（3）根据二次函数的解析式利用二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，利用二次函数图象的对称性即可找出另一个交点的坐标；
（4）将点A 的坐标代入二次函数解析式中可求出m 值，由此可得出二次函数解析式，由点
A、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线AC 的解析式，过点P 作PD⊥x 轴于点D，交
AC于点Q，设点P的坐标为（a，a2﹣2a﹣3），则点Q的坐标为（a，a﹣3），点D的坐标为（a，0），根据三角形的面积公式可找出S△ACP关于a的函数关系式，配方后即可得出△PAC 面积的最大值．
解：（1）∵二次函数y＝mx2﹣2mx+n的图象经过（0，﹣3），
∴n＝﹣3．
故答案为：﹣3．
（2）∵二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3 的图象与x 轴有且只有一个交点，
∴△＝（﹣2m）2﹣4×（﹣3）m＝4m2+12m＝0，
解得：m1＝0，m2＝﹣3．
∵m≠0，
∴m＝﹣3．
（3）∵二次函数解析式为y＝mx2﹣2mx﹣3，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣＝1．
∵该二次函数图象与平行于x 轴的直线y＝5 的一个交点的横坐标为4，
∴另一交点的横坐标为1×2﹣4＝﹣2，
∴另一个交点的坐标为（﹣2，
5）．故答案为：（﹣2，5）．
（4）∵二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的图象经过点A（3，0），
∴0＝9m﹣6m﹣3，
∴m＝1，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴直线AC 的解析式为y＝x﹣3．
过点P 作PD⊥x 轴于点D，交AC 于点Q，如图所示．
设点P的坐标为（a，a2﹣2a﹣3），则点Q的坐标为（a，a﹣3），点D的坐标为（a，0），∴PQ＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝3a﹣a2，
＝S△APQ+S△CPQ＝PQ•OD+ PQ•AD＝﹣a2+ a＝﹣（a﹣）2+ ，
∴S
△ACP
∴当a＝时，△PAC 的面积取最大值，最大值为．
【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）代入点的坐标求出n值；（2）牢记当△＝b2﹣4ac＝0时抛物线与x轴只有一个交点；（3）利用二次函数的对称轴求出另一交点的坐标；（4）利用三角形的面积公式找出S△ACP关于a的函数关系式．。