2023-2024学年福建省福州市高考数学押题模拟试题(一模)含答案

2023-2024学年福建省福州市高考数学押题模拟试题（一模）
一、单选题
1．已知集合{}|e 1x
N x =>，若集合M 满足N M M = ，则M 可能是（
）
A ．{}0,1,2,3
B ．{}
2
|9x x =C ．{|3}
x x ≥D ．R
【正确答案】C
【分析】解指数不等式得到集合N ，根据交集运算性质得M N ⊆，逐项判断即可.
【详解】因为{}|e 1{|0}x
N x x x =∈>=>R ，又N M M = ，即M N ⊆，
因为0N ∉，所以A 与D 选项集合不符合，因为3N -∉，所以B 选项集合不符合，所以C 正确.故选：C 2．若复数z 满足1i
z
+为纯虚数，且2z =，则z 的虚部为（）
A ．±1B
．C
D ．1
【正确答案】B
【分析】设()i ,z a b a b =+∈R ，利用复数除法运算和向量模长运算可构造方程求得b 的值，即为所求虚部.
【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，
()()()()i 1i i 1i 1i 1i 22a b z a b b a +-+-==+++- 为纯虚数，02
2
a b
b a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，a b ∴=-，
又i 2z a b =-=，22b ∴=
，解得：b =z ∴
的虚部为.
故选：B.
3．已知2OA AB == ，1OB =uu u r ，则3OA OB +=
(
)
A ．2
B ．4
C
D
【正确答案】B
【分析】由2AB OB OA =-= 求得OA OB ⋅
，再由3OA OB + 答案.
【详解】∵
2AB OB OA =-= ，∴2222524OB OA OB OA OB OA OA OB -=-⋅+=-⋅=
，则12OA OB ⋅= .
∴2221
369469162
OA OB OA OA OB OB +=+⋅+=+⨯+= ，故34OA OB += .
故选：B.
4．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且120ABC ∠=︒，则该圆台的体积为（
）
A B C D 【正确答案】C
【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆的半径，再求出圆台的高并结合圆台的体积公式求解作答.
【详解】设圆台上底面圆半径为1r ，下底面圆半径为2r ，依题意，12π
2π13
r =
⨯，且22π2π33r =⨯，解得121
,13
r r ==，
而圆台的母线长312l AD ==-=，因此圆台的高h =
所以圆台的体积2222
1122
ππ11()[()11]3333381
V h r r r r =++=⨯+⨯+=.故选：C
5．某国军队计划将5艘不同的军舰全部投入到甲，乙，丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少投入一艘军舰，且军舰A 必须安排在甲区域，则甲区域还有其它军舰的安排方案共有（）
A ．14种
B ．24种
C ．36种
D ．50种
【正确答案】C
【分析】按甲区域还有其它几艘军舰进行分情况讨论求解.
【详解】依题意，甲区域除军舰A 外至少还有一艘军舰，至多还有两艘军舰.
若甲区域除军舰A 外还有一艘军舰，则安排方案共有1122
4322C C C A 24⨯⨯⨯=种；
若甲区域除军舰A 外还有两艘军舰，则安排方案共有22
42C A 12⨯=种；
所以甲区域还有其它军舰的安排方案共有241236+=种.故选：C
6．2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，接续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%．每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为（）（单位：万元，结果精确到万元）（参考数据：41.2 2.07≈，51.2 2.49≈）A ．83B ．60
C ．50
D ．44
【正确答案】B
【分析】由题可知5年后投入再生产的资金为：
5432500(120%)(120%)(120%)(120%)(120%)800x x x x x +-+-+-+-+-=，即求.
【详解】设每年应扣除的消费资金为x 万元，则1年后投入再生产的资金为：500(120%)x +-，2年后投入再生产的资金为：
2
[500(120%)](120%)500(120%)(120%)x x x x +-+-=+-+-，
L
5年后投入再生产的资金为：
5432500(120%)(120%)(120%)(120%)(120%)800x x x x x +-+-+-+-+-=∴551.215001.28001.21
x -=⨯--，∴60x ≈.故选：B
7．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，F 为其左焦点，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于点A ，B ，
且AF AB ⊥．若30ABF ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（）
A ．
3
B ．
3
C ．
6
D ．
6
【正确答案】A
【分析】设椭圆的右焦点为2F ，连接2AF ，2BF ，设AF m =，根据余弦定理得到22
2849
a
c =，计
算得到离心率.
【详解】设椭圆的右焦点为2F ，连接2AF ，2BF ，故四边形2AFBF 为平行四边形，
设AF m =，30ABF ∠=︒，则2FB m =，2BF AF m ==，
222BF BF m m a +=+=，2
3m a =，
2BFF △中，()
22
2
424222cos1203333c a a a ⎛⎫⎛⎫
=+-⨯⨯⨯︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
整理得到22
2849a c =，即3c =，故3
c e a ==
.故选：A
8．已知a ，b ，c 均为负实数，且1
ln 23
a a +=+，1ln 34
b b +=+，12e 1
c c -=-，则（）．
A ．b a c <<
B ．c b a <<
C ．a b c <<
D ．a c b
<<【正确答案】A
【分析】对,,a b c 变形，构造()()ln 1f x x x =-+，则()()2f a f =，()()3f b f =，()()1f c f =，求导得到函数单调性，数形结合得到b a c <<.【详解】由1
ln 23
a a +=+，得()2ln 3ln 1a a =-++，于是()ln 12ln 3a a -+=-．同理由1
ln
34
b b +=+，可得()ln 13ln 4b b -+=-．对于12e 1
c c -=-，可得112e c c -+=，
两边同时取对数得()ln 1ln 21c c +=+-，于是()ln 11ln 2c c -+=-．
构造函数()()ln 1f x x x =-+，则()()2f a f =，()()3f b f =，()()1f c f =．因为()()11
x
f x x x '=
>-+，所以当10x -<<时，()0f x '<，()f x 在()1,0-内单调递减，
当0x >时，()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+内单调递增，所以()()()123f f f <<，又a<0，0b <，0c <，如图所示，故b a c <<．
故选：A
构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中变形得到()ln 12ln 3a a -+=-，
()ln 13ln 4b b -+=-，及()ln 11ln 2c c -+=-，从而达到构造出适当函数的目的.
二、多选题
9．某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了从事芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中一定正确的是（
）
A ．芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%
B ．芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%
C ．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多
D ．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多【正确答案】ABD
【分析】根据饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，对四个选项一一进行计算，得到答案.
【详解】A 选项，从饼形图可看出芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例为55%，超
过50%，A 正确；
B 选项，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数比例为()55%37%13%=27.5%⨯+，超过总人数的25%，B 正确；
C 选项，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为55%37%=20.35%⨯，芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的0040，但不知道从事技术岗位的比例，故无法确定两者人数的多少，C 错误；
D 选项，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为55%14%=7.7%⨯，“80前”占总人数的5%，故D 正确.故选：ABD
10．已知函数()f x =）
A ．π为()f x 的一个周期
B ．()f x 的图像关于直线π
2
x =对称
C ．()f x 在π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增
D ．()f x 的值域为2⎤⎦
【正确答案】ABD
【分析】利用验证法选项AB ，在定义区间内化简函数解析式，判断单调性并求值域.
【详解】因为()()πf x f x +==，所以π为
()f x 的一个周期，故A 正确；
因为()()πf x f x -===，所以()f x 的图像关于直线π
2
x =
对称，故B 正确；因为当π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，π0,24x ⎡⎤∈⎢⎣⎦
，
()sin cos cos sin 2cos 22222x x x x x f x ==++-=，
故()f x 在π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，故C 错误；
因为()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的取值范围为2⎤⎦，
因为()f x 关于直线π
2
x =
对称，所以()f x 在[]0,π上的取值范围为2⎤⎦，
又()f x 的周期为π，所以()f x 在整个定义域上的值域为2⎤⎦，故D 正确．
故选：ABD ．
11．如图，在矩形AEFC
中，AE =EF =4，B 为EF 中点，现分别沿AB 、BC 将△ABE 、△BCF 翻折，使点E 、F 重合，记为点P ，翻折后得到三棱锥P -ABC ，则（
）
A ．三棱锥-P ABC
的体积为
3
B ．直线PA 与直线BC
所成角的余弦值为6
C ．直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为13
D ．三棱锥-P ABC
外接球的半径为2
【正确答案】BD
【分析】证明BP ⊥平面PAC ，再根据P ABC B PAC V V --=即可判断A ；先利用余弦定理求出cos APC ∠，将BC 用,PC PB
表示，利用向量法求解即可判断B ；利用等体积法求出点A 到平面PBC 的距离d ，
再根据直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为
d
PA
即可判断C ；利用正弦定理求出PAC △的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D.【详解】由题意可得,BP AP BP CP ⊥⊥，又,,,,AP CP P AP CP P AP CP ⋂==⊂平面PAC ，所以BP ⊥平面PAC ，
在PAC △
中，PA PC ==，AC
=
，
所以114232P ABC B PAC V V --==⨯⨯⨯=A 错误；
对于B ，在PAC △
中，1
cos 3
APC ∠
=，4
BC =
=
cos ,PA PC PB PA BC PA BC PA BC
⋅-⋅==
1
36
，
所以直线PA
与直线BC 所成角的余弦值为
6
，故B 正确；
对于C
，1
2
PBC S PB PC =⋅= ，
设点A 到平面PBC 的距离为d ，
由B PAC A PBC V V --=
，得133
⨯=
，解得d =，
所以直线PA 与平面PBC
所成角的正弦值为3
d
PA =，故C 错误；由B 选项知，1cos 3APC ∠=
，则sin 3
APC ∠=，所以PAC △
的外接圆的半径12sin AC r APC =⋅=∠设三棱锥-P ABC 外接球的半径为R ，又因为BP ⊥平面PAC ，
则2
2
2
19111222R r PB ⎛⎫
=+=+= ⎪⎝⎭
，所以2R =，
即三棱锥-P ABC
外接球的半径为2
，故D 正确.故选：BD.
12．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()1
3P A =，()34
P B =，()
12P A B +=，则（）
A ．()
1
6
P AB =
B ．()34
P B A =
C ．()()P B P B A =
D ．()
712
P AB AB +=
【正确答案】BCD
【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得.【详解】对于A ：()()()()
P A B P A P B P AB +=+-，()
111
234
P AB =+-，所以()
1
12
P AB =
，故A 错误；对于B ：()()
()P AB P AB P A += ，()11
123
P AB ∴+
=，∴()14P AB =，
()()()1
3
4143
P AB P B A P A ===，故B 正确；
对于C ：1
()112()1()43
P AB P B A P A =
==，()
1
4P B =，∴()(P B A P B =，故C 正确.
对于D ：()()()
()
1
12
P AB AB P AB P AB P AB +=+=
+，()()()
P B P AB P AB =+ ，∴
()
31
44
P AB =+，∴()
12P AB =，
∴()
117
12212
P AB AB +=+=，所以D 正确.故选：BCD.三、填空题
13．已知按从小到大顺序排列的两组数据：
甲组：27，30，37，a ，40，50；乙组：24，b ，33，44，48，52．
若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，则a ，b 的平均数等于__________．【正确答案】35
【分析】分别求出甲组、乙组第30百位数、第50百分位数分别对应相等，可得a 、b ，再求平均数即可.
【详解】因为甲乙两组都有6个数据，30%6 1.8⨯=，50%63⨯=，甲组第30百位数为30，第50百分位数为372
a
+，乙组第30百位数为b ，第50百分位数为
334477
22
+=，因为这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，所以30b =，3777
22
a +=，即40a =，所以
703522
a b +==.故答案为.35
14．写出曲线e 1x y =-与曲线()ln 1y x =+的公切线的一个方向向量______.【正确答案】()1,1（与()1,1共线的非零向量均可）
【分析】先利用导数求得曲线e 1x y =-与曲线()ln 1y x =+的公切线方程，进而求得该公切线的一个方向向量.
【详解】设曲线e 1x y =-上的切点为11(,e 1)x
x -，e x
y '=曲线()ln 1y x =+上的切点为22(,ln(1))x x +，11
y x '
=
+
则1
1
122211e 1ln(1)(e 1)e x x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨+--⎪=⎪-⎩
，两式相减整理得122(1)ln(1)x x x =-++，代入上式得2(1)
122(1)
(1)x x x -+-+=+，解之得20x =，则10x =，
则曲线e 1x y =-与曲线()ln 1y x =+的公切线的公切点为(0,0)，则切线斜率为1，切线方程为0x y -=，则公切线的一个方向向量为()1,1故()
1,115．已知抛物线24y x =与圆22(1)1x y -+=，过抛物线的焦点F 作斜率为k 的直线l 与抛物线交于
,A D 两点，与圆交于,B C 两点（,A B 在x 轴的同一侧），若4AB CD =
，则2k 的值是___________．
【正确答案】8
【分析】根据给定条件，写出直线l 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并结合圆的性质及向量等式求解作答.
【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为=1x -，于是直线l ：(1)y k x =-，显然0k ≠
，
由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y D x y ，则121224
2,1x x x x k
+=+
=，又圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)F ，半径为1，由4AB CD =
，得|4|||AB CD = ，即||14(||1)AF DF -=-，
于是12(1)14[(1)1]x x +-=+-，整理得124x x =，又121=x x ，解得1212,2
x x ==
，
则1224522
x x k +
=+=，解得28k =，所以2k 的值是8.故8四、双空题
16．将函数()π
()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫
=+≤ ⎪⎝⎭
的图象向右平移2π9个单位长度，得到的函数()g x 的图象关于
点11π,018⎛⎫- ⎪⎝
⎭
对称，且()g x 在区间,m m ϕ
ϕ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
上单调递增，则ϕ=__________,实数m 的取值范围是
__________.【正确答案】
2π/12π9(,2
-∞-【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得到()g x 的表达式，根据其对称中心可求得π
2
ϕ=±
，再利用其单调区间，分类讨论，求出m 的范围，即可确定答案.【详解】将函数π()2sin(3)(||)2
f x x ϕϕ=+≤的图象向右平移2π
9个单位长度，
得到的函数2π()2sin(33)9g x x ϕ=-⨯
+的图象关于点11π(,0)18
-对称，11π2π3()π,Z 183k k ϕ∴⨯-
-+=∈，即5π
π,Z 2
k k ϕ=+∈，因为π
||2
ϕ≤，则π2ϕ=±，
若π
2ϕ=
，则π()2sin(3)6
g x x =-，()g x 在区间ππ
(
,)(,),(R)22m m m m m
ϕϕ-=-∈上单调递增，0m ∴<，当ππ(
,)22x m m ∈-，π9ππ9ππ3(,)666m m x m m ----∈，9πππ62m m -∴≥-，且9πππ62
m m --≤，
即92m ≤-，且94m ≤-，9
2
m ∴≤-；
若π
2ϕ=-，则7π()2sin(3)6
g x x =-，
()g x 在区间ππ
(,)(,),(R)22m m m m m
ϕϕ-=-∈上单调递增，0m ∴>，
当ππ(,)22x m m ∈-
，7π9π7π9π7π3(,)666m m x m m
----∈，9π7ππ62m m --≥-，且9π7ππ62
m m -≤，
即9
4
m ≤-且910m ≥，故m ∈∅；
综上可得，π
2
ϕ=，92m ≤-.
故
π
2
；9(,]
2-∞-难点点睛：根据三角函数的平移变换可得到平移后的函数解析式，根据对称中心可求得π
2
ϕ=±，难点就在于这两个值的取舍，要根据函数的单调区间求得参数m 的范围，即可确定答案.五、解答题
17．设n T 为数列{}n a 的前n 项积．已知112n n
n n
a a T T ++-=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列23n T n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和．
【正确答案】(1)21
21
n n a n -=+；
(2)
69
n
n +.【分析】（1）利用给定的递推公式，结合前n 项积的意义求解作答.（2）由（1）的结论求出n T ，再利用裂项相消法求解作答.
【详解】（1）依题意，{}n n a T 是以1为首项，2为公差的等差数列，则1(1)221n n
a n n T =+-⋅=-，
即(21)n n n T a -=，当2n ≥时，有11(23)n n n T a ---=，两式相除得，1
(21)23n n n n a a
n a --=-，
显然0n T ≠，即0n a ≠，因此当2n ≥时，121123n n n a --=-，即12321
n n a n --=-，
所以数列{}n a 的通项公式21
21
n n a n -=+.（2）设{
}23n T n +的前n 项和为n S ，由（1）得，21
n n a T n =-，于是1
21n T n =+，
因此
1111
()23(21)(23)22123
n T n n n n n ==-+++++，则1111111111()()23557212323233(23)n n S n n n n =
-+-+-=-=++++ ，所以数列{
}23
n T n +前n 项和为69n
n +.
18．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
已知c ，且ABC 的面积222
4
b c a S +-=.
(1)求C ；
(2)若ABC 内一点P 满足 AP AC =， BP CP =，求PAC ∠.
【正确答案】(1)π2
C =(2)π6
PAC ∠=
【分析】（1）利用三角形的面积公式以及余弦定理可求得tan A 的值，可求得角A 的值，
由c =结合正弦定理求出sin C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）设PAC θ∠=，可得出π2ACP APC θ-∠=∠=
，2
BCP θ
∠=，在APC △、BPC △分别利用正弦定理可求得sin θ的值，结合θ的取值范围可求得角θ的值.【详解】（1）解：由余弦定理得2221
cos 42
b c a S bc A +-==，
因为1
sin 2
S bc A =，所以sin cos A A =，
因为()0,πA ∈，则cos sin 0A A =>，所以tan 1A =，所以π4
A =，
因为c
，所以π
sin 14
C A ===，因为()0,πC ∈，所以π2
C =.（2）解：由（1）知π4A =
，π
2C =，所以ππ4
B A
C A =--==，所以b a =，
设PAC θ∠=，因为AP AC =，所以π2
ACP APC θ
-∠=∠=，因为π2
C =，所以π22
BCP ACP θ∠=
-∠=
，因为在APC △中AP AC =，由正弦定理πsin sin
2
PC AC
θθ
=
-可得2sin
cos
sin 2
22sin 2sin 22
cos
cos
2
2
AC AC PC b a θ
θ
θθθθ
θ
=
=
==，
在BPC 中，BP CP =，则2
PBC PCB θ
∠=∠=
，则π2π2
BPC θ
θ∠=-⨯
=-，
由正弦定理
()sin πsin 2
PC
BC θθ=-，即2sin 2sin sin 2
a a θ
θθ=，所以，1sin 2θ=，因为π0,4PAC θ⎛⎫
∠=∈ ⎪⎝⎭
，所以π6PAC θ∠==.
19．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图
.
(1)求该100名学生竞赛成绩的中位数；（结果保留整数）
(2)从竞赛成绩在(](]40,50,50,60的两组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记竞赛成绩在(]40,50的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ；(3)以样本的频率估计概率，从[]30,50随机抽取20名学生，用()P k 表示这20名学生中恰有k 名学生竞赛成绩在[]30,40内的概率，其中0,1,2,,20k = ．当()P k 最大时，求k .【正确答案】(1)64(2)分布列见解析，6
5
(3)6k =或7
k =【分析】（1）利用给定的频率分布直方图，由中位数的意义以及计算公式，代入计算即可得到结果；
（2）利用分层抽样求出成绩在(]40,50，(]50,60内的人数，再求出X 的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望作答；
（3）随机抽一名学生，求出成绩在[]30,40的概率，再利用独立重复试验的概率公式，列出不等式求解作答.
【详解】（1）由直方图可知成绩在[]30,40，(]40,50，(]50,60，(]60,70的频率和为
0.060.120.180.340.70.5+++=>，而成绩在(]60,70的频率为0.34，
则抽取的100名学生成绩的中位数在(]60,70内，设中位数为x ，则()0.36600.0340.5x +-⨯=，解得64.11864x =≈，所以该100名学生竞赛成绩的中位数约为64；
（2）由频率分布直方图可得：竞赛成绩在(]40,50，(]50,60两组的频率之比为01201823..:=:，则10人中竞赛成绩在(]40,50的人数为4
10410⨯=人；在(]50,60的人数为610610
⨯=人；则X 所有可能的取值为0，1，2，3，
于是()36
310C 2010C 1206P X ===
=，()21
64310C C 6011C 1202
P X ====，()12
64
310C C 3632C 12010
P X ====，()34310C 414C 12030P X ====，
所以X 的分布列为：X 01
23P
1
6
12
310
130
数学期望为()1
1
3
1
6
01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；
（3）用频率估计概率，竞赛成绩在[]30,40内的概率0.061
0.060.123
P ==+，
则()()
2020202020
20
20
C 212C 1C 333k k
k k
k
k k
k P k P P ---⎛⎫⎛⎫
=-=⨯⨯=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，()()()()()1192020202020
20!C 211!19!11201213120!C 222121!20!3k k k k P k k k k P k k k k k +--++--⎛⎫===⨯=-+ ⎪++⎝⎭
-．令
()()11211121P k P k k +⎛⎫
=-+≥ ⎪+⎝⎭
，解得6k ≤，当且仅当6k =时取等号，即(6)(7)P P =，
当6,N k k <∈时，(1)()P k P k +>，当6,N,20k k k >∈≤时，(1)()P k P k +<，所以当6k =或7k =，()P k 最大.
20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB ⊥，侧面11AA B B 为菱形，1AB C V 为等边三角形．
(1)求证：1CB CB ⊥；
(2)若4CA CB ==，点E 是侧棱1CC 上的动点，且平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值为1
4
，求点B 到平面1AB E 的距离．【正确答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）先证明BC ⊥平面1AB C ,再根据线面垂直的性质定理即可证明结论；
（2）建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，设1CE CC λ=
，求出平面1AB E 的一个法向量，根
据平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值求得参数λ，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.【详解】（1）连接1A B 与1AB 相交于点F ，连接CF ，如图所示：
∵四边形11AA B B 为菱形，∴F 为1AB 的中点，则11A B AB ⊥．
1AB C V 为等边三角形，有1CF AB ⊥，1,A B CF ⊂平面1A BC ，1A B CF F = ，∴1AB ⊥平面1A BC ,BC ⊂平面1A BC ，∴1AB BC ⊥，
又AC BC ⊥，1,AB AC ⊂平面1AB C ，1AB AC A = ，∴BC ⊥平面1AB C ,∵1CB ⊂平面1AB C ，∴1CB CB ⊥．
（2）由（1）知1CB CB ⊥，CA CB ⊥，且11,,CB AC C CB AC =⊂ 平面1AB C ，故CB ⊥平面1AB C ，而CB ⊂平面ABC ，故平面1AB C ⊥平面ABC ，分别取,AC AB 的中点,O G ，连接1,B O OG ，
则//OG BC ，∴OG ⊥平面1AB C ，1AB C V 为等边三角形，1B O AC ⊥，而平面1AB C 平面ABC AC =，1B O ⊂平面1AB C ，故1B O ⊥平面ABC ，
以O 为原点，OG
，OC ，1OB 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则(0,2,0)A -，(0,2,0)C ，(4,2,0)B
，1B ，
设()1
1(4,2,)01C B E C B C λλλλλ==--=≤≤
，则()
4,22,E λλ--，
∴()4,42,AE λλ=--
，(10,2,AB =
，
设平面1AB E 的一个法向量(),,n x y z = ，则有(
)1
4420
20AE n x y z AB n y λλ⎧⋅=-+-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，
令z λ=
，则=y -
，x =-
)
,n λ= ，
又∵平面ABC
的法向量为(1OB =
，
∴平面1
AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值为
14c 1
os ,n OB =
= ,
∴23210λλ+-=，∴1
3
λ=或1λ=-（舍），
此时1,3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，又()4,4,0AB = ，∴点B 到平面1AB E
的距离为：n AB n ⋅=
= 21
A 、
B ．曲线
C 是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为1
2的椭圆，设P 在第一象限且在双曲线上，直线BP 交椭圆于点M ，直线AP 与椭圆交于另一点N
．
(1)求椭圆及双曲线的标准方程；
(2)设MN 与x 轴交于点T ，是否存在点P 使得4P T x x =(其中P x ，T x 为点P ，T 的横坐标)，若存在，求出P 点的坐标，若不存在，请说明理由．
【正确答案】(1)双曲线方程：22
143x y -=，椭圆方程为：22
143
x y +=；
(2)存在，()
4,3P 【分析】（1）设双曲线方程为22221x y a b
-=，椭圆方程22
221x y a b +=，根据焦点到渐近线的距离和离
心率求出22,a b 可得答案；
（2）设()0,P x t ，()11,M x y ，()22,N x y ，根据P 、A 、N 三点共线，P 、B 、M 三点共线可得()()21021022
22
y x x x y x --=++，令T x n =得直线MN l 的方程，与椭圆方程联立利用韦达定理代入上式化简可得
()()2102102222y x x x y x --=++22n
n
-=+，若存在4P T x x =，即04x n =代入可得答案；
法二：()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y 设直线AP ：()0
022
y y x x =
++与椭圆方程联立可得N x ，M x 、
T x ，若存在4P T x x =，则00
4
4x x =⨯
可得答案.【详解】（1）由已知可设双曲线方程为22
221x y a b
-=，椭圆方程22221x y a b +=，则双曲线的一条渐近
线方程为b y x a =，即0bx ay -=
=
b =
12
=，
解得2a =，所以双曲线方程：22
143
x y -=，
椭圆方程为：22
143
x y +=；
（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，()2,0A -，()2,0B ，P 、A 、N 三点共线，
22022
y t
x x =++，P 、B 、M 三点共线，
11022
y t
x x =--，相除：()()21021022
22
y x x x y x --=++，
令()22T x n n =-<<，则设MN l ：x my n =+，
联立椭圆方程：()
22222
346312034120
x my n
m y mny n x y =+⎧⇒+++-=⎨+-=⎩，由T 在椭圆内，故0∆>，所以21212
226312
,3434
mn n y y y y m m -+=-=++，∴2
121242y y n y y mn
-=+，()()()()()()()()2121122122
211212
1121222222222222y x y my n my y n y mny y n n y x y y my n my y n y mny y n n y -+-+-+-===
+++++++()()()()()()()()()()()()2
1
2
2
122
121
2
1
42222222222422n y y n n y n n y n y n
n
n n y n y n y y n n y
-++-⎡⎤-++--⎣⎦=
=
=⎡⎤++++--+++⎣⎦
，若存在4P T x x =，即04x n =，002242
2242
n x n n x n ---==+++，得21n =，又P 在第一象限，所以1n =，()4,3P ；
法二：()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，()2,0A -，()2,0B ，
直线AP ：()0
022
y y x x =
++，()()()()02222
00002
22
22000241616231202223412y y x y y y x x x x x x x y ⎧⎡⎤=+⎪
+⇒+++-=⎢⎥⎨+++⎢⎥⎪⎣⎦
+=⎩
，显然0∆>，由()
()2
2
002
2
00161222324N y x x x y -+-=
++，又因为P 在双曲线上，满足22
00143x y -=，即22
004312y x =-，
所以()
()()()()()
2
2
22000002
2
2
2000
00
0086262462
242
46232432312
N y x x x x x x x x x y x x -+--+-+--===
=
+++++-，即0
4N x x =
，同理BP ：()0022
y y x x =
--，可得04M x x =，所以04
T x x =，
若存在4P T x x =，即00
4
4x x =⨯
，而P 在第一象限，所以04x =，即()4,3P .
思路点睛：本题第二问主要是利用韦达定理代入()()21021022
22
y x x x y x --=++进行化简运算，考查了学生的
思维能力和运算能力.属于难题.
22．设1a >-，函数()()()1ln 11f x x x a x =++-+．(1)判断()f x 的零点个数，并证明你的结论；
(2)若0a ≥，记()f x 的一个零点为0x ，若11sin x a x +=，求证：10ln 0x x -≤．【正确答案】(1)零点个数=1，证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）求导，根据a 的取值范围确定函数()f x 的单调性，从而判断零点的个数；（2）将不等式10ln 0x x -≤理解为当两函数值相等时对应的自变量的大小关系即可.
【详解】（1）()'1ln f x x a x
=+
+，令()()'
h x f x =，则()'21x h x x -=，
当1x >时，()()'0,h x h x >单调递增，当01x <<时，()()'0,h x h x <单调递减，()'
10h =，
在1x =处()h x 取得极小值也是最小值，1a >- ，∴()110h a =+>，即()()'
0,f x f x >单调递增，
当x 趋于0时，()f x 趋于-∞，()()()()2222e 2e 11e 1e 1330f a a =++-+=++>>，
∴在x ∈()20,e 内存在唯一的零点，即()f x 的零点个数为1；
（2）令()()()'sin ,cos 10,g x x x g x x g x =-=-≤是减函数，()00g =，
即当0x >时，()0,sin g x x x <<，当0x <时，()0,sin g x x x >>，
由11sin x a x +=知：111sin 0,0a x x x =-≥∴≤；
由（1）的讨论知()f x 存在唯一的零点0x ，
当0a ≥时，()10f a =≥，(]00,1x ∴∈，
()()(]00000000
111ln 110,0,1,ln 10x x x a x x a x x x +∴++-+=∈∴=--+≥，又11sin a x x =-，011000
11sin ln 1x x x x x x +∴-=-
-+…①，其中(]010,1,0x x ∈≤，令0ln t x =，0e t x =，则0t ≤；式即为()11e 11sin 11e e 1e e
t t t t t x x t t --+-=--+=-+-+，不等式10ln 0x x -≤等价于1x t ≤，其意义为：当函数()()sin ,0g x x x x =-≤与函数()()1e
e 1x x p x x --=-+-+(),0x ≤的函数值相等
时，比较对应的自变量之间的大小关系；∴设()()()()()1e sin 1,0x m x p x g x x x x -=-=-+-+≤，
()'e cos x m x x x -=-，当π,02x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦
时，()'cos 0,e 0,0x x x m x -><∴<，当π2x ≤-时，π2πe e 12x
x -≤-<-，()()'e cos 1cos 0,x m x x x x m x -=-<--<∴是减函数，又()00m =，0x ∴≤时，()0m x ≥，即()()p x g x ≥，
()()1p t g x ∴=时1x t ≤，当且仅当10x t ==时等号成立；
即10ln 0
x x -≤本题第二问的难点在于对不等式10ln 0x x -≤的几何解释，即当()g x 与()p x 的函数值相等时，对应的自变量的大小关系，如此构造函数()()()m x p x g x =-并判断单调性就顺理成章了，其中对于导函数中有三角函数时，往往采用分区间讨论符号.。