线段的垂直平分线(第1课时)教学课件--北师大版初中数学八年级(下)
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第 一章 三角形的证明
第一章 三角形的证明
1.3线段的垂直平分线（第1课时）
学习目标
1. 学会综合法证明线段的垂直平分线的性质定理和判断定 理。（重点） 2.通过探索、发现、猜测、证明等过程，发展学生的推理 证明的能力、规范证明的书写格式。（难点）
新课导入
知识回顾
1.点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7,则PB=__7___. 2.如右图，在Rt△ABC中，∠B=900，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D， 交BC于点E，已知∠BAE=300，则∠C的度数为__3__0_°__.
情景导入
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头， 使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？
A
C
B
知识讲授
线段垂直平分线的性质定理
我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线 段两个端点距离相等.你能证明这一结论吗?
知识讲授
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
几何语言：
如图,∵PA=PB(已知),
A
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段
两个端点距离相等的点,在这条线段的
垂直平分线上).
P B
温馨提示：这个结论经常用来证明点在直线上（或直线经过某一点） 的根据之一．
随堂训练
1. 如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一
点，如果EC=7cm，那么ED= 7 cm；如果∠ECD=60 °， 那么∠EDC= 60 °．
符号语言：
P在线段AB的垂直平分线上 PA PB
温馨提示：这个结论是经常用来证明两条线段相 A
等的根据之一.
∟
P B
例1 如图：直线MN是线段AB的垂直平分线，点C为垂足，请问在图
形中哪些线段相等？为什么？
PA=PB AC=BC
知识讲授
线段垂直平分线的性质定理的逆定理
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等． 你能写出这个定理的逆命题吗？ 如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段 的垂直平分线上，即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的 垂直平分线上． 当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果 假，则需用反例说明．
已知：如图，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点. 求证：PA=PB．
证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）； ∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）．
M P
A
C
B
N
知识讲授
文字语言：
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的 距离相等．
比一比：你的写作过程完整吗？
A
D
E
B
C
3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点.
求证：PB=PC. 证明：∵AB=AC，
∴A在线段BC的垂直平分线上.
∵BD=CD，
∴ D在线段BC的垂直平分线上.
B
∴ AD是线段BC的垂直平分线.
∵P是AD上一点 ，
∴PB=PC.
A
P C
D
课堂小结
C
AE
B D
随堂训练
2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点 E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
解：∵DE为AB的垂直平分线，∴AE=BE. ∵△BCE的周长等于50， ∴BE+EC+BC=50，即AE+EC+BC=50， ∴AC+BC=50. ∵AC=27，∴BC=23.
1.线段垂直平分线的定理及证明 2.线段垂直平分线的逆定理及证明 3.两个定理之间的区分与联系
A
P CB
知识讲授
（方法二）把线段AB的中点记为C,连接PC.
∵C为AB的中点，
P
∴AC=BC. ∵PA=PB,PC=PC， ∴△APC≌△BPC(SSS)，
A
.C
B
∴∠PCA=∠PCB=90°， ∴PC⊥AB， 即P在AB的垂直平分线上.
知识讲授
பைடு நூலகம்
判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上.
知识讲授
性质定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂 直平分线上．
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：（方法一）过点P作已知线段AB的垂线PC，
∵PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL），
∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．
第一章 三角形的证明
1.3线段的垂直平分线（第1课时）
学习目标
1. 学会综合法证明线段的垂直平分线的性质定理和判断定 理。（重点） 2.通过探索、发现、猜测、证明等过程，发展学生的推理 证明的能力、规范证明的书写格式。（难点）
新课导入
知识回顾
1.点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7,则PB=__7___. 2.如右图，在Rt△ABC中，∠B=900，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D， 交BC于点E，已知∠BAE=300，则∠C的度数为__3__0_°__.
情景导入
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头， 使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？
A
C
B
知识讲授
线段垂直平分线的性质定理
我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线 段两个端点距离相等.你能证明这一结论吗?
知识讲授
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
几何语言：
如图,∵PA=PB(已知),
A
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段
两个端点距离相等的点,在这条线段的
垂直平分线上).
P B
温馨提示：这个结论经常用来证明点在直线上（或直线经过某一点） 的根据之一．
随堂训练
1. 如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一
点，如果EC=7cm，那么ED= 7 cm；如果∠ECD=60 °， 那么∠EDC= 60 °．
符号语言：
P在线段AB的垂直平分线上 PA PB
温馨提示：这个结论是经常用来证明两条线段相 A
等的根据之一.
∟
P B
例1 如图：直线MN是线段AB的垂直平分线，点C为垂足，请问在图
形中哪些线段相等？为什么？
PA=PB AC=BC
知识讲授
线段垂直平分线的性质定理的逆定理
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等． 你能写出这个定理的逆命题吗？ 如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段 的垂直平分线上，即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的 垂直平分线上． 当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果 假，则需用反例说明．
已知：如图，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点. 求证：PA=PB．
证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）； ∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）．
M P
A
C
B
N
知识讲授
文字语言：
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的 距离相等．
比一比：你的写作过程完整吗？
A
D
E
B
C
3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点.
求证：PB=PC. 证明：∵AB=AC，
∴A在线段BC的垂直平分线上.
∵BD=CD，
∴ D在线段BC的垂直平分线上.
B
∴ AD是线段BC的垂直平分线.
∵P是AD上一点 ，
∴PB=PC.
A
P C
D
课堂小结
C
AE
B D
随堂训练
2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点 E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
解：∵DE为AB的垂直平分线，∴AE=BE. ∵△BCE的周长等于50， ∴BE+EC+BC=50，即AE+EC+BC=50， ∴AC+BC=50. ∵AC=27，∴BC=23.
1.线段垂直平分线的定理及证明 2.线段垂直平分线的逆定理及证明 3.两个定理之间的区分与联系
A
P CB
知识讲授
（方法二）把线段AB的中点记为C,连接PC.
∵C为AB的中点，
P
∴AC=BC. ∵PA=PB,PC=PC， ∴△APC≌△BPC(SSS)，
A
.C
B
∴∠PCA=∠PCB=90°， ∴PC⊥AB， 即P在AB的垂直平分线上.
知识讲授
பைடு நூலகம்
判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上.
知识讲授
性质定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂 直平分线上．
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：（方法一）过点P作已知线段AB的垂线PC，
∵PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL），
∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．