【全国百强校】西藏自治区拉萨中学2019届高三第六次月考数学(文)试题

拉萨中学高三年级（2019届）第六次月考
文科数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =，则()U A B =ð
A. {}1,3,4
B. {}3,4
C. {}3
D. {}4
2.
2
12(1)
i
i +=- A. 1
12
i --
B. 1
12
i -+
C. 1
12
i +
D. 112
i -
3. 已知,x y 满足约束条件50x y x y y ++≥0⎧⎪
-≤0⎨⎪≤⎩
，则24z x y =+的最小值为
A. －14
B. －15
C. －16
D. －17
4. 在ABC △中，4
ABC π
∠=
，AB =，3BC =，则sin BAC ∠=
A.
B.
C.
D. 5. 过椭圆()22
2210b x y a b
a +>>=的左焦点F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=︒，
则椭圆的离心率为
A.
B.
C.
1
2
D.
13
6. 若4sin()5πα-=
，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则2sin 2cos 2αα-的值等于
A.
4
25 B.
25
4
C.
25
16
D.
1625
7. 当7, 3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为
A. 7
B. 42
C. 210
D. 840
8. 设2lg ,(lg ),a e b e c === A. a b c >>
B. c b a >>
C. c a b >>
D. a c b >>
9. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是
A. 8
B. C. 10
D. 10. 已知A 、B 为抛物线2:4C y x =上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若4FA FB =-，则直线AB 的斜率为
A. 23
±
B. 3
2
±
C. 34
±
D. 43
±
11. 函数1
1y x
=
-的图象与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于 A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
12. 已知函数32(1)3f x x a x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 A. (2,)+∞
B. (1,)+∞
C. (,2)-∞-
D. (,1)-∞-
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上。

13. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为
14. 直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于
15. 已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为
16. 已知函数2()(
)21,4
2sin f x x x x R π
=+-∈，
若函数()()h x f x α=+的图象关于点(,0)3
π
-对称，且(0,)απ∈，则α=
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)
在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且123,22,5a a a +成等比数列. （1）求,n d a ；
（2）若0d <，求123n a a a a +++
+.
18. (本小题满分12分)
在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，1BC =，, E F 分别是11AC ，
BC 的中点.
（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；
（2）求证：
1
C F∕∕平面ABE；
（3）求三棱锥E ABC
-的体积.
19. (本小题满分12分)
电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名. 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性. （1）根据已知条件完成下面的22
⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2名，求至少有1名女性观众的概率.
附：
()
()()()()
2
2
n bc ad
K
a b c d a c b d
-
=
++++
20. (本小题满分12分)
()000(),P x y a x ≠±是双曲线()22
22:10,0a x y E a b
b >->=上一点，, M N 分别是双曲线E 的左，
右顶点，直线, PM PN 的斜率之积为1
5
. （1）求双曲线的离心率.
（2）过双曲线E 右焦点且斜率为1的直线交双曲线于,A B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值．
21. (本小题满分12分)
设函数2
1()ln (1)2
a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0. （1）求
b ；
（2）若存在01x ≥，使得0()1
a
f x a <-，求a 的取值范围．
22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(A -，以原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立坐标系，曲线E 的极坐标方程为
2
cos cos ρρθθ=(0)a >，过点A 作直线
()4
R παρ=
∈的平行线l ，分别交曲线E 于,B C 两点.
（1）写出曲线E 和直线l 的直角坐标方程； （2）若,,AB BC AC 成等比数列，求a 的值.
23.（本小题10分）选修4-5：不等式选讲 （1）解不等式2213x x --+>；
（2）设正数,,a b c 满足abc a b c =++，求证：4936ab bc ac ++≥，并给出等号成立条件。

第六次文科数学答案：
一、选择题：
ABBCB ACDCD DC 二、填空题： 13.
35
14. 15.92π 16.2
π 三、解答题：
17【解析】（1）由题意得，()2
312522a a a ⋅=+，即2340d d --=，
故1d =-或4d =.
所以11n a n =-+，*
n N ∈或46n a n =+，*
n N ∈. （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S .
因为0d <，由（1）得1d =-，11n a n =-+， 当11n ≤时，123n n a a a a S +++
+=
212122
n n =-+；
当12n ≥时，2123121
211022
n n n a a a a S S n n ++++=-+=
-+. 综上所述，
123n a a a a ++++
22121,11,22121110,12.22
n n n n n n ⎧
-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩
18答案
【解析】解：（1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ，
所以1BB AB ⊥. 又因为AB BC ⊥， 所以AB ⊥平面11B BCC . 所以平面ABE ⊥平面11B BCC .
（2）证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG .
因为E ，F ，G 分别是11AC ，
BC ，AB 的中点， 所以//FG AC ，且12FG AC =
，11112
EC AC =. 因为11//AC AC ，且11AC AC =， 所以1FG EC =，且1FG EC =， 所以四边形1FGEC 为平行四边形， 所以1//C F EG .
又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ， 所以1//C F 平面ABE .
（3）因为12AA AC ==，
1BC =，AB BC ⊥，
所以AB =
=所以三棱锥E ABC -的体积
1111123323
ABC V S AA ∆=⋅=⨯⨯=
. 19答案
【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100名观众中，“体育迷”有25名，从而完成2×2列
联表如下：
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得2
K 的观测值为
2211221221121210030104515100 3.0307525455533
nn n n n k n n n n -----⨯⨯-⨯===≈⨯⨯⨯.
因为3.030 3.841<，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关. 6分
（2）由频率分布直方图可知，“超级体育迷”有5名，从而一切可能结果所组成的基本事件空间()()()()()()()()()(){}12132311122122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a b a b a b a b b b Ω=，其中1a 表示男性，1,2,3i =，j b 表示女性，1,2j =.
9分
Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的.用A 表示“任选2名中，至少有1名是女
性”这一事件，则()()()()()()(){}1
1
1
2
2
1
2
2
3
1
3
2
1
2
,,,,,,,,,,,,,A a b a b a b a b a b a b b b =，事件A 由7个基本事
件组成，因而()7
10
P A =. 12分 20答案
解析：（1）由点()()
000,P x y x α≠±在双曲线22
221x y a b -=上，有2200221x y a b
-=.
由题意有
00001
5
y y x a x a ⋅=-+， 可得225a b =，2222
6c a b b =+=，c e a =
=
. （2）联立22255,
,
x y b y x c ⎧-=⎨=-⎩
得22
410350x cx b -+=.
设()11,A x y ，()22,B x y ，则122
125,2
35.4
c x x b x x ⎧
+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ① 设()33,OC x y =，OC OA OB λ=+， 即312312,
.
x x x y y y λλ=+⎧⎨
=+⎩
又C 为双曲线上一点，即22
23355x y b -=，有()()2
2
2121255x x y y b λλ+-+=.
化简得()()()2
2
222
21
122121255255x
y x y x x y y b λ
λ-+-+-=.②
又()11,A x y ，()22,B x y 在双曲线上，
所以2221155x y b -=，22
22255x y b -=.
由①式又有()()()2
2
1212121212125545510x x y y x x x c x c x x c x x c b -=---=-++-=，
②式可化为240λλ+=， 解得0λ=或4λ=-. 21答案：
【解析】解：（1）()()1a
f x a x b x
=
+--. 由题设知()10f =，解得1b =， （2）()f x 的定义域为()0,+∞， 由（1）知，()2
1ln 2
a f x a x x x -=+
-， ()()()11111a a a f x a x x x x x a -⎛⎫=
+--=-- ⎪-⎝⎭
. （ⅰ）若12a ≤
，则
11a
a
≤-，故当()1,x ∈+∞时，()0f x >，()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以，存在01x ≥，使得()01a f x a <-的充要条件为()11a f a <-，即1121
a a
a --<-，解
得
11
a -<-. （ⅱ）若
112a <<，则11a
a
>-，
故当1,
1a x a ⎛⎫
∈ ⎪-⎝⎭
时，()0f x <；
当,1a x a ⎛⎫
∈+∞
⎪-⎝⎭
时，()0f x >. ()f x 在1,1a a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递减，在,1a a ⎛⎫
+∞ ⎪-⎝⎭
上单调递增.
所以，存在01x ≥，使得()01
a
f x a <
-的充要条件为11
a a f a a ⎛⎫
< ⎪
--⎝⎭. 而()2ln 112111a a a a a f a a a a a a ⎛⎫
=++> ⎪
-----⎝⎭
，所以不合题意. （ⅲ）若1a >，则()1111221
a a a
f a ---=
-=<-，符合题意. 综上，a
的取值范围是()
()11,⋃+∞.
22.（1
）由2cos cos ρρθθ=
，得222cos cos ρρθθ=. 得曲线E
的直角坐标方程为()20y a =>.
又直线l 的斜率为1，且过点A ，故直线l
的直角坐标方程为y x =……4分
（2）在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (t 为参数)，
代入2y =
得()2281640t a t a -+++=
∴1228t t a +=+，12416t t a =+ ∵2
BC
AB AC =⋅，∴()2
1212t t t t -=
∴()()2
445416a a +=+，得2340a a +-=，2
340a a +-=，由0a >，得1a = (10)
23.答案：
解：（1）当1x ≤-时，()()2213x x -++>，得2x <，此时1x ≤-； 当12x -<≤时，()()2213x x --+>，得0x <，此时10x -<<；
当2x >时，()()2213x x --+>，得8x >，此时8x >. 综上所述，原不等式的解集是()
(),08,-∞+∞. （2）证明：由abc a b c =++，得
1111ab bc ca
++=. 由柯西不等式，得 ()()211149123ab bc ac ab bc ca ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭
， 所以4936ab bc ac ++≥，当且仅当2a =，3b =，1c =时，等号成立.。