压电驱动器非线性机电耦合动力学求解与验证

压电驱动器非线性机电耦合动力学求解与验证
李 冲 许立忠 邢继春
燕山大学,秦皇岛,066004
摘要:基于压电非线性效应和位移非线性效应建立了压电驱动器非线性机电耦合动力学方程,应用L i n zT e d ‐P o i n c a r é法对弱非线性自由振动㊁
接近共振时受迫振动及亚谐波振动响应方程进行推导,比较了压电驱动器在非线性及线性条件下响应的区别,使用四阶R u n g e ‐K u t t a 数值法和实验对理论推导进行了验证㊂结果表明:在两种非线性效应中,压电非线性对压电驱动器振动响应的影响是主要的;非线性数值解与解析解吻合较好,实验频率更接近非线性共振频率㊂
关键词:压电驱动器;非线性的;机电耦合动力学;L i n zT e d ‐P o i n c a r é法
中图分类号:T H 113.1 D O I :10.3969/j
.i s s n .1004‐132X.2015.24.002S o l u t i o na n dV a l i d a t i o no fN o n ‐l i n e a rE l e c t r o m e c h a n i c a l ‐
c o u p l e dD y n a m i c s f o rP i e z o e l e c t r i cA c t u a t o r L i C h o n g X uL i z h o n g X i n g J
i c h u n Y a n s h a nU n i v e r s i t y ,Q i n h u a n g
d a o ,H
e b e i ,066004A b s t r a c t :O nt h eb a s i so fn o n ‐l i n e a r p i e z o e l e c t r i ce
f f e c ta n dn o n ‐l i n e a rd i s p
l a c e m e n te f f e c t ,t h e n o n ‐l i n e a r e l e c t r o m e c h a n i c a l ‐c o u p l e dd y n a m i c e q u a t i o n s o f p i e z o e l e c t r i c a c t u a t o rw e r e e s t a b l i s h e d .A p -
p l y i n g L i n zT e d ‐P o i n c a r ém e t h o d ,r e s p o n s e e q
u a t i o n s o fw e a kn o n l i n e a r f r e e v i b r a t i o n ,f o r c e v i b r a t i o n n e a r t o n a t u r a l f r e q u e n c y ,s u b h a r m o n i c v i b r a t i o nw e r e d e d u c e d .A n d t h e c o m p a r i s o nb e t w e e nn o n ‐l i n e -
a r r e s p o n s e a n d l i n e a r r e s p o n s ew a s i n v e s t i g a t e d .U s i n g t h e f o u r t ho r d e rR u n g e ‐K u t t a a n d e x p e r i m e n -
t a lm e t h o d ,t h e t h e o r e t i c a l d e r i v a t i o nw a s v e r i f i e d .R e s u l t s s h o w ,i n t h e t w o t y p
e s o
f n o n ‐l i n e a r e f f e c t s ,t h e i m p a c t o f p i e z o e l e c t r i c n o n ‐l i n e a r e f f e c t o na c t u a t o r i s p r i m a r y .N u m e r i c a l r e s u l t s a g
r e ew e l lw i t h a n a l y t i c a l s o l u t i o n s ,a n d t e s t i n g f r e q u e n c i e s a r e c l o s e t on o n ‐l i n e a r r e s o n a n c e f r e q u e n c i e s .K e y w
o r d s :p i e z o e l e c t r i ca c t u a t o r ;n o n ‐l i n e a r ;e l e c t r o m e c h a n i c a l ‐c o u p l e d d y n a m i c s ;L i n z T e d ‐P o i n c a r ém e t h o d
收稿日期:20141104
基金项目:国家自然科学基金资助项目(51275441);河北省研究生创新资助项目(00302‐6370001
)0 引言
近年来,以形状记忆合金㊁电致伸缩材料㊁磁
致伸缩材料和压电材料主导的智能材料获得了迅
速发展,其中的压电材料成为学者研究的焦点[
1
],适应于各场合的各类微型驱动装置层出不穷㊂D r a g
a n 等[2]
由千足虫的爬行得到启发,利用两个U 形压电双晶片,研制了一台低频压电电机;T o -
y
a m a [3]
将设计的球形压电超声电机作为相机作动器用在管状探测机器人上;T o m o a k i [4]
研制了一台定子体积只有1mm 3的微型超声电机,成为最小的压电电机之一;赵淳生团队研发的压电超声电机首次用于 嫦娥三号”探测器,实现了其在月球上的完美着陆
[5]
㊂
叠堆型压电驱动器在承受较大压力的同时能输出较大位移,一直受到学者的青睐㊂陈维山等
[6]
利用20个压电叠堆驱动器设计和制造了一
台利用径向弯曲模态的行波压电电机,其最大转
速㊁最大转矩分别为146r /m i n ㊁1.0N ㊃m ;O l i -v e r [7]
提出一种利用8个5mm×5mm×50mm
的压电驱动器进行传动的谐波压电电机,该电机堵转转矩为0.75N ㊃m ;
笔者利用2个5mm×5mm×20mm 的压电驱动器设计了一种机电集
成压电谐波传动系统[8
],该传动系统将压电驱动㊁谐波传动和活齿传动集成为一体,具有传动比大㊁输出转矩大和寿命长等优点㊂
压电驱动器的动力学特性将会对驱动力和输出位移产生重要影响,不少学者对叠堆压电驱动
器进行了动力学分析㊂V a h i d 等[9]
通过有限元方
法对三自由度锥形压电驱动装置进行了动力学建
模与分析;王光庆[10]
对压电叠堆式发电装置进行
了建模与仿真分析㊂然而研究者对压电的非线性动力学分析主要集中在压电片与梁或板的层叠结
构上[11‐13]
,对于使用率较高的叠堆型压电驱动器
却未曾见到相关研究㊂因此,本文在压电非线性效应和位移非线性效应的基础上对压电驱动器进行机电耦合动力学建模,运用L i n zT e d ‐P o i n c a r é法(L ‐P 法)
对驱动器弱非线性自由振动㊁接近共㊃
5723㊃压电驱动器非线性机电耦合动力学求解与验证
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振时受迫振动和亚谐波振动进行分析与求解,最后通过四阶R u n g e‐K u t t a数值法对文中的动力学推导进行验证㊂
1 非线性压电效应
由于压电陶瓷磁滞效应的存在,使其在通入激励信号后产生的应力和应变呈非线性变化,故考虑非线性时的压电应变方程为[14]
S3=S33T3+d33E3+12d333E23+K333T3E3(1)式中,S33为压电材料弹性柔度系数,m2/N;d33为压电应变常数,m/V;T3为压电驱动器预应力,P a;E3为电场强度,E3=U/l p;l p为压电片厚度,mm;U为驱动信号,U= U p‐p(1+c o sωt)/2;U p‐p为驱动电压峰峰值,V;ω为驱动信号频率,r a d/s;d333为二次非线性压电系数;K333为机电耦合矩阵中的元素㊂
当T3=0时,式(1)化简为
S3=d33U l p+12d333(U l p)2(2)根据力和应力的关系式σp=F p/A p和广义胡克定律σp=c33S3,可得压电驱动器末端非线性输出力为
F p=c33A p U
2l2p(2d33l p+d333U)(3)式中,c33为弹性刚度系数;A p为驱动器横截面积㊂
2 非线性动力学方程
2.1 机电耦合动力学模型
考虑压电材料的位移非线性效应,引入量纲一小参数ε,则无激励时驱动器的非线性轴向应力为
σp=c33(εy+εε2y+εε3y)(4)其中,εy为无激励信号时压电堆内轴向应变,且εy=∂v/∂y,v和y分别为压电堆的轴向振动位移和纵坐标㊂
对压电驱动器施加激励信号时,设激励力幅值与小参数ε同数量级,则驱动器总的内力为
F=A pσp+ε∫y0(F p/l n p)d y(5)式中,l n p为压电驱动器总长度㊂
压电驱动器动力学模型如图1所示,假设各压电陶瓷片之间是理想黏结的,驱动器在整体上是一个连续杆,对图1中微元d y的受力在y向应用牛顿定律,可得压电驱动器非线性机电耦合动力学方程为
ρp A p∂2v∂t2=A p c33∂2v∂y2[1+2ε∂v∂y+3ε(∂v∂y)2]+
A p c33
l n p
(d33E3+12d333E23)(6)式中,ρp为压电叠堆的密度
㊂
图1 压电驱动器动力学模型
令v(y,t)=ϕ(y)q(t),其中,ϕ(y)和q(t)分别为压电堆轴向振动的模态函数和时间响应函数,代入式(6)化简得
q¨(t)-b1q(t)-b2εq2(t)-b3εq3(t)=
εF0+εF1c o sωt+εF2c o s2ωt(7)
b1=c33ϕ″
ρpϕ,b2=
2c33ϕ'ϕ″
ρpϕ,b3=
3c33(ϕ')2ϕ″
ρpϕ
ϕ=
1
l n p∫l n p0∑ϕi(y)d y
ϕ'=
1
l n p∫l n p0∑ϕ'i(y)d y
ϕ″=
1
l n p∫l n p0∑ϕ″i(y)d y
F0=c33U p‐p(8l p d33+3d333U p‐p)
16l3p
F1=c33U p‐p(2l p d33+d333U p‐p)
4l3p
F2=c33d333U2p‐p
16l3p
式中,ϕi为第i阶模态函数㊂
2.2 弱非线性自由振动
当式(7)中激励信号U p‐p=0且ε充分小时,系统为弱非线性自由振动系统,此时系统中只存在位移非线性,没有压电非线性㊂由此可得弱非线性自由振动方程为
q¨(t)+ω20q(t)-b2εq2(t)-b3εq3(t)=0(8)式中,ω0为线性系统的固有频率㊂
采用L‐P法求解非线性方程,将式(8)的解q(t,ε)和振动频率ω展成ε的幂级数:
q(t,ε)=q0(t)+εq1(t)+ε2q2(t)+ (9)
ω2=ω20(1+εσ1+ε2σ2+ )(10)引入新的自变量κ=ωt,将原微分改为对κ的微分,并将式(9)和式(10)代入式(8)㊂令ε的同次幂的每项系数都为0,导出前二次的线性方程组为
q¨0+q0=0
q¨1+q1=-σ1q¨0+b2ω20q20+b3ω20q30
q¨2+q2=-σ2q¨0-σ1q¨1+2b2ω20q0q1+3b3ω20q20q
ü
þ
ý
ï
ïï
ï
ï
1
(11)
设压电驱动器的初始位移为δ0,初始速度为
㊃6723㊃
中国机械工程第26卷第24期2015年12月下半月
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0,
初始位移可根据线性系统受迫振动位移给出,这里不再列出具体过程㊂由初始条件和零次近似方程可得出零次近似解为q 0(t )=δ0c o s κ(12
)将式(12
)代入一次近似方程,同时为避免出现久期项,令c o s κ的系数为0,得出σ1=
-3b 3δ2
0/(4ω2
),故可得一次近似解为q
1(t )=b 2δ2
02ω20
+(b 3δ30
32ω20
-b 2δ203ω
20
)
c o s κ-b 2δ206ω20c o s 2κ-b 3δ3
32ω2
c o s 3κ(13
)同理,将式(13)代入二次近似方程,令c o s κ
的系数为0可求得σ2,
对二次近似方程求解可得q 2(t )=ζ0+ζ
1c o s κ+ζ2c o s 2κ+ζ3c o s 3κ+ζ
4c o s 4κ+ζ5c o s 5κ(14
)ζ0=-b 22δ303ω40-3b 2b 3δ4032ω40+3b 23δ4
4ω4
ζ1=-67b 22δ30144ω40
-b 2b 3δ4
6ω40
+5b 23δ406ω40
+23b 23δ
5
1024ω
40
ζ2=b 22δ309ω40-b 2b 3δ4012ω40-b 23δ4012ω4
ζ3=b 22δ3048ω40-3b 23δ50128ω40+b 2b 3δ4
32ω4
0ζ4=b 2b 3δ4096ω40 ζ5=b 23δ5
1024ω4
忽略二阶以上高阶项,驱动器非线性近似解为
q (t ,ε)=q 0(t )+εq
1(t )+ε2
q 2(t )(15
)压电驱动器非线性系统振动频率ω与初始位移δ0间的关系为
ω2=ω20[
1-ε3b 3δ204ω20
+ε2(3b 23δ40
128ω40
-b 2b 3δ3
2ω40
+b 22δ203ω
40
)](16
)2.3 接近共振时非线性受迫振动
当U p ‐p ≠0时,式(7)即为接近共振时非线性机电耦合动力学方程,此时压电激励力的幅值与小参数ε同数量级,激励频率ω接近线性固有频率ω0,引入频方差εσ=ω2-ω2
0(σ为中间变量),将频方差和式(9)代入式(7
),令ε的同次幂系数相等,导出下列近似方程组:
q
¨0+ω2
q 0=0q ㊃1+ω2q 1=σq 0+b 2q 20+b 3q
30+F 0+ F 1c o s ωt +F 2c o s 2ωt q ¨2+ω2q 2=σq 1+2b 2q 0q 1+3b 3q 2
0q
üþý
ï
ïïï
ï1(17
)设零次近似方程的解为
q
0(t )=A 0c o s ωt +B 0s i n ωt (18
)式中,A 0㊁B 0为常系数㊂
由初始条件得A 0=δ0,
将式(18)代入一次方程,为避免久期项,令c o s ωt 和s i n ωt 的系数为0,
可得
3εb 3A 30+3εb 3A 0B 20+4A 0(ω2-ω2
0)+4εF 1=03εb 3A 20B 0+3εb 3B 30+4B 0(ω2-ω20)
=}
0(19)求解式(19
),可得B 0=0,同时得出ω2=ω2
0-
34εb 3δ2
0-1δ0
εF 1(20
)则压电驱动器接近共振时一次非线性近似解为
q 1(t )=b 2δ20+2F 02ω2+(b 3δ3032ω2-b 2δ20+3F 0-F 23ω
2
)c o s ωt -b 2δ20+2F 26ω2c o s 2ωt -b 3δ30
32ω
2
c o s 3ωt (21
)将式(21
)代入二次近似方程,同时为避免出现久期项,令c o s ωt 的系数为0,
可得σ=[δ30(224b 22-144b 2b 3δ0+9b 23δ2
0)
+48δ0F 0(8b 2-9b 3δ0)+16δ0F 2(4b 2+
9b 3δ0)]/(6b 3δ30-64b 2δ2
0-1
94F 0+64F 2)(22)故可求解出二次近似方程的解为
q
2(t )=c 0+c 1c o s ωt +c 2c o s 2ωt +c 3c o s 3ωt +c 4c o s 4ωt +c 5
c o s 5ωt (23
)c 0=
196ω
4[b 2δ20(48σ+75b 3δ20-32b 2δ0-12b 3δ3
0)+48F 0(2σ-2b 2δ0+3b 3δ2
0)+8δ0F 2(4b 2+3b 3δ0)
]c 1=c 0+
13c 2+18c 3+115c 4+1
24
c 5c 2=-1288ω
4[b 2δ20(16σ-32b 2δ0+45b 3δ2
0)+48δ0F 0(3b 3δ0-2b 2)+16F 2(2σ+2b 2δ0-3b 3δ2
0)
]c 3=13072ω
4[δ30(12σb 3+64b 22+96b 23δ0+9b 23δ20)+32δ0F 0(4b 2+9b 3δ0)-96b 3δ2
F 2]c 4=
1480ω4(5b 2b 3δ40+8b 3δ2
0F 2) c 5=-b 23δ5
01024ω
4
忽略高阶项,将式(18)㊁式(21)和式(23
)代入式(15),可得压电驱动器接近共振时的非线性近似解㊂
2.4 亚谐波共振响应
当固有频率ω0接近激励频率ω的1/3倍时,系统也会发生强烈的共振,这种现象为亚谐波响应㊂由于亚谐波响应是由较强的激励引起的,故激励力与ε不再是同数量级,其动力学方程变为
q ¨(t )+[ω20-b 2εq (t )-b 3εq 2
(t )]q (
t )=F 0+F 1c o s ωt +F 2c o s 2ωt
(24)设(ω0-ω
/3)与ε同数量级,令(ω3
)2=ω20+εσ1+ε2
σ2(25
)将式(9)和式(25)代入式(24
),令ε同次幂系数相等,导出零次和一次近似方程为
q ¨
0+(ω3)2q
0=F 0+F 1c o s ωt +F 2c o s 2ωt q ¨1+(ω3
)2
q 1=σ1q 0+b 2q 20+b 3q
üþ
ýïïïï3
0(
26)㊃
7723㊃压电驱动器非线性机电耦合动力学求解与验证
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亚谐波零次近似方程的解为
q
0(t )=B 0+B 1/3c o s ωt 3
+B 1c o s ωt +B 2c o s 2ωt (27
)B 0=
9F 0ω2,B 1=-9F 18ω2,B 2=-9F 2
35ω
2将式(27
)中二次谐波项去掉后代入一次方程,为避免出现久期项,令c o s (ωt /3)的系数为零,得出
3b 3B 2
1/3+3
b 3B 1/3B 1+12b 3B 20+8b 2B 0+6b 3B 2
1+4σ1=0
(28
)求解式(28
)可得B 1/3=
9F 1
16ω
2±43εb 3(ω20-ω2
9)-567F 21256ω4-324F 20ω4-24b 2F 0b 3
ω2
(29)压电驱动器亚谐波共振产生的条件是
ω2
0≥(ω3)2(1+15309εb 3F 211024ω
6
+2187εb 3F 2
0ω6+162εb 2
F 0ω
4
)ε≥0ω20<(ω3)2(1-15309|ε|b 3F 211024ω6
-2187|ε|b 3F 20ω6-162|ε|b 2
F 0ω
4
)ε<üþý
ï
ï
ïïïï
ïï0(30
)由一次近似方程解出一次非线性近似解为
q
1(t )=9C 0ω2-3C 2/3ω2c o s 2ωt 3-9C 1
8ω
2c o s ωt -3C 4/35ω2c o s 4ωt 3-3C 5/38ω2c o s 5ωt 3-9C 2
17ω
2
c o s 2ωt -3C 7/316ω2c o s 7ωt 3-9C 3
26ω
2
c o s 3ωt (31
)式中,C 0㊁C 1㊁C 2为系数㊂
忽略一阶以上各项,亚谐波共振非线性近似
解表示为q (t ,ε)=q 0(t )+εq
1(t )㊂3 算例求解与分析
3.1 压电驱动器非线性输出特性
本文采用5mm ×5mm ×20mm 的压电驱动器作为研究对象,参数如表1所示㊂将参数代入式(2)和式(3),可得驱动器输出应变和输出力随电场强度E 3变化曲线以及增压和减压时输出位移随电压的变化曲线,如图2所示㊂改变参数压电应变常数d 33和压电片厚度l p ,得到压电驱动器非线性应变随参数变化曲线,如图3所示㊂由图2和图3可知:
表1 压电驱动器参数
参数名l
p
(mm )d 33
(p m /V )d 333
(
n m 2/V
2)c 33
(k N
/mm 2)数值
0.1
700
166.455.6
(a )应变(b
)输出力(c
)输出位移图2 压电驱动器非线性输出曲线
(a )d 33变化(b )l p 变化
图3 压电驱动器应变随参数变化曲线
(1
)随着电场强度E 3的增大,线性应变和非线性应变之间的差值增大,在E 3=2V /μm 时,非线性应变比线性应变小22.8%㊂同理,非线性输出力和线性输出力之差也随E 3的增大而增大,
在E 3=2V /μ
m 时,非线性输出力比线性输出力小25.8%㊂(2)参数d 33和l p 对压电驱动器非线性应变
S 3都有较大影响,非线性应变S 3随d 33的增大而
增大,随l p 的增大而减小,且S 3随d 33和l p 的变化幅度较均衡㊂
(3)在增压过程中,非线性输出位移曲线向上凸起,减压过程中,非线性输出位移曲线向下凹㊂出现这种现象的原因是压电存在磁滞效应,使得电压下降时输出位移不能按照原路返回㊂3.2 非线性幅频特性
取小参数ε=±0.2㊁初始位移δ0=0.6mm ㊁激励信号峰峰值U p ‐p =1
50V ,将ε和δ0代入式(16
),得到前4阶弱非线性自由振动的固有频率,如表2所示㊂分别选取小参数ε㊁电压峰峰值
U p ‐p ㊁
压电应变常数d 33和弹性刚度系数c 33作为研究对象,分析参数改变时接近共振时幅频曲线
㊃
8723㊃中国机械工程第26卷第24期2015年12月下半月
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的变化情况,作出一阶幅频响应随参数变化图,见图4㊂
表2 线性与非线性固有频率
1阶2阶3阶4阶ω0(ε=0)(H z)340254121197065102062ω(ε=-0.2)(H z)339584115697042102040ω(ε=0.2)(H z)340924126697089102084
|ω0-ω|/ω00.00200.00130.00020.0002 (a)小参数ε变化(b)电压峰峰值U p‐p变化
(c)压电应变常数d33变化(d)弹性刚度系数c33变化
图4 参数对接近共振幅频响应的影响
由表2和图4可得:
(1)当ε<0时,非线性固有频率ω小于线性固有频率ω0;当ε>0时,ω大于ω0;阶数相同时,ε<0或ε>0时|ω0-ω|的值恒定;随着频率阶数的增加,频率变化率|ω0-ω|/ω0变小,非线性现象减弱㊂
(2)与线性系统相比,非线性共振不出现在ω=ω0处及其附近,而是出现在偏离ω0较远处㊂当ω恒定时,对应的振幅|δ0|可以取到3个值,这种现象即是非线性中的跳跃现象㊂幅频响应中的骨架线主导了频响曲线的形状,反映了不同激励下振幅与激励频率的关系,且F1越大时频响曲线偏离骨架线越远㊂
(3)当ε增大时,频响曲线骨架线弯曲程度变大且向横轴靠近,相同频率对应的振幅值减小,共振曲线随骨架线变化趋势相同㊂
(4)随着U p‐p改变,幅频骨架线没有发生变化,共振曲线偏离骨架线的程度发生变化,且U p‐p 越大,偏离程度越大㊂主要原因是U p‐p通过改变F1的值来影响共振曲线的,而骨架线不受F1的影响㊂
(5)d33对幅频响应影响较小,随着d33的增大,骨架线无变化,共振曲线偏离骨架线程度增大㊂d33和U p‐p对幅频的影响都是通过改变F1的值实现的㊂
(6)当c33增大时,频响骨架线连同共振曲线一同沿频率增大的方向平移;c33取不同值时,各频响曲线形状没有发生变化㊂可见,c33的改变使得线性固有频率发生了变化,进而使非线性频响曲线偏移㊂
一般情况下,压电驱动器通常与弹簧或质量块固连作为一个系统进行工作㊂以弹簧为例,当压电驱动器与一个线径㊁中径和长度分别为0.5mm㊁5mm和15mm的压缩弹簧串联时,系统的固有频率会迅速下降,如表3所示㊂故压电驱动器与弹性元件配合使用时在频率较低时也可能发生共振㊂随着技术的不断提高,压电驱动器的性能也会有所提升,压电驱动器在高频激励下的驱动有望实现㊂本文中高频研究的价值一方面会在层叠片数较少的压电叠堆中得到应用,另一方面可在未来的压电驱动器中得到体现㊂
表3 压电驱动器与弹簧系统固有频率H z
1阶2阶3阶4阶ω0(ε=0)144.3378.6424.5695.8
ω(ε=-0.2)143.2378.2424.1695.6 3.3 非线性动态响应比较
取电压峰峰值U p‐p=150V,分别对非线性自由振动㊁接近共振时受迫振动及亚谐波共振时一阶线性与非线性响应进行对比,三种振动对应的激励频率分别为33958H z㊁33958H z和101874H z㊂非线性自由振动不存在激励信号,故只存在位移非线性;接近共振时受迫振动和亚谐波受迫振动存在位移非线性和压电非线性,故分4种情况:同时存在两种非线性㊁只存在位移非线性㊁只存在压电非线性㊁线性,进行对比分析,如图5所示㊂表4所示是接近共振时4种情况振幅最大与最小值对比㊂
由图5和表4知:
(1)三种振动形式中,线性振动的幅值始终大于非线性振动的幅值,非线性对接近共振时受迫振动影响最大,对亚谐波受迫振动影响最小㊂
(2)在非线性自由振动中,非线性响应幅值比线性响应幅值小3.3%;在接近共振受迫振动中,两种非线性效应作用时非线性幅值与线性幅值差距最大,此时非线性幅值比线性幅值小10.8%;亚谐波受迫振动中,线性与非线性幅值变化不明显㊂
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压电驱动器非线性机电耦合动力学求解与验证 李 冲 许立忠 邢继春
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(a)非线性自由振动(b)接近共振受迫振动
(c)亚谐波受迫振动
图5 压电驱动器线性与非线性响应对比
表4 接近共振时线性与非线性响应值比较
两种非线性位移非线性压电非线性线性
q m a x(mm)0.530.520.600.60 q m i n(mm)-1.70-1.90-1.70-1.90 (3)由表4知,当只考虑位移非线性时,非线性响应幅值比线性幅值小3.2%;而当只考虑压电非线性时,非线性幅值比线性幅值小8.0%;压电非线性是位移非线性影响力的2.5倍,故在压电驱动器中压电非线性的影响起主要作用㊂
(4)在接近共振时受迫振动响应曲线中平衡位置不在零线处,这是由于激励信号是带偏置的余弦信号,偏置信号对接近共振受迫振动起了作用,而偏置对亚谐波受迫振动的作用却很弱㊂4 数值验证
取电压峰峰值U p‐p=150V,激励频率分别为33958H z㊁33958H z和101874H z㊂采用MA T-L A B的四阶R u n g e‐K u t t a指令对式(8)㊁式(7)及式(2
4)进行数值求解,并将一阶数值结果与解析解进行对比㊂图6
所示是非线性响应一阶数值解,其中,图6a是三种振动的相图,1㊁2㊁3分别代表非线性自由振动㊁接近共振时受迫振动及亚谐波受迫振动㊂由图6得出规律:
(1)非线性振动相图曲线是由一系列椭圆曲线叠加而成,曲线呈闭合状,是外加激励频率与固有频率共同作用形成的周期运动㊂三种振动响应的相图收敛于闭合曲线,可见三种振动的动力学方程的解是收敛的,振幅是稳定的㊂
(a)相图 (b)非线性自由振动
(c)接近共振受迫振动(d)亚谐波受迫振动
图6 非线性响应数值解
(2)弱非线性自由振动时,数值解与解析解的相位相同,幅值最大误差为8.2%㊂
(3)接近共振受迫振动时,数值解和解析解幅值和相位都存在误差㊂在一阶响应中,解析幅值比数值幅值小11.9%,相位随着时间的增加而增大,在0.1m s时相位差为0.15p㊂
(4)在亚谐波振动中,数值解和解析解相位同步,幅值误差最大为13%㊂
5 实验分析
采用德国O p t o M E T公司V e c t o r类型的激光测振仪对压电驱动器压缩弹簧系统进行振动测试,如图7所示㊂图中,数据采集器对测试数据进行处理然后通过软件在电脑输出频谱,压电驱动电源为X MT三通道
具有反馈的信号放大装置㊂实验时,对压电驱动器通入50H z具有正偏置的正弦激励信号,压电驱动器弹簧系统在激励作用下产生振动,通过P i c o S c o p e软件对振动波形频谱分析可得到共振频率,表5所示为实验测试频率与理论频率比较㊂由表5可知:实验频率与理论频率最大误差控制在10%以内,且实验频率与非线性频率更接近㊂
图7 压电驱动器振动测试系统
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中国机械工程第26卷第24期2015年12月下半月
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表5 实验测试频率与理论频率比较
1阶2阶3阶4阶线性频率(H z)144.3378.6424.5695.8
非线性频率(H z)143.2378.2424.1695.6
实验频率(H z)130.1372.9432.2683.3实验与线性误差(%)9.841.510.311.80实验与非线性误差(%)9.151.400.211.77 6 结论
针对压电驱动器存在非线性效应,在压电驱动器非线性机电耦合动力学模型基础上,对弱非线性自由振动㊁接近共振时受迫振动及亚谐波共振方程进行了推导,分析了压电驱动器在非线性及线性条件下响应的区别,并对理论推导进行了验证㊂结果表明:①激励电压越大时压电驱动器非线性输出特性越显著,且增压和减压过程输出位移随电压变化路径不同;②非线性位移效应使固有频率发生变化,使共振峰值左偏,非线性压电效应使振幅较小;③小参数ε对非线性共振峰值左偏影响最大,c33只改变共振频率不改变峰值;
④数值解验证了解析解的正确性,实验验证了非线性频率更接近实际共振频率㊂研究结果为利用压电驱动器进行各种压电传动系统设计和实验提供了理论基础㊂
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(编辑 苏卫国)
作者简介:李 冲,男,1988年生㊂燕山大学机械工程学院博士研究生㊂主要研究方向为机电集成压电谐波传动系统㊂许立忠(通信作者),男,1962年生㊂燕山大学机械工程学院教授㊁博士研究生导师㊂邢继春,男,1983年生㊂燕山大学机械工程学院讲师㊂
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压电驱动器非线性机电耦合动力学求解与验证 李 冲 许立忠 邢继春
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