江苏省盐城市2020届高三数学上学期期中试题(含解析)

【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，属于基础题.
3.“ m >1 ”是“ m 2 ”的________条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必
要”、“既不充分也不必要”之一） 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】
根据充分、必要条件的判断方法，判断出正确结论.
【详解】由于 1, 包含 2, ，故“ m >1 ”是“ m 2 ”的必要不充分条件.
【答案】 [0,1]
【解析】
【分析】
根据分段函数的在 (1, ) 上是增函数列不等式组，解不等式组求得 a 的取值范围.
a 0
2 2a
1
【详解】由于 f x在 (1, ) 上是增函数，故 a 0 或 1 a a0 ，解得 a 0 或
0 a 1，所以实数 a 的取值范围是[0,1] .
思想方法，属于中档题.
二、解答题
15.若函数
f
(x)
2 sin( x
)
0, 0
2
的图象经过点
(0,
3) ，且相邻的两个零
点差的绝对值为 6．
（1）求函数 f (x) 的解析式；
（2）若将函数 f (x) 的图象向右平移 3 个单位后得到函数 g(x) 的图象，当 x [1, 5] 时，求
g(x) 的值域．
________．
【答案】 5
【解析】 【分析】
A 3π 利用正弦定理列方程组，化简后求得 4 ，利用余弦定理求得 BC 的长.
【详解】依题意 AB 2, AC 1，设 BD DC x, CAD 2BAD 2 , sin ADB sin ADC sin .则在三角形 ABD 和三角形 ACD 中，分别由正弦定理得
x
π 3
kπ
π 2
得
x
kπ
5π 6
，所以
a
kπ
5π 6
k
Z
，故当 k
1 时，
a
有最小值为
π 6
.
π 故答案为： 6
【点睛】本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数对称轴的求法，属于基础题.
10.若函数
f
(x)
ax2
e
x
,
2x
1
a,
x0 x 0 在 (1, ) 上是增函数，则实数 a 的取值范围是
________．
12.如图，在 ABC 中，
AB
3 ， AC
AD
2
AB
AE
1
AC
2，
3，
3 ， DM ME ， BN NC ，若
MN BC ，则 cos A 的值为________．
6 【答案】 6
【解析】
【分析】
将 MN , BC 用 AB, AC 表示，利用 MN BC 0 列方程，解方程求得 cos A 的值.
江苏省盐城市 2020 届高三数学上学期期中试题（含解析）
一、填空题
A=
1.已知集合
x | x2 1 0
， B [0, ) ，则 A B ________．
【答案】{1}
【解析】
【分析】
先求得集合 A ，然后求得两个集合的交集.
A 1, 1
A B 1
【详解】依题意
，所以
.
故答案为：{1} .
∴
3
0
2
，∴
3
，
∴函数
f
(x)
的解析式为
f
(x)
2
sin
6
x
3
.
（2）∵将函数 f (x) 的图像向右平移 3 个单位后得到函数 g(x) 的图像，
由（1）得，
f
(x)
2 sin
6
x
3
，
∴函数
g(x)
的解析式为
g(x)
2 sin
6
(x
3)
3
2 sin
6
x
6
；
9.若函数 f ( x) sin x 3 cos x 的图象关于直线 x a 对称，则 |a|的最小值是________．
【答案】 6 【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简 f x，根据正弦型函数的对称性，求得 a 的表达式，进而求得 a 的最
小值.
【详解】依题意
f
x
2
sin
x
π 3
，由
【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.
2.已知角 的始边为 x 轴的正半轴，点 P(1, 2 2) 是其终边上一点，则 cos 的值为
________．
1 【答案】 3
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求得 cos 的值.
cos
1
1
2
12 2 2
3
【详解】依题意
.
1 故答案为： 3 .
时 a 的取值范围，然后根据“ p 真 q 假”和“ p 假 q 真”两种情况进行分类讨论，由此求得
实数 a 的取值范围.
【详解】（1）∵ p 为真命题，则 2 a (sin x)max ，∴ a 1 ；
，解得
x
2
，故函数的定义域为 [2,
)
.
故答案为：[2, ) .
【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题.
6.若函数 y f (x) 为奇函数，当 x 0 时， f (x) log2 (1 x) ，则 f (7) 的值为
________．
【答案】 3
【解析】
【分析】
里奇偶性的性质，结合对数运算，求得函数值.
当
x
[1, 5]
时，
6
x
6
3
,
2 3
，则
2 sin
6
x
6
[
3, 2]
.
综上，当 x [1,5] 时， g(x) 的值域为[ 3, 2] .
【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像与性质求三角函数解析式，考查三角函数图像变
换，考查三角函数值域的求法，属于中档题.
16.设 p :“ x R ， sin x a 2 ”； q : “ f (x) x2 x a 在区间[1,1] 上有零点” （1）若 p 为真命题，求实数 a 的取值范围；
（2）若 p q 为真命题，且 p q 为假命题，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1） a 1
（2）
1,
1 4
(2,
)
【解析】
【分析】
（1）根据 sin x 的最大值，求得 a 的取值范围.
（2）由于“ p q ”为真命题，“ p q ”为假命题，所以 p, q 一真一假，先求得 q 为真命题
即 m a 2x03 3x02 或 m a 2x03 3x02 .构造函数 g1 x 2x3 3x2
x 0, 2 ，
g1'
x
6
x
x
1
，所以
g1
x
在区间
0,1
上递增，在
1,
2
上递减，
g1
x
最大值为
g1
1
1
.故
m
a
1
①.构造函数
g2
x
2
x3
3x2
x
0,
2 ，
g
' 2
x
6
x
x
1 ，
f x0 m ，结合 x0 的取值范围，以及不等式的性质，求得 m 的取值范围. 【详解】 f x0 2x03 3x02 a ，
当 m 0 时， f x0 m 恒成立，符合题意.
当 m 0 时，由 f x0 2x03 3x02 a m ，得 2x03 3x02 a m 或 2x03 3x02 a m ，
所以 g2 x在区间 0,1上递减，在 1, 2上递增，且 g2 0 0, g2 2 4 ，所以 g2 x的
最大值为
g2
2
4
.故
m
a
4
②.①+②得
2m
5, m
5 2
，即0Leabharlann m5 2.
综上所述，
m
的取值范围是
,
5 2
.
故答案为：
,
5 2
【点睛】本小题主要考查绝对值不等式，考查存在性问题的求解策略，考查分类讨论的数学
解能力，属于中档题.
14.设函数 f (x) | 2x3 3x2 a | ，若对任意的实数 a，总存在 x0 [0, 2] ，使得 f (x0 ) m ， 则实数 m 的取值范围是________．
【答案】
,
5 2
【解析】
【分析】
当 m 0 时，根据绝对值的性质判断此时 m 符合题意.当 m 0 时，利用绝对值的解法，化简
利用诱导公式求得 sin 的值，利用二倍角公式求得 cos 2 的值.
sin sin 4 ,sin 4
【详解】依题意
5
5 ，故
cos 2
1
2sin2
1
2
4 5
2
7 25
.
7 故答案为： 25 .
【点睛】本小题主要考查诱导公式、二倍角公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题.
1
2 AC
1
AB
AC
0
，也即 6
3
6
，即
1 3 1 2 1 3 2 cos A 0
cos A 6
636
，解得
6.
6 故答案为： 6 .
【点睛】本小题主要考查平面向量基本定理的运用，考查向量垂直的表示，考查化归与转化
的数学思想方法，属于中档题.
13.在 ABC 中， AC 1， AB 2 ，D 为 BC 的中点， CAD 2BAD ，则 BC 的长为
故答案为：[0,1] .
【点睛】本小题主要考查根据分段函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，考查二次
函数的性质，考查指数函数的单调性，属于基础题.
11.若数列
an
满足
a1
a2
1 ， a3
2 ，则数列an
an
1 是等比数列，则数列
an
的前
19 项和的值为________．
【答案】1534
【解析】
2 故答案为： 3 .
【点睛】本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题.
y
5.函数
1 log2 x 的定义域为________．
【答案】[2, )
【解析】
【分析】
根据偶次方根被开方数为非负数、对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的 定义 域.
【详解】依题意
1 log x 0
2
x
0
【详解】由于数列
an
是等差数列，所以
3a1
3d
5a1
10d
，即
2a1
7d
，由于
d
0
，
a1 7 所以 d 2 .
7 故答案为： 2 . 【点睛】本小题主要考查等差数列前 n 项和的基本量计算，属于基础题.
sin(
8.若
)
4 5
，则 cos
2
的值为________．
7 【答案】 25
【解析】 【分析】
x sin
2 sin
x sin 2
1 sin
2 cos
，两式相除得
2, cos
2 2
，由于 0
π
，所以
π 4
，
A 3π
BC 2 1 2 2 2 5
所以 4 .在三角形 ABC 中由余弦定理得，
2
.
故答案为： 5
【点睛】本小题主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，考查二倍角公式，考查运算求
a9 a10 16, a11 a12 32, a13 a14 64, a15 a16 128 ， a17 a18 256, a19 512 ，所
以数列an的前19 项和为11 2 2 256 256 512 1534 .
故答案为：1534
【点睛】本小题主要考查根据等比数列求数列的项，考查列举法找数列的规律，属于基础题.
g x在[1,5] 上的值域.
【详解】（1）∵ f (x) 相邻的两个零点差的绝对值为 6，
记
f
(x)
2 sin( x
)
0, 0
2
的周期为 T
T ，则 2
6
，
T 2 又 ，∴ 6 .
∴
f
(x)
2 sin
6
x
0
2
；
∵ f (x) 的图像经过点 (0, 3) ，
f (0) 2sin
【详解】由于函数
f
x 为奇函数，所以
f
7
f
7
log2
1
7
3
.
故答案为： 3 .
【点睛】本小题主要考查利用函数的 奇偶性求函数值，考查对数运算，属于基础题.
7.设
Sn
为等差数列 an 的前
n
项和，若
S3
S5
，且公差
d
0
，则
a1 d
的值为________．
7 【答案】 2
【解析】 【分析】
a1 将所给已知条件转化为 a1, d 的形式，由此求得 d 的值.
【详解】依题意
MN
AN
AM
1
2
AB AC
1 2
AD AE
1 2
AB AC
1 2
2 3
AB
1 3
AC
1
AB
1
AC
6
3 ， BC AC AB .由于 MN BC ，所以 MN BC 0 ，即
1 6
AB
1 3
AC
AC AB
0
1
2 AB
【答案】（1）
f
(x)
2 sin
6
x
3
；（2） [
3, 2]
【解析】
【分析】
（1）根据 f x相邻两个零点差的绝对值得到半周期，进而求得 的值，根据点 0, 3 求
得 的值，进而求得函数 f x的解析式. g x
（2）根据图像变换的知识求得 的解析式，再结合三角函数求值域的方法，求得函数
【分析】
根据an an1 是等比数列求得 a1, a2 ,, a19 ，由此求得数列an的前19 项和. 【详解】由于 a1 a2 1 ， a3 2 ，则数列an an1 是等比数列，而 a1a2 1, a2a3 2 ，所
以 a3a4 4, a4a5 8,, a18a19 217 ，由此求得 a4 2, a5 a6 4, a7 a8 8 ，
故答案为：必要不充分
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
4.若向量 a (1, m) ， b (3, 2) ， a b ，则实数 m 的值为________．
2 【答案】 3
【解析】
【分析】
根据向量共线的坐标表示列方程，解方程求得 m 的值.
m 2 【详解】由于两个向量平行，所以1 2 3m 0 ，解得 3 .