北师大九年级下第一章直角三角形的边角关系检测题含答案

第一章检测题
时间：120分钟满分：120分
一、精心选一选(每小题3分，共30分)
1．(2021·玉林)计算：cos 245°＋sin 245°＝( B )
A.12B ．1 C.14D.32
2．把△ABC 三边的长度都缩小为原来的13，则锐角A 的正弦值
( A )
A ．不变
B ．缩小为原来的13
C ．扩大为原来的3倍
D ．不能
确定
3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝23，则cos B 的值等
于( C ) A.12B.22C.23D ．1
4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝50°，AB ＝10，则BC
的长为( B )
A ．10tan50°
B ．10sin40°
C ．10sin50° D.10cos50°
5．已知α为锐角，且sin (α－10°)＝22，则α等于( B )
A ．45°
B ．55°
C ．60°
D ．65°
6．已知锐角α满足等式3cos 2α－8cos α＋4＝0，则cos α的值为( A ) A.23B ．2 C ．2或23D ．以上都不对
7．(2021·淄博)若锐角α满足cos α＜22且tan α＜3，则α的范
围是( B )
A ．30°＜α＜45°
B ．45°＜α＜60°
C ．60°＜α＜90°
D ．30°＜α＜60°
8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( C ) A.14B.13C.12D ．2
错误!错误!,第9题图)错误!
,第10题图)
9．如图，某校数学兴趣小组用测倾器测量某大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°，已知测倾器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度为(C)(参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885)
A．34米B．38米C．45米D．50米
10．转化思想是中学数学中一种常用且有效的解题方法，在本章中这种思想的作用更为突出．通过添加辅助线将非直角三角形问题转化为两个最熟悉的(锐角为30°和45°)直角三角形来解决．试用此方法解决下面问题：如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB ＝6，则AC的长度是(D)
A．3 B．33C．5 D．3 6
二、细心填一填(每小题3分，共24分)
11．计算：tan245°－1＝__0__．
12．某坡面的坡度为1∶3，则坡角是__30°__．
13．如图，在坡屋顶的设计图中，AB＝AC，屋顶的宽度l为10米，坡角α为35°，则坡屋顶高度h为__3.5__米．(结果精确到0.1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)
,第13题图),第14题图)
,第15题图),第16题图) 14．如图，P是∠α的边OA上的一点，且点P的坐标为(1，3)，
则sinα＝__
3
2__．
15．如图，海中有一个小岛A，它的周围15海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西60°的B处，往东航行20海里后到达该岛南偏西30°的C处后，货船继续向东航行，你认为货船航行途中__没有__触礁的危险．(填“有”或“没有”) 16．如图，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30米，则电梯楼的高BC为__82.0__米．(精确到0.1米；参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
17．直线y＝kx－1与y轴相交所成的锐角为60°，则k＝__±
3 3
__．
18．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则图中点P与液面的距离是__6_cm__．
三、耐心做一做(共66分)
19．(8分)计算：
(1)2sin30°－tan60°＋tan45°；(2)cos245°＋tan60°·cos30°－3tan230°＋4sin230°.
解：(1)2－3(2)2
20．(8分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∠B＝60°，解这个直角三角形．
解：∠A＝30°，AB＝103，BC＝53
21．(8分)已知锐角α使关于x 的一元二次方程x 2－2sin α·x ＋
3sin α－34＝0有两个相等的实数根，求α的度数．
解：由题意得b 2－4ac ＝(2sin α)2－4(3sin α－34
)＝0，即4sin 2α－43sin α＋3＝0，解得sin α＝32
.∵α为锐角，∴α＝60°
22．(9分)如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？(结果精确到0.1米；参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，3≈1.73)
解：过A作AD⊥CB，垂足为点D.在Rt△ADC中，AD＝CD
tan60°
＝36
3
＝123≈20.76.在Rt△ADB中，BD＝AD·tan37°≈20.76×0.75
＝15.57≈15.6(米)，则气球应至少再上升15.6米
23．(10分)为解决某地的干旱问题，在山洞C里发现了暗河(如图)．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着A，B两
村庄，山洞C位于A村庄南偏东30°方向，且位于B村庄南偏东60°方向．为方便A，B两村庄的村民取水，需从山洞C处向公路AB紧急修建一条最近的简易公路CD.现已知A，B两村庄相距6千米．
(1)求这条最近的简易公路CD的长；(精确到0.01千米)
(2)每修建1千米的简易公路需费用16000元，请求出修建该简易公路的最低费用．(精确到个位；参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
解：(1)过C作CD⊥AB，垂足是D.由题意知，∠A＝30°，∠DBC＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB＝6 km.在Rt△BCD中，CD＝BC·sin60°＝33≈5.20(km)
(2)5.20×16000＝83200(元)
24．(11分)(2021·淄博)如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG 表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG距MN的高度为42 cm，AB＝43 cm，CF＝42 cm，∠DBA＝60°，∠DAB＝80°.求两根较粗钢管AD和BC的长．(结果精确到0.1 cm；参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73)
解：
如图，作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，则FH＝42 cm.在Rt
△BFH中，BF＝
FH
sin60°≈
42
0.87
≈48.28，∴BC＝BF＋CF＝48.28＋
42≈90.3(cm)．在Rt△BDQ中，BQ＝DQ
tan60°.在Rt△ADQ中，AQ
＝
DQ
tan80°.∵BQ＋AQ＝AB＝43，∴
DQ
tan60°＋
DQ
tan80°＝43，解得
DQ≈56.999.在Rt△ADQ中，AD＝
DQ
sin80°≈
56.999
0.98
≈58.2(cm)，则两
根较粗钢管AD和BC的长分别为58.2 cm，90.3 cm
25．(12分)如图，矩形纸片ABCD ，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP>AM)，点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．
(1)判断△AMP ，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)
(2)如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝35，求AB 的长．
解：(1)有三对相似三角形，即△AMP ∽△BPQ ∽△CQD (2)设AP ＝x ，∴由折叠知BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x.由
△AMP ∽△BPQ 得AM BP ＝AP BQ ，∴BQ ＝x 2.由△AMP ∽△CQD 得AP CD ＝
AM CQ
，∴CQ ＝2，∴AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2，MD ＝AD －AM ＝x 2
＋1.∵在Rt △FDM 中，sin ∠DMF ＝35，DF ＝DC ＝2x ，∴2x x 2＋1＝35
，变形得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝13
(不合题意，舍去)，∴AB ＝2x ＝6。