江苏省高邮市-学年度第一学期高三数学期中调研测试卷

江苏省高邮市2006-2007学年度第一学期高三数学期中调研测试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2()U U A B A C B ===,则集合等于
A ． {1，2，3，4，5}
B ． {1， 3}
C ． {1，2，3}
D ． {4，5}
2．在等差数列{}n a 中，3114a a +=，则此数列的前13项之和等于
A ．13
B ．26
C ．52
D ．156
3．函数221()
2
x x
y -+=的单调递增区间是
A ．(,1]-∞
B ．[0,1]
C ．[1,)+∞
D ．[1,2] 4．下列函数中，周期为π并且是奇函数的是
A ．cos 2y x =
B ．cos(
2)2
y x π
=+ C ．tan 2y x = D ．2cos y x =
5．函数3()og f x l x =，则19(og 2)f l --的值是
A ．2
B ．2
C ．
2
2
D
．3og l 6．已知向量||||
a b
p a b =
+
，其中a 、b
均为非零向量，则||p 的取值范围是 A ． B ．[0,1] C ．(0,2] D ．[0,2]
7．命题:1A x -＜3，命题:(2)()B x x a ++＜0且A 是B 的充分而不必要条件，则a 的取值范围是
A ．(4,)+∞
B ．[)4,+∞
C ．(,4)-∞-
D ．(]
,4-∞-
8．在△ABC 中，如果g g gsin l a l c l B l -==-B 为锐角，则△ABC 的形状是
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形 9．函数3()|og |f x l x =在区间[,]a b 上的值域为[0,1]，则b a -的最小值为
A ．2
B ．1
C ．
13
D ．
23
2006.11.18
10．设定义域为R 的函数()f x 对于任意的x 都有(2)()2f x f x +≥+和(1)()1f x f x +≤+且
()1f x =，则(2006)f 的值为
A ．2005
B ．2006
C ．2007
D ．2008
二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分，只填结果，不要过程） 11．不等式
21
≥-x
x 的解集为 ▲ ; 12．设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，若53sin =α，则=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+4cos 2πα ▲ ;
13．命题“若a b >，则22
a b >”的否命题为 ▲ ；
14．已知函数()(1)(45)f x a x a =++-在区间[]
0,2内的函数值有正有负，则实数a 的取值范围是 ▲ ；
15．数列{}n a 的首项为21=a ，且*1121
()()2
n n a a a a n N +=+++∈，记n S 为数列{}n a 前n 项
和，则n S = ▲ ； 16．给出以下结论：
①存在角α使得3
tan cot 2
αα+=-
成立； ②存在,αβ，使得sin sin ,cos cos αβαβ>>同时成立； ③通项公式为sin()2
n n
a x π=+
的数列的前n 项和为n S ，则2008=0S ； ④12,x x 为实数，当12sin 2sin 2x x -取得最大值时，12x x -的最小值为
2
π； 其中成立的结论的序号是____▲_____.（注：把你认为正确的命题的序号都填上．．．．．．．．．．．．．．．） 三、解答题：本大题5个小题，共70分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤. 17．（本小题12分）
已知正项．．
数列{}*
1()n a n N +∈为等比数列，且11a =，37a =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求
213211a a a a ++-- (109)
1
a a +-的值．
18．（本小题14分）
已知121||1,||2,e e e ==与2e 的夹角为90︒，12122,2a ke e b e ke =+=+. （1）若a b ⊥，求实数k 的值； （2）若a 与b 同向，求实数k 的值. 19．（本小题14分）
已知2()cos 2cos 1f x x x x =+- （1）求函数)(x f 的单调减区间；
（2）指出函数)(x f 的图象如何由sin y x =的图象变化而得； （3）求函数()f x 在区间[0,]2
π
上的最大值，并求出相应的x 值.
20．（本小题14分）
运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤100)x ≤（单位：千米/小时）．假设汽
油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油)360
2(2
x +升，司机的工资是每小时14元.
（1）求这次行车总费用y 关于x 的表达式；
（2）当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 21．（本小题16分） 已知二次函数2()f x ax x =+（a R ∈）. （1）当０＜a ＜
12时，(sin )f x （x R ∈）的最大值为5
4
，求()f x 的最小值. （2）对于任意的x R ∈，总有|(sin cos )f x x |1≤．试求a 的取值范围.
（3）若当*
n N ∈时，记
1231
n
i n i a a a a a ==+++
+∑，令1=a ，求证：312()
n
i n
i
f i =<<∑
成立.
[参考答案]
说明：
1、 本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容
对照评分标准制定相应的评分细则。

2、 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考
生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后续部分的解答有较严重的错误，就不给分。

3、 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4、 给分或扣分以1分为单位，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分50分。

1~5、BBCBC 6~10、DCDDB 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分30分。

11．[1,0)- 12．
15
13．若a b ≤，则22
a b ≤ 14．15(,)24 15．1
32()2
n - 16．②③④
三、解答题：本大题5个小题，共70分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤. 17．（本小题12分） （1）由题设可知，等比数列{}1n a +的首项为112a +=，318a +=，
∴公比24,q =又10n a +>，2q ∴=， （4分）
故21n n a =-（*
n N ∈） （6分） （2）
11222n n n k k a a ++-=-= （9分）
22132
10911
111
122
2n a a a a a a ∴+++
=++
+---=1011511
22151212
-
=
- （12分） 18．（本小题14分） 解：（1）
12e e ⊥ 120e e ∴⋅= （2分）
a b ⊥ 0a b ∴⋅= 1212
(2)(2)0k e e e k e ∴+⋅+= 即：2
2
2
121222(4)0ke ke k e e +++⋅= （4分）
121,2,0e e k ==∴= （6分）
（2）
a 与
b 同向，(0)a b λλ∴=> （8分）
12122,2,a ke e b e ke =+=+12122(2)ke e e ke λ∴+=+
又12,e e 为不共线向量，22k k λλ=⎧∴⎨
=⎩，12k λ=⎧∴⎨=⎩或1
2
k λ=-⎧∴⎨=-⎩ （10分）
又0λ>，2k ∴= （12分） 19．（本小题14分）
解（1）1cos 2cos sin 32)(2
-+=x x x x f 2cos2x x =+ （2分）
2sin(2).6
x π
=+
（4分）
由32222
6
2
k x k π
π
π
ππ+≤+
≤+
即422233k x k ππππ+≤≤+
得2()63k x k k Z π
π
ππ+
≤≤+
∈ （5分）
∴所求函数的单调递减区间为2[,]().63
k k k Z ππ
ππ++∈ （6分）
（2）①将sin y x =的图像向左平移
6
π，得到sin()6y x π
=+的图像；
②将得到的函数图像横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变，得到sin(2)6
y x π
=+
的图像； ③将得到的函数图像纵坐标放大为原来的2倍，横坐标不变，得到2sin(2)6
y x π
=+
的图像；
（10分）
（3）
[0,]2x π∈，72[,]666x πππ∴+∈，1sin(2)126x π
∴≤+≤ （12分）
故当262
x π
π
+
=
即6
x π
=
时，()f x 取最大值2。

（14分）
20．（本小题14分）
解：（1）设行车所用时间为)(130h x t = ,2
13014130
2(2),[50.100].360x y x x x
⨯=⨯⨯++∈
所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是130182130,[50.100].360
y x x x
⨯⨯=+∈
（或：]100.50[,18
132340∈+=x x x y ） （7分）
（2）130182130360
y x x ⨯⨯=
+≥
仅当
130182130
,360
x x x ⨯⨯==即 （14分） 21．（本小题16分）
⑴由210<<a 知121-<-
a 故当1sin =x 时()f x 取得最大值为45，即()5
114
f a =+=，14a ∴=()()2
2112144
f x x x x ∴=+=+-所以()f x 的最小值为1-； （5分）
⑵
对于任意的x R ∈，总有|(sin cos )f x x |1≤
令111sin cos sin 2[,]222t x x x ==
∈-，则命题转化为11
[,]22
t ∀∈-，不等式|()|1f t ≤恒成立 当0t =时，()0f t =使()1f t ≤成立； （7分）
当0t ≠时，有222
211111
241111124a t t t a t t t ⎧⎛⎫≤-=--
⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎨⎛⎫⎪
≥--=-++ ⎪⎪⎝⎭⎩
对于任意的11[,0)(0,]22t ∈-恒成立；
1111[,0)(0,]2222t t t ∈-∴≥≤-或，则2
111
224
t ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭,故要使①式成立，则有2a ≤，
又2
111
224
t ⎛⎫-++≤- ⎪⎝⎭，故要使②式成立，则有2a ≥-，由题0a ≠
综上，[2,0)(0,2]a ∈-⋃为所求。

（10分）
（3）由题意，
3311111
()112331
n
n
i n
i n i f i i n n n n ====+++⋯+
+++++∑
∑ 令1111()12331
g n n n n n =
++++++++ 则1111(1)23434
g n n n n n +=++++++++ 1111
(1)()03433321
g n g n n n n n +-=++-=>++++
()g n ∴在*n N ∈时单调递增13
()(1)112
g n g ∴≥=> （13分） 又111112331
n n n n >>>>++++ 1
()(21)21
g n n n ∴<+<+
综上，原结论成立 （16分）
① ②。