辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测数学理试题Word版含解析

辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测
数学理试题
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）
A．{﹣1} B．{1，2} C．{0，3} D．{﹣1，1，2，3}
2．已知i是虚数单位，复数i•z=1﹣2i，则复数z在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知平面向量=（3，4），=（x，），若∥，则实数x为（）
A．﹣B．C．D．﹣
4．命题p：“∀x∈N
+
，（）x≤”的否定为（）
A．∀x∈N
+，（）x＞ B．∀x∉N
+
，（）x＞
C．∃x∉N
+，（）x＞ D．∃x∈N
+
，（）x＞
5．已知直线l：y=k（x+）和圆C：x2+（y﹣1）2=1，若直线l与圆C相切，则k=（）A．0 B．C．或0 D．或0
6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）
A．36+6B．36+3C．54 D．27
7．将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是（）
A．B．C．D．
8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数
m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，
执行该程序框图，则输出的n等于（）
A．21 B．22 C．23 D．24
9．将函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[﹣，]上为增函数，则ω的最大值为（）
A．3 B．2 C．D．
10．已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=1，BC=，若球O 的表面积为4π，则SA=（）
A． B．1 C．D．
11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F
1，F
2
，点M与双曲线C
的焦点不重合，点M关于F
1，F
2
的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若
|AN|﹣|BN|=12，则a=（）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．已知函数f（x）=，则函数F（x）=f[f（x）]﹣2f（x）﹣的零点
个数是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）
13．二项式（x+）6的展开式中的常数项为．
14．若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=3x﹣y的最大值为．
15．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足
4S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，则S的最大值为．
16．设函数f（x）=g（）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为
9x+y﹣1=0，则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为．
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）已知数列{a
n }是公差不为0的等差数列，首项a
1
=1，且a
1
，a
2
，a
4
成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b
n }满足b
n
=a
n
+2n a，求数列{b
n
}的前n项和T
n
．
18．（12分）为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50各学生进行调查，得到如下2×2列联表：（单位：人）．
（Ⅰ）据此样本，能否有99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？
（Ⅱ）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生（人数众多）中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布及数学期望．
附：参考数据：
（参考公式：X2=）
19．（12分）在三棱柱ABC﹣A
1B
1
C
1
中，侧面AA
1
C
1
C⊥底面ABC，AA
1
=A
1
C=AC=AB=BC=2，且点O为
AC中点．
（Ⅰ）证明：A
1
O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A﹣A
1B﹣C
1
的大小．
20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F
1
（﹣，0），e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，设R（x
0，y
）是椭圆C上一动点，由原点O向圆（x﹣x
）2+（y﹣y
）2=4引两条
切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k
1，k
2
，求证：k
1
•k
2
为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．
（Ⅰ）当a=0时，求证：f（x）≥0；
（Ⅱ）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若x＞0，证明（e x﹣1）ln（x+1）＞x2．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）以直角坐标系xOy中，直线l：y=x，圆C：（φ为参数），以坐标原点为为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l与圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C的交点为M，N，求△CMN的面积．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣x，（a＞0）．
（Ⅰ）若a=3，解关于x的不等式f（x）＜0；
（Ⅱ）若对于任意的实数x，不等式f（x）﹣f（x+a）＜a2+恒成立，求实数a的取值范围．
辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测
数学理试题参考答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）
A．{﹣1} B．{1，2} C．{0，3} D．{﹣1，1，2，3}
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x|x（x﹣3）＜0}={x|0＜x＜3}，
B={﹣1，0，1，2，3}，
∴A∩B={1，2}．
故选：B．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
2．已知i是虚数单位，复数i•z=1﹣2i，则复数z在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：复数i•z=1﹣2i，∴﹣i•i•z=﹣i（1﹣2i），z=﹣2﹣i，
则复数z在复平面内对应的点（﹣2，﹣1）位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．已知平面向量=（3，4），=（x，），若∥，则实数x为（）
A．﹣B．C．D．﹣
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】方程思想；转化思想；平面向量及应用．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：∵∥，∴4x﹣3×=0，解得x=，
故选：C．
【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．命题p：“∀x∈N
+
，（）x≤”的否定为（）
A．∀x∈N
+，（）x＞ B．∀x∉N
+
，（）x＞
C．∃x∉N
+，（）x＞ D．∃x∈N
+
，（）x＞
【考点】命题的否定．
【专题】计算题；对应思想；定义法；简易逻辑．
【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否定命题即可．
【解答】解：∵命题p：“∀x∈N
+
，（）x≤”是全称命题，
∴“∀x∈N
+，（）x≤”的否定是∃x∈N
+
，（）x＞”，
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解全称命题否定的书写方法，其规则是全称命题的否定是特称命题，书写时注意量词的变化．
5．已知直线l：y=k（x+）和圆C：x2+（y﹣1）2=1，若直线l与圆C相切，则k=（）A．0 B．C．或0 D．或0
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．
【分析】找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离d=r，即可求出k的值．
【解答】解：由圆的方程得到圆心C（0，1），半径r=1，
∵圆心C（0，1）到直线l：y=k（x+）和的距离d==1，
∴k=或0，
故选D．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．
6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）
A．36+6B．36+3C．54 D．27
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；数形结合；空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，代入柱体表面积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，
其底面积为×（2+4）×3=9，
底面周长为：2+4+2=6+2，
高h=3，
故棱柱的表面积S=2×9+（6+2）×3=36+6，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．
7．将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；集合思想；定义法；概率与统计．
【分析】先求出基本事件总数n=，再利用列举法求出“A与B相邻且A与C之间恰好有1
名同学”包含的基本事件个数，由此能求出“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率．
【解答】解：∵将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，
基本事件总数n==4×3×2×1=16，
“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”包含的基本事件有：
ABCD，CBAD，CDAB，BACD，共4个，
∴“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率p==．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）
A．21 B．22 C．23 D．24
【考点】程序框图．
【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．
【分析】该程序框图的作用是求被3和5除后的余数为2的数，根据所给的选项，得出结论．【解答】解：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数，
在所给的选项中，满足被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23，
故选：C．
【点评】本题主要考查程序框图的应用，属于基础题．
9．将函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[﹣，]上为增函数，则ω的最大值为（）
A．3 B．2 C．D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】函数思想；转化法．
【分析】根据平移变换的规律求解g（x），结合三角函数g（x）在[﹣，]上为增函数建立不等式即可求解ω的最大值
【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位，
可得g（x）=2sin[ω（x﹣）+]=2sin（ωx）在[﹣，]上为增函数，
∴且，（k∈Z）
解得：ω≤3﹣12k且，（k∈Z）
∵ω＞0，
∴当k=0时，ω取得最大值为．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据平移变换规律求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．
10．已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC，
AB⊥BC，AB=1，BC=，若球O的表面积为4π，则SA=（）
A． B．1 C．D．
【考点】球的体积和表面积．
【专题】综合题；方程思想；演绎法；空间位置关系与距离．
【分析】由已知中S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，易S、A、B、C四
点均为长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，利用球的表面积公式即可得到答案．
【解答】解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，
∴四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径∵球O的表面积为4π，∴R=1
∵AB=1，BC=，
∴2R==2，
∴SA=1
故选B．
【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积公式，其中根据已知条件求出球O 的直径（半径），是解答本题的关键．
11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F
1，F
2
，点M与双曲线C
的焦点不重合，点M关于F
1，F
2
的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若
|AN|﹣|BN|=12，则a=（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据已知条件，作出图形，MN的中点连接双曲线的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为2a，求出||AN|﹣|BN||，可得结论．
【解答】解：设双曲线C的左右焦点分别为F
1，F
2
，如图，
连接PF
1，PF
2
，
∵F
1
是MA的中点，P是MN的中点，
∴F
1
P是△MAN的中位线，
∴|PF
1
|=|AN|，
同理|PF
2
|=|BN|，
∴||AN|﹣|BN||=2||PF
1|﹣|PF
2
||，
∵P在双曲线上，
根据双曲线的定义知：||PF
1|﹣|PF
2
||=2a，
∴||AN|﹣|BN||=4a=12，∴a=3．
故选A．
【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，同时考查三角形的中位线，运用定义法是解题的关键，属于中档题．
12．已知函数f（x）=，则函数F（x）=f[f（x）]﹣2f（x）﹣的零点
个数是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】令t=f（x），F（x）=0，则f（t）﹣2t﹣=0，分别作出y=f（x）和直线y=2x+，得到两交点的横坐标，再由图象观察，即可得到所求零点个数．
【解答】解：令t=f（x），F（x）=0，
则f（t）﹣2t﹣=0，
分别作出y=f（x）和直线y=2x+，
由图象可得有两个交点，横坐标设为t
1，t
2
，
则t
1=0，1＜t
2
＜2，
即有f（x）=0有两根；
1＜f（x）＜2时，t
2
=f（x）有3个不等实根，
综上可得F（x）=0的实根个数为5，
即函数F（x）=f[f（x）]﹣2f（x）﹣的零点个数是5．
故选：B．
【点评】本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用转化思想和换元法，以及数形结合思想方法，考查判断和观察能力，属于中档题．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）
13．二项式（x+）6的展开式中的常数项为．
【考点】二项式系数的性质．
【专题】方程思想；定义法；二项式定理．
【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．
【解答】解：二项式（x+）6展开式的通项公式为
=•x6﹣r•（）r=••x6﹣2r
T
r+1
令6﹣2r=0，求得r=3，
故展开式中的常数项为•=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，是基础题．
14．若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=3x﹣y的最大值为 1 ．
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式的解法及应用．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，
联立，得A（1，2），
化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z，
由图可知，当直线y=3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为3×1﹣2=1，故答案为：1．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足
4S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，则S的最大值为8 ．
【考点】余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．
【分析】满足S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，利用余弦定理与三角形的面积计算公式可得：2bcsinA=2bc ﹣（b2+c2﹣a2）=2bc﹣2bccosA，化为sinA=1﹣cosA，与sin2A+cos2A=1，解得sinA，进而利用三角形面积公式，再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵满足4S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，
∴4××bcsinA=2bc﹣（b2+c2﹣a2）=2bc﹣2bccosA，
化为sinA=1﹣cosA，
又∵sin2A+cos2A=1，
∴解得：sinA=1，
∴S=bcsinA=bc≤（）2=8，当且仅当b=c=4时取等号．
故答案为：8．
【点评】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．设函数f（x）=g（）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为
9x+y﹣1=0，则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为x+2y+6=0 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；导数的概念及应用；直线与圆．
【分析】由题意求得g（1））=﹣8，g′（1）=﹣9，对f（x）求导，注意复合函数的导数，求出f（2），x=2处切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求方程．
【解答】解：曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为9x+y﹣1=0，
可得g（1）=﹣8，g′（1）=﹣9，
函数f（x）=g（）+x2的导数为f′（x）=g′（）+2x，
即有f（2）=g（1）+4=﹣8+4=﹣4，
f′（2）=g′（1）+4=4﹣=﹣，
则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣（﹣4）=﹣（x﹣2），
即为x+2y+6=0．
故答案为：x+2y+6=0．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，注意运用复合函数的导数，直线的点斜式方程，考查运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）已知数列{a
n }是公差不为0的等差数列，首项a
1
=1，且a
1
，a
2
，a
4
成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b
n }满足b
n
=a
n
+2n a，求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用等差数列与等比数的求和公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{a
n
}的公差为d，由题设，，…（2分）
即（1+d）2=1+3d，解得d=0或d=1…（4分）
又∵d≠0，∴d=1，可以求得a
n
=n…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
=（1+2+3+…+n）+（2+22+…+2n）=…（12分）
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50各学生进行调查，得到如下2×2列联表：（单位：人）．
（Ⅰ）据此样本，能否有99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？
（Ⅱ）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生（人数众多）中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布及数学期望．
附：参考数据：
（参考公式：X2=）
【考点】独立性检验的应用．
【专题】综合题；转化思想；演绎法；概率与统计．
【分析】（I）计算K2，根据临界值表作出结论；
（II）分别计算X=0，1，2，3时的概率得出分布列，根据分布列得出数学期望和方差．
【解答】解：（Ⅰ）…（2分）
∴有99%的把握认为理科生愿意报考“经济类”专业与性别有关…（4分）
（Ⅱ）估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为…（6分）
X的可能取值为0，1，2，3，由题意，得X～B（3，），
∴随机变量X的分布列为
…（10分）
∴随机变量X的数学期望…（12分）
【点评】本题考查了独立性检验的应用，离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，是中档题．
19．（12分）在三棱柱ABC﹣A
1B
1
C
1
中，侧面AA
1
C
1
C⊥底面ABC，AA
1
=A
1
C=AC=AB=BC=2，且点O为
AC中点．
（Ⅰ）证明：A
1
O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A﹣A
1B﹣C
1
的大小．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【专题】证明题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）推导出A 1O ⊥AC ，由此能证明A 1O ⊥平面ABC ．
（Ⅱ）以O 为原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A ﹣A 1B ﹣C 1的大小． 【解答】（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵AA 1=A 1C ，且O 为AC 的中点， ∴A 1O ⊥AC ，…（2分）
又∵侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，交线为AC ，且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ， ∴A 1O ⊥平面ABC …（4分）
解：（Ⅱ）如图，以O 为原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．
由已知可得O （0，0，0），A （0，﹣1，0），，
，
∴
，
，
…（6分）
设平面AA 1B 的一个法向量为，
则有
令x 1=1，得，z 1=1 ∴
…（8分）
设平面A 1BC 1的法向量为，
则有
令x 2=1，则y 2=0，z 2=1，∴…（10分）
∴
∴所求二面角的大小为
…（12分）
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20．（12分）已知椭圆C ：+
=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F 1（﹣
，0），e=
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）如图，设R （x 0，y 0）是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆（x ﹣x 0）2+（y ﹣y 0）2=4引两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ，若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1•k 2为定值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问OP 2+OQ 2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；分类讨论；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由题意得，c ，a ，推出b ，即可得到椭圆的方程．
（Ⅱ）由已知，直线OP ：y=k 1x ，OQ ：y=k 2x ，且与圆R 相切，列出方程，说明k 1，k 2是方程
的两个不相等的实数根，推出
，通过点R （x 0，y 0）在椭圆
C 上，化简求解即可．
（Ⅲ）OP 2+OQ 2是定值18．设直线OP ：y=k 1x ，OQ ：y=k 2x ，联立
解得
同理，得，然后计算OP2+OQ2=+化简求解即可．【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得，，解得，b==…（1分）
∴椭圆方程为…（3分）
（Ⅱ）由已知，直线OP：y=k
1x，OQ：y=k
2
x，且与圆R相切，
∴，化简得
同理，…
∴k
1，k
2
是方程的两个不相等的实数根
∴，△＞0，…（7分）
∵点R（x
0，y
）在椭圆C上，所以，即
∴…（8分）（Ⅲ）OP2+OQ2是定值18．
设直线OP：y=k
1x，OQ：y=k
2
x，，
联立解得
∴
同理，得…（10分）
由OP2+OQ2=+=，
∴OP2+OQ2=
==
=
综上：OP2+OQ2=18…（12分）
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分类讨论思想、转化思想以及计算能力．
21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．
（Ⅰ）当a=0时，求证：f（x）≥0；
（Ⅱ）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若x＞0，证明（e x﹣1）ln（x+1）＞x2．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于x的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，证出结论即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，根据
【解答】解：（Ⅰ）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，
f′（x）=e x﹣1…（1分）
当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0…（2分）
故在单调递减，在单调递增，
=f（0）=0，∴f（x）≥0…（3分）
f（x）
min
（Ⅱ）f'（x）=e x﹣1﹣2ax，令h（x）=e x﹣1﹣2ax，则h'（x）=e x﹣2a．
1）当2a≤1时，在[0，+∞）上，h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）≥h（0），
即f'（x）≥f'（0）=0，∴f（x）在[0，+∞）为增函数，
∴f（x）≥f（0）=0，∴时满足条件；…
2）当2a＞1时，令h'（x）=0，解得x=ln2a，
当x∈[0，ln2a）上，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
∴x∈（0，ln2a）时，有h（x）＜h（0）=0，即f'（x）＜f'（0）=0，
∴f（x）在区间（0，ln2a）为减函数，
∴f（x）＜f（0）=0，不合题意…（7分）
综上得实数a的取值范围为…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当a=时，x＞0，e x＞1+x+，即e x﹣1＞x+，
欲证不等式（e x﹣1）ln（x+1）＞x2，只需证ln（x+1）＞…（10分）
设F（x）=ln（x+1）﹣，则F′（x）=，
∵x＞0时，F′（x）＞0恒成立，且F（0）=0，
∴F（x）＞0恒成立．
所以原不等式得证…（12分）
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想以及不等式的证明，是一道综合题．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）以直角坐标系xOy中，直线l：y=x，圆C：（φ为参数），以坐标原点为为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l与圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C的交点为M，N，求△CMN的面积．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【专题】选作题；方程思想；演绎法；坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）利用三种方程的互化方法，求直线l与圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C的交点为M，N，求出圆心到直线的距离，|MN|，即可求△CMN的面积．【解答】解：（Ⅰ）将C的参数方程化为普通方程为（x+1）2+（y+2）2=1，极坐标方程为ρ2+2ρcosθ+4ρsinθ+4=0…（1分）
直线l：y=x的极坐标方程为（ρ∈R），…（3分）
（Ⅱ）圆心到直线的距离d==，∴|MN|=2=，
∴△CMN的面积S==．
【点评】本题考查三种方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣x，（a＞0）．
（Ⅰ）若a=3，解关于x的不等式f（x）＜0；
（Ⅱ）若对于任意的实数x，不等式f（x）﹣f（x+a）＜a2+恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）将a的值带入f（x），两边平方求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）求出f（x）=|x﹣a|﹣|x|+，原问题等价于|a|＜a2，求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）a=3时，f（x）=|x﹣3|﹣x＜0，
即|x﹣3|＜x，
两边平方得：（x﹣3）2＜x2，
解得：2＜x＜6，
故不等式的解集是{x|2＜x＜6}；
（Ⅱ）f（x）﹣f（x+a）
=|x﹣a|﹣x﹣|x|+（x+a）
=|x﹣a|﹣|x|+，
若对于任意的实数x，不等式f（x）﹣f（x+a）＜a2+恒成立，
即|x﹣a|﹣|x|+＜a2+对x∈R恒成立，
即a2＞|x﹣a|﹣|x|，而|x﹣a|﹣|x|≤|（x﹣a）﹣x|=|a|，
原问题等价于|a|＜a2，又a＞0，
∴a＜a2，解得a＞1．
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。