通用版2020版高考数学大一轮复习第11讲 函数与方程 学案(理数)人教A版 含答案
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探究点一 函数零点所在区间的判断 例 1 (1)函数 f(x)=ex-x-2 在下列哪个区间上必有零点 ( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
5 (2)已知函数 f(x)=lg x+ x-5 在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则 n= .
C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0
x+1
{ (2)[2019·安徽肥东高级中学调研] 已知函数 f(x)=
x
-
,x 1
>
1,
若函数 g(x)=f(x)-
2 - ex,x ≤ 1,
m(x-1)有两个零点,则实数 m 的取值范围是 ( ) A.(-2,0) B.(-1,0) C.(-2,0)∪(0,+∞) D.(-1,0)∪(0,+∞)
第 11 讲 函数与方程
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数 y=f(x)(x∈D),把使 的实数 x 叫作函数 y=f(x)(x∈D)的零点.
(2)等价关系
方程 f(x)=0 有实数根⇔函数 y=f(x)的图像与 有交点⇔函数 y=f(x)有 .
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
{lnx,x > 0,
(2)已知函数 f(x)= ex,x ≤ 0,则函数 g(x)=[f(x)]2-3f(x)+2 的零点个数为 .
探究点三 函数零点的应用
例 3 (1)设函数 f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实数 a,b 满足 f(a)=g(b)=0,则 ( )
A.f(b)<0<g(a) B.g(a)<0<f(b)
ax2+bx+
c(a>0)
的图像
与 x 轴的
交点
无交点
零点个数
常用结论 1.在区间 D 上单调的函数在该区间内至多有一个零点. 2.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.
题组一 常识题 1.[教材改编] 函数 f(x)=ln x+2x-6 的零点的个数是 . 2.[教材改编] 如果函数 f(x)=ex-1+4x-4 的零点在区间(n,n+1)(n 为整数)内,则 n= . 3.[教材改编] 函数 f(x)=x3-2x2+x 的零点是 . 4.[教材改编] 若函数 f(x)=x2-4x+a 存在两个不同的零点,则实数 a 的取值范围 是 . 题组二 常错题 ◆索引:错用零点存在性定理;误解函数零点的定义;忽略限制条件;二次函数在 R 上无零点 的充要条件(判别式小于零).
如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么函数
y=f(x)在区间 内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 ,这个 也就是方
程 f(x)=0 的根.
2.二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=
4
[总结反思] 判断函数零点所在区间的方法:(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方 程;(2)零点存在性定理;(3)数形结合法,画出相应函数图像,观察与 x 轴交点来判断,或转化 为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断.
2 变式题 [2018·南昌模拟] 函数 f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的区间为( )
第 11 讲 函数与方程 考试说明 结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存 在性及根的个数.
【课前双基巩固】 知识聚焦 1.(1)f(x)=0 (2)x 轴 零点 (3)f(a)·f(b)<0 (a,b) f(c)=0 c 2.(x1,0),(x2,0) (x1,0) 2 1 0 对点演练 1.1 [解析] 函数 f(x)单调递增,且 f(2)<0,f(3)>0,故存在唯一零点. 2.0 [解析] 函数 f(x)单调递增,且 f(0)<0,f(1)>0,故其零点在区间(0,1)内,则 n=0.
A.3 B.5 C.7 D.9 π
(2)[2018·河南中原名校模拟] 函数 f(x)=sin2x+ 2 -log3πx 的零点个数为 .
[总结反思] 函数零点个数的讨论,基本解法有:(1)直接法,令 f(x)=0,有多少个解则有多少 个零点;(2)定理法,利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图像法,一般是 把函数分拆为两个简单函数,依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数. 变式题 (1)[2018·重庆巴蜀中学月考] 函数 f(x)=3 x-2e-x 的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3
x2 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
探究点二 函数零点个数的讨论
( ) ( ) 3 3
3
例 2 (1)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f- +x=f + x ,当 x∈ 0,
22
2
时,f(x)=ln(x2-x+1),则函数 f(x)在区间[0,6]上的零点个数是 ( )
[总结反思] 函数零点的应用主要体现在三类问题中:一是函数中不含参数,零点又不易直接 求出,考查各零点的和或范围问题;二是函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范
围;三是函数中有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形 结合或分离参数求解. 变式题 (1)[2018·山东、湖北部分重点中学二模] 若函数 f(x)=cos x+2|cos x|-m,x∈ [0,2π]恰有两个零点,则 m 的取值范围为 ( ) A.(0,1] B.{1} C.{0}∪(1,3] D.[0,3] (2)若 x1,x2 分别是函数 f(x)=x-2-x,g(x)=xlog2x-1 的零点,则下列结论成立的是 ( ) A.x1=x2 B.x1>x2 C.x1+x2=1 D.x1x2=1
1 5.函数 f(x)=x+ 的零点个数是 .
x 6.函数 f(x)=x2-3x 的零点是 . 7.若二次函数 f(x)=x2-2x+m 在区间(0,4)上存在零点,则实数 m 的取值范围是 . 8.若二次函数 f(x)=x2+kx+k 在 R 上无零点,则实数 k 的取值范围是 .
5 (2)已知函数 f(x)=lg x+ x-5 在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则 n= .
C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0
x+1
{ (2)[2019·安徽肥东高级中学调研] 已知函数 f(x)=
x
-
,x 1
>
1,
若函数 g(x)=f(x)-
2 - ex,x ≤ 1,
m(x-1)有两个零点,则实数 m 的取值范围是 ( ) A.(-2,0) B.(-1,0) C.(-2,0)∪(0,+∞) D.(-1,0)∪(0,+∞)
第 11 讲 函数与方程
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数 y=f(x)(x∈D),把使 的实数 x 叫作函数 y=f(x)(x∈D)的零点.
(2)等价关系
方程 f(x)=0 有实数根⇔函数 y=f(x)的图像与 有交点⇔函数 y=f(x)有 .
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
{lnx,x > 0,
(2)已知函数 f(x)= ex,x ≤ 0,则函数 g(x)=[f(x)]2-3f(x)+2 的零点个数为 .
探究点三 函数零点的应用
例 3 (1)设函数 f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实数 a,b 满足 f(a)=g(b)=0,则 ( )
A.f(b)<0<g(a) B.g(a)<0<f(b)
ax2+bx+
c(a>0)
的图像
与 x 轴的
交点
无交点
零点个数
常用结论 1.在区间 D 上单调的函数在该区间内至多有一个零点. 2.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.
题组一 常识题 1.[教材改编] 函数 f(x)=ln x+2x-6 的零点的个数是 . 2.[教材改编] 如果函数 f(x)=ex-1+4x-4 的零点在区间(n,n+1)(n 为整数)内,则 n= . 3.[教材改编] 函数 f(x)=x3-2x2+x 的零点是 . 4.[教材改编] 若函数 f(x)=x2-4x+a 存在两个不同的零点,则实数 a 的取值范围 是 . 题组二 常错题 ◆索引:错用零点存在性定理;误解函数零点的定义;忽略限制条件;二次函数在 R 上无零点 的充要条件(判别式小于零).
如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么函数
y=f(x)在区间 内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 ,这个 也就是方
程 f(x)=0 的根.
2.二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=
4
[总结反思] 判断函数零点所在区间的方法:(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方 程;(2)零点存在性定理;(3)数形结合法,画出相应函数图像,观察与 x 轴交点来判断,或转化 为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断.
2 变式题 [2018·南昌模拟] 函数 f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的区间为( )
第 11 讲 函数与方程 考试说明 结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存 在性及根的个数.
【课前双基巩固】 知识聚焦 1.(1)f(x)=0 (2)x 轴 零点 (3)f(a)·f(b)<0 (a,b) f(c)=0 c 2.(x1,0),(x2,0) (x1,0) 2 1 0 对点演练 1.1 [解析] 函数 f(x)单调递增,且 f(2)<0,f(3)>0,故存在唯一零点. 2.0 [解析] 函数 f(x)单调递增,且 f(0)<0,f(1)>0,故其零点在区间(0,1)内,则 n=0.
A.3 B.5 C.7 D.9 π
(2)[2018·河南中原名校模拟] 函数 f(x)=sin2x+ 2 -log3πx 的零点个数为 .
[总结反思] 函数零点个数的讨论,基本解法有:(1)直接法,令 f(x)=0,有多少个解则有多少 个零点;(2)定理法,利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图像法,一般是 把函数分拆为两个简单函数,依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数. 变式题 (1)[2018·重庆巴蜀中学月考] 函数 f(x)=3 x-2e-x 的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3
x2 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
探究点二 函数零点个数的讨论
( ) ( ) 3 3
3
例 2 (1)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f- +x=f + x ,当 x∈ 0,
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时,f(x)=ln(x2-x+1),则函数 f(x)在区间[0,6]上的零点个数是 ( )
[总结反思] 函数零点的应用主要体现在三类问题中:一是函数中不含参数,零点又不易直接 求出,考查各零点的和或范围问题;二是函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范
围;三是函数中有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形 结合或分离参数求解. 变式题 (1)[2018·山东、湖北部分重点中学二模] 若函数 f(x)=cos x+2|cos x|-m,x∈ [0,2π]恰有两个零点,则 m 的取值范围为 ( ) A.(0,1] B.{1} C.{0}∪(1,3] D.[0,3] (2)若 x1,x2 分别是函数 f(x)=x-2-x,g(x)=xlog2x-1 的零点,则下列结论成立的是 ( ) A.x1=x2 B.x1>x2 C.x1+x2=1 D.x1x2=1
1 5.函数 f(x)=x+ 的零点个数是 .
x 6.函数 f(x)=x2-3x 的零点是 . 7.若二次函数 f(x)=x2-2x+m 在区间(0,4)上存在零点,则实数 m 的取值范围是 . 8.若二次函数 f(x)=x2+kx+k 在 R 上无零点,则实数 k 的取值范围是 .