高考数学压轴专题最新备战高考《数列》全集汇编含答案

高中数学《数列》知识点归纳
一、选择题
1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若150S >，160S <，则n S 取最大值时n 的值为（ ） A ．6 B ．7
C ．8
D ．13
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意推导出数列{}n a 为单调递减数列，且当8n ≤时，0n a >，当9n ≥时，0n a <，由此可得出结果. 【详解】
()115158151502a a S a +=
=>Q ，()
()116168916802
a a S a a +==+<，80a ∴>，
90a <，
所以，等差数列{}n a 的公差980d a a =-<，则数列{}n a 为单调递减数列. 当8n ≤时，0n a >，当9n ≥时，0n a <， 因此，当8n =时，n S 取最大值. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用等差数列前n 项和的最值求对应的n 的值，主要分析出数列的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
2．已知数列{}n a 是正项等比数列，若132a =，3432a a ⋅=，数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则n S >0时n 的最大值为 （ ） A ．5 B ．6
C ．10
D ．11
【答案】C 【解析】
25251634121
32323222log 62
n n n n a a a q q q a a n --⋅===⇒=⇒=⨯=⇒=-⇒ max (56)
011102
n n n S n n +-=
>⇒<⇒= ，故选C.
3．若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且11223
S π
=，则6tan()a 的值为（ ）
A B ．C D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
由11162a a a +=,即可求出6a 进而求出答案． 【详解】 ∵()11111611221123
a a S a π
+===
，∴623a π=，()62tan tan 33a π⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
， 故选B. 【点睛】
本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及等差数列前n 项和性质即可，属于基础题型.
4．执行下面程序框图输出S 的值为（ ）
A ．
2542
B ．
3764
C ．
1730
D ．
67
【答案】A 【解析】 【分析】
模拟执行程序框图，依此写出每次循环得到的,S i 的值并判断5i >是否成立，发现当
6i =，满足5i >，退出循环，输出运行的结果111111324354657
S =
++⨯⨯⨯⨯⨯++，利用裂项相消法即可求出S ． 【详解】
由题意可知， 第1次循环时1
13
S =⨯，2i =，否； 第2次循环111324S =
+⨯⨯，3i =，否； 第3次循环时111132435
S =++⨯⨯⨯，4i =，否； 第4次循环时111113243546
S =
++⨯⨯⨯⨯+，5i =，否；
第5次循环时111111324354657
S =+++⨯⨯⨯⨯⨯+，6i =，是； 故输出
111111324354657
S =
++⨯⨯⨯⨯⨯++111111111112324354657⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦= 111125
1226742
⎛⎫=
+--=
⎪⎝⎭ 故选：A. 【点睛】
本题主要考查程序框图中的循环结构，同时考查裂项相消法求和，属于基础题．
5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2611203a a a a --+=，则21S 的值为（ ） A ．63 B ．21
C ．63-
D ．21
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等差数列性质，原式可变为()220616113()a a a a a +-+-=，即可求得
21112163S a ==-.
【详解】
∵261116203a a a a a ---+=， ∴()220616113()a a a a a +-+-=， ∴113a =-，∴21112163S a ==-， 故选：C ． 【点睛】
此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和.
6．设数列是公差
的等差数列，为前项和，若，则
取得最
大值时，的值为
A ．
B ．
C ．或
D ．
【答案】C 【解析】
，进而得到
，即
，
数列
是公差
的等差数列，所以前五项都是正数，
或时，
取最大值，故选C.
7．等差数列的首项为1
25
，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．8,75⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
C ．83,7525⎛⎫
⎪⎝
⎭ D ．83,7525⎛⎤
⎥⎝
⎦ 【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意可知101a >，91a ≤，把1a 的值代入列不等式解得即可. 【详解】
由题意，设数列{}n a 的公差为d ，首项11
25a =
，则109
11a a >⎧⎨≤⎩，
即1019
19181a a d a a d =+>⎧⎨=+≤⎩，解得
83
7525d <≤. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，要熟练记忆等差数列的通项公式．
8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线
的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r ，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O
点，则S 2010等于（ ） A ．1005 B ．1006
C ．2010
D ．2012
【答案】A 【解析】 【分析】
根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r
，及三点A ，
B ，
C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值. 【详解】
由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；
由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，
所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1， ∴S 2010()
12010201020101
10052
2
a a +⨯=
=
=. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
9．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
根据等比数列的通项公式与求和公式,即可判断命题间的关系. 【详解】
因为数列{}n a 是等比数列,前n 项和为n S 若3152a a a >+,由等比数列的通项公式可得
111242a a q a q >+,化简后可得()
2
1210q a -<.
因为(
)
2
2
1
0q -≥
所以不等式的解集为10a < 若210n S -<
当公比1q ≠±时, 210n S -<则10a <,可得3152a a a >+ 当公比1q =±时, 由210n S -<则10a <,可得3152a a a =+ 综上可知, “3152a a a >+”是“210n S -<”的充分不必要条件 故选:B 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用,在应用等比数列求和公式时,需记得讨论公比是否为1的情况,属于中档题.
10．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 为（ ）
A ．3∶4
B ．4∶3
C ．1∶2
D ．2∶1
【答案】A 【解析】 【分析】
根据在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得1012
S x =，153
4
S x =
，从而得到155:S S 的值． 【详解】
解：在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得101
2
S x =， 1051122S S x x x ∴-=
-=-，151014S S x ∴-=，15113
244
S x x x ∴=+=， 故155
334:4
x
S S x ==， 故选：A ． 【点睛】
本题考查等比数列的性质，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，成公比为k q 的等比数列，属于中档题.
11．在数列{}n a 中，()111,1n
n n a a a n +==++-，则2018a 的值为（ ）
A ．2017⨯1008
B ．2017⨯1009
C ．2018⨯1008
D ．2018⨯1009
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知条件()n
n 1n a a n 1+-=+-,利用累加法并结合等差数列的前n 项和公式即可得到答案. 【详解】
()n
n 1n a a n 1+-=+-,
()()20182017201720162016201520152014a a 20171,a a 20161,a a 20151,a a 20141,
-=+--=+-=+--=+
⋅⋅⋅32a a 21-=+,()21a a 11,-=+-
将以上式子相加得20181a a 20172016-=++⋅⋅⋅+2， 即2018a 20172016=++⋅⋅⋅+2+1=2017(12017)
201710092
+=⨯，
故选：B. 【点睛】
本题考查数列递推关系式的应用和累加法求和，考查等差数列前n 项和公式的应用.
12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，33
4
S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]
1,0- B ．11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[]
0,1
【答案】B 【解析】 【分析】
先求得等比数列的首项和公比，得到n S ，分析数列的单调性得到n S 的最值，从而列不等式求解即可. 【详解】
由1220,a a += 33
4S =，得11211,,1232n
n a q S ⎡⎤⎛⎫==-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
当1n =时，n S 取最大值1，当2n =时，n S 取最小值
12
， 所以12
21a a ⎧
≤
⎪⎨⎪+≥⎩
，112a -≤≤，故选B. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的单调性，结合首项和公比即可判断，属于中档题.
13．在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，则17S 的值是（ ） A ．41 B ．51
C ．61
D ．68
【答案】B 【解析】 【分析】
由韦达定理得3156a a +=，由等差数列的性质得117315a a a a +=+，再根据等差数列的前n 项和公式求17S . 【详解】
在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，
3156a a ∴+=.
()()11731517171717651222
a a a a S ++⨯∴=
===. 故选：B . 【点睛】
本题考查等差数列的性质和前n 项和公式，属于基础题.
14．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭
，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=L （ ）
A ．135
B ．141
C ．149
D ．155
【答案】D 【解析】 【分析】
利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S 【详解】
解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，*n N ∈，
所以当1n =时，得11a =，
当2n ≥时，11
1111
[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+
⎪-⎝⎭ 所以11
1
n n n n S S S S ---=
-，
所以2
=n S n ，
因为各项为正项，所以=n S
因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======L ,
[]05911[][]3S S S ====L ,[]161724[][]4S S S ====L ,[]252635[][]5S S S ====L , []363740[][]6S S S ====L .
所以[][][]1240S S S +++=L 13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯， 故选：D 【点睛】
此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题.
15．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则26
3
n n S a ++的最小值为（ ）
A ．4
B ．3
C
．2
D ．2
【答案】D 【解析】
【分析】
由题意得2
(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，
从而可得26
3
n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．
【详解】
解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，
2(12)112d d ∴+=+． 得2d =或0d =（舍去），
21n a n ∴=-，
2(121)
2
n n n S n +-∴=
=， ∴()()2
2211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+
，则
2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴26
3
n n S a ++的最小值为2．
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．
16．在递减等差数列{}n a 中，2132
4a a a =-．若113a =，则数列1
1
{
}n n a a +的前n 项和的最大值为 ( ) A ．
24143
B ．
1143
C ．
2413
D ．
613
【答案】D 【解析】
设公差为,0d d < ，所以由2
1324a a a =-，113a =，得
213(132)(13)42d d d +=+-⇒=- （正舍），即132(1)152n a n n =--=- ，
因为
111111()(152)(132)2215213n n a a n n n n +==----- ，所以数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和等于
1111116
()()213213213261313
n --≤--=-⨯- ，选D. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中
间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类
隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或
1
(2)
n n +.
17．在等比数列{}n a 中，已知259,243a a ==，那么{}n a 的前4项和为（ ）. A ．81 B ．120
C ．121
D ．192
【答案】B 【解析】 【分析】
根据35
2
a q a =求出公比，利用等比数列的前n 项和公式即可求出. 【详解】
Q 3
5227a q a ==, ∴ 3q =
∴ 4414(1)3(13)
120113
a q S q --===--.故选：B
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和，属于中档题.
18．已知数列}{
n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为5
4
，则5S =（ ）． A ．35 B ．33
C ．31
D ．29
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，则2
231112a a a q a q a =⋅=，所以42a =，
又3
474452224a a a a q +=+=⨯，解得11,162
q a ==，所以
55
151
16(1())
(1)2311112
a q S q --==
=--，故选C ． 考点：等比数列的通项公式及性质．
19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ）
A ．32
B ．32-
C ．23
D ．23
- 【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列公式直接计算得到答案.
【详解】
依题意，()()183********
a a a a S ++===，故364a a +=，故33a =，故63233
a a d -=
=-，故选：D ． 【点睛】 本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.
20．等比数列{}n a 共有21n +项，其中11a =，偶数项和为170，奇数项和为341，则n =（ ）
A ．3
B ．4
C ．7
D ．9 【答案】B
【解析】
由题意知1321...341n a a a ++++= ，可得3211...341340n a a a +++=-=，又因为242...170,n a a a +++= 所以321242...3402 (170)
n n a a q a a a +++===+++ ，21
211234117051112
n n S ++-==+=- ，解得4n = ，故选B.。