高三数学数列多选题知识点及练习题附解析

高三数学数列多选题知识点及练习题附解析
一、数列多选题
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列说法正确的是（ ）
A ．若2
1,n S n =-则{}n a 是等差数列
B ．若21,n
n S =-则{}n a 是等比数列
C ．若{}n a 是等差数列，则995099S a =
D ．若{}n a 是等比数列，且10,0,a q >>则2
21212n n n S S S -+⋅>
【答案】BC 【分析】
由n S 求n a ，根据通项公式可判断AB 是否正确，由等差数列的性质可判断C ，取1n =时，结合等比数列求和公式作差比较13S S ⋅与2
2S 大小即可判断D. 【详解】
对于A 选项，若2
1n S n =-，当2n ≥时，21n a n =-，10a =不满足21n a n =-，故A
错误；
对于B 选项，若21n
n S =-，则1112,2
1,1
n n n n S S n a S n --⎧-=≥=⎨==⎩，由于11a =满足
12n n a -=，所以{}n a 是等比数列，故B 正确；
对于C 选项，若{}n a 是等差数列，则()
199995099992
a a S a +=
=，故C 正确. 对于D 选项，当1n =时，(
)()
2
2
2
2
2213211
1110S S S a q q
a q a q ⋅-=++-+=-<，故当
1n =时不等式不等式，故2
21212n n n S S S -+⋅>不成立，所以D 错误.
故选：BC 【点睛】
本题考查数列的前n 项和为n S 与n a 之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前n 项和为n S 的公式等，考查运算求解能力.本题D 选项解题的关键将问题特殊化，讨论1n =时，
13S S ⋅与22S 大小情况.此外还需注意一下公式：11
,2
,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩；若{}n a 是等差数
列，则()2121n n S n a -=-.
2．设数列{}n a 前n 项和n S ，且21n n S a =-，21log n n b a +=，则（ ） A ．数列{}n a 是等差数列
B ．12n n
a
C ．22222123
21
3
n n
a a a a -++++= D ．
122334
1
1111
1n n b b b b b b b b +++++
< 【答案】BCD 【分析】
利用n S 与n a 的关系求出数列{}n a 的通项公式，可判断AB 选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断C 选项的正误；利用裂项求和法可判断D 选项的正误. 【详解】
对任意的n *∈N ，21n n S a =-.
当1n =时，11121a S a ==-，可得11a =； 当2n ≥时，由21n n S a =-可得1121n n S a --=-， 上述两式作差得122n n n a a a -=-，可得12n n a a -=，
所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11
122n n n a --∴=⨯=，A 选项错误，B
选项正确；
()
2
211
2
4
n n n
a --==，所以，2222123
1441
143
n
n n a a a a --==
-+++
+，C 选项正确； 212log log 2n n n b a n +===，
()11111
11
n n b b n n n n +==-++， 所以，
122334
1111
111111
11111122334
11
n n b b b b b b b b n n n +++++
=-+-+-++
-=-<++， D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；
（4）对于11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法
求和.
3．（多选）在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，
2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）
A ．1q =
B ．数列{}2n S +是等比数列
C ．8
510S =
D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列
【答案】BC 【分析】 计算可得2q
，故选项A 错误；
8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；
lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.
【详解】
∵142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩∴
231423
32,
12,a a a a a a ==⎧⎨
+=⎩ 解得234,8a a =⎧⎨=⎩或23
8,
4a a =⎧⎨=⎩，
∵{}n a 为递增数列，
∴234,
8
a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，21
2a a q ==，故选项A 错误； ∴2n
n a =，(
)1
2122
212
n
n n
S +⨯-==--，
∴9822510S =-=，1
22n n S ++=，
∴数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确； 又lg 2lg 2lg n
n n a ==⋅，
∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】
方法点睛：证明数列的性质，常用的方法有：（1）定义法；（2）中项公式法.要根据已知灵活选择方法证明.
4．设数列{}n a 的前n 项和为*
()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是
（ ）
A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列
B ．若2
n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列
C ．若()11n
n S =--，则{}n a 是等比数列
D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*
32()n n S S n N -∈也成等差数列
【答案】BCD
【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】
选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:
2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;
选项C: ()11n
n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，
12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;
选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*
32()n n S S n N -∈是等差数
列，故对; 故选：BCD 【点睛】
熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.
5．（多选题）已知函数()22()
()
n n f n n n ⎧=⎨-⎩当为奇数时当为偶数时，且()()1n a f n f n =++，则n
a 等于（ ）
A ．()21n -+
B ．21n -
C ．21n
D ．12n -
【答案】AC 【分析】
对n 进行分类讨论，按照()()1n a f n f n =++写出通项即可. 【详解】
当n 为奇数时，()()()()2
2112121n a f n f n n n n n =++=-+=--=-+； 当n 为偶数时，()()()221121n a f n f n n n n =++=-++=+，
所以()()()
2121n n n a n n ⎧-+⎪=⎨+⎪⎩当为奇数时当为偶数时. 故选：AC . 【点睛】
易错点睛：对n 进行分类讨论时，应注意当n 为奇数时，1n +为偶数；当n 为偶数时，
1n +为奇数.
6．下列说法中正确的是（ ）
A ．数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+
B ．数列{}n a 成等比数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有2
12n n n a a a ++=
C ．若数列{}n a 是等差数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等差数列
D ．若数列{}n a 是等比数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等比数列 【答案】AC 【分析】
利用等差中项法可判断A 选项的正误；取0n a =可判断B 选项的正误；利用等差数列求和公式以及等差中项法可判断C 选项的正误；取1q =-，n 为偶数可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，充分性：若数列{}n a 成等差数列，则对任意的正整数n ，n a 、1n a +、2n a +成等差数列，则121n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+，充分性成立； 必要性：对任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，则121n n n n a a a a +++-=-， 可得出2132431n n a a a a a a a a +-=-=-=
=-=
，
所以，数列{}n a 成等差数列，必要性成立.
所以，数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，A 选项正确；
对于B 选项，当数列{}n a 满足0n a =时，有2
12n n n a a a ++=，但数列{}n a 不是等比数列，B
选项错误；
对于C 选项，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112
n n n d
S na -=+
，()2122122n n n d S na -=+
，()3133132
n n n d
S na -=+， 所以，()()()22111322112222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡
⎤⎡⎤-=+-+=+
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ()()()232111533122132222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡
⎤⎡⎤-=+-+=+
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 所以，
()()()()22232111532222n n n n n d n n d n n d S S S na na na ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=+
++=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()22n n S S =-，
所以，n S 、2n n S S -、32n n S S -是等差数列，C 选项正确；
对于D 选项，当公比1q =-，且n 是偶数时，n S 、2n n S S -、32n n S S -都为0， 故n S 、2n n S S -、32n n S S -不是等比数列，所以D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】
方法点睛；
1.判断等差数列有如下方法：
（1）定义法：1n n a a d +-=（d 为常数，n *∈N ）； （2）等差中项法：(
)122n n n a a a n N
*
++=+∈；
（3）通项法：n a p n q =⋅+（p 、q 常数）；
（4）前n 项和法：2
n S p n q n =⋅+⋅（p 、q 常数）.
2.判断等比数列有如下方法：
（1）定义法：1
n n
a q a +=（q 为非零常数，n *∈N ）； （2）等比中项法：2
12n n n a a a ++=⋅，n *∈N ，0n a ≠； （3）通项公式法：n
n a p q =⋅（p 、q 为非零常数）； （4）前n 项和法：n
n S p q p =⋅-，p 、q 为非零常数且1q ≠.
7．已知数列{}n a 中，11
2
a =，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则以下结论正确的是（ ） A ．
11111
n n n a a a +=-+ B ．{}n a 是单调递增数列 C ．
21101
11
11
11
1a a a a +++
>+++ D ．若121212011
1n n a a a
a a a ⎡⎤+++=⎢
⎥+++⎣⎦
，则122n =([]x 表示不超过x 的最大整数) 【答案】ABD 【分析】
利用裂项法可判断A 选项的正误；利用数列单调性的定义可判断B 选项的正误；利用裂项
求和法可判断C 选项的正误；求出
12
1211
1
n
n a a a a a a +++
+++的表达式，可判断D 选项的正误. 【详解】
在数列{}n a 中，11
2
a =
，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则()21110a a a =+>，()32210a a a =+>，
，依此类推，可知对任意的n *∈N ，0n a >.
对于A 选项，()()()111111
111
n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++-===-+++，A 选项正确；
对于B 选项，2
10n n n a a a +-=>，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为单调递增数列，B 选项
正确；
对于C 选项，由A 选项可知，1
111
1n n n a a a +=-+， 所以，
12122310111111
1011
1
11111111111
1a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++
=-+-++-=-< ⎪ ⎪
⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 选项错误； 对于D 选项，
121223111
1111111111
11
1
1n n n n a a a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++
=-+-++-=- ⎪ ⎪
⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，()()()1212
12121111
111
1
1111n n
n n a a a a a a a a a a a a +-+
++=+++
++++++-+-+
1
21
11111111
2111n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫=-++
+
=--=-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 由112a =
，且()11n n n a a a +=+得23
4
a =，32116a =，
又{}n a 是单调递增数列，则3n ≥时，1n a >，则1
01n
a <<， 从而1122120n n n a +⎡⎤
-=-=⎢⎥⎣⎦
+
，得122n =，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；
（4）对于11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法
求和.
8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，713a =，3S ，1716S S -，k S 成等比数列，则（ ）
A ．2
n S n = B ．122310*********
a a a a a a ++⋅⋅⋅+= C ．11k = D ．21n a n =-
【答案】ACD 【分析】
先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式和求和公式求得
,n n a S ，再由3S ，1716S S -，k S 成等比数列列出式子求解得出k 的值，再利用裂项相消法求和，得到1223101111110
21
a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，从而判断各项的正误. 【详解】
依题意，95981S a ==，解得59a =； 而713a =，故75
275
a a d -=
=-，则1541a a d =-=， 则21n a n =-，2
n S n =，故D 、A 正确：
因为3S ，1716S S -，k S 成等比数列，
故()2
2
3171617k S S S S a =-=，
则22933k =，解得11k =，故C 正确； 而
1223101111110
21
a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，故B 错误． 故选：ACD ． 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下： （1）根据题意，求得通项公式，进而求得前n 项和； （2）根据三项成等比数列的条件，列出等式，求得k 的值；
（3）利用裂项相消法，对12231011
111
a a a a a a ++⋅⋅⋅+求和； （4）对选项逐个判断正误，得到结果.
二、平面向量多选题
9．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则（ ） A ．||||a b = B ．()a b a -∥
C ．()a b a -⊥
D ．a 与b 的夹角为
4
π
【答案】CD 【分析】
根据平面向量的模､垂直､夹角的坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果.
【详解】 对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误； 对于B ，
(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则
()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误；
对于C ，又()
()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确；
对于D ，又cos ,2
22
a b a b a b
⋅<>=
=
=
⋅，又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为
π
4，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】
关键点点睛：本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.
10．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BC
C ．a b ⊥
D ．()
6a b BC +⊥
【答案】ABD 【分析】
求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()
6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=
，则1
13
a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC a
b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正
确；
对于C 选项，21123cos 0333
a b AB BC π
⋅=
⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()
22
60a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，
()6a b BC +⊥，D 选项正确.
故选：ABD. 【点睛】
本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.。