广东省珠海高三9月摸底考试文科数学试题

珠海市第一学期高三摸底考试 文科数学试题和参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1．设集合2{|1}P x x ==，那么集合P 的真子集个数是 ( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 【答案】A
【解析】211x x =⇒=±，所以{}1,1P =-．集合{}1,1P =-的真子集有{}{},1,1∅-共3
个．故A 正确．
2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，
(2,4)AB =，(1,3)AC =，则DA ＝( )
A ．(2，4)
B ．(3，5)
C ．(1，1)
D ．(－1，－1) 【答案】C ． 【解析】()(1,1)DA AD AC AB =-=--=．
3．设
()
2112i i
z +++=，则z =( ) A ．3 B ．1 C ．2 D ．2 【答案】D
【解析】根据题意得121z i i i =-+=+，所以
z =
4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
【答案】D
【解析】所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，它们在侧视
图中落在矩形的两条边上，另一条是原长方体的对角线，在侧视图中的矩形的自左下而右上的一条对角线，因在左侧不可见，故而用虚线，所由上分析知，应选D.
5．如图，大正方形的面积是 34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为 3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( )
A ．117
B ．217
C ．317
D ．417
【答案】B
【解析】直角三角形的较短边长为 3，则较长边为5，所以小正方形边长为2，面积为4，所以向大正
方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为4
23417
=，故选B ． 6．某商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为( )件． A.46 B.40 C.38 D.58 【答案】A 为：(10,38)，又在回归方程y bx a
=+$上，且2b =-，
∴3810(2)a =⨯-+，解得：58a =，∴258y x =-+$，当x =6时，
265846
y =-⨯+=$．故选：A ． 7．设m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A ．若αβ⊥，,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥ B ．若α∥β，,m n αβ⊂⊂，则n ∥m C ．若m n ⊥，,m n αβ⊂⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，n ∥m ，n ∥β，则αβ⊥ 【答案】D
【解析】位于两个互相垂直的平面内的两条直线位置关系不确定，故A 错；分别在两个平行平面内的两条直线可平行也可以异面，故B 错；由m α⊥，n ∥m 得n α⊥，因为n ∥β，设,n l γλ
β⊂=，则//n l ，从而l α⊥，又l β⊂，故αβ⊥，D 正确．
考点：空间直线和直线、直线和平面，平面和平面的位置关系．
8．已知函数()sin 2f x x =向左平移6
π个单位后，得到函数()y g x =，下列关于()y g x =的
说法正确的是( ) A ．图象关于点
(,0)3
π
-
中心对称 B ．图象关于
6
x π=-
轴对称
C ．在区间
5[,]126ππ--单调递增 D ．在[,]63
ππ-单调递减 【答案】C
【解析】∵函数f(x)=sin2x 向左平移6
π个单位，得到函数y=g(x)=sin2(x+6π)=sin(2x+3
π)；∴对
于A ：当x=-3
π时，y=g(x)=sin(-32π+3π)=-
2
3≠0∴命题A 错误；
对于B ：当x=-6
π时，y=g(x)=sin(-3
π+3
π)=0≠±1，∴命题B 错误；
对于C ：当x ∈
5[,]126ππ--时，2x+3π∈[-2π，0]，∴函数y=g(x)= sin(2x+3
π)是增函数，∴命题C 正确；对于D ：当x ∈
[,]63ππ-时，2x+3π∈[0，π]，∴函数y=g(x)= sin(2x+3
π)
是先增后减的函数，∴命题D 错误．
9．阅读上图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( ). A ．123 B.38 C ．11 D ．3 【答案】C 【解析】
试题分析：依此程序框图，变量a 初始值为1，满足条件a ＜10，执行循环， a=12
+2=3，满足条件a ＜10，执行循环， a=32+2=11，不满足循环条件a ＜10，退出循环， 故输出11．故选C ．
10．己知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列
1()f n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，则2015
S 的值为( )
A ．20142015
B ．20122013
C ．20132014
D ．20152016
【答案】D
【解析】由已知得，'()2f x x b =+，函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线斜率为
'(1)23k f b ==+=，故1b =，所以2()f x x x =+，则1111()(1)1
f n n n n n ==-
++，所
以
1111
11(1)())122311n S n n n =-+-+-=-
+
+…+(，故2015S =20152016
．
11．椭圆
2222:1(
0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为F ，若F
0y +=的对称点A 是椭
圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为
( )
A ．1
2
B ．
12 C ．2
D 1
【答案】D ．
【解析】设(,0)F c -
0y +=的对称点A 的坐标为(m,n)，则
(1022
n
m c m c n
⎧⋅=-⎪⎪+-+=，所以
2
c m =
，2
n =
，将其代入椭圆方程可得22
22
3441c
c a b +=，化简可得42840e e -+=，解得1e =，故应选D ． 12．若a 满足4lg =+x x ，b 满足410=+x x ，函数
⎩⎨
⎧>≤+++=0202)()(2x x x b a x x f ，
，，
则关于x 的方程x x f =)(解的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】C
【解析】由已知得，lg 4x x =-，104x x =-，在同一坐标系中作出10x y =，lg y x =以及4y x =-的图象，其中10x y =，lg y x =的图象关于y x =对称，直线y x =与4y x =-的交点为(2，2)，所以4a b +=，
2420
()2,
0x x x f x x ⎧++≤=⎨
>⎩，，当0
x ≤时，242x x x ++=，1x =-或2-；当0x >，2x =，所以方程x x f =)(解的个数是3个．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n
S ．若224432,32S a S a =+=+，则q =
． 【答案】2
3
【解析】由已知可得2322+=a S ，23224+=q a S ，两式相减得)
1(3)1(222-=+q a q a 即0322=--q q ，解得
2
3=
q 或1-=q (舍)，答案为23. 14．已知函数()()1623++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是 【答案】63>-<a a 或
【解析】因为()()1623++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则说明导函数
()()2'3260
f x x ax a =+++=有两个不同的实数根，即为2(2)43(6)0
a a ∆=-⨯⨯+≥解得为63>-<a a 或 15．已知实数,x y 满足约束条件
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-≥++0005y y x y x ，则241z x y =++的最小值是__________
__
【答案】-14 【解析】作出不等式
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-≥++0005y y x y x 组表示的平面区域，如图
所示的阴影部分 由z=2x+4y+1可得
4
21z x y +
-=， 4z 表示直线4
21z x y +
-=在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由
题意可得，当y=-2x+z 经过点A 时，z 最小 由
⎩⎨
⎧=-=++0
05y x y x 可得A(
25-，2
5-)， 此时
14
12
5
4252-=+⨯-⨯-=z ．故答案为：-14．
16．若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线22
13x y n
-=的一个焦点重合，则n 的值为 ．
【答案】1
【解析】试题分析：已知抛物线28y x =，则其焦点F 坐标为(2,0) 双曲线
2
213x y n
-=的右焦点为2=，解得1n =，故答案为1．
三、解答题:本大题共8小题，考生作答6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算
步骤。

17．(本题满分12分)
ABC ∆的三个内角C B A ，，对应的三条边长分别是c b a ,,，且满足
sin cos 0c A C +=
⑴ 求C 的值； ⑵ 若
5
3cos =
A ， 35=c ，求
B sin 和b 的值．
【答案】(1)
32π=C ；(2)10
433sin -=
B ，433-=b ． 【解析】(1)因为
sin cos 0c A C =由正弦定理得：
0sin sin 32sin sin 2=+C A R A C R 2分由0sin ≠A …………………… 3分
所以3tan -=C ，),0(π∈C ；3
2π=
∴C …………………… 6分
(2)由
53cos =A ，)2,0(π∈A 则5
4cos 1sin 2
=
-=A A ， …………………8分 C A C A C A C A B sin cos cos sin )sin()sin(sin +=+=--=π
10
4332353)21(54-=⨯+-⨯= …………………10分
由
C c B b sin sin =，433sin sin -==C
B
c b …………………12分
18．(本小题满分12分)
如图，四棱锥P ABCD -，侧面PAD 是边长为2的正
三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是60ABC ∠=︒ 的菱形，M 为PC 的中点． ⑴ 求证:PC AD ⊥；
⑵ 求点D 到平面PAM 的距离． 【答案】⑴ 详见解析
【解析】 ⑴ 方法一:取AD 中点O ，连结,,OP OC AC ，
依题意可知△PAD ，△ACD 均为正三角形， …………………1分
所以OC AD ⊥，OP AD ⊥，又OC OP O =，
OC ⊂平面POC ，OP ⊂平面POC ，……4分
所以AD ⊥平面POC ，又PC ⊂平面POC ，所以PC AD ⊥． ……………6分
方法二:连结AC ，依题意可知△PAD ，△ACD 均为正三角形， …………………1分
又M 为PC 的中点，所以AM PC ⊥，DM PC ⊥， …………………4分 又AM
DM M =，AM ⊂平面AMD ，DM ⊂平面AMD ，
所以PC ⊥平面AMD ，又AD ⊂平面AMD ，所以PC AD ⊥． …………………6分
⑵ 点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离，由⑴可知PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD
平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平
面ABCD ，即PO 为三棱锥P ACD -的体高．在Rt POC ∆中，PO OC ==，
PC =
P
A
B
C
D
M Q O
在PAC ∆中，2PA AC ==
，PC =PC 上的高AM
=
=
，
所以PAC ∆
的面积
1122PAC
S PC AM ∆=⋅==， (8)
分
设点D 到平面PAC 的距离为h ，由D PAC
P ACD V
V --=得
1133PAC ACD S h S PO ∆∆⋅=⋅，又，1
2332ACD S ==△…………………
10分
所以
11323
h ⨯=
， 解得
h =， 所以点
D 到平面PAM 的距离为
(12)
分
19．(本小题满分12分)
某校高三文科分为四个班．高三数学调研测试后， 随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计，各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，人数最少的班被抽取了22人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示，其中120～130(包括120分但不包括130
分)的频率为0．05，此分数段的人数为5人．
(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人？ (2)求平均成绩；
(3)在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于90分的概率． 【答案】(1)22人，24人，26人，28人；(2)98；(3)0.75 【解析】
试题解析：(1)由频率分布条形图知，抽取的学生总数为5
100
0.05
=人．
∵各班被抽取的学生人数成等差数列，设其公差为d ，由4226100d ⨯+=，解得2=d ． ∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人． ………………… 4分 (2)9805.012510.011525.010535.09520.08505.075=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
∴平均成绩为98分。

…………………8分
(3)在抽取的学生中，任取一名学生， 则分数不小于90分的概率为
0.350.250.10.050.75+++= (1)
2分
考点：频率分布直方图及其应用
20．(本小题满分12分)
已知椭圆
O 为圆心，椭圆的短半轴长为半
⑴ 求椭圆C 的标准方程.
⑵ 若直线L ：y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 求证：AOB ∆的面积为定值. ，又222a b c +=
联立解得22
4,3a b ==，∴椭圆的方程为 (5)
分
⑵ 设)(1,1y x A ，)(2,2y x B 则A ，B 消去y 化简得，()
0124843222=-+++m kmx x k
，0>∆得03422>+-m k ……………… 8分
2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=
…………………10分
…………………12分
14分
21．(本小题满分12分).
已知函数x x x f ln )(=，x
e ax x x g )3()(2-+-=(a 为实数)．
⑴ 求)(x f 在区间[t ，t+2](t >0)上的最小值；
⑵ 若存在两不等实根]1[，21，e e
x x ∈，使方程)(2)(x f e x g x
=成立，求实数a 的取值
范围．
【答案】⑴当e t 1≥
时，min ()()ln f x f t t t == ；当
10t e
<<时，min 11
()()f x f e e ==-；
⑵3
42a e e
<≤++
. 【解析】
试题解析：⑴ ()ln 1f x x '=+， ………………… 1分
E
D
C
A
B
①当e
t 1
≥
时，在区间[,2]t t +上()f x 为增函数， 所以min ()()ln f x f t t t == …………………4分 ②当10t e <<
时，在区间1
(,)t e 上()f x 为减函数，在区间1(,2]t e
+上()f x 为增函数， 所以min 11
()()f x f e e
==- …………………6分
⑵由()2()x
g x e f x =，可得： 223ln x x x ax =-+-，
32ln a x x x
=++
， 令3
2()ln h x x x x =++， 22)1)(3(321)(x x x x x x h -+=-+=' ．
…………………8分
1132()h e e e =+-，14()h =，3
2()h e e e =++ . …………………10分 12420()()h e h e e e
-=-+<．
∴结合图象可知实数a 的取值范围为3
42a e e
<≤++ ． …………………12分
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的角平分线， ADC ∆的外接圆交BC 于点E ，2AB AC =．
⑴ 求证：2BE AD =；
⑵ 当3AC =，6EC =时，求AD 的长．
【解析】 ⑴ 连接DE ，因为A CE D 是圆内接四边形，所以,B CA B DE ∠=∠ 又
,CBA DBE ∠=∠DBE ∆∴∽CBA ∆，即有BE DE BA CA
=， …………………
3分
又因为2AB AC =，可得2BE DE =因为CD 是ACB ∠的平分线，
所以AD DE =，从而AD BE 2= …………………5分
⑵ 由条件知62==AC AB ，设t AD =，
则62,2+==t BC t BE ，根据割线定理得BC BE BA BD ⋅=⋅， …………………8分
即),62(26)6(+⋅=⨯-t t t 即018922=-+t t ， 解得
32
t =
或6-(舍去)，则
32AD =． …………………10分
23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 曲线1
C 的参数方程为
)(sin 22cos 2为参数αα
α
⎩⎨
⎧+==y x ，M 是曲线1
C 上的动点，且M 是线段
OP 的中点，P 点的轨迹为曲线
2C ，直线l 的极坐标方程为
sin()4
π
ρθ+=l 与
曲线2
C 交于A ，B 两点。

⑴ 求曲线2
C 的普通方程；
⑵ 求线段AB 的长。

【答案】 ⑴16)4(2
2
=-+y x ⑵【解析】解：⑴设),(y x P ，则由条件知)2
,2(y x M 。

因为点M 在曲线1C 上，所以
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+==α
αsin 222
cos 22
y x
，即 ⎩⎨⎧+==ααsin 44cos 4y x 。

…………………3分
化为普通方程为16)4(2
2
=-+y x ，即为曲线2C 的普通方程。

…………………5分
⑵ 直线l 的方程为2)4
sin(=+
π
ρx ，化为直角坐标方程为02=-+y x 。

(7)
分
由⑴知曲线2C 是圆心为)4,0(，半径为4的圆，因为圆2C 的圆心到直线l 的距离
22
24=-=
d ，所以142222=-=d r AB 。

(10)
分
24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数()|2||5|f x x x =---． ⑴ 证明：3()3f x -≤≤；
⑵ 求不等式：2()814f x x x ≥-+的解集． 【答案】⑴ 见解析 ⑵
[3,4+
【解析】⑴
|()||2||5|(2)(5)3
f x x x x x =---≤---=
∴3()3f x -≤≤ …………………3分 ⑵ ①当2x ≤时，()3f x =-，而22814(4)22x x x -+=--≥-
∴2()814f x x x ≥-+无解 …………………5分 ②当25x <<时，()27f x x =-，原不等式等价于：
22781425
x x x x ⎧-≥-+⎨
<<⎩35
x ⇔≤< …………………7分
③当5x ≥时，()3f x =，原不等式等价于：2
81435
x x x ⎧-+≤⎨≥
⎩54x ⇔≤≤+
综上，不等式的解集为[3,4+． …………………10分。