2024届邯郸市重点中学高一数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

2024届邯郸市重点中学高一数学第二学期期末学业质量监测试
题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．[]x 表示不超过x 的最大整数，设函数2()ln(1)h x x x =++，则函数
()[()][()]f x h x h x =+-的值域为（ ）
A ．{0}
B ．{2,0}-
C ．{1,0,1}-
D ．{1,0}-
2．向量(),1a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则a b -等于（ ） A ．5 B ．10
C ．25
D ．10
3．若直线和直线互相垂直，则
( ) A ．
或
B ．3或1
C ．
或1
D ．
或3
4．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ） A ．8岁
B ．11岁
C ．20岁
D ．35岁
5．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且()21n n n a a a n N *
++⋅=∈，
则2019
a 的值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．
1
2
D ．
14
6．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点
(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ）
A ．2
B ．42
C ．6
D ．210
7．在四边形ABCD 中，//,,45AD BC AD AB BCD
，90BAD ∠=︒，将ABD
∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，如图，则在三棱锥
A BCD -中，下列结论正确的是（ ）
A ．平面ABD ⊥平面ABC
B ．平面AD
C ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDC
D ．平面ADC ⊥平面ABC
8．已知函数1()2x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )
A ．(4,1)-
B ．(1,4)-
C ．(1,4)
D ．(0,4)
9．已知a ，b 为不同的直线，α为平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若//a b ，b α⊥，则a α⊥ B ．若a α⊥，b α⊥，则//a b C ．若a α⊥，b α⊂，则a b ⊥ D ．若a b ⊥，a α⊥，则b α⊥
10．已知直线不经过第一象限，则的取值范围为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知数列、
都是公差为1的等差数列，且，
，设
，
则数列
的前项和
________
12．已知tan 2α
，()1
tan 7
αβ+=
，则tan β的值为 ． 13．设函数1,()1ln ,x a x e
f x x x e ⎧
-+<⎪⎪=⎨⎪≥
⎪⎩
的最小值为1-，则a 的取值范围是___________.
14．已知,0,
2παβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，110
tan ,sin 7αβ=
=
2αβ+=______. 15．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a x =，3b =，60B =，若ABC ∆有两解，则x 的取值范围是__________． 16．已知变量x 和y 线性相关，其一组观测数据为
()()()()()1122334455,,,,,,,,,x y x y x y x y x y ，由最小二乘法求得回归直线方程为
0.6759ˆ0.y
x =+.若已知12345150x x x x x ++++=，则12345y y y y y ++++=______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知
ABC 的三个顶点为(4,0),(8,10),(4,6)A B C .
（1）求过点A 且平行于BC 的直线方程； （2）求过点B 且与A 、C 距离相等的直线方程.
18．已知函数()3sin()0,22f x x ππωϕωϕ⎛
⎫=+>-≤< ⎪
⎝
⎭的图象关于直线3x π=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. （1）求ω和ϕ的值； （2）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()y f x =的最大值和最小值； （3）设()()g x f cx =，若()g x 的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标不属于区间(2,3)ππ，求c 的取值范围.
19．在等差数列{}n a 中，12a =，39S = （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求{}2
n
a 的前n 项和n
S
20．已知数列{}n a 中，11a =，()*122
n
n n a a n N a +=
∈+. （1）求证：
1
n
a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）数列{}n
b 满足22
n n n
n n
b a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 21．如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=，2PC =，4AP AC +=.
（1）求边AC 的长；
（2）若APB ∆，求BAP ∠的值. 参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D 【解题分析】
由已知可证()h x 是奇函数，(),()h x h x -是互为相反数，对()h x 是否为正数分类讨论，即可求解. 【题目详解】
()ln(h x x =的定义域为R ，
()()ln(ln10h x h x x x -+=-+==,
()()h x h x ∴-=-，()h x ∴是奇函数，
设[()]h x a =，若()h x 是整数，则[()],()0h x a f x -=-=， 若()h x 不是整数，则[()]1,()1h x a f x -=--=-.
()f x ∴的值域是{1,0}-.
故选:D. 【题目点拨】
本题考查函数性质的应用，考查对新函数定义的理解，考查分类讨论思想，属于中档题. 2、B 【解题分析】
先由数量积为0，得出2x =，求出a b -的坐标，利用模长的坐标公式求解即可. 【题目详解】
由题意可得 202a b x x ⋅=-=∴=，则(1,3)a b -=
则1910a b =+-= 故选：B 【题目点拨】
本题主要考查了向量模的坐标表示以及向量垂直的坐标表示，属于基础题. 3、C 【解题分析】
直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可. 【题目详解】 因为直线和直线互相垂直，
所以， 解方程可得或
，故选C.
【题目点拨】
本题主要考查直线与直线垂直的充要条件，属于基础题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）
（
）；（2）
（
），这类问题尽管简单却容易出错，特
别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心. 4、B 【解题分析】
九个儿子的年龄成等差数列，公差为1． 【题目详解】
由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为1．记最小的儿子年龄为，则
，解得
．
故选B ． 【题目点拨】
本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解． 5、A 【解题分析】
由递推关系，结合
11a =，22a =，可求得3a ，4a ，5a 的值，可得数列{}n a 是一个
周期为6的周期数列，进而可求2019a 的值。

【题目详解】
因为()
*
21n n n a a a n N ++⋅=∈，由11a =，22a =，得32a =；
由22a =，32a =，得41a =； 由32a =，41a =，得512
a =； 由41a =，51
2
a =，得612a =；
由51
2
a =，612a =，得71a =；
由
61
2
a =
，71a =，得82a =
由此推理可得数列{}n a 是一个周期为6的周期数列，所以201932a a ==，故选A 。

【题目点拨】
本题考查由递推关系求数列中的项，考查数列周期的判断，属基础题。

6、C 【解题分析】
试题分析：直线l 过圆心
，所以1a =-，所以切线长
2(4)14(4)216AB =-+-⨯-++=，选C.
考点：切线长 7、D 【解题分析】
折叠过程中，仍有CD BD ⊥，根据平面ABD ⊥平面BCD 可证得CD ⊥平面ABD ，从而得到正确的选项. 【题目详解】
在直角梯形ABCD 中，因为ABD ∆为等腰直角三角形，故45ABD ADB ∠=∠=︒， 所以45DBC ∠=︒，故CD BD ⊥，
折起后仍然满足CD BD ⊥.因为平面ABD ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 平面ABD ⋂平面BCD BD =， 所以CD ⊥平面ABD ，因AB
平面ABD ，所以CD AB ⊥.
又因为AB AD ⊥，AD CD D =，所以AB ⊥平面ADC ，
因AB
平面ABC ，所以平面ADC ⊥平面ABC .
【题目点拨】
面面垂直的判定可由线面垂直得到，而线面垂直可通过线线垂直得到，注意面中两条直线是相交的．由面面垂直也可得到线面垂直，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线. 8、B 【解题分析】
先判断函数1()2x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的单调性，把()24(3)f a f a ->转化为自变量的不等式求解.
【题目详解】
可知函数()f x 为减函数，由2(4)(3)f a f a ->，可得243a a -<， 整理得2340a a --<，解得14a -<<，所以不等式的解集为(1,4)-． 故选B. 【题目点拨】
本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式. 9、D 【解题分析】
根据线面垂直与平行的性质与判定分析或举出反例即可. 【题目详解】
对A,根据线线平行与线面垂直的性质可知A 正确. 对B, 根据线线平行与线面垂直的性质可知B 正确. 对C,根据线面垂直的性质知C 正确.
对D,当a b ⊥,a α⊥时,也有可能b α⊂.故D 错误. 故选：D 【题目点拨】
本题主要考查了空间中平行垂直的判定与性质,属于中档题. 10、D 【解题分析】
由题意可得3﹣2k ＝0或3﹣2k ＜0，解不等式即可得到所求范围． 【题目详解】
直线y ＝（3﹣2k ）x ﹣6不经过第一象限，
可得3﹣2k ＝0或3﹣2k ＜0， 解得k
，
则k 的取值范围是[，+∞）． 故选：D ． 【题目点拨】
本题考查直线方程的运用，注意运用直线的斜率为0的情况，考查运算能力，属于基础题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、
【解题分析】
根据等差数列的通项公式把
转化到
，再把转化
，然后由已知和
等差数列的前项和可求结果． 【题目详解】
．
故答案为：．
【题目点拨】
本题主要考查等差数列通项公式和前项和的应用，利用分组求和法是解决本题的关键． 12、3 【解题分析】
()()()()1
2tan tan 7tan tan 311tan tan 12
7
αβαβαβααβα++-=+-===+++⨯-，故答案为3.
13、11,e
⎡⎫-++∞⎪⎢⎣
⎭
. 【解题分析】
确定函数的单调性，由单调性确定最小值．
由题意()f x 在1[,)e +∞上是增函数，在1(,)e -∞上是减函数，又11
()ln
1f e e
==-， ∴11a e -+≥-，1
1a e
≥-， 故答案为1
[1,)e
-++∞．
【题目点拨】
本题考查分段函数的单调性．由单调性确定最小值， 14、
4
π 【解题分析】
利用同角三角函数的基本关系求得tan β的值，利用二倍角的正切公式，求得tan 2β，再利用两角和的正切公式，求得()tan 2αβ+的值，再结合2αβ+的范围，求得2αβ+的值． 【题目详解】
11tan ,,0,,731022παβαβ⎛⎫
=
<=<∈ ⎪⎝⎭
0,,0,66ππαβ⎛⎫⎛⎫
∴∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，
cos β==sin 1tan cos 3βββ==，2
2tan 3tan 21
1tan 4βββ==<- 20,4πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()520,12παβ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
()tan tan 2tan 211tan tan 2αβ
αβαβ
++==-⋅
24
π
αβ∴+=
，
故答案：
4
π. 【题目点拨】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，二倍角的正切公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．
15、
利用正弦定理得到sin
A =ABC ∆有两解得到sin sin 1
B A <=
<，
计算得到答案. 【题目详解】
由正弦定理得：
sin
sin sin sin a b x A A B A =⇒== 若ABC ∆有两解：
sin sin 13
B A x <=
<⇒<<
故答案为 【题目点拨】
本题考查了正弦定理，ABC ∆有两解，意在考查学生的计算能力. 16、355 【解题分析】
根据回归直线必过样本点的中心，根据横坐标结合回归方程求出纵坐标即可得解. 【题目详解】 由题：12345
305
x x x x x x ++++=
=，回归直线方程为0.6759ˆ0.y
x =+， 所以0.673050.971y =⨯+=，
123455355y y y y y y ++++==.
故答案为：355 【题目点拨】
此题考查根据回归直线方程求样本点的中心的纵坐标，关键在于掌握回归直线必过样本点的中心，根据平均数求解.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1)
40x y --=；(2)8x =. 【解题分析】
（1）先由两点写出直线BC 的方程，再根据点斜式写出目标直线的方程；
（2）过点B 且与直线AC 平行的直线即为所求，注意垂直平分线不过点B ，故舍去.
【题目详解】
（1）由B 、C 两点的坐标可得106184
BC k -==-， 因为待求直线与直线BC 平行，故其斜率为1BC k k ==
由点斜式方程可得目标直线方程为4y x =-
整理得40x y --=.
（2）由A 、C 点的坐标可知，其中点坐标为()4,3
又直线AC 没有斜率，故其垂直平分线为3y =，此直线不经过点B ，故垂直平分线舍去；
则满足题意的直线为与直线AC 平行的直线，即8x =.
综上所述，满足题意的直线方程为8x =.
【题目点拨】
本题考查直线方程的求解，属基础题.
18、（1）2ω=，6π
ϕ=-（2）()f x =最大值()2
f x =-最小值.（3）115540,,,9618129⎛⎤⎡⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦⎣
⎦ 【解题分析】
（1）由相邻最高点距离得周期，从而可得ω，由对称性可求得ϕ；
（2）结合正弦函数性质可得最值．
（3）()()26g x f cx cx π⎛
⎫==- ⎪⎝⎭
，先由半个周期大于π得出c 的一个范围，在此范围内再寻找，求出对称轴0x x =，由对称轴02x π≤且03x π≥得c 的范围．
【题目详解】
（1）因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，
所以()f x 的最小正周期T π=，而22T πω=
=， 又因为()f x 的图象关于直线3x π=
对称， 所以2,32k π
π
ϕπ⨯+=+Z k ∈，即,6k π
ϕπ=-Z k ∈，
又222π
π
ϕ-≤<，所以6π
ϕ=-.
综上，2ω=，6π
ϕ=-.
（2）由（1）知()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52666x πππ-≤-≤，
所以，当226x ππ-=即3
x ππ=时，()f x =最大值
当266x ππ
-=-，即0x =时，()2
f x =-最小值.
（3）()()26g x f cx cx π⎛
⎫==- ⎪⎝⎭
， ()g x 的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标都不属于区间(2,3)ππ，
1222c
ππ∴⋅>，即102c <<， 令262cx k π
π
π-=+，得23k x c
ππ=+， 2,23k c c πππ+≤且(1)323k c c
πππ++≥， 得1114669
k k c ++≤≤+， 当1k =-时，109
c <≤， 当0k =时，15618
c ≤≤， 当1k =时，
54129c ≤≤， 故所求范围115540,,,9
618129⎛⎤⎡⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦⎣⎦
. 【题目点拨】
本题考查由三角函数性质求函数解析式，考查正弦函数的最值，考查函数的对称性．掌握正弦函数性质是解题关键．
19、（1）1n a n =+；（2）224n n S +=-
【解题分析】
试题分析：（1）根据已知数列{}n a 为等差数列，结合数列的性质可知：前3项和3123239S a a a a =++==，所以23a =，又因为12a =，所以公差211d a a =-=，再根据等差数列通项公式()11n a a n d =+-，可以求得()2111n a n n =+-⋅=+．本问考查等差数列的通项公式及等差数列的性质，属于对基础知识的考查，为容易题，要求学生必须掌握．（2）由于{}n a 为等差数列，所以可以根据重要结论得知：数列{}2n
a 为等比数列，可以根据等比数列的定义进行证明，即11222222n n n n
a a a d a ++=-==，符合等比数列定义，因此数列{}2n a 是等比数列，首项为12224a ==，公比为2，所以问题转化为求以4为首项，2为公比的等比数列的前n 项和，根据公式有
24(12)4242412
n n n n S +-==⋅-=--．本问考查等比数列定义及前n 项和公式．属于对基础知识的考查．
试题解析：（1）
又
（2）由（1）知得：12
122222
n n a n a n +++== 是以4为首项2为公比的等比数列
考点：1.等差数列；2.等比数列．
20、（1）证明见解析，21
n a n =
+（2）()11422-=-+n n T n 【解题分析】
（1）由122n n n a a a +=+，两边取倒数，得到11112n n a a +-=，根据等差数列的定义证明1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
等差数列，，再利用通项公式求得
1n a ，从而得到n a .. （2）根据（1）的结论1
2221-+=⋅=⋅n n n n n n b a n ，再用错位相减法求其前n 项和. 【题目详解】
（1）因为122
n n n a a a +=+， 所以1212n n n
a a a ++=， 即11112
n n a a +-=， 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是首项为1，公差为12的等差数列， 所以()11111122
+=+-=n n n a a ， 即21n a n =
+. （2）由（1）知122
21-+=⋅=⋅n n n n n n b a n 所以01211111123......2222-=⨯
+⨯+⨯++⨯n n T n ① 两边同乘以12
得：12311111123......22222=⨯+⨯+⨯++⨯n n T n ② ①-②得0123111111 (222222)
=++++-⨯n n T n ， 1
1121212n n n -
=-- ， 12(2)2n
n =-+ ， 所以()
11422-=-+n n T n . 【题目点拨】
本题主要考查了数列的证明及错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于难题.
21、 (1)2；(2) 357arcsin 38BAP ∠= 【解题分析】 （1）设AC x =，利用余弦定理列方程可得：2214(4)2(4)2
x x x x =+--⨯⨯-⨯，解方程即可 （2）利用（1）中结果即可判断APC ∆为等边三角形，即可求得ABP ∆中BP 边上的高为3，再利用APB ∆的面积是332即可求得：3PB =，结合余弦定理可得：19AB =，再利用正弦定理可得：319sin 32
BAP =∠，问题得解
【题目详解】
（1）在APC ∆中，设AC x =，则4AP x =-，
由余弦定理得：2222cos PC AC AP AC AP PAC =+-•∠
即：2214(4)2(4)2
x x x x =+--⨯⨯-⨯
解之得：2x =，即边AC 的长为2.
（2）由（1）得APC ∆为等边三角形，作AD BC ⊥于D ，
则sin603AD PA ==∴13332APB S PB AD PB ∆=⨯==，故3PB = 在ABP ∆中，由余弦定理得：2222cos 193
AB PB PA PB PA π=+-•=∴在ABP ∆中，由正弦定理得：sin sin PB AB BAP BPA =∠∠，即：319sin 3BAP =∠∴33
3572sin 19
BAP ∠==
∴BAP
∠=
【题目点拨】
本题主要考查了利用正、余弦定理解三角形，还考查了三角形面积公式的应用及计算能力，属于中档题。